新人教版 选修2-3 离散型随机变量的方差

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。

离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。

从以下几个方面进行教材分析。

教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。

学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。

学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。

教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。

情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。

2.使学生养成善于分析总结的习惯。

教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。

教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。

教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。

充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。

引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。

重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。

放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。

离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。

过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。

难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。

三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。

2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。

如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。

在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。

庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。

2． 3． 2失散型随机量的方差本P64～ 67，思虑并达成以下1．失散型随机量的方差及准差的定是什么？2．方差拥有哪些性？3．两点散布与二散布的方差分是什么？[新知初探 ]1．失散型随机量的方差(1)失散型随机量 X 的散布列X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p nn称 D(X )＝( x i－ E(X ))2p i随机量 X 的方差，其算平方根 D X 随机量i＝ 1X的准差．(2)随机量的方差和准差都反应了随机量取偏离于均的均匀程度，方差或准差越小，随机量偏离于均的均匀程度越小．2．几个常的(1) D(aX＋ b)＝ a2D (X )．(2) 若 X 听从两点散布， D (X )＝ p(1－ p)．(3) 若 X ～ B(n， p)， D(X )＝ np(1－ p) ．[小身手 ]1．判断以下命能否正确．(正确的打“√”，的打“×”)(1) 失散型随机量的方差越大，随机量越定．()(2)若 a 是常数，D (a)＝ 0． ()(3)失散型随机量的方差反应了随机量偏离于希望的均匀程度．()答案： (1) × (2) √ (3) √2．若随机量 X 听从两点散布，且成功的概率 p＝ 0．5, E (X )和 D(X )分 () A． 0．5 和 0．25B．0．5 和 0．75C．1和 0．25D．1 和 0．75答案： A3． D( ξ－D (ξ)) 的值为 ()A．没法求B． 0C． D(ξ)D． 2D (ξ)答案： C4．牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0． 02，设发病牛的头数为X ，则 D (X )等于 ________．答案： 0． 196求失散型随机变量的方差题点一：用定义求失散型随机变量的方差1．已知随机变量X 的散布列为：X012345P0．1 0． 15 0． 25 0．25 0． 15 0． 1则 D (X)＝ ________．分析：因为 E(X )＝ 0． 1×0＋ 0． 15×1＋ 0． 25×2＋ 0． 25×3＋ 0． 15×4＋0． 1×5＝ 2． 5，所以 D(X )＝ (0－ 2．5)2×0．1＋ (1－ 2． 5)2×0．15＋ (2－ 2．5)2×0．25＋ (3－ 2．5)2×0． 25＋(4－ 2． 5)2×0． 15＋ (5－ 2． 5)2×0． 1＝ 2． 05．答案： 2． 05题点二：两点散布的方差2．某运动员投篮命中率p＝ 0． 8 ，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的方差为________．分析：依题意知：ξ听从两点散布，所以 D(ξ)＝ 0． 8×(1－ 0． 8)＝ 0． 16．答案： 0． 16题点三：二项散布的方差3．一出租车司机从某饭馆到火车站途中有 6 个交通岗，假定他在各交通岗碰到红灯这一事件是互相独立的，而且概率是1 3．(1) 求这位司机会到红灯数ξ的希望与方差；(2) 若碰上红灯，则需等候30 秒，求司机总合等候时间η的希望与方差．