对数函数图像和性质(一)

对数函数的图像与性质（一）考向一 对数函数的概念1、下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．2、若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.3、对数函数f(x)的图象经过点(14，2)，则f(x)= ． 【答案】log 12x【解析】设数函数f(x)=log a x ，(a >0且a ≠1) ∵图象经过点(14，2)， 得a =12∴f(x)=log 12x故答案为：log 12x4、已知 f(x 6)=log 2x ，那么 f(8)等于 ( ) A ． 43B ． 8C ． 18D ． 12【答案】D【解析】由题可知，x >0，令x 6=8，得x =816=212，所以f(8)=log 2⁡212=12．考向二 对数函数的图像1、（1）如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（ ）． A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35 C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35 （2）当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）（3）若函数()0,1xy a a a =>≠的值域为{}1y y ≥，则函数log a y x =的图象大致是( )【答案】⑴A ⑵D ⑶B2、同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.故选C.3、当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x 与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x 与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D. 4、若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A ．1(,)b aB ．(10,1)a b -C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b D 【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2(,2)a b 在函数lg y x =图象上．5、已知函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a 、b 满足( )A ．1a ，0bB ．0a >，1bC ．210b og a +D ．20b a +【分析】因为函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限，所以当0x =时，0y ，所以2log 0a b +．【解答】解：函数2log ()y x a b =++的图象不经过第四象限， ∴当0x =时，0y ，2log 0a b ∴+，故选：C ．【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．6、如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则( )A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l >>【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解：根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <， 故选：B ．7、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案． 【解答】解：由对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--可知，①当01a <<时，此时10a -<，对数函数log a y x =为减函数，②当1a >时，此时10a ->，对数函数log a y x =为增函数，题意． 故选：A ．8、已知点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是( )A ．2(m ，2)nB ．(2,2)m nC ．(2,1)m n ++D ．(,1)2mn -数图象上．【解答】解：点(,)m n 在函数2log y x =的图象上，2log y m n ∴==，故选：D ．考向三 对数函数的性质1、函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点________． 【答案】(1,2)【解析】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点(1,2).2、已知函数f (x )=log a (x+1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 . 令x+1=1,得x=0,则f (0)=log a 1+1=1,即定点P 的坐标为(0,1).3、已知函数f (x )=log a (x-m )+n 的图象恒过点(3,5),则lg m+lg n 等于( ) A .10 B .lg12C .1D .110解析:(1)由已知可得{3-m =1,n =5,∴{m =2,n =5,∴lg⁡m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.4、已知函数1()log 1(0x b f x a x a -=+->且1a ≠，0b >且1)b ≠，则()f x 的图象过定点( ) A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(1,0)D ．(0,0)【分析】当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=，即可求出结果．【解答】解：当1x =时，()f x f =（1）0log 111010b a =+-=+-=， ()f x ∴的图象过定点(1,0)，故选：C ．5、函数2()log f x x =是( ) A ．(0,)+∞上的增函数 B ．(0,)+∞上的减函数 C ．R 上的增函数D ．R 上的减函数【分析】对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞；当1a >时在(0,)+∞上为增函数；当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．【解答】解：log (0a y x a =>且1)a ≠，定义域为(0,)+∞； 当1a >时，在(0,)+∞上为增函数， 当01a <<时，在(0,)+∞上为减函数．本题21a =>，故2log y x =在(0,)+∞上为增函数． 故选：A ． 6、函数23log 2(01ax y a x +=+>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为 ． 【分析】令真数等于1，求得x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标．故函数23log (01ax y a x +=>+且1)a ≠的图象经过的定点坐标为(2,2)-， 故答案为：(2,2)-．考向四 对数函数的性质应用1、比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54.2、（1）比较大小（填“>”，“<”或“=”）．