对数及对数函数的图像与性质(教师版)

对数函数1对数的概念①概念一般地，如果a x=N(a>0 ,且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=log a N. (a底数， N真数， log a N对数)②两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10 N记为lgN；自然对数以无理数e为底的对数的对数，log e N记为ln N．③对数式与指数式的互化x=log a N ⟺a x=N对数式指数式④结论(1)负数和零没有对数(2)log a a=1，log a1=0.特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.2 对数的运算如果a>0， a ≠ 1 , M>0 ,N>0 , 有①log a(MN)=log a M+log a N②log a MN=log a M−log a N③log a M n=n log a M(n∈R)④a log a M=M⑤换底公式log a b=log c blog c a(a>0 ,a≠ 1 ,c>0 ,c≠ 1 ,b>0)利用换底公式推导下面的结论①log a b=1log b a ② log a b⋅ log b c=log a c ③log a m b n=nmlog a b特别注意：log a MN ≠ log a M⋅ log a N，log a(M ±N)≠ log a M± log a N3 对数函数①对数函数的概念函数y=log a x(a>0 ,a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.②图像与性质【题型一】对数的化简与求值+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【典题1】求值2log32−log3329+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【解析】2log32−log3329+log38−3+(lg5)2+2lg2∙lg5+(lg2)2=log34−log3329×8)−3+(lg5+lg2)2=log3(4×932=2−3+1=0．∈(n ,n+1)，n∈N，则n的值是.【典题2】若x ,y ,z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz【解析】令3x =4y =12z =k >1．则x =log 3k =lgklg3， y =log 4k =lgklg4 ，z =log 12k =lgklg12． (利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+y z求值去掉k )∴x+y z=lgk lg3+lgklg4lgk lg12=lg12⋅lg12lg3∙lg4=(lg3+lg4)2lg3∙lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，(∵x+y z∈(n ,n +1)，∴要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)∵0<lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3>2 (利用对勾函数可得) ∴lg3lg4+lg4lg3+2>4， ∵lg4lg3<2 ,lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3+2<5,则x =lg3lg4+lg4lg3+2∈(4 ,5)=(n ,n +1)， 则n =4． 巩固练习1 (★) 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x ,(x >0)，则f [f (12)]= .【答案】 13【解析】∵f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x >0)，∴f(12)=log 212=−1．则f[f(12)]=f(−1)=3−1=13．2 (★) (lg2)2+lg5×lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2= ．【答案】 102 【解析】(lg2)2+lg5•lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2 ＝(lg2)2+lg5•(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]−23×9=(lg2+lg5)2+1+10.09×9 =1+1+100 =102．3(★★) 求值:lg √10⋅lg0.1= ．【答案】 −4 【解析】lg √10⋅lg0.1=3lg2+3lg5−lg2−lg512lg10⋅lg 110=2(lg2+lg5)−12=−44(★★) 求值:2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1＝ ．【答案】 −3 【解析】2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3]−23−2+(√2−1)0=14−94−2+1 ＝−3． 故答案为：−3．5(★★) 若a >1，b >1且lg(1+b a)=lgb ，则lg(a −1)+lg(b −1)的值 ． 【答案】 0【解析】∵a >1，b >1且lg(1+b a )=lgb ， ∴1+ba=b ，∴a +b =ab ， ∴lg(a −1)+lg(b −1)=lg[(a −1)(b −1)]=lg(ab −a −b +1)=lg1=0． 故选：C ．6(★★★) 已知2a =7b =m ，1a +12b=12，则m ＝ .【答案】 28【解析】∵2a =7b =m ，∴a =log 2m ，b =log 7m ， ∵1a +12b=12，∴log m 2+12×log m 7=log m (2√7)=12，∴√m =2√7，解得m =28． 故答案为28．7(★★★) 已知a >b >1，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab ＝ ． 【答案】 8【解析】∵log a b +log b a =52；∴1 log b a +log b a=1+(log b a)2log b a=52；∴2(log b a)2−5log b a+2=0；解得log b a=12或log b a=2；∵a>b>1；∴log b a>1；∴log b a=2；∴a=b2；又a b=b a；∴b2b=b b2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；∴ab=8．故答案为：8．【题型二】对数函数的图象及应用【典题1】函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()A．B．C．D．【解析】方法1y=log a(|x|+1)={log a(x+1),x≥0log a(−x+1),x<0，因a>1，由对数函数的性质易得选B.方法2函数图象变换左移1个单位⇒去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称⇒故选B．【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.【典题2】设a ,b ,c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则()A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【解析】 分别作出四个函数y =(12)x ,y =log 12x ，y =2x ，y =log 2x 的图象，观察它们的交点情况．由图象知a <b <c ．故选A ．【点拨】① 2a =log 12a 中a 是函数y =2x 与y =log 12x 的交点横坐标；② 函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数，图象关于直线y =x 对称. 函数y =(12)x 与y =log 12x 也是.【典题3】 已知f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3(x −4)(x −6) ,x >3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a <b <c <d ，则abcd 的取值范围是 .思考痕迹 已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y =f(x)与一直线y =k 相交于四个点，四点的横坐标是a 、b 、c 、d ，所以想到数形结合.【解析】 先画出f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3(x −4)(x −6) ,x >3的图象，如图∵a ,b ,c ,d 互不相同，不妨设a <b <c <d ． 且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c <4． 由图可知|log 3a |=|log 3b |，c 、d 关于x =5对称, ∴−log 3a =log 3b ，c +d =10，即ab =1 ,c +d =10， 故abcd =c (10−c )=−(c −5)2+25，由图象可知3<c <4， 由二次函数的知识可知21<−c 2+12c <24， ∴abcd 的范围为(21 ,24)．【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x =3处.