河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理）一．选择题（每题5分，共计60分）2=（＜0}），则＜0}，B={x|x+ .设集合A={x|xx﹣6 1.|} C．{x|﹣3＜x＜0} DB．{x|0< x<2}．{x．{x|x>0}A则z所对应的点在（z 已知∈C，若） 2.，C．第三象限D．第四象限A．第一象限B．第二象限：q+∞）（）内单调递增，：在（2，设pq，则p是的3.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件满足条件，则z=x+y的最小值为（已知实数x，y） 4.．B．4 C．2 AD．3 5.S为等差数列{a}的前n项和，S=﹣36，S=﹣104，等比数列{b}中，b=a，b=a，则713n5n97n5b等于（）6±D．．无法确定A ．BC．﹣6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）．D C ．A．B．：作圆CP上的动点，为直线过点P设的两条切7. ）的面积的最小值为（PACB，则四边形B，A线，切点分别为．D ．A．1 B．C上的解析式为．若在区间在区间已知周期为2 的函数8.[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）．D．（C1，2A．B）．9.如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，D=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球A的表面积为（）．D ．． B ．AC]）在区间[0＜?＜ω∈R，A＞0，＞0，x+sin如图是函数10.y=A（ωx?）（－上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（）个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变．向右平移 A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变B个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C ．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2D倍，纵坐标不变．向右平移是，且函数）满足条件x（f=y上的函数R已知定义在11.奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数）的图象关于点对称x B．函数f（x）是偶函数C．函数f（）的图象关于直线对称x D．函数f（，若对，f（f（xx））≥0恒成立，已知函数12.a则实数的取值范围是（）．A ．B．a＜2 C．D二．填空题（每题5分，共计20分）13.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________：M14.的周长，若直线始终平分圆则的最小值为_________.已知△15. 的中点，连接是边长为1并的等边三角形，点分别是边的值为______________，使得延长到点，则16.分别是双曲线与双曲的左、右焦点，过，已知为锐角，则双曲线离心率线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若_____________ 的取值范围是706分）个题，共计三．解答题（共.分）设10（满分17.求的单调递增区间；(1)，，求的对边分别为，(2)，若锐角中，角的值.与的等差中项，且（满分12分）已知数列.的前是项和18.的通项公式；）求数列（1项和.，求数列（2的前）若分）如图均为等腰直角三角形，，和19.（满分12，，，平面平面，平面；（1）证明：的余弦值2.）求二面角（（）.1220.（满分，分）已知函数恒成立，求实数的取值范围；（1，）若上有两个零点，求实数的取值范围.，若在2（）设函数.，其离心率为过点1221.（满分分）已知椭圆的方程；）求椭圆1（．使为正三角两点，轴上是否存在点（2）在直线，与相交于形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.分）设函数．22.（满分12（1的单调性；）讨论函数，都有．）当时，求证：对任意（2期中考试答案（理科数学）一．选择题（每题5分，共计60分）1---5 CABCC; 6--10 ADACC; 11--12 DA二．填空题（每题5分，共计20分）16. 14. 16; 15.; 13.丁酉年分）三．（共计70解析：17.）由题意知（1，……………………………………………….3分可得由的单调递增区间是…………………5所以函数分为锐角，所以……………得6，又分（2）由分.8.…………………，，即由余弦定理得：，所以…………………，而.10 分即18. 解析：（1）∵a是2与S的等差中项，nn∴2a＝2＋S，①nn∴2a＝2＋S，(n≥2)②.………………….2分11nn－－－－S＝a＝S，①－②得，2a 2a n1nnnn1－－即＝2(n≥2)．.………………….4分在①式中，令n＝1得，a＝2．1∴数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分n∴a＝nn. . ………………………………………………………………………………………………….26分b．＝（2）＝n…T ＋＋①＋＋，所以＋＝n…T.………………….7＋，＋则②＋＋＝分＋n①－②得，T …………………8…分＋＝＋＋－＋＋n…)2(－＋＝＋＋＋＋2×－＋＝.………………….10 分－＝．3T.………………….12－．＝所以分n）证明：设的中点为，连结，1解析：（19.为等腰直角三角形，因为，，所以，又分.2.…………………平面所以．平面，因为平面⊥平面，平面，平面⊥平面所以. ，所以平面又. .………………….4分所以可确定唯一确定的平面. .…………………平面又5分 ,为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，）以2（，，则，，，. .………………….6分，，的法向量设平面，得，.…………………8分则，即，令的法向量，设平面，得，.…………………则，即10，令分则，，.………………11平面角为设二面角分的余弦值为．.…………………所以二面角.12分，的定义域为）由题意，得1（20.. ….………………….2分随的变化情况如下表：、，∴单调递减极小值单调递增所以. ….…………………4分在上恒成立，∴.….………………….5分上有两个零点，等价于方程在在）函数（2上有两个解.化简，得. ….………………….6分设. 则，:、，随的变化情况如下表31单调递增单调递增单调递减….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分，，，且．. ….………………….10分在上有两个解所以，当时，.的取值范围是.….………………….12分故实数21`.，，由题意可得：，答案：解析（1解得）设椭圆的焦距为，…………….4 分故椭圆方程为：.…………….6分2 ）由椭圆的对称性，此定点必在轴上，（，设定点的方程：，直线，可得由……………8与椭圆有且只有一个公共点，故又分，即.直线…………….9，同理得得.分由则，12 …….分为直径的圆恒过定点，则以线段，即是椭圆的两个焦点或.，定义域为，）22.解析：（1．………………………………………………2分在上单调递减；，故函数①当时，，得②当时，令x↘极小值↗综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．…………………………5分（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，显然，，故，上单调递减，………………7所以函数分在因为对任意，都有，所以．所以，即，……………9分所以，即，所以，即，所以分12．…………………………………………。

2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。

