离散型随机变量的方差与标准差

2.3.2离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点).2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点).3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(重点).知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p nn 则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1 (x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差.【预习评价】(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(2)离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.知识点2离散型随机变量方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).2.D(c)＝0(其中c为常数).【预习评价】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A.2B.3C.4D.5知识点3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差1.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率).2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ). 【预习评价】同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.158B.154C.52D.5题型一 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数X 的均值和方差.规律方法 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下： a.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). b.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.题型二两点分布与二项分布的方差【例2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差D（ξ）为6 2.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.规律方法方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(2)若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p).(3)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).【训练2】已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E(ξ)，D(ξ)，D（ξ）；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).题型三均值与方差的综合应用【例3】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.【训练3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值.课堂达标1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.322.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为( ) A.2912B.31144C.179144D.17123.已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X ，则D (X )＝________.4.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.5.某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.课堂小结1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).基础过关1.已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.82.若离散型随机变量X的分布列如下，则X的均值E(X)等于()X 0 1A.2B.2或12C.12D.13.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( ) A.6B.9C.3D.44.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.5.已知某随机变量X 的分布列如下，其中x >0，y >0，随机变量X 的方差D (X )＝12，则x ＋y ＝________.6.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，求随机变量ξ的标准差.7.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，求D (ξ)的值.能力提升8.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( ) A.5B.8C.10D.169.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.x ，s 2＋1002 B.x ＋100，s 2＋1002 C.x ，s 2D.x ＋100，s 210.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________.11.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________.X 123 4P n 0.20.3m12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X).13.(选做题)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：X1＝x i5%10%P(X1＝x i)0.80.2X2＝x i2%8%12%(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B 所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2).(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.。

离散型随机变量的方差1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义： 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n①方差D (X )＝∑ni ＝1__(x i －E (X ))2p i ． ②标准差为D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )．随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．(2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√已知X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为A.2912 B.121144 C.179144 D.1712 答案：C已知X 的分布列为X 0 1 2 P131313设Y ＝2X ＋3，则D (Y )＝________． 答案：83已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13探究点1 求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差. 【解】 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120， P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320， P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[变条件]在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．(4)利用公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出随机变量的期望E (X )．(5)代入公式D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2p n 求出方差D (X )．(6)代入公式σ(X )＝D （X ）求出随机变量的标准差σ.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差． 解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19； P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 P1971812E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×2＝18，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324. 探究点2 两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差．【解】 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程． (2)对于二项分布公式E (X )＝np 和D (X )＝np (1－p )要熟练掌握．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷1次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解：(1)X 服从两点分布X 0 1 P1212所以E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.(2)由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12， 所以E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝52.探究点3 方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X ，Y 的分布列如下：X 1 2 3 Pa0.10.6Y 1 2 3 P0.3b0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 【解】 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，得a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，得b ＝0.4.(2)E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E (Y )＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (Y )＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (X )＞E (Y )，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (X )＞D (Y )，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案．第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝4×2＋(－2)×2＝1.若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：η的数学期望E (η)＝2×5＋0×5＋(－1)×5＝1.若按方案三执行，收益y ＝10×3%＝0.3，因此E (ξ)＝E (η)＞y .又D (ξ)＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D (η)＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由以上可知D (ξ)＞D (η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥． 