巩固练习1(★) 已知lga +lgb =0，函数f(x)=a x 与函数g (x )=−log b x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵lga +lgb =0，∴ab =1则b =1a从而g (x )=－log b x =log a x ，∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选B ， 故答案为B2(★) 已知图中曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4分别是函数y =log a 1x ，y =log a 2x ，y =log a 3x ，y =log a 4x 的图象，则a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1 【答案】B【解析】选B .由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用log a a =1结合图象求解． 3(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则a +5b 的取值范围是( ) A ．(2√5，+∞) B ．[2√5，+∞) C ．(6 ,+∞) D ．[6 ,+∞)【答案】 C【解析】函数f(x)=|lnx|⇔f(x)={−lnx(0<x <1)lnx(x >1)，又因为0<a <b ，故0<a <1，b >1， 又知道f(a)=f(b)， ∴－lna =lnb ，即1a =b ，∴设t =a +5b =a +5a，∵由对勾函数的性质可知,t 在(0,1)上单调递减，∴t >1+5=6，即a +5b >6， 故选：C ．4(★★) 已知函数f(x)=|log a |x −1||(a >0 ,a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4 ,x 1x 2x 3x 4≠0且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化 【答案】B【解析】函数f(x)=|log a |x －1||的图象如下图所示：有图可知，函数f(x)=|log a |x －1||的图象关于直线x =1对称， 又∵x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 则x 1+x 2+x 3+x 4=4． 故选：B5 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2(x −1)|，g(x)=(12)x，则图象交于A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)两点，则( )A ．x 1x 2<1B ．x 1+x 2>5C ．x 1+x 2>x 1x 2D ．x 1+x 2<x 1x 2【答案】C 【解析】不妨设x 1<x 2，作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x 1<2，x 2>2，则f(x 1)=|log 2(x 1－1)|=－log 2(x 1－1),f(x 2)=|log 2(x 2－1)|=log 2(x 2－1)， 则f(x 2)－f(x 1)=log 2(x 2－1)+log 2(x 1－1)=log 2(x 1－1)(x 2－1)=(12)x 2−(12)x 1<0， 即(x 1－1)(x 2－1)<1，即x 1x 2－(x 1+x 2)+1<1，即x 1+x 2>x 1•x 2， 故选：C ．6 (★★★) 已知函数f(x)={|log 2x| ,0<x ≤8−14x +5 ,x >8，若a ,b ,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是 ． 【答案】(8 ,20)【解析】根据已知画出函数图象： 不妨设a <b <c ，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－log 2a =log 2b =−14c +5， ∴log 2(ab)=0，0<−14c +5<3， 解得ab =1，8<c <20， ∴8<abc <20． 故答案为(8,20)．7 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2x |，g(x)=12x ，若对任意x ∈[a ,+∞)，总存在两个x 0∈[12 ,4]，使得g(x)∙f(x 0)=1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[2 ,+∞) 【解析】f(x 0)=1g(x)=2x，∵x ∈[a,+∞)，∴f(x 0)≤2a，作出f(x)在[12，4]上的函数图象如图：∵对任意x ∈[a,+∞)，总存在两个x 0∈[12,4]，使得g(x)•f(x 0)=1，∴0<2a≤1，解得a≥2．故答案为[2,+∞)．【题型三】对数函数的性质及应用角度1 比较对数式的大小【典题1】已知a=log27 ,b=log38 ,c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log27>log24=2，c=0.30.2<0.30=1，∵1<log38<log39=2∴1<b<2，∴c<b<a．故选A．【典题2】设a=log23 ,b=43,c=log34，则a ,b ,c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<b C．a<b<c D．c<b<a【解析】∵a=log23>log2243=43=b ,b=43=log3343>log34=c，∴a ,b ,c的大小关系为c<b<a．故选D．【典题3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log52<1，c=0.50.2<1，b=log0.50.2=log1215=log25>log24=2，(初步估值)∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)∵a=log52=1log25<12，c=0.50.2=(12)15=√125>12∴a<c，(引入第三数12比较)∴a<c<b，故选：A．【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解对数型不等式和方程【典题1】方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为．【解析】∵log2(x−1)=2−log2(x+1)，∴log2(x−1)=log24x+1，∴x−1=4x+1，解得x=±√5．检验得x=−√5不符合，(注意真数的范围)∴方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为{√5}．故答案为{√5}．【典题2】不等式log2(x2−1)<3的解集为.【解析】log2(x2−1)<3⇔log2(x2−1)<log28∴0<x2−1<8 (误解x2−1<8)解得−3<x<−1或1<x<3.【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数log a x中真数x>0”这点.角度3 对数型函数综合问题【典题1】函数y=log12(x2−6x+17)的值域是 .【解析】∵t=x2−6x+17=(x−3)2+8≥8∴内层函数的值域[8 ,+∞),而 y=log12t在[8 ,+∞)是减函数，故y≤log128=−3∴函数y=log12(x2−6x+17)的值域是(−∞ ,−3].【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0 ,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是.【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下①画f(x)=2x－1 ,x∈(0 ,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得④由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log7|x−2|图象，注意到g(9)=1 ,g(−7)>1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个．【点拨】①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；②f(x+a)=f(x+b)⇒f(x)的周期T=a−b，f(x+a)=f(b−x)⇒f(x)的对称轴x=a+b2f(x+a)=−f(x)⇒f(x)的周期T=2af (x +a )=1f (x )⇒f (x )的周期T =2a .【典题3】设a >0，b >0，则下列叙述正确的是( )A ．若lna −2b >lnb −2a ，则a >bB ．若lna −2b >lnb －2a ，则a <bC ．若lna −2a >lnb −2b ，则a >bD ．若lna −2a >lnb －2b ，则a <b【解析】方法1 构造函数法∵y =lnx 与y =2x 均为增函数，故f(x)=lnx +2x 在(0 ,+∞)上为增函数，故f(a)>f(b)⇔a >b >0，即lna +2a >lnb +2b ⇔a >b >0，即lna −2b >lnb −2a ⇔a >b >0，故选A ．方法2 取特殊值排除法对于A 、B ，令a =1，b =1e ，代入lna −2b >lnb −2a 得−2e >−3显然成立， 而a >b ，此时可排除选项B ；对于选项C 、D ，令a =1，b =e ，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>1−2e 显然成立，而a <b 可排除选项C ；令a =1，b =1e 2，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>−2−2e 2显然成立，而a >b 可排除选项D ；故选A ．【点拨】① 方法1通过构造函数f(x)=lnx +2x ，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.【典题4】已知函数f(x)=log 31−x 1+x ．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x ∈[−12 ,12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域． 