河北省邢台市第二中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题一、单选题1．命题“Z x ∃∈，277x x -<”的否定为（ ） A ．Z x ∃∈，277x x -≥ B ．Z x ∀∈，277x x -≥ C ．Z x ∃∈，277x x ->D ．Z x ∀∈，277x x ->2．若集合{}4,2M a =，{}2,4N a =，且M N =，则a =（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．2-3．三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”3个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ）A ．7B ．C ．D ．5．已知集合{}29A x x =<，{}06B x x =<<，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{|0x x ≤或}3x ≥B ．{|3x x ≤-或}3x ≥C ．{|3x x ≤-或}6x >D ．{|3x x ≤-或}6x ≥6．若22a x y =+，45b y =-，222.13 3.13c =-，则（ ） A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．a b c >>7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()2,0A -，()2,1B ，P ，Q 均是平面内的动点，集合{}M P PA PB ==，{}2N Q QO ==，则M N ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．88．对任意的114x ≤≤，关于x 的不等式()22410a x x +-+≥恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≥- B ．32a ≥C ．2a ≥D ．1a ≥二、多选题9．若AD 为ABC V 的一条中线，则“ABC V 是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．AB AC = B ．AD BC = C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD BC ⊥10．已知关于x 的不等式20ax bx c -+<的解集为{}1x x a -<<，则（ ）A ．0a <B ．0a b c ++=C ．0c <D ．0b >11．我们将数集S 的任意一个非空子集中的各元素之和称为S 的一个子集和（若S 的子集只有一个元素，则该元素为S 的一个子集和）.若有限数集S 中的元素均为正整数，且S 的任何两个子集和均不相等，则称S 为异和型集，下列结论正确的是（ ）A ．集合{}1,2,3M =的一个子集和可能为5B ．存在含有4个元素的异和型集N ，其元素均小于9C ．集合{}1,2,3M =为异和型集D ．任意一个含有n 个元素的异和型集S ，其元素之和不小于21n -三、填空题12．不等式2330x --<的解集为．13．9月10日，在第10届女子世界消防救援锦标赛女子手拾机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军.深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手拾机动泵出水打靶训练.该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击3项.已知参与水带连接的有14人，参与水枪射击的有7人，同时参与水带连接和水枪射击的有4人，参与水泵启动的有3人，且这3人不参与其他2项训练，则该消防队共有人.14．已知关于x 的不等式()()10x a x b -+-≥对R x ∈恒成立，且0ab >，则a b +=，213b ab +的最小值是.四、解答题15．已知全集{}2N 10U x x =∈<，集合{}A x U x =∈是奇数，{}2,3B =．(1)求A B U ；(2)若集合A B C U =U U ，(){}1A B C =U I ，求C ． 16．已知02x <<，03y <<. (1)求2x y -的取值范围； (2)若32x y +=，求134x y+的最小值. 17．已知集合{}2532A x m x m =-≤≤-，{}2430B x x x =-+≤(1)若12m =，求()A B ⋂R ð； (2)判断命题“1m ∀≤-，B A ⊆”的真假，并说明理由； (3)若A B B =U ，求m 的取值范围.18．如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕ABCD ，点E 、F 、M 、N 分别在线段AB 、AD 、BC 、CD 上（不包含端点），点G 、Q 、H 、P 均在线段BD 上，要在矩形EFHG 与矩形MNPQ 两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设cm BG DP x ==，铺满水果的区域面积为2cm S .(1)已知2S ax bx =+，求常数a 、b 的值；(2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满230cm ，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于235cm ，求EF 的取值范围.19．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：,R a b ∀∈，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.我们从不等式222a b ab +≥出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：1212,,,,,,,R n n a a a b b b ∀∈L L ，且120n b b b ≠L ，22212()n a a a +++L 22212()n b b b +++L 21122()n n a b a b a b ≥+++L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时，等号成立.(1)若22x y z ++=222x y z ++的最小值； (2)(3)若3a >，3b >，不等式332233(3)(3)a b a b m a b +--≥--恒成立，求m 的取值范围.。

金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________. 4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________． 5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+，则OB OC +=__________． 11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =满足1a =，2b =，,a b 的夹角为120°，则2a b -等于 （ ） （A ）3 （B ）15 （C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为1三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin RB A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c -=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）该试题已被管理员删除9．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．10．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE11．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=512．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．14．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．15．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．21．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．22．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．2．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．【分析】根据∥，得=λ，利用坐标表示列出方程组，求出x、y的值．【解答】解：∵，且∥，可设=λ，则（1，﹣2y，9）=λ（2x，1，3），即，解得λ=3，x=，y=﹣．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算问题，是基础题目．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x ﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．【点评】本题主要考查直线，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．6．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】由AB⊥BC，A1B⊥BC，得∠A1BA是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣BC﹣D的大小．【解答】解：由AB⊥BC，A1B⊥BC，得∠A1BA是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，在△ABA1中，∠ABA1=二面角D1﹣BC﹣D的大小为．