所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下表所示，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A.19B.9C.13D.23解析：选B.由题意可知：m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，所以D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29.2．已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X ，则D (X )＝( ) A.316 B.54 C.2564D.1964解析：选A.因为X 的取值为0，1，P (X ＝0)＝12×12＝14， P (X ＝1)＝12＋12×12＝34，所以E (X )＝0×14＋1×34＝34，D (X )＝916×14＋116×34＝316.故选A.3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)． 解：ξ的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上两张标有5，一张标有2，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以ξ的分布列为P715 715 115所以E (ξ)＝6×715＋9×15＋12×15＝7.8， D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.知识结构深化拓展对随机变量X 的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 展开得到).1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：选D.随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1P1－mm所以E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m 所以D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2解析：选D.E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )A．E(X)＝0，D(X)＝1B．E(X)＝12，D(X)＝12C．E(X)＝0，D(X)＝1 2D．E(X)＝12，D(X)＝1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为所以E(X)＝(－1)×12＋1×2＝0，D(X)＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4．已知X的分布列如下表所示：则下列式子：①E(X)＝－3；②D(X)＝27；③P(X＝0)＝3.其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.由分布列知P(X＝0)＝1 3，E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－12＋16＝－13，D(X)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0＋132＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故只有①③正确．5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，所以23n ＝E (ξ)＝24.所以n ＝36.所以D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于________． 解析：因为ξ～B (10，0.02)，所以D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.1967．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－3)2×3＋(3－3)2×6＝9.答案：599．已知η的分布列为(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．解：(1)E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，D （η）＝8 6.(2)因为Y ＝2η－E (η)，所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.10．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，且P (ξ＝0)＝C 02·C 35C 37＝27，P (ξ＝1)＝C 12·C 25C 37＝47，P (ξ＝2)＝C 22·C 15C 37＝17，所以ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×27＋1×47＋2×17＝67，D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－672×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－672×47＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－672×17＝140343＝2049.[B 能力提升]11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：(1)依题意0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1， 解得a ＝0.1，因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为(2)结合第一问中ξ，ηE (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又D (ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． 12．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B(n，p)．(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝3 2，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为：(2)得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132.13．(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为于是，E(Y)＝0×0.3＋2×D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P （300≤X <900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.离散型随机变量的均值与方差(强化练)1．已知随机变量X 的分布列为且已知E (X )＝2，D (X )＝0.5123解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＋p 2＋p 3＝1，①p 1＋2p 2＋3p 3＝2，②p 1（1－2）2＋p 3（3－2）2＝12，③ 由③得p 1＋p 3＝12，④上式代入①得p 2＝12，代入②得p 1＋3p 3＝1， 所以p 3＝14，p 1＝14.2．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求： (1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C 310＝120，设甲抽奖一次所得奖金为ξ，则奖金ξ的可能取值是0，30，60，240， 所以P (ξ＝240)＝1120， P (ξ＝60)＝8120＝115， P (ξ＝30)＝7×2＋6×7120＝715，P (ξ＝0)＝1－1120－115－715＝1124.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝30×15＋60×15＋240×120＝20. (2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－1124＝1324，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数η～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，1324， 所以D (η)＝4×1324×1124＝143144. 3．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的均值和方差． 解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ， 则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115.随机变量X 的分布列为P13 415 15 215 115因此，E (X )＝0×3＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.D (X )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋415⎝ ⎛⎭⎪⎫1－432＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫2－432＋215⎝ ⎛⎭⎪⎫3－432＋115⎝ ⎛⎭⎪⎫4－432＝149. 4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量都不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6×(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62×(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.所以X 的分布列为X123因为X ～B (3，0.6)，0.6)＝0.72. 5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；投资股市(1)至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由．解：(1)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题表可知，P (A )＝12，P (B )＝p .所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB )＝12×(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p >45，解得p >35.又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23.所以p 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝8×12＋0×18＋(－4)×38＝52.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为Y 4 0 －2 P121316则E (Y )＝4×12＋0×13＋(－2)×6＝3.因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大． 6．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60， 当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140， 所以y 与x 之间的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，100a ＋0.05＝0.2，所以a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.(3)由题意可知x 可取50，150，250，350，450，550. 当x ＝50时，Y ＝0.5×50＝25，所以P (Y ＝25)＝0.1， 当x ＝150时，Y ＝0.5×150＝75，所以P (Y ＝75)＝0.2， 当x ＝250时，Y ＝0.5×200＋0.8×50＝140， 所以P (Y ＝140)＝0.3，当x ＝350时，Y ＝0.5×200＋0.8×150＝220， 所以P (Y ＝220)＝0.2，当x ＝450时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310， 所以P (Y ＝310)＝0.15，当x ＝550时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410， 所以P (Y ＝410)＝0.05， 故Y 的概率分布列为：所以随机变量Y E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.。