【解析】 (1)要使函数f(x)=log 31−x 1+x 的解析式有意义，自变量x 须满足1−x 1+x >0，解得x ∈(−1 ,1)，故函数f(x)的定义域为(－1 ,1)；(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f (−x )=log 31+x 1−x =−log 31−x 1+x =−f (x )，故函数f(x)为奇函数；(3)当x ∈[－12，12]时，令u(x)=1−x 1+x =21+x −1 (分离常数法) (注 函数图象如右图，由y =2x 向左向下平移一个单位得到的)故u(x)=1−x 1+x 在[−12 ,12]上为减函数，则u(x)∈[13 ,3]，又∵g(x)=f(x)=log 3u 为增函数，故g(x)∈[−1 ,1]，故函数g(x)的值域为[−1 ,1]．【点拨】① 遇到形如f (x )=a∙g (x )+b c∙g (x )+d 的函数(比如y =1−2x1+x ，y =2x −32x +4，y =3x 2+4x 2−1等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.【典题5】 设D 是函数y =f(x)定义域的一个子集，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)=−x 0成立，则称x 0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D 上存在准不动点．已知f(x)=log 12(4x +a ⋅2x −1)，x ∈[0 ,1]． (1)若a =1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0 ,1]上存在准不动点，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a =1时，可得f (x )=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0 ,1]， 可得4x +2x −1=2x ，即4x =1，∴x =0．当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．(2)方法1 由定义可得方程log12(4x+a⋅2x−1)=−x在x∈[0 ,1]上有解，即方程4x+a⋅2x−1=2x在x∈[0 ,1]上有解, 且4x+a∙2x−1>0(∗)令2x=t，x∈[0 ,1]，则t∈[1 ,2]，那问题(∗)转化为方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，令g(t)=t2+(a−1)t−1，开口向上且g(0)<0，所以y=g(t)在[1 ,2]上与x轴只有一个交点，则只需要g(1)g(2)≤0，解得−12≤a≤1，(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)要使t2+at−1>0(1≤t≤2)恒成立．其对称轴x=−a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得a>0．综上可得实数a的取值范围是(0，1]．方法2与方法1同样得到方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，即a=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上有解，且a>1t−t在t∈[1 ,2]上恒成立(分离参数法)由ℎ(t)=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上显然是减函数，其值域为[−12,1]，则−12≤a≤1；由d(t)=1t−t在t∈[1 ,2]上显然是减函数，最大值为d(1)=0，则a>0,综上可得实数a的取值范围是(0,1]．【点拨】①在第二问中不要漏了4x+a∙2x−1>0，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,巩固练习1(★)若a=log21.5 ,b=log20.1 ,c=20.2，则()A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】D【解析】log 20.1<log 21.5<log 22=1，20.2>20=1；∴b <a <c ．故选：D ．2(★★) 设a =log 126,b =log 1412,c =log 1515，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．c <a <b【答案】 A【解析】a =log 126=−1−log 23=−1−1log 32，b =log 1412=−1−log 43=−1−1log 34，c =log 1515=−1−log 53=−1−1log 35；∵0<log 32<log 34<log 35；∴1log 32>1log 34>1log 35；∴a <b <c ．故选：A ．3(★★) f(x)是定义在R 上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x ≥1时，f(x)=log 2x ，则有( )A ．f(13)<f(2)<f(12)B ．f(12)<f(2)<f(13)C ．f(12)<f(13)<f(2)D ．f(2)<f(12)<f(13)【答案】 C【解析】∵x ≥1时f(x)=log 2x ，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∵f(2－x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)，又1<32<53<2，∴f(32)<f(53)<f(2)，即f(12)<f(13)<f(2)，故选：C ．4(★★) 不等式log 2(2x −1)∙log 2(2x+1−2)<2的解集为 ．【答案】 (log 254 ,log 23)【解析】设t =log 2(2x －1)，则不等式可化为t(t +1)<2，所以t 2+t －2<0，所以－2<t <1．所以－2<log 2(2x －1)<1，所以2－2<2x －1<2所以54<2x <3所以解集为(log 254,log 23) 故选B ．5(★★) 函数f(x)=log 13(x 2−3x +2)的单调递增区间为 ． 【答案】 (−∞ ,1)6(★★) 方程log 2(4x −3)=x +1的解集为 ．【答案】 {log 23}【解析】∵log 2(4x －3)=x +1，∴2x+1=4x －3， ∴(2x )2－2•2x －3=0，解得2x =3，或2x =－1(舍)， ∴x =log 23．∴方程log 2(4x －3)=x +1的解集为{log 23}．故答案为：{log 23}．7(★★★) 已知函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=2log a (2x +t)(t ∈R)，a >0，且a ≠1．(1)若1是关于x 的方程f (x )−g(x)=0的一个解，求t 的值；(2)当0<a <1且t =−1时，解不等式f(x)≤g(x)；(3)若函数F (x )=a f (x )+tx 2−2t +1在区间(−1 ,2]上有零点，求t 的取值范围．【答案】(1)t =√2−2 (2)12<x ≤54 (3)t ≤−2或t ≥2+√24．【解析】 (1)∵1是关于x 的方程f(x)－g(x)=0的一个解， ∴log a 2－2log a (2+t)=0，∴2=(2+t )2，∴t =√2−2；(2)当0<a <1且t =－1时，不等式f(x)≤g(x)可化为log a (x +1)≤2log a (2x －1)，故{x +1≥(2x −1)22x −1>0， 解得12<x ≤54； (3)F(x)=a f (x )+tx 2－2t +1=x +1+tx 2－2t +1=tx 2+x －2t +2， 令tx 2+x －2t +2=0，即t(x 2－2)=－(x +2)，∵x∈(－1,2]，∴x+2∈(1,4]，∴t≠0，x2－2≠0；∴1t =−x2−2x+2=−[(x+2)+2x+2]+4，∵2√2≤(x+2)+2x+2≤92，∴−12≤−[(x+2)+2x+2]+4≤4－2√2，∴−12≤1t≤4－2√2，∴t≤－2或t≥2+√24．。

3．2.1 对数及其运算第一课时 对数的概念及常用对数考点一：指数式与对数式的互化[例1] 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．(1)53＝125；(2)(14)－2＝16； (3)log 128＝－3；(4)log 3127＝－3. [精解详析] (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2. (3)∵log 128＝－3，∴(12)－3＝8. (4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 练1．求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝2－3；(2)log x 8＝6.解：(1)∵log 64x ＝－23， ∴x ＝642－3＝16423＝1（43）23＝142＝116. (2)∵log x 8＝6，∴x 6＝8，即(x 6)16＝816＝(23)16＝212.∴x ＝ 2.考点二：对数基本性质的应用[例2] 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1 (3)log (2－1)13＋22＝x ；(4)log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1.[精解详析] (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ， ∴(2－1)x ＝13＋22＝1（2＋1）2＝12＋1＝2－1， ∴x ＝1.(4)由对数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0且x ＋3≠1，x 2＋3x ＞0，x 2＋3x ＝x ＋3，∴x ＝1.练2．