故选B．【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【分析】用向量减法坐标法则求的坐标，再用向量模的坐标公式求模的最小值．【解答】解：=（1﹣t﹣2，1﹣t﹣t，t﹣t）=（﹣t﹣1，1﹣2t，0）==（﹣t﹣1）2+（1﹣2t）2=5t2﹣2t+2∴当t=时，有最小值∴的最小值是故选项为C【点评】考查向量的坐标运算法则及向量坐标形式的求模公式．8．（5分）该试题已被管理员删除9．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．10．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【分析】AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，然后推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE．【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．故选C．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，是基础题．11．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=5【分析】根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．12．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．【分析】作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，求出直径即可．【解答】解：作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，如图所示；∵AB=BC=CA=2，∴CM==；又PC⊥平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM2=PC2+CM2=22+=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球面积为S外接球=4πR2=π•=．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法问题，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．14．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．【分析】α与l所成角θ的正弦值为sinθ=|cos＜＞|，由此能出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），∴α与l所成角θ的正弦值为：sinθ=|cos＜＞|===．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查直线与平面所成角、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【分析】曲线即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1﹣．结合图象可得b的范围．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．【分析】（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，由此能求出该几何体的体积．（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，由此能求出该几何体的面积．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，∴该几何体的体积V==64．（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1==4，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为==5，∴该几何体的面积S=2（）+8×6=88+24．【点评】本题考查几何体的体积和面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．【分析】（I）求出AB的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，计算圆的半径，从而得出圆的方程；（II）利用待定系数法求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，∴线段AB的中垂线方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．联立方程组，解得x=﹣1，y=﹣2，即所求圆的圆心M（﹣1，﹣2），∴圆的半径，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．（Ⅱ）设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆N过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1），∴列方程组得解得D=﹣2，E=2，F=﹣3，∴圆N的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0．【点评】本题考查了圆的方程求解，属于中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【分析】（Ⅰ）连接A1C交AC1于点O，连接OD．证明OD∥A1B．然后证明A1B ∥平面ADC1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知O是A1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．通过三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，得到，求解即可．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD．∵矩形ACC1A1中，O是A1C的中点，又点D是BC的中点，∴△A1BC中，OD∥A1B．∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知O是A1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，BC⊥CC1，∴AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1．在Rt△C 1CD中，，则，；在Rt△ACD中，；…（8分）∵三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，即，∴，解得．即点A1到平面ADC1的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D1F⊥平面ADE．（Ⅱ）求出=（﹣2，﹣1，﹣1），=（﹣2，﹣2，2），利用向量法能求出异面直线EF与BD1所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D1（0，0，2），F（0，1，0），A（2，0，0），D（0，0，0），E（2，2，1），=（0，1，﹣2），=（2，0，0），=（2，2，1），•=0，=0+2﹣2=0，∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，∵DA∩DE=D，∴D1F⊥平面ADE．（Ⅱ）B（2，2，0），=（﹣2，﹣1，﹣1），=（﹣2，﹣2，2），设异面直线EF与BD1所成角为θ，则co sθ===．∴异面直线EF与BD1所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【分析】（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，证明直线l恒过定点P（3，1）．（Ⅱ）P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，由，能证明直线l与圆C相交．（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，由此能出m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）【点评】本题考查直线直线过定点的证明，考查直线与圆相交的证明，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．【分析】以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．（Ⅰ）证明DC⊥面PAD即可得面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）由∴，得cos＜＞=（Ⅲ）求出平面AMC、平面BMC的法向量分别为，求出cos＜＞即可得平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值【解答】因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．（Ⅰ）证明：因，，故，∴AP⊥DC由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因∴，∴cos＜＞=（Ⅲ）设平面AMC、平面BMC的法向量分别为，由，取；，由，取cos＜＞=．平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系，及利用空间向量求空间角的基本方法，属于中档题．。