解： (1)易知司机会上红灯次数ξ听从二项散布，且ξ～ B6，1，311× 1－14∴ E (ξ)＝ 6×＝ 2， D(ξ)＝ 6×3＝．333(2)由已知η＝ 30ξ，∴E (η)＝ 30E (ξ)＝ 60， D(η)＝ 900D(ξ)＝ 1 200．求失散型随机变量X 的方差的步骤(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的所有值；(2)求 X 取各个值的概率，写出散布列；(3)依据散布列，由希望的定义求出E (X)；(4)依据公式计算方差．失散型随机变量方差的性质[典例 ]已知随机变量X 的散布列是X01234P0．2 0．2 0．3 0． 2 0．1试求 D(X )和 D (2X－ 1)．[解 ]E(X )＝ 0×0． 2＋ 1×0． 2＋ 2×0． 3＋ 3×0． 2＋ 4×0． 1＝ 1． 8．∴D (X)＝ (0－ 1． 8)2×0． 2＋ (1－ 1． 8) 2×0． 2＋ (2－ 1． 8)2×0． 3＋ (3－ 1． 8)2×0． 2＋ (4－1． 8)2×0． 1＝ 1． 56．利用方差的性质D(aX ＋ b)＝ a2D(X )．∵D (X)＝ 1． 56, ∴ D (2X－ 1)＝ 4D(X)＝ 4×1． 56＝ 6． 24．求随机变量函数Y＝ aX＋ b 方差的方法求随机变量函数 Y＝aX ＋b 的方差，一是先求 Y 的散布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式 D(aX＋ b)＝ a2D (X )求解．[活学活用 ]已知随机变量ξ的散布列为：ξ01xP 11p 23若 E (ξ)＝ 2．3(1) 求 D (ξ)的值；(2) 若 η＝ 3ξ－ 2，求 D η 的值．解： 由散布列的性质，得1＋ 1＋ p ＝ 1，解得2 3p ＝ 1，61 1 12 ∵ E (ξ)＝ 0× ＋ 1× ＋ x ＝ ， ∴ x ＝ 2．23 6 3(1) D(ξ)＝ 0－2 21 2 2 12 2 1 15 53×＋ 1－3 ×＋ 2－3 × ＝27 ＝ ．23 6 9(2) ∵ η＝ 3ξ－ 2，∴ D (η)＝ D (3ξ－ 2)＝ 9D(ξ)＝ 5，∴D η ＝ 5．方差的实质问题[典例 ]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个互相独立的随机变量ξ， η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中的 10,9,8,7 环的概率分别为 0．5,3a ，a,0．1，乙射中 10,9,8环的概率分别为 0． 3,0．3,0． 2．(1) 求 ξ， η的散布列；(2) 求 ξ， η的数学希望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．[解 ] (1)依题意 ， 0． 5＋ 3a ＋ a ＋ 0． 1＝ 1，解得 a ＝ 0．1． ∵ 乙射中 10,9,8 环的概率分别为0． 3,0． 3,0． 2，∴ 乙射中 7 环的概率为 1－ (0．3＋ 0． 3＋ 0． 2)＝ 0． 2．∴ ξ， η的散布列分别为ξ10 9 8 7P 0． 5 0．3 0．1 0．1η10 9 8 7P 0． 3 0．3 0．2 0．2(2) 由 (1)可得E(ξ)＝ 10×0． 5＋ 9×0． 3＋8×0． 1＋ 7×0． 1＝ 9． 2(环 )；E(η)＝ 10×0． 3＋ 9×0． 3＋ 8×0． 2＋ 7×0． 2＝ 8． 7(环 )；D(ξ)＝ (10－ 9．2)2×0．5＋ (9－ 9．2)2×0．3＋ (8－ 9．2)2×0．1＋ (7－ 9．2)2×0．1＝0．96；D(η)＝ (10－ 8．7)2×0．3＋ (9－ 8．7)2×0．3＋ (8－ 8．7)2×0．2＋ (7－ 8．7)2×0．2＝1．21．因为 E(ξ)>E (η)，说明甲均匀射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳固．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．利用均值和方差的意义解决实质问题的步骤(1) 比较均值：失散型随机变量的均值反应了失散型随机变量取值的均匀水平，所以，在实质决议问题中，需先计算均值，看一下谁的均匀水平高．(2)在均值相等的状况下计算方差：方差反应了失散型随机变量取值的稳固与颠簸、集中与失散的程度．经过计算方差，剖析一下谁的水平发挥相对稳固．(3)下结论：依照均值和方差的几何意义做出结论．[活学活用 ]甲、乙两个野生动物保护区有同样的自然环境，且野生动物的种类和数目也大概相等，而两个保护区内每个季度发现违犯保护条例的事件次数的散布列分别为：甲保护区：X0123P0． 3 0．3 0．2 0．2乙保护区：Y012P0．1 0．50． 4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X 的数学希望和方差为E(X )＝ 0×0． 3＋ 1×0． 3＋ 2×0． 2＋ 3×0． 2＝ 1． 3，D(X )＝ (0－1．3)2×0．3＋ (1－ 1．3)2×0． 3＋ (2－ 1．3)2×0． 2＋ (3－1．3)2×0．2＝ 1．21．乙保护区的违规次数Y 的数学希望和方差为：E(Y)＝ 0×0． 1＋ 1×0． 5＋ 2×0． 4＝ 1． 3，D(Y)＝ (0－ 1． 3)2×0． 1＋ (1－ 1． 3)2×0． 5＋ (2－ 1． 3)2×0． 4＝ 0． 41．因为 E(X)＝ E (Y)， D (X )＞ D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的均匀次数同样，但甲保护区的违规事件次数相对分别和颠簸，乙保护区内的违规事件次数更为集中和稳固．层级一学业水平达标1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10 株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X 甲)＝ 11， D(X乙 )＝ 3． 