求下列各式中的x 的值：(1)log 2(log 5x )＝1；(2)log 3(lg x )＝2.解：(1)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25.(2)∵log 3(lg x )＝2，∴lg x ＝32＝9，∴x ＝109.考点三：对数恒等式的应用[例3] 计算：(1)71－log75；(2)a logb a ·log c b ·log N c (a ＞0，b ＞0，c ＞0，且均不等于1，N ＞0)．[精解详析] (1)71－log75＝1log5777＝75； (2)log a b a log b c log c N ＝log ()a b a log b c log c N ＝log b c b log c N ＝log ()b c b log c N ＝log c N c ＝N .练3．求3(1＋log 36)－2(4＋log 23)＋(13)log 34的值． 解：原式＝3·3log 36－24·2 log 23＋13 log 34 ＝3×6－16×3＋14＝18－48＋14＝－2934.课堂强化：1．如果N ＝a 2(a ＞0，a ≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝2解析：由指数式与对数式的互化可知：N ＝a 2⇔log a N ＝2.答案：D2．log x 64＝2，则x 等于( )A ．±8B ．8C ．4D ．－4解析：∵log x 64＝2，∴x 2＝64.∴x ＝±8，又∵x ＞0，∴x ＝8.答案：B3．(2011·陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________． 解析：∵f (－2)＝10－2＞0，∴f (f (－2))＝lg 10－2＝－2. 答案：－24．计算21－log 27＝________．解析：21－log 27＝2log 22－log 27＝2 log 227＝27. 答案：275．2lg x ＝8，则x 的值为________．解析：∵2lg x ＝8＝23，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.答案：1 0006．将下列指数式写成对数式：(1)210＝1 024； (2)10－3＝11 000； (3)0.33＝0.027.解：(1)∵210＝1 024，∴10＝log 21 024.(2)∵10－3＝11 000，∴－3＝log 1011 000＝lg 11 000. (3)∵0.33＝0.027，∴3＝log 0.30.027.课下检测：一、选择题1．若2x ＝3，则x 的值等于( )A ．log 23B ．log 123C ．log 32D ．log 132 解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.答案：A 2．log 7(log 3(log 2x ))＝0，则x 1－2等于( ) A.13B.123C.122D.133 解析：由已知及对数的性质知log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23.∴x 1－2＝(23) 1－2＝23－2＝1232＝12 2 .答案：C 3．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A.43B ．8C ．18D.12 解析：∵f (x 6)＝log 2x ，∴令x 6＝8，则x ＝816＝212.∴f (8)＝log 2212＝12. 答案：D4．2 2＋log 25的值等于( )A ．20B ．10C ．40D ．15解析：2 2＋log 25＝22×2 log 25＝4×5＝20.答案：A二、填空题5．若log 3(1－2x 9)＝1，则x ＝________． 解析：∵log 3(1－2x 9)＝1，∴1－2x 9＝3，∴x ＝－13. 答案：－136．若log x 3＝－35，则x ＝________． 解析：由对数与指数的互化知：x 3－5＝3， ∴(x 3－5)(5－3)＝35－3，即x ＝1353＝1335＝339. 答案：3397．已知a 23＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________． 解析：设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x， 又a 23＝49， ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3. 答案：38．设f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)＝________． 解析：由已知令x ＝13，则有： f (1)＝f (3×13)＝log 29×13＋12＝log 22＝12log 22＝12. 答案：12三、解答题9．设A ＝{0，1，2}，B ＝{log a 1，log a 2，a }，且A ＝B ，求a 的值．解：由log a 1＝0，且a ＞0，a ≠1，A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，log a 2＝1， ∴a ＝2.10．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值． 解：∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1 ＝27－1273－13＝919. 第二课时 积、商、幂的对数考点一：对数运算法则的应用[例1] 计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－7log 72]； (3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.[精解详析] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72] ＝(34log 33－log 33)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)·log 55＝－14.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg (2×5)＋1－lg 2＝1.练1．计算：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(2)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2； (3)log a n a ＋log a 1a n ＋log a 1n a. 解：(1)原式＝lg 16＋lg 125＋lg 5＝lg (16×125×5)＝lg 10 000＝4.(2)原式＝lg 3＋lg 4－lg 10lg 1.2＝lg3×410lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1. (3)原式＝1n －log a (a n )－log a n a ＝1n －n －1n＝－n . 考点二：换底公式的应用[例2] 求值：(1)log 927；(2)(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )·log 9n 32.[精解详析] (1)法一(换成以10为底)：log 927＝lg 27lg 9＝lg 33lg 32＝3lg 32lg 3＝32. 法二(换成以3为底)：log 927＝log 327log 39＝lg 3 33log 3 32＝3log 332log 33＝32. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22·log 9n 32 ＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)·log 9n 32＝n ·log 23·5n ·12log 32＝52. 练2．求下列各式的值：(1)log 169·log 2732；(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)．解：(1)log 169·log 2732＝lg 9lg 16·lg 32lg 27＝2lg 3·5lg 24lg 2·3lg 3＝56.(2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 92)＝(12log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32) ＝(56log 23)·32log 32＝54log 23·log 32＝54. 考点三：带有附加条件的对数式问题[例3] (1)已知：log 52＝a ，求2log 510＋log 50.5的值；(2)已知：lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log2x y 的值． [精解详析] (1)∵log 52＝a ，∴2log 510＋log 50.5＝2log 510＋1－log 510＝log 510＋1＝log 5(2×5)＋1＝log 52＋2＝a ＋2.(2)由lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，得lg xy ＝lg (x －2y )2. ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0.即(x －y )(x －4y )＝0，得x ＝y ，或x ＝4y .∵x ＞2y ＞0，∴x ＝y 舍去．∵x ＝4y ，即x y＝4. ∴log 2x y ＝log 24＝log 2(2)4＝4.练3．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，证明：2a ＋1b ＝2c. 证明：法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k (a ，b ，c 均为正数，k >0)， 则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k .