河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．若集合{}{}N 10,42,N A x x B x x n n =∈≤==-∈，则A B = （）A ．∅B ．{}2,6,10C ．{}2,2,6,10-D ．{}0,2,4,6,8,102．已知向量()()0,1,2,1a b =-=，若()a b a λ-⊥ ，则实数λ的值为（）A ．-1B ．1C ．13D ．13-3．在数列{}n a 中，若1143,2n na a a +==-，则下列数是{}n a 中的项的是（）A ．4B ．-4C ．32D ．-34．已知α是第四象限的角，)P m为其终边上的一点，且cos 4α=，则m =（）A ．-4B ．±4C．D．±5．已知cos()2sin(),tan tan m αβαβαβ+=-=，则tan tan αβ-=（）A ．12m -B ．13m -C ．12m-D ．13m -6．已知正项等比数列{}n a 的前3项和为21，且123111712a a a ++=，则2a =（）A ．32B ．2C ．6D ．47．函数π3πsin 3cos 4,[,]22y x x x =-∈-的所有零点的和为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π8．已知12,,,log m nn m n a n b m c m <<<===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题9．若复数1z ，2z 是方程28170x x -+=的两个根，则（）A ．12z z -为纯虚数B ．1217z z =C．1z =D ．12z z =10．已知[]x 表示不超过x 的最大整数．设函数()e 6x f x x =--的两个零点为1212,()x x x x <，则（）A ．[]16x =-B ．[]15x =-C ．[]22x =D ．[]23x =11．已知数列{}n a 的前n 项和为113,,1,,n n n na n S a a a n +⎧==⎨⎩为奇数，为偶数，则下列说法正确的是（）A ．{}21n a -是等比数列B ．50100232S =⨯-C ．{}n a 中存在不相等的三项构成等差数列D ．若211121N ,2n n n n a a n a a λ*+++++∀∈<<，则λ的取值范围为2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦三、填空题12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9852a a =，则1715SS =．13．将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30︒角的三角板()ABC 的长直角边与含45︒角的三角板()ACD 的斜边恰好重合.AC 与BD 相交于点O .若AC =则AO =.14．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 满足1344AE AB AC =+，P 为平面ABCD内一点，则()PA PD PE +⋅的最小值为．四、解答题15．某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.(1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4:4:2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；(2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos 2b A ab B AB AC +=-⋅．(1)求A ；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4(21)1n n S n a =++．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若13nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．已知函数()2e 122x x xf x a x =---．(1)当712a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若曲线()y f x =与23x y =-在()0,∞+上至少有一个交点，求a 的取值范围；(3)若a ∈Z ，1x ∀、()2,0x ∈-∞，且12x x >，()()1221f x f x x x <，求a 的最小值．19．已知N ,5m m *∈≥，定义：数列{}n a 共有m 项，对任意,(,N ,)i j i j i j m *∈≤≤，存在111(N ,)k k k m *∈≤，使得1i k j a a a =，或存在222(N ,)k k k m *∈≤，使得2j k ia a a =，则称数列{}n a 为“封闭数列”．(1)若(110,N )n a n n n *=≤≤∈，判断数列{}n a 是否为“封闭数列”；(2)已知递增数列135,2,,8,a a a 为“封闭数列”，求135,,a a a ；(3)已知数列{}n a 单调递增，且为“封闭数列”，若11a ≥，证明：{}n a 是等比数列．。

2019年吐鲁番市胜金中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源：江西省南昌市第二中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于（）A． B．1 C． D．2 【答案】B第 2 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题理试卷及答案平面上满足约束条件的点形成的区域为，设区域关于直线对称的区域为，则区域和区域中距离最近的两点的距离( )【答案】B第 3 题：来源： 2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第9讲函数与方程分层演练文已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.第 4 题：来源：江西省南康中学2018_2019学年高二数学二下学期期中（第二次大考）试题理已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B解析设函数上任意一点，在点处的切线方程为,即.若过点，则依题意，方程有三个不等实根. 令，，得，.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.因此的极小值为,极大值为.若有三个不等实根，故.第 5 题：来源： 2017_2018学年高中数学第一章统计章末综合测评试卷及答案北师大版必修3为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )A．40 B．30C．20 D．12【答案】 B第 6 题：来源：湖北省武汉外国语学校2018_2019学年高二数学10月月考试题（含解析）若，则等于（）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．第 7 题：来源：江西省九江市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题理当时，函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C第 8 题：来源：河南省兰考县2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题试卷及答案理下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】 C第 9 题：来源：天津市2018届高三数学上学期第一次月考试题理试卷及答案.已知是虚数单位，则复数【答案】.A；第 10 题：来源： 2017_2018学年高中数学第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学业分层测评试卷及答案新人教A版必修已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )A．2 B.C. D．