①0.5log 2011____0.5log 2012；② 1.5log 2011____ 1.5log 2012；③0.5log 3____0.6log 3；④0.5log 0.8____0.6log 0.8； ⑤ 1.5log 3____2log 3； ⑥ 1.5log 0.8____2log 0.8．（2）若3log 4a =，7log 6b =，2log 0.8c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（3）若20.3a =，2log 0.3b =，3log 4c =，则（ ）. A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>（4）若101a b c >><<，，则（ ）A. c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<【答案】⑴①>；②<；③>；④<；⑤>；⑥<．⑵A ； ⑶C ； 4C ； 3、若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( ) (A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4、若函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠在区间[a ，22]a 上的最大值比最小值多2，则(a = )A ．2B ．3或13C ．4或12D ．2或12的单调性即可解题．①当1a > 时，2(2)2a a log a log a -=，得2a =，故选：A ．5、设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】由指数函数的性质知，若333a b ，则1a b ，由对数函数的性质，3log 3b ；反之，取12，13b ，显然有3log 3b ，此时01b a ，于是333ab ，所以“333a b”是log 3log 3a b <的充分不必要条件，选B ．6、若2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A. ()20,1, 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C7、函数f(x)是奇函数，且在区间[0,4]上是减函数，则比较大小()f π-_______21(log )8f ． 【答案】>8、已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【解析】因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．9、已知f(x)=log 3x ，则的大小是 A. B.C.D.【答案】B 【解析】由函数y=log 3x 的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x 的增大，函数值y 也在增大，故．10、函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【答案】A11、设a =log 123，b =(13)0.2，c =213则 （ ）A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <b <c 【答案】D 【解析】由题得a =log 123<log 121=0,b >0,c >0.b =(13)0.2<(13)0=1, c =213>20=1,所以a <b <c .故选：D考向五 指数函数与对数函数的关系（反函数）1、下列说法正确的是( ) A ．函数x y a =与1()x y a =图象关于x 轴对称B ．函数log a y x =与1log ay x =图象关于y 轴对称C ．函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称D ．函数x y a =与log a y x =图象关于y 轴对称【分析】根据图象关于原点对称、图象关于x 轴对称、图象关于y 轴对称、图象关于y x =对称，分别画出出各个函数图象，再对照选项即可得出正确答案．【解答】解：令2a =，分别作出对应的图象，由图象可知 ，函数，函数对于选项C ，D 函数x y a =与log a y x =图象关于直线y x =对称，故C 正确，D 不正确．故选：C ．2、（1）若()x f x a =,()log b g x x =-,且lg lg 0a b +=，1a ≠，1b ≠．则()y f x =与()y g x =的图象（ ）A ．关于直线0x y +=对称B ．关于直线0x y -=对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称（2）若函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的反函数的图象过点(21)-，，则a =______．（3）若()3log f x x =的反函数是()y g x =，则()1g -值为（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3、已知函数2()log f x x =，若函数()g x 是()f x 的反函数，则()()2f g =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由函数2y f x log x ==（） ，得2y x =，把x 与y 互换，可得2x y =，即2x g x （）=，∴2224g ==（） ，则()22442f g f log ===（）（）．故选：B4、若函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，则(1(f += )A ．9B ．11C ．16D ．18【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．【解答】解：因为函数()y f x =与函数2log y x =互为反函数，所以()2x f x =，故选：D ． 【点评】本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5、设函数()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，其反函数的图象过(16,2)，则(a b += )A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据反函数的图象过(16,2)，可知()f x 图象过点(2,16)，和(1,8)，代入联立解得． 【解答】解：()(0x b f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,8)，∴代入得18b a +=①，其反函数的图象过(16,2)，()(0x b f x a a +∴=>且1)a ≠的图象过点(2,16)，∴代入得216b a +=②，联立①②，解之得2a =，2b =，故选：B ．【点评】本题考查反函数，以及指数函数，属于基础题．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．6、已知函数()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据指数函数的性质，由f （3）g （3）0>得到g （3）0>从而得到a 的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论． 【解答】解：()x f x a =，()log (0,1)a g x x a a =>≠，若f （3）g （3）0>，f ∴（3）0>，g （3）0>，1a ∴>，即()f x ，()g x 都为增函数，故选：B ．。