∴1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6， ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6，即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a ＝4b ＝6c 同时取以10为底的对数，得lg 3a ＝lg 4b ＝lg 6c ，∴a lg 3＝b lg 4＝c lg 6，∴c a ＝lg 3lg 6＝log 63，c b ＝lg 4lg 6＝log 64， ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2， 即2c a ＋c b ＝2，∴2a ＋1b ＝2c. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.[解] 法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ., 法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a.课堂强化：1．2log 63－log 654等于( )A ．2B ．－1C ．－2D ．1 解析：∵2log 63－log 654＝log 632－log 654＝log 6954＝log 616＝log 61－log 66＝－1. 答案：B2．log 89·log 32的值为( )A.23B ．1 C.32 D ．2解析：∵log 89·log 32＝lg 9lg 8·lg 2lg 3＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 答案：A3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：∵2x ＝3，∴x ＝log 23.又∵log 483＝y ，∴y ＝12log 283. ∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 答案：A4．lg 12.5－lg 58＋lg 12＝________． 解析：原式＝lg 252－lg 58＋lg 12＝lg 25258＋lg 12＝lg 20＋lg 12＝lg 10＝1. 答案：15．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log x abc ＝________．解析：log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1. 答案：16．计算下列各式：(1)log 2148＋log 212－12log 224－(12)log 23； (2)1＋12lg 9－lg 2401－23lg 27＋lg 365. 解：(1)原式＝－12(log 216＋log 23)＋2＋log 23－12log 23－12log 28－2－log 23 ＝－2－12log 23＋2＋log 23－12log 23－32－13＝－116. (2)原式＝1＋lg 3－lg 3－lg 8－lg 101－2lg 3＋2lg 2＋2lg 3－lg 5＝－3lg 23lg 2＝－1.课下检测：一、选择题1．若log 34·log 8m ＝log 416，则m ＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：∵log 34·log 8m ＝log 416，∴log 8m ＝log 416log 34＝2log 34＝2log 43＝log 49＝log 23，即13log 2m ＝log 23，∴m 13＝3，m ＝27. 答案：D2．已知2x ＝3y ，则xy ＝( )A.lg 2lg 3B.lg 3lg 2 C ．lg 23D ．lg 32解析：令2x ＝3y ＝t ，则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ， ∴x y ＝log 2t log 3t ＝lg 3lg 2. 答案：B.3．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A.160 B ．60 C.2003D.320解析：log m (xyz )＝ log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y＝112－124－140＝160，即log z m ＝60. 答案：B4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512的值是( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a解析：log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .答案：C 二、填空题 5.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________．解析：原式＝lg 10－0lg 14＋lg 8·lg 322＝1lg 2·lg 16＝4lg 2lg 2＝4.答案：46．设a ＝lg (1＋17)，b ＝lg (1＋149)，用a 、b 表示lg 2、lg 7，则lg 2＝________，lg 7＝________．解析：lg (1＋17)＝lg 87＝3lg 2－lg 7＝a ，①lg (1＋149)＝lg 5049＝lg 50－2lg 7＝2－lg 2－2lg 7＝b ，②由①②解得lg 2＝2a －b ＋27，lg 7＝－a －3b ＋67.答案：2a －b ＋27 －a －3b ＋677．已知m ＞0且10x ＝lg (10m )＋lg 1m ，则x ＝________．解析：∵10x ＝lg (10m )＋lg 1m＝lg (10m ·1m )＝lg 10＝1＝100∴x ＝0. 答案：08．已知log a x ＝log a c ＋b ，则x ＝________．解析：法一：由对数定义可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .法二：由已知移项可得log a x －lo log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义知xc ＝a b ，∴x ＝c ·a b .法三：∵b ＝log a a b ，∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .∴x ＝c ·a b .答案：c ·a b 三、解答题 9．化简下列式子： 2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1.10．(1)已知11.2a ＝1 000，0.011 2b ＝1 000，求1a －1b 的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解：(1)因为11.2a ＝1 000，所以a ·lg 11.2＝3，1a ＝13lg 11.2.又因为0.011 2b ＝1 000，所以b ·lg 0.011 2＝3， 1b ＝13lg 0.011 2. 所以1a －1b ＝13(lg 11.2－lg 0.011 2)＝13lg 1 000＝1.(2)因为log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log bc ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1log c a ＋1log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧log c a ＋log c b ＝3，log c a ·log c b ＝1.所以log a b c ＝1log c a b ＝1log c a －log c b＝1±（log c a ＋log c b ）2－4log c a ·log c b＝1±5＝±55.3．2.2 对数函数第一课时 对数函数的图象及其性质[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝log 214x －3；(2)y ＝log 3(2x －1)＋1log 4x ；(3)y ＝log (x ＋1)(16－4x )；(4)y ＝log 12x －14x －1.[精解详析] (1)要使函数有意义，则14x －3＞0，即4x －3＞0，x ＞34，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞34. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，log 4x ≠0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，x ≠1，x ＞0.∴x ＞12，且x ≠1.故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧16－4x＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－1，x ≠0.∴－1＜x ＜2且x ≠0.故所求函数的定义域是{x |－1＜x ＜2，且x ≠0}． (4)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 12x －1≥0，4x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12，x ≠14.∴0＜x ≤12，且x ≠14.故所求函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤12，且x ≠14.(1)f (x )＝log 2(9－x 2)； (2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)； (3)f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)． 