2【答案】 B第 11 题：来源： 2016_2017学年河南省新野县高二数学下学期第四次周考试题试卷及答案理把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（） A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交D．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直【答案】D第 12 题：来源： 2017届四川省成都市双流区高三数学下学期4月月考试题试卷及答案理某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．B．C． D．【答案】A第 13 题：来源：河北省武邑中学2018_2019学年高二数学下学期开学考试试题理若实数x，y满足，则的最小值为（）A.4B.1C．－1 D．－4【答案】C第 14 题：来源：云南省曲靖会泽县第一中学校2018_2019学年高二数学第一次半月考试试题理在中，，，，则（）A． B． C. D．【答案】B第 15 题：来源：内蒙古包头市第四中学2019届高三数学上学期期中模拟测试试题（一）文，则（）A. B. C. D.【答案】.C第 16 题：来源：河北省邢台市2017_2018学年高二数学下学期第三次月考试题理（含解析）某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.第 17 题：来源：港澳台侨2017届高三数学11月月考试题B卷及答案计算sin5°cos55°﹣cos175°sin55°的结果是（）A． B． C．D．【答案】D第 18 题：来源：山西省范亭中学2018_2019学年高三数学上学期第二次月考试题理下列函数是以为周期的是( )A. B. C. D.【答案】C解析：对于A,B,函数的周期为,对于C,函数的周期是,对于D,函数的周期是,故选C.第 19 题：来源：西藏日喀则市南木林高级中学2019届高三数学上学期期中试题已知平面向量ａ＝（１，１），ｂ＝（１，－１），则向量ａ－ｂ＝（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】D第 20 题：来源：西藏林芝市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A第 21 题：来源：山东省济南市历城区2017_2018学年高一数学上学期第一次调研考试试题试卷及答案设集合，。

一、选择题1．【河北省邢台市届高三上学期第二次月考】已知()2xf x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥， ()y f x =有三个零点，命题:q a R ∃∈，使得()0f x ≤恒成立. 则下列命题为真命题的是（ ）A . p q ∧B . ()()p q ⌝∧⌝C . ()p q ⌝∧D . ()p q ∧⌝【答案】B2．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假，且“”为假，则（ ）．A . 或为假B . 为假C . 为真D . 为假【答案】D【解析】“”为假，则为真， 又“且”为假，为真， 故为假， 故选．3．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过，命题是无理数，则（ ）．A . 命题“”是假命题B . 命题“”是假命题C . 命题“”是假命题D . 命题“”是真命题【答案】B【解析】命题为假，，命题为真，是无理数，“”为真命题，“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题．故选．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.4．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面α，β，γ，命题p:若αβ⊥，γβ⊥，则αγ；命题q:若α上不共线的三点到β的距离相等，则αβ，下列结论中正确的是（）．⌝”为假A. 命题“p且q”为真B. 命题“p或q⌝”为假C. 命题“p或q”为假D. 命题“p且q【答案】C5．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命题，只需;命题，有，解得或.若命题“”是真命题，则命题和命题均为真命题， 有或.故选A .点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.函数的恒成立问题通常是转为找函数的最值来处理，二次方程的根的问题通常是转化为研究判别式和0的关系.6．【广东省东莞外国语学校2018届高三第一次月考】已知命题p ： x R ∃∈， 5cos 4x =；命题q ： 2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是（ ）A . 命题p q ∧是真命题B . 命题p q ∧⌝是真命题C . 命题p q ⌝∧是真命题D . 命题p q ⌝∨⌝是假命题【答案】C7．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】已知命题000:,0,x p x R e mx ∃∈-= 2:,10,q x R mx mx ∀∈++>若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是A . ()(),04,-∞⋃+∞B . []0,4C . [)0,eD . ()0,e【答案】C【解析】由()p q ∨⌝为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则xe mx =无解，可得0m e ≤<；若q 为真则04m ≤<，所以答案为C8．【吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：存在实数m 使10m +≤；命题q ：对任意x R ∈都有210x mx ++>，若“”为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）．A . (],2-∞-B . [)2,+∞C . (](),21,-∞-⋃-+∞D . []2,2-【答案】B【解析】化简条件p ： 1m ≤-，q ： 24022m m ∆=-<⇒-<<，∵ p q ∨为假命题， ∴ p ,q 都是假命题，所以1{ 22m m m >-≤-≥或，解得2m ≥，故选B .二、填空题9．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】若命题:2p x =且3y =，则p ⌝为__________． 【答案】2x ≠或3y ≠【解析】p 且q 的否定为p ⌝或q ⌝，所以“2x =且3y =”的否定为“2x ≠或3y ≠”，故答案为2x ≠或 3.y ≠10．【2016-2017盐城市第一中学高二上期末】命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 【答案】01a <<【解析】因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题 所以0∆<，即()224a 0a -<，解得： 01a << 故答案为： 01a <<11．已知命题p ：关于x 的不等式1(0,1)xa a a >>≠ 的解集是{}0x x ，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+ 的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(1,12)12．【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二9月月考】已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题13．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三第三次大考】已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或.【解析】试题分析：遇到若或为真，且为假的条件时，先求出两个命题是真命题时的参量范围，然后分类讨论求出结果。

