离散型随机变量的方差()

期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。

它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。

本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。

一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。

对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。

对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。

2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。

方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。

二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。

对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。

2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。

总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。

对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。

对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

属于基础题或中档题的层面。

高考中一定要尽量拿满分。

● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。

● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。

2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。

4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。

● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。

① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。

② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。

③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。

④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。

（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。

1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =L 列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．知识内容数学期望⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到由式001110()C CC C n n n k k n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++L ，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L 叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）．【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例3】 从123456，，，，，这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ．【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为（ ）A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、()01c ∈，），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ）A ．148B ．124C ．112D ．16【例6】 一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．典例分析【例8】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例9】某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：⑴⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例10】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【例11】某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望．8910【例12】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．⑴求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A；⑵求η的分布列及期望Eη．【例13】学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7Pξ>=．(0)10⑴求文娱队的人数；⑵写出ξ的概率分布列并计算期望．【例14】一接待中心有A、B、C、D四部热线电话．已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．【例15】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.40.50.6，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X的分布及数学期望．【例16】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手被淘汰的概率；⑵该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）【例17】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；⑶设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数学期望EX．【例18】在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【例19】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴至少有1人面试合格的概率；⑵签约人数X的分布列和数学期望．【例20】某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：①求至少一种电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望．【例21】某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（例如：A C D→→算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为110，路段CD发生堵车事件的概率为115）．记路线A C F B→→→中遇到堵车次数为随机变量X，求X的数学期望()E X．11510【例22】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望．【例23】 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：⑴X 的概率分布；⑵X 的期望．【例24】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？D1C1(乙)B1A(甲)B CDA1【例25】从集合{}12345，，，，的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个．⑴记性质:γ集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；⑵记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【例26】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B 肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13．在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）．【例27】⑴用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?⑵用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率．⑶条件同⑵，记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求它的分布列及其数学期望EX．图二图一【例28】有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2．⑴如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少？⑵从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X，求X的分布列和期望．【例29】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例30】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使126k a a a ++=L ，则称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．【例31】 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为⑴ 2⑵ 求随机变量ξ的数学期望E ξ；⑶ 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【例32】 在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．⑴通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；⑵记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为01210L ，，，，）的概率分别为1P 、2P ．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．【例33】某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据盈利表进行决策，那么，合理的投资方案应该是哪种？【例34】甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果分别如下：试比较他们的加工水平．【例35】一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可销售75万元．⑴求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率．⑵如果开发成功就召开新闻发布会的话，求开发商的盈利期望．⑶如果不召开新闻发布会，求开发商盈利的期望值，并由此决定是否应该召开新闻发布会．【例36】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．）【例37】 最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12； 第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311555，，； 第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．【例38】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列；⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【例39】某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为3232010(0)3qC q q q=-++>，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：123k q ，而市场前景无法确定的利润． ⑴分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式；⑵当产量q 确定时，求期望k E ξ；⑶试问产量q 取何值时，市场无法确定的利润取得最大值．【例40】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P k ξξ===L ，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？【例41】 某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望； ⑵店主每天玫瑰花的进货量x （3050x ≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最大利润?。

12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。

离散型随机变量的方差
独立离散型随机变量的方差是指该随机变量的方差，它是由其不同可能变量值的概率
乘以它们的差的平方而得出的。

离散型随机变量的方差也称为分散度，因为它是使变量值
分布分散的一种度量。

离散型随机变量的方差的计算公式为：方差=概率乘以值的平方的差的和的的乘以期
待数的差的平方，其中，概率乘以值的平方的差的和描述了变量值之间的差距，而期望数
描述变量的均值。

假设有一组随机变量，它们的概率分布为1/3,1/3,1/3，其中 x1=1,x2=2,x3=3，则该组变量的方差为σ2=(1-1.5)²×(1/3)+(2-1.5)²×(1/3)+(3-1.5)²×(1/3)= 0.25 。

许多情况下，方差是一种衡量变量聚集程度的有效指标，当离散型随机变量的方差小
于1时，表明变量的分布比较集中，变量的值处于一些比较定值的范围内；而当离散型随
机变量的方差大于1时，则表明变量的分布比较分散，变量的值不会集中于特定的范围内，它的分布越集中，方差越大。

方差的大小可以依据变量的概率分布来计算，例如有一组数，概率分布分别为
p1,p2,...,pn，值相应地分别为x1,x2,...,xn，则该组数据的方差为σ2= Σ(xi-
μ)²×pi，其中μ表示随机变量的期望数，即期望数= Σxi×pi。

总之，离散型随机变量的方差是用来描述变量的分散程度的一种量化方式，由其可以
进一步了解和掌握变量的分布形式，为数据分析提供有效的指导信息。

离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差：
1. 定义：
离散型随机变量的方差是指离散型随机变量的取值的波动的程度，是衡量离散型随机变量的离散性程度的一个数字特征。

其定义为：离散型随机变量的方差，就是
它的可能取值分量的概率值的平方与它的期望的差的绝对值的期望，用数学公式表示为： σ2=E（|X-E(X)|^2）。

2. 具体计算：
一般地，若离散型随机变量X有n种可能取值x1, x2,…，xn，且各取值的概率分
别为P1, P2,…, Pn，则它的方差可以计算为：σ2=Σ(xk-E(X))^2Pk（k=1,2,…,n），
这种表达式把概率积分变为概率和相乘。

3. 概念及特性：
（1）离散型随机变量的方差表示该变量取值分量和期望之间的偏离程度，值越大，变动程度越大，离散性越大，反之，若方差越小，说明变动越小，离散性越小。

（2）离散型随机变量的方差不是一个稳定的值，而是跟概率有关，若改变概率值，则方差值也会改变。

（3）方差是不等号两边的和，当方差的值大于0，则离散型随机变量的变动是有
方向的，反之，如果等于0，则表明该变量不会发生变化。

（4）方差在评价投资机会时，可用来衡量投资收益率的范围，当它越大时，投资
收益绝对值的变动也越大，说明投资机会的收益风险也增大。

1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.1．（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B． 2 C．D． 32．（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A． 100 B． 200 C． 300 D． 4003．（2007•四川）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）A．150.2克B．149.8克C．149.4克D．147.8克4．（2014•浙江二模）李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（）A．B． 1 C．6×（）6D． 6×（）6 5．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）=3，则D（X）=（）A．B．C．D．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（）A．B．C．D． 17．某射手射击击中目标的概率为0.8，从开始射击到击中目标所需的射击次数为ξ，则Eξ等于（）A．B．C．D．58．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ_________（结果用最简分数表示）．9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _________．10．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=_________．11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是_________．12．（2014•温州一模）现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为_________．13．从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=_________．14．（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________．15．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=_________．16．（2013•嘉兴一模）一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=_________．17．（2013•虹口区二模）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=_________．18．（2012•台州一模）把2对孪生兄弟共4人随机排成一排，记随机变量ξ为这一排中孪生兄弟相邻的对数，则随机变量ξ的期望Eξ=_________．19．（2012•杭州二模）（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=_________．20．（2011•温州二模）甲、乙两个同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机从中拿回两本，记甲同学拿到自己书的本数为ξ，则Eξ=_________．21．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=_________．22．设口袋中有黑球、白球共9个球，从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________．23．（2011•嘉定区三模）某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=_________．24．（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．25．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．26．（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．27．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．28．甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．29．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．30．（2014•淄博三模）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分剐为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．。