解：(1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0， 即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}． (2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，5－x ＞0，5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，x ＜5，x ≠4.∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32＜x ＜4，或4＜x ＜5.(3)要使f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)有意义， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，2x ＋3≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13，x ≥－32，x ≠1，∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13，且x ≠1.考点二：对数函数的值域(或最值) [例2] 求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[精解详析] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R . ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∵u ＞0， ∴0＜u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12u ≥log 124＝－2.∴y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}．巩固练习2．设x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝12.求函数z ＝log 12(8xy ＋4y 2＋1)的最大值与最小值．解：由x ＋2y ＝12得x ＝12－2y∵x ≥0，∴12－2y ≥0，∴0≤y ≤14令M ＝8xy ＋4y 2＋1＝8×(12－2y )y ＋4y 2＋1＝4y －16y 2＋4y 2＋1＝－12y 2＋4y ＋1＝－12×(y 2－y 3)＋1＝－12×[(y －16)2－136]＋1＝－12×(y －16)2＋43.易知1≤M ≤43，则z ＝log 12M ∈[log 1243，log 121]．即z 的最小值为log 1243，最大值为0.考点三：对数函数的图象3，[例3] 已知曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取43，35，110，则相应的C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[精解详析] 法一：因为对数的底数越大，函数图象就越远离y 轴的正方向，所以C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次由大到小，即C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为3，43，35，110.法二：过(0，1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标为(a 1，1)，(a 2，1)，(a 3，1)，(a 4，1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数值依次由大到小．[答案] A 巩固练习3．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )解析：当a ＞1时，y ＝a x 是单调增函数，y ＝log a x 在(0，＋∞)是增函数，而函数y ＝log a (－x )与y ＝log a x 图象关于y 轴对称易知选B.答案：B 课堂强化：1．若log 2a ＜0，(12)b ＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：∵log 2a ＜0＝log 21，∴0＜a ＜1. 又∵(12)b ＞1＝(12)0，∴b ＜0.答案：D2．(2011·江西高考)若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈(－12，0)∪(0，＋∞)．答案：C3．函数y ＝2＋log 5x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵x ≥1，∴log 5x ≥0，∴y ≥2. 答案：C4．函数y ＝log a (x －1)－1的图象过定点________． 解析：∵令x －1＝1，则y ＝－1 ∴该函数过定点(2，－1)． 答案：(2，－1)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b （x ≤0），log c （x ＋19）（x ＞0）的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0，2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，求实数a 的值．解：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∴最大值为f (2a )，最小值为f (a )． ∴f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12.∴a ＝4. 课下检测： 一、选择题1．函数y ＝log 2（x －1）的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：要使y ＝log 2（x －1）有意义，需有log 2(x －1)≥0＝log 21， ∴x －1≥1.∴x ≥2即定义域为[2，＋∞)． 答案：C2．若函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 2解析：∵y ＝log a (x ＋b )的图象过两点(－1，0)，(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （－1＋b ），1＝log ab .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2. 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，（12）x －1，x ＜2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥2，log 2（x 0－1）＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜2，（12）x 0－1＞1，∴x 0＞3或x 0＜－1. 答案：C4．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1，1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1，1] C ．[12，2]D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 解析：∵－1≤2log 12x ≤1， ∴－12≤log 12x ≤12.∴log 12(12)1－2＝－12≤log12x ≤12＝log 12(12)12. ∵y ＝log 12x 是减函数．∴2＝(12)1－2≥x ≥(12)12＝22. 答案：A 二、填空题5．函数y ＝log 14(x 2＋1)的值域为________．解析：∵x 2＋1≥1， ∴log 14(x 2－1)≤log 141＝0，∴该函数的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]6．若定义在(－1，0)上的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0， ∴0＜x ＋1＜1. ∵f (x )＞0，∴0＜2a ＜1. 即0＜a ＜12.答案：(0，12)7．已知对数函数f (x )的图象过点P (8，3)，则f ⎝⎛⎭⎫132＝________． 解析：设对数函数f (x )＝log a x ， ∵f (x )的图象过点P (8，3)， ∴3＝log a 8. ∴a 3＝8，a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .f ⎝⎛⎭⎫132＝log 2132＝log 22－5＝－5. 答案：－58．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，若a log b (x －3)＜1，则x 的取值范围为________．解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －3)＜1，∴log b (x －3)＞0.又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，3＜x ＜4.答案：3＜x ＜4三、解答题9．求下列函数的定义域：y ＝log 45x －12x －1.解：式中有三处限制条件：分式(分母不为0)，二次根式(根号下的代数式非负)，对数式(真数恒为正)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≠0，log 45x －1≥0，x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，log 45x ≥1，x ＞0.解得0＜x ≤45且x ≠12，所以函数的定义域为(0，12)∪(12，45]． 10．若－1＜log a 34＜1，求a 的取值范围． 解：－1＜log a 34＜1，即log a 1a ＜log a 34＜log a a ， 当a ＞1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＜34＜a ，解得a ＞43. 