2023-2024学年河北省邢台市五校质检联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为（ ）A ．y =±53x B ．y =±35xC ．y =±34xD ．y =±43x2．方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为（ ） A ．椭圆和双曲线的离心率 B ．椭圆和抛物线的离心率C ．双曲线和抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率3．已知空间向量a →=(2，1，1)，|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=√34，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．23b →B ．√34b →C ．43b →D ．34b →4．已知椭圆M ：x 25+y 2m=1和双曲线C ：x 25+y 2m−6=1，则m 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，6）C ．（0，5）∪（5，6）D ．（6，+∞）5．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0），则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣6＝0B ．3x +4y +3＝0C ．4x +3y ﹣6＝0D ．3x +4y ﹣3＝06．已知圆C 与y 轴相切于点A （0，2），且与直线4x ﹣3y +9＝0相切，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9 B ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9C ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9或(x +13)2+(y −2)2=19D ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9或(x −13)2+(y −2)2=197．已知F 是抛物线C ：x 2＝﹣4y 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，|AF |+|BF |＝10，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上异于A ，B 的一点，直线P A ，PB 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，则|MN |的最小值为（ ）A ．152B ．7C ．132D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ，则圆O 与圆M 的位置关系可能是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离10．已知椭圆M ：x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1斜率不为0的直线l 交该椭圆于A ，B两点，则（ ） A ．M 的长轴长为6B ．△AF 1F 2的周长为8C ．△ABF 2的周长为12D ．△AF 1F 2面积的最大值为2√511．若双曲线C 1：y 2−x 23=1与双曲线C 2关于直线y ＝x ﹣1对称，则双曲线C 2的焦点坐标可能为（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，1）12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB ＝2，则给出的说法中正确的是（ ）A ．该几何体的表面积为18√3B ．该几何体的体积为4C ．二面角B ﹣EF ﹣H 的余弦值为−13D ．若点P ，Q 在线段BM ，CH 上移动，则PQ 的最小值为2√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切，请写出C 的一个标准方程 ．14．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m +1＝0被圆C ：（x +2）2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝ ． 15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝AP ＝3，EC →=2PE →，则AE →⋅DE →= ．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，若2|AB |＝2|AF 2|＝3|BF 1|，则C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知A 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一个动点，F 为C 的焦点． （1）当|AF |＝2时，求A 的坐标；（2）若点B 的坐标为（4，0），求|AB |的最小值．18．（12分）（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的一般式方程； （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线，求切线方程． 19．（12分）已知椭圆M ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，且短轴长为2√2． （1）求M 的方程；（2）若直线l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为P(−12，−2)，求l 的一般式方程． 20．（12分）已知F 是双曲线C ：y 23−x 2=1的上焦点，经过F ，且倾斜角为π4的直线l 交C 于A ，B 两点．（1）求l 的斜截式方程；（2）若点P （m ，3）在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，侧面P AD 是正三角形，AB ＝2，PB ＝3，∠BAD =π3．（1）求点A 到平面PBD 的距离； （2）求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．22．（12分）动点P 到定点F(√3，0)的距离和它到直线l ：x =4√33的距离的比是常数√32，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）已知M （0，1），过点N （﹣2，1）的直线与E 交于不同的两点A ，B ，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线MA ，MB 分别与x 轴交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．2023-2024学年河北省邢台市五校质检联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为（ ）A ．y =±53x B ．y =±35xC ．y =±34xD ．y =±43x解：由双曲线的方程x 29−y 216=1，可得其渐近线方程为y =±43x ．故选：D ．2．方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为（ ） A ．椭圆和双曲线的离心率 B ．椭圆和抛物线的离心率C ．双曲线和抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率解：由2x 2﹣3x +1＝0，得x =12或1，由椭圆的离心率的范围以及抛物线的离心率， 可知方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为椭圆和抛物线的离心率． 故选：B ．3．已知空间向量a →=(2，1，1)，|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=√34，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．23b →B ．√34b →C ．43b →D ．34b →解：因为向量a →=（2，1，1），则|a →|=√6，|b →|=√2，所以a →在b →上的投影向量为|a →|cos〈a →，b →〉⋅b →|b →|=√6×√34×b →2=34b →．故选：D ． 4．已知椭圆M ：x 25+y 2m=1和双曲线C ：x 25+y 2m−6=1，则m 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，6）C ．（0，5）∪（5，6）D ．（6，+∞）解：由题意得{m ＞0m ≠5m −6＜0，解得0＜m ＜6，且m ≠5，所以m 的取值范围为（0，5）∪（5，6）．故选：C ．5．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0），则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣6＝0B ．3x +4y +3＝0C ．4x +3y ﹣6＝0D ．3x +4y ﹣3＝0解：∵△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0）， ∴△ABC 的重心为G(1，23)．∵k AB ＝2，k AC =−12，∴k AB •k AC ＝﹣1，∴AB ⊥AC ， ∴△ABC 的外心为BC 的中点D(32，0)，三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，这条直线被后人称为三角形的欧拉线， ∴△ABC 的欧拉线方程为y−023−0=x−321−32，即4x +3y ﹣6＝0．故选：C ．