4．由此能够预计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖齐整B．乙种水稻比甲种水稻分蘖齐整C．甲、乙两种水稻分蘖齐整程度同样D．甲、乙两种水稻分蘖齐整程度不可以比较分析：选 B∵ D(X甲)>D (X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖齐整．2．若 X～ B(n，p)，且 E (X)＝ 6， D (X) ＝3，则 P(X＝ 1)的值为 ()A． 3·22B． 2－4－－10－ 8 C． 3·2D． 2分析：选C E(X)＝ np＝6， D (X)＝ np(1－ p)＝ 3，∴p＝1， n＝ 12，则 P(X ＝ 1)＝ C112×1×111＝ 3·2－10．22 23．设随机变量X 的概率散布列为k1－kP(X ＝k)＝ p ·(1－ p)(k＝ 0,1)，则 E(X)， D(X )的值分别是()A．0和 1B． p 和 p2C． p 和 1－ p D． p 和 (1－ p)p分析：选 D由 X 的散布列知， P( X＝ 0)＝ 1－ p，P(X＝ 1)＝ p，故 E (X)＝ 0×(1－ p)＋ 1×p ＝ p，易知 X 听从两点散布，∴ D(X )＝ p(1－ p)．4．已知随机变量X＋η＝ 8，若 X～ B(10,0． 6)，则 E (η)，D (η)分别是 ()A．6和 2．4B．2 和 2．4C．2和 5．6D．6 和 5．6分析：选 B∵X～B(10,0．6)，∴ E (X )＝10×0．6＝6，D( X)＝10×0．6×(1－0．6)＝2．4，∴E (η)＝ 8－ E (X )＝ 2， D (η)＝ (－ 1)2D (X)＝ 2． 4．．设≤≤4，x ＝ 105，随机变量ξ取值 x ，x ，x ，x ，x 的概率均为0．2，105112345510 x1<x2<x3<x4随机变量ξ取值x1＋ x2，x2＋ x3x3＋ x4x4＋ x5 x5＋ x1的概率也均为0． 2，若记 D(ξ，，，2222221)，，ξ的方差，则 ()D(ξ2)分别为ξ12A． D(ξ1)>D(ξ2)B．D (ξ1)＝ D(ξ2)C． D(ξ1)<D(ξ2)D． D(ξ1)与 D (ξ2)的大小关系与 x1， x2， x3， x4的取值相关分析：选 A 由题意可知 E(ξ1)＝ E (ξ2)，又由题意可知，ξ1的颠簸性较大，进而有D(ξ1)>D(ξ2)．6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0． 25，则该事件在一次试验中发生的概率为 ________．分析： 事件在一次试验中发生次数记为ξ，则 ξ听从两点散布， 则 D(ξ)＝ p(1－ p)，所以p(1－ p)＝ 0． 25，解得 p ＝ 0． 5．答案： 0． 57 已知随机变量 X 听从二项散布 B(n ， p)．若 E (X)＝ 30， D (X )＝ 20，则 p ＝________．np ＝ 30， 分析： 由 E(X)＝ 30，D (X )＝ 20，可得np－ p ＝ 20，解得 p ＝13．答案：138．已知失散型随机变量X 的散布列以下表：X － 1 0 1 2 Pabc1 12若 E (X)＝0， D(X)＝ 1，则 a ＝ ________， b ＝ ________．分析： 由题意1a ＋b ＋c ＋ 12＝ 1，－ ×a ＋ 0×b ＋ 1×c ＋ 2×1＝ 0，12－1－2×a ＋ －2×b ＋ －2×c ＋ －2×1＝ 1，12解得 a ＝ 5 ， b ＝ c ＝ 1． 12 4答案：51 12 49． A ， B 两个投资项目的收益率分别为随机变量X 1 和 X 2，依据市场剖析， X 1 和 X 2 的散布列分别为X 15% 10%P 0．8 0．2X 2 2%8%12%P0． 2 0．50． 3在 A ，B 两个项目上各投资100 万元，Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获取的收益，求方差 D (Y 1)， D(Y 2)．解： 由题设可知 Y 1 和 Y 2 的散布列分别为Y1510P0．8 0．2Y22812P0． 2 0．5 0．3E(Y1)＝ 5×0． 8＋ 10×0． 2＝ 6，D(Y1)＝ (5－ 6)2×0． 8＋ (10－ 6)2×0． 2＝ 4；E(Y2)＝ 2×0． 2＋ 8×0． 5＋12×0． 3＝ 8，D(Y2)＝ (2－ 8)2×0． 2＋ (8－ 8)2×0． 5＋ (12－ 8)2×0． 3＝ 12．10．依据过去统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0． 5，购置乙种保险但不购买甲种保险的概率为0． 3．设各车主购置保险互相独立．(1) 求该地 1 位车主起码购置甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2) X 表示该地的100 位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X 的均值和方差．解：设事件 A 表示“该地的 1 位车主购置甲种保险”，事件 B 表示“该地的 1 位车主购置乙种保险但不购置甲种保险”，事件 C 表示“该地的 1 位车主起码购置甲、乙两种保险中的 1 种”，事件 D 表示“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购置”，则 A， B 互相独立．(1)由题意知 P(A)＝ 0． 5， P( B)＝ 0． 3， C＝ A∪ B，则 P(C)＝P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 0． 8．(2)D＝ C ， P(D )＝1－ P(C)＝1－ 0． 8＝ 0．2．由题意知X～ B(100,0． 2)，所以均值E(X)＝ 100×0． 2＝ 20，方差 D( X)＝ 100×0． 2×0． 8＝ 16．层级二1．