当0＜a ＜1时，由log a 1a ＜log a 34＜log a a 可得1a ＞34＞a ，解得0＜a ＜34. 综上可得，a 的取值范围为(0，34)∪(43，＋∞)．第二课时 对数函数的图象及其性质的应用考点一：对数函数的单调性[例1] 比较下列各组对数值的大小：(1)log 151.6，log 152.9；(2)log 78，log 0.34；(3)log a 5，log a 6(a ＞0，且a ≠1)．[精解详析] (1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵log 78＞0，log 0.34＜0，∴log 78＞log 0.34.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，∴log a5＜log a6.当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，∴log a5＞log a6.巩固练习1．比较下列各题中两个值的大小：(1)ln2，ln 0.9；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8.解：(1)考察函数y＝ln x，因为底数为常数e(e＞1)，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又2＞0.9，所以ln 2＞ln 0.9.(2)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(3)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.考点二：对数函数的实际应用[例2]我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L表示，它们满足以下公式：L＝10lg II0，单位为分贝，L≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的取值范围为多少？[精解详析](1)由题意知，树叶沙沙声的强度水平为L1＝10lg I1I0＝10lg 1＝0；耳语声的强度水平为L2＝10lg I2I0＝10lg 102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度为L3＝10lg I3I0＝10×lg 104＝40(分贝)；(2)由题意知，0≤L ＜50，即0≤10lg I I 0＜50，所以1≤I I 0＜105，则1×10－12≤I ＜1×10－7. 故新建的安静小区的声音强度I 应大于等于1×10－12 W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2. 巩固练习2．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系为v ＝2 000ln (1＋M m)．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解：由12 000＝2 000ln (1＋M m)， 即6＝ln (1＋M m)， 1＋M m ＝e 6，利用计算器算得M m≈402. 即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.考点三：对数函数性质的综合应用[例3] 求证：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x (－1＜x ＜1)是奇函数且是减函数． [精解详析] ∵－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域关于原点对称，而f (－x )＝lg 1－（－x ）1＋（－x ）＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．设x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，设t 1＝1－x 11＋x 1，t 2＝1－x 21＋x 2， 则t 1－t 2＝1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝（1－x 1）（1＋x 2）－（1＋x 1）（1－x 2）（1＋x 1）（1＋x 2） ＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴t 1－t 2＞0.∴t1＞t2.∴lg t1＞lg t2.∴f(x1)＞f(x2)．∴f(x)为减函数．练3．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<a x1<a x2，故0<a x1－1<a x2－1，∴log a(a x1－1)<log a(a x2－1)，∴f(x1)<f(x2)，故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．同理，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上也为增函数．课堂强化：1．(2011·北京高考)如果log12x<log12y<0，那么()A．y<x<1B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：根据对数函数的性质得x>y>1.答案：D2．函数f(x)＝ln |x－1|的图象大致是()解析：∵y ＝ln |x |是偶函数关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调增，∴f (x )＝ln |x －1|关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调增．答案：B3．(2011·天津高考)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b .答案：B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈[0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________．解析：∵0＞log 312＞log 313＝－1， ∴f (log 312)＝(13)log 312＝(13)log 132＝2. 答案：25．满足log 34(x ＋1)＞log 34(3－x )的x 的取值范围为________．解析：依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3－x ＞0，x ＋1＜3－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜3，x ＜1.∴－1＜x ＜1.答案：－1＜x ＜16．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的单调递减区间．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |＞0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．课下检测：一、选择题1．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln (ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：ln 2∈(0，1)，∴ln (ln 2)＜0，且(ln 2)2＜ln 2，ln 2＝12ln 2＜ln 2. ∴最大的是ln 2.答案：D2．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．(14)x ＜(14)y 解析：由于函数f (x )＝log 4x 为增函数，所以有log 4x ＜log 4y .答案：C3．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为下图的( )解析：当x ＞0时，函数f (x )＝log a x ＋1(0＜a ＜1)，图象是将函数y ＝log a x (0＜a ＜1)所有点向上平移一个单位；再将图象关于y 轴对称，得到函数图象为A.答案：A4．已知log m 4＜log n 4，则有( )A ．m ＞n ＞1B ．0＜n ＜m ＜1C ．m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜nD ．0＜n ＜1＜m解析：∵log m 4＜log n 4，∴1log 4m ＜1log 4n， 当m ＞1，n ＞1时，得0＜1log 4m ＜1log 4n， ∴log 4n ＜log 4m ，∴m ＞n ＞1.当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得1log 4m ＜1log 4n＜0， ∴log 4n ＜log 4m ，∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1，∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m ，n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .答案：C二、填空题5．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴定义域为R ，∴f (x )≥log 33＝1，∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b －a 的最小值为________．解析：数形结合|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.作图由图可知(b －a )min ＝1－13＝23. 答案：237．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________． 