6．已知圆C 与y 轴相切于点A （0，2），且与直线4x ﹣3y +9＝0相切，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9 B ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9C ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9或(x +13)2+(y −2)2=19D ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9或(x −13)2+(y −2)2=19解：因为圆C 与y 轴相切于点A （0，2），所以可设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝a 2． 因为圆C 与直线4x ﹣3y +9＝0相切， 所以d =|4a+3|5=|a|， 所以a =−13或a ＝3，所以圆C 的标准方程为(x +13)2+(y −2)2=19或（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9． 故选：C ．7．已知F 是抛物线C ：x 2＝﹣4y 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，|AF |+|BF |＝10，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意得C 的准线为y ＝1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 因为|AF |+|BF |＝10，所以A ，B 到准线y ＝1的距离之和为10， 可得y 1+1+y 2+1＝10， 可得y 1+y 2＝8，故线段AB 的中点到x 轴的距离为y 1+y 22−1＝4．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上异于A ，B 的一点，直线P A ，PB 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，则|MN |的最小值为（ ） A ．152B ．7C ．132D ．6解：设P （x 0，y 0），则x 024+y 023=1，易知A （﹣2，0），B （2，0），直线P A 和直线PB 的斜率之积k PA ⋅k PB =y 0x 0+2⋅yx 0−2=y 02x 02−4=−34，设直线P A 的方程为y ＝k （x +2），则M （4，6k ）， 直线PB 的方程为y =−34k (x −2)，则N(4，−32k)， 所以|MN|=|6k +32k |≥2√6k ⋅32k =6，（当且仅当k ＝±12时，等号成立）． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ，则圆O 与圆M 的位置关系可能是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离解：由a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ， 可得|OM|=√a 2+4，圆O 与圆M 的半径之和为√a +√a =2√a ， 因为（a ﹣2）2＝a 2﹣4a +4≥0，所以a 2+4≥4a ，即|OM|=√a 2+4≥2√a ， 所以圆O 与圆M 的位置关系是外切或外离． 故选：CD ． 10．已知椭圆M ：x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1斜率不为0的直线l 交该椭圆于A ，B两点，则（ ）A ．M 的长轴长为6B ．△AF 1F 2的周长为8C ．△ABF 2的周长为12D ．△AF 1F 2面积的最大值为2√5解：由椭圆M ：x 29+y 25=1得a ＝3，b =√5，c ＝2，则M 的长轴长为6，△AF 1F 2的周长为2a +2c ＝10，△ABF 2的周长为4a ＝12． 当A 为M 的短轴端点时，△AF 1F 2的面积最大，且最大值为12×2c ×b =2√5．故选：ACD ． 11．若双曲线C 1：y 2−x 23=1与双曲线C 2关于直线y ＝x ﹣1对称，则双曲线C 2的焦点坐标可能为（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，1）解：由题意得双曲线C 1：y 2−x 23=1的焦点分别为（0，2），（0，﹣2）．设（0，2）关于直线y ＝x ﹣1对称的点为（a ，b ），则{b+22=a2−1，b−2a=−1，得{a =3，b =−1． 设（0，﹣2）关于直线y ＝x ﹣1对称的点为（m ，n ），则{n−22=m2−1，n+2m=−1，得{m =−1，n =−1． 故C 2的焦点坐标分别为（3，﹣1），（﹣1，﹣1）． 故选：AC ．12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB ＝2，则给出的说法中正确的是（ ）A ．该几何体的表面积为18√3B ．该几何体的体积为4C ．二面角B ﹣EF ﹣H 的余弦值为−13D ．若点P ，Q 在线段BM ，CH 上移动，则PQ 的最小值为2√33解：“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中， 因为AB ＝2，所以BE =√2．该几何体的表面积为24×√34×(√2)2=12√3，故A 错误；该几何体的体积为23−12×13×12×√2×√2×1=4，故B 正确； 设EF 的中点为O ，连接OB ，OH ，如图，则∠BOH 即二面角B ﹣EF ﹣H 的平面角，OB =OH =√62，cos ∠BOH =OB 2+OH 2−BH 22OB⋅OH =−13，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，设P （2，m ，m ）（0≤m ≤2），Q （2﹣n ，2，n ）（0≤n ≤2），PQ 2=n 2+(2−m)2+(n −m)2=2n 2+2m 2−4m −2mn +4=2(n −m 2)2+32(m −43)2+43≥43， 当且仅当m =43，n =23时，等号成立． 故PQ 的最小值为2√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切，请写出C 的一个标准方程： y 2=4√6x （答案不唯一） ．解：∵抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切， 当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x =−√6，可得抛物线方程为：y 2=4√6x （本题答案不唯一）．（y 2=4√6x ，y 2=−4√6x ，x 2=4√6y ，x 2=−4√6y中任意一个即可）．故答案为：y 2=4√6x （答案不唯一）．14．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m +1＝0被圆C ：（x +2）2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝ 0或34 ．解：因为直线l 被圆C 截得的弦长为2√3，且圆的半径为2， 所以圆心C （﹣2，0）到直线l 的距离d =|−3m+1|√m 2+1=√22−(√3)2，解得m ＝0或34．故答案为：0或34．15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝AP ＝3，EC →=2PE →，则AE →⋅DE →= 3 ．解：因为P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形， 所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D （0，3，0），P （0，0，3），C （3，3，0），因为PE →=13PC →=13(3，3，−3)=(1，1，−1)，所以E （1，1，2）， 因为AE →=(1，1，2)，DE →=(1，−2，2)， 所以AE →⋅DE →=1×1+1×(−2)+2×2=3． 故答案为：3．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，若2|AB |＝2|AF 2|＝3|BF 1|，则C 的离心率为√693．解：如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，连接BF 2，由双曲线的定义，可得|AF 1|﹣|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，得|AB |＝|AF 2|＝3a ，|BF 2|＝|BF 1|+2a ＝4a ．在△ABF 2中，cos ∠F 1AF 2=|AB|2+|AF 2|2−|BF 2|22|AB||AF 2|=19，在△AF 1F 2中，由|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1||AF 2|cos∠F 1AF 2， 得4c 2=25a 2+9a 2−2×5a ×3a ×19，得e =c a =√693． 