设二项散布X～ B( n， p)的随机变量散布的参数n， p 的值为 ()应试能力达标X 的均值与方差分别是2．4 和1． 44，则二项A． n＝ 4， p＝ 0． 6B． n＝ 6， p＝ 0． 4 C． n＝ 8， p＝ 0． 3D． n＝ 24， p＝ 0． 1分析：选 B由题意得，np＝2．4，np(1－p)＝1．44，∴ 1－ p＝ 0． 6，∴ p＝ 0． 4， n＝6．2．若ξ是失散型随机变量，P(ξ＝ x1)＝ 2，P(ξ＝ x2)＝ 1，且33x1<x2，又已知E(ξ)＝ 4，D( ξ)32＝9，则x1＋ x2的值为 ()5 7 A ．3 B ．311C ． 3D ． 3 分析：选C2 1 4，3 x 1＋ x 2＝3 3x 1， x 2 知足4 224 2 12x 1 －x 2－ ，3 × ＋3 × ＝33 91＝ 1，x 1＝ 5，3解得 x或∵ x 1<x 2，∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2，∴ x 1＋ x 2＝ 3．2＝ 22xx 2＝ 3.3．某各种子每粒抽芽的概率是90% ，现播种该种子 1 000 粒，关于没有抽芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X ，则 X 的数学希望与方差分别是 ()A ． 100,90B ． 100,180C ． 200,180D ． 200,360分析：选D由题意可知播种了1 000 粒，没有抽芽的种子数 ξ听从二项散布，即 ξ～B(1 000,0 ．1)．而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X ，故 X ＝ 2ξ，则 E(X)＝ 2E(ξ)＝ 2×1000 ×0． 1＝ 200，故方差为 D (X )＝D (2ξ)＝ 22·D(ξ)＝ 4×1 000 ×0． 1×0． 9＝ 360．14．若随机变量 ξ的散布列为 P(ξ＝ m)＝ 3， P(ξ＝ n)＝ a ，若 E(ξ)＝ 2，则 D (ξ)的最小值等于 ( )A ． 0B ． 1C ． 4D ． 2分析：选A由散布列的性质，得a ＋ 1＝ 1， a ＝ 2．3 3 ∵ E (ξ)＝ 2，∴ m ＋2n＝ 2． ∴ m ＝ 6－ 2n ．3 3∴ D (ξ)＝13×(m － 2)2＋ 23×(n － 2)2＝23×(n － 2)2＋ 13×(6－ 2n －2)2＝ 2n 2－ 8n ＋ 8＝ 2(n － 2)2．∴ n ＝ 2 时， D (ξ)取最小值 0．5．随机变量 ξ的取值为 0,1,2．若 P(ξ＝ 0)＝ 1， E (ξ)＝ 1，则 D (ξ)＝ ________．5分析： 由题意设 P(ξ＝ 1)＝ p ，则 ξ的散布列以下：ξ 0 1 2P1 p4－ p55由 E (ξ)＝ 1，可得 p＝3，5所以 D(ξ)＝ 12123212．×＋ 0×＋ 1× ＝5555答案：256．已知失散型随机变量X 的可能取值为x1＝－ 1，x2＝ 0，x3＝1，且 E( X)＝ 0．1，D (X)＝0． 89，则对应 x1， x2， x3的概率 p1， p2， p3分别为 ________， ________， ________．分析：由题意知，－p1＋ p3＝ 0． 1，1． 21p1＋ 0．01p2＋ 0． 81p3＝ 0． 89．又 p1＋ p2＋ p3＝ 1，解得 p1＝ 0． 4， p2＝ 0． 1， p3＝0． 5．答案： 0．4 0．1 0．57．有甲、乙两个建材厂，都想招标参加某要点建设项目，为了对要点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数以下：ξP0．1 0．2 0．4 0．1 0．2η100115125130145P0．1 0．20．4 0．10．2此中ξ和η分别表示甲、乙两厂资料的抗拉强度，比较甲、乙两厂资料哪一种稳固性好．解： E (ξ)＝ 110×0． 1＋ 120×0． 2＋ 125×0． 4＋ 130×0． 1＋ 135×0． 2＝ 125，E(η)＝ 100 ×0． 1＋ 115 ×0． 2＋ 125 ×0． 4＋ 130 ×0． 1＋ 145 ×0． 2＝ 125，D(ξ)＝ 0． 1×(110－ 125)2＋ 0． 2×(120－ 125)2＋ 0． 4×(125－ 125)2＋ 0． 1×(130－ 125)2＋0． 2×(135－ 125)2＝ 50，D(η)＝ 0． 1×(100－ 125)2＋ 0 ． 2×(115－ 125)2＋ 0． 4×(125－ 125)2＋ 0． 1×(130－125)2＋0． 2×(145－ 125)2＝ 165，因为 E(ξ)＝ E( η)， D (ξ)<D (η)，故甲厂的资料稳固性较好．8．设在12 个同种类的部件中有 2 个次品，抽取 3 次进行查验，每次抽取一个，而且拿出不再放回，若以X 和 Y 分别表示拿出次品和正品的个数．(1)求 X 的散布列、均值及方差；(2)求 Y 的散布列、均值及方差．解： (1)X 的可能值为 0,1,2．若 X ＝ 0，表示没有拿出次品，0 3 6其概率为 P(X ＝ 0)＝ C 2C 10C 123＝ 11，同理，有 P(X ＝ 1)＝ C 21C 102 9，3 ＝ 22C 12 2 1 1C 2C 10P(X ＝ 2)＝ C 123 ＝ 22．∴ X 的散布列为X 0 1 2 P6 9 1 112222∴ E (X )＝0×6 ＋ 1×9 ＋ 2×1＝ 1．1122222D(X )＝ 0－ 1 2×6＋ 1－1 2×9＋ 2－ 1 2×1＝ 15．2 11 2 22 2 22 44 (2) Y 的可能值为 1,2,3，明显 X ＋Y ＝ 3．P(Y ＝ 1)＝ P(X ＝ 2)＝ 1，229P(Y ＝ 2)＝ P(X ＝ 1)＝ 22，P(Y ＝ 3)＝ P(X ＝ 0)＝ 6．11 ∴ Y 的散布列为Y 1 2 3 P1 9 6 222211∴ Y ＝－ X ＋3，∴ E (Y)＝E (3－ X )＝ 3－ E (X)＝ 3－12＝ 52，215D(Y)＝ (－ 1) D(X)＝ 44．。