故答案为：√693．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知A 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一个动点，F 为C 的焦点． （1）当|AF |＝2时，求A 的坐标；（2）若点B 的坐标为（4，0），求|AB |的最小值． 解：（1）由题意得焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1， 设A （x ，y ），当|AF |＝2时，由抛物线定义可知， A 到x ＝﹣1的距离为2，即x +1＝2，故x ＝1， 由y 2＝4，得y ＝±2，所以A 的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；（2）设A （x 1，y 1），则x 1≥0，y 12=4x 1，则|AB|=√(x 1−4)2+y 12=√(x 1−4)2+4x 1=√x 12−4x 1+16=√(x 1−2)2+12，故当x 1＝2时，|AB |取得最小值，且最小值为2√3．18．（12分）（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的一般式方程； （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线，求切线方程．解：（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 当直线l 的截距为0时，直线l 的方程为y ＝﹣3x ，即3x +y ＝0． 当直线l 的截距不为0时，设直线l 的方程为xa+y b=1，则{1a +−3b =1|a|=|b|，解得{a =−2b =−2或{a =4b =−4，若{a =−2b =−2，则直线l 的方程为x +y ＝﹣2，即x +y +2＝0； 若{a =4b =−4，则直线l 的方程为x 4+y −4=1，即x ﹣y ﹣4＝0． 综上，直线l 的一般式方程是3x +y ＝0或x +y +2＝0或x ﹣y ﹣4＝0． （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线， 当切线斜率不存在时，符合题意，此时切线方程为x ＝1；当切线斜率存在时，设切线方程为y ﹣3＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +3＝0， 则√k 2+1=2，解得k =512，所以切线方程为5x ﹣12y +31＝0．故所求切线方程为x ＝1或5x ﹣12y +31＝0． 19．（12分）已知椭圆M ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，且短轴长为2√2． （1）求M 的方程；（2）若直线l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为P(−12，−2)，求l 的一般式方程．解：（1）由题意知，{√1−(b a )2=√632b =2√2，解得b =√2，a =√6，故M 的方程为y 26+x 22=1． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 122+y 126=1x 222+y 226=1， 两式相减，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)6=0，因为弦AB 的中点为P(−12，−2)， 所以x 1+x 2＝﹣1，y 1+y 2＝﹣4， 所以l 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−34，故l 的方程为y +2=−34(x +12)，即6x +8y +19＝0．20．（12分）已知F 是双曲线C ：y 23−x 2=1的上焦点，经过F ，且倾斜角为π4的直线l 交C 于A ，B 两点．（1）求l 的斜截式方程；（2）若点P （m ，3）在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围． 解：（1）由题意得F （0，2），l 的斜率为tan π4=1，所以l 的斜截式方程为y ＝x +2； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y 23−x 2=1y =x +2，得2x 2﹣4x ﹣1＝0，则{x 1+x 2=2x 1x 2=−12，则|AB|=√1+12×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3， 设AB 的中点为N （x 0，y 0），则x 0=x 1+x 22=1，y 0＝1+2＝3， 故以AB 为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝3， 依题意得（m ﹣1）2+（3﹣3）2＜3，解得1−√3＜m ＜1+√3， 故m 的取值范围是（1−√3，1+√3）．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，侧面P AD 是正三角形，AB ＝2，PB ＝3，∠BAD =π3．（1）求点A 到平面PBD 的距离； （2）求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接PO ，OB ． ∵△P AD 和△ABD 为正三角形， ∴PO ⊥AD ，OB ⊥AD ，又PO ∩OB ＝O ， ∴AD ⊥平面POB ，又在△POB 中，PO =OB =√3，PB ＝3，∴∠POB =2π3，故以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴，建系如图，则根据题意可知：A （1，0，0），B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，D （﹣1，0，0），P(0，−√32，32)． 设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，∵PD →=(−1，√32，−32)，BD →=(−1，−√3，0)，∴{n →⋅PD →=−x +√32y −32z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0，取n →=(−√3，1，√3)， 又AB →=(−1，√3，0)，∴点A 到平面PBD 的距离d =|n →⋅AB →||n →|=2√37=2√217；（2）设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)， ∵PD →=(−1，√32，−32)，CD →=(1，−√3，0)，∴{m →⋅PD →=−x +√32y −32z =0m →⋅CD →=x −√3y =0，取m →=(3，√3，−1)． 又由图可知二面角B ﹣PD ﹣C 为锐角， ∴二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=3313×√7=3√27391．22．（12分）动点P 到定点F(√3，0)的距离和它到直线l ：x =4√33的距离的比是常数√32，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）已知M （0，1），过点N （﹣2，1）的直线与E 交于不同的两点A ，B ，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线MA ，MB 分别与x 轴交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设点P （x ，y ），依题意可得√(x−√3)2+y 2|4√33−x|=√32， 化简得x 2+4y 2＝4，即E 的方程为x 24+y 2=1；（2）设直线AB 的方程为y ﹣1＝k （x +2），k ＜0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +2k +1x 24+y 2=1，可得（1+4k 2）x 2+8k （2k +1）x +16k 2+16k ＝0，则Δ＞0，x1+x2=−8k(2k+1)1+4k2，x1⋅x2=16k(k+1)1+4k2，直线MA的方程为y=y1−1x1x+1，∴x C=x11−y1，同理x D=x21−y2，∵y1＝kx1+2k+1，y2＝kx2+2k+1，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），x D−x C=x2−k(x2+2)−x1−k(x1+2)=2(x1−x2)k(x1+2)(x2+2)，∴S ACBD=12|x D−x C||y1−y2|=|(x1−x2)2(x1+2)(x2+2)|=|(x1+x2)2−4x1x2x1x2+2(x1+x2)+4|=|64k2(2k+1)2(1+4k2)2−4⋅16k(k+1)1+4k216k(k+1)1+4k2−16k(2k+1)1+4k2+4|=−16k4k2+1=16(−4k)+(−1k)≤164=4，当且仅当k=−12时，四边形ACBD的面积最大，最大值为4．。