§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲离散型随机变量的期望与方差例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9当堂练习单选题练习1.随机变量ξ的分布列如表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）=（）A．0.36B．0.52C．0.49D．0.68练习2.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5练习3.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15练习4.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9解答题练习1.'为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？'练习2.'某蛇养殖基地因国家实施精准扶贫，大力扶持农业产业发展，拟扩大养殖规模．现对该养殖基地已经售出的王锦蛇的体长（单位：厘米）进行了统计，得到体长的频数分布表如下：若王锦蛇、乌梢蛇成年母蛇的购买成本分别为650元/条、600元/条，每条母蛇平均可为养殖场获得1200元/年的销售额，且每条蛇的繁殖年限均为整数，将每条蛇的繁殖年限的频率看作概率，以每条蛇所获得的毛利润（毛利润=总销售额-购买成本）的期望值作为购买蛇类的依据，试问：应购买哪类蛇？'练习3.'中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为x，求随机变量x的分布列及数学期望．'练习4.'已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习5.'“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．'。

2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。

【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题。

【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解。

一、课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X的方差。

离散型随机变量的方差反映了：_____________________________。

2.离散型随机变量的标准差：_____________________________。

离散型随机变量的标准差反映了______________________________。

3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D 。

4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 。

二、课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳定？ 例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y ，求(),()D X D Y 。

三、课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么()_D X =。

2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同。

两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平。

2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。

三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。

4五、课堂小结。

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 8 页2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，,，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x ，22)(x x ，,，2)(x x n，那么[12nS21)(x x ＋22)(x x ＋,＋])(2x x n叫做这组数据的方差教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:ξx 1x 2,x i ,PP 1P 2,P i,6. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，,；⑵P 1+P 2+,=1．。