解析：易知a x 与log a (x ＋1)的单调性是相同的，∴f (0)＋f (1)＝a ，即(a 0＋log a 1)＋(a ＋log a 2)＝a ，得1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1＝log a 1a ，∴1a ＝2，∴a ＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案：{x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题9．已知f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x，求f (12 011)＋f (－12 011)的值． 解：由1－x 1＋x＞0，得：－1＜x ＜1. 所以f (x )的定义域为：(－1，1)，又f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x ＝－(－x ＋log 21－x 1＋x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，所以f (12 011)＋f (－12 011)＝0. 10．f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k ＞0)． (1)求函数的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围．解：(1)因为kx －1x －1＞0及k ＞0，所以x －1k x －1＞0. ①当0＜k ＜1时，得x ＜1或x ＞1k； ②当k ＝1时，由x －1x －1＞0可得x ∈R 且x ≠1； ③当k ＞1时，得x ＜1k或x ＞1. 故f (x )的定义域为：当0＜k ＜1时，定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ＝1时，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；当k ＞1时，定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)． (2)因为f (x )在[10，＋∞)上是增函数，所以10k －110－1＞0，所以k ＞110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg (k ＋k －1x －1)对于任意的x 1，x 2，当10≤x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，即lg (k ＋k －1x 1－1)＜lg (k ＋k －1x 2－1)，得k －1x 1－1＜k －1x 2－1⇒(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)＜0，又因为1x 1－1＞1x 2－1，所以k －1＜0，k ＜1.综上所述k 的取值范围是(110，1)． 3．2.3 指数函数与对数函数的关系考点一：求反函数[例1] 写出下列函数的反函数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝log 13x ；(3)y ＝(2)x ； (4)y ＝(23)x . [精解详析] (1)y ＝lg x 的底数为10，它的反函数为指数函数y ＝10x .(2)y ＝log 13x 的底数为13，它的反函数为指数函数y ＝(13)x . (3)y ＝(2)x 的底数为2，它的反函数为对数函数y ＝log 2x .(4)y ＝(23)x 的底数为23，它的反函数为对数函数y ＝log 23x . 练1．求下列函数的反函数．(1)y ＝2x ；(2)y ＝log 3x ；(3)y ＝3－x . 解析：(1)由y ＝2x 得x ＝12y ， 所以函数y ＝2x 的反函数是y ＝12x (x ∈R )． (2)y ＝log 3x 的底数是3，它的反函数是指数函数y ＝3x (x ∈R )．(3)y ＝3－x ＝(13)x 的底数为13，它的反函数为对数函数y ＝log 13x (x ＞0). 考点二：指数函数与对数函数的关系[例2] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 2[精解详析] 函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，故函数解析式为y ＝log a x ，因为其图象经过点(a ，a )，所以a ＝log a a ＝12，故f (x )＝log 12x . [答案] B练2．记f (x )＝log 3(x ＋1)的反函数为f －1(x )，则方程f －1(x )＝8的解x ＝________． 解析：由于同底的指数和对数函数互为反函数，可知f －1(x )＝3x －1，由题意f －1(x )＝3x －1＝8，即3x ＝9，解得x ＝2.答案：2考点三：解对数方程或不等式[例3] (1)解关于x 的方程：log 3(3x －1)·log 3(3x －1－13)＝2； (2)解关于x 的不等式：2log a (x －4)＞log a (x －2)．[精解详析] (1)原方程可化为log 3(3x －1)·log 3[13(3x －1)]＝2. 令t ＝log 3(3x －1)，则原方程化为t (t －1)＝2，解得t ＝2或t ＝－1.由log 3(3x －1)＝2，得3x ＝10，所以x ＝log 310.由log 3(3x －1)＝－1，得3x ＝43， 所以x ＝log 343. 经检验，x ＝log 310，x ＝log 343都是原方程的解．所以原方程的解为x 1＝log 310，x 2＝log 343. (2)原不等式化为log a (x －4)2＞log a (x －2)．①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，即x ＞6.②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，即4＜x ＜6.故当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞6}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |4＜x ＜6}．练3．(1)解关于x 的方程：lg (2x )·lg (3x )＝lg 2·lg 3；(2)设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)＞0的解集． 解：(1)原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x＝0或lg x ＝－lg 6，所以x ＝1或x ＝16.经检验，x ＝1，x ＝16都是原方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝16. (2)由a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值可知a ＞1，所以不等式log a (x －1)＞0可化为x －1＞1，即x ＞2.课堂强化：1．已知函数y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，下列说法不．正确的是( ) A ．两者的图象关于直线y ＝x 对称B ．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C ．两函数在各自的定义域内的增减性相同D ．y ＝a x 的图象经过平移可得到y ＝log a x 的图象解析：由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A 、B 、C 选项均正确．答案：D2．若3x ＝2，则x ＝( )A ．lg 2－lg 3B ．lg 3－lg 2C.lg 3lg 2D.lg 2lg 3解析：∵3x ＝2，∴x ＝log 32＝lg 2lg 3. 答案：D3．已知函数f (x )存在反函数，则方程f (x )＝0的根的情况是( )A ．有且仅有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．可能有两个实数根解析：由存在反函数的条件知，构成函数的映射为一一映射，因此，f (x )＝0的根的情况至多有一个实数根．答案：C4．函数y ＝3x 的反函数是________．解析：∵y ＝3x 的反函数为y ＝log 3x .答案：y ＝log 3x5．已知函数y ＝a x ＋b 的图象过点(1，4)，其反函数图象过点(2，0)则a ＝________，b ＝________．解析：由题意得y ＝a x ＋b 的图象过(1，4)与(0，2)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，1＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1. 答案：3 16．求函数y ＝⎩⎨⎧（13）x ，x ≤0，log 13x ，x ≥1的反函数． 解：当x ≤0时，y ＝(13)x ≥1，则x ＝log 1y . 当x ≥1时，y ＝log 13x ≤0，则x ＝(13)y ， 交换x ，y 得y ＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 即所求反函数f －1(x )＝⎩⎨⎧log 13x ，x ≥1，（13）x，x ≤0. 课下检测：一、选择题1．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)解析：函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )是y ＝e x 的反函数，即f (x )＝ln x ，∴f (2x )＝ln (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)．答案：D2．若指数函数y ＝a x 当x ＜0时，有0＜y ＜1，则在同一坐标系中，函数y ＝a －x与函数y ＝log a x 的图象是( )解析：∵x ＜0时，y ＝a x ∈(0，1)，∴a ＞1.∴log a x 单调增，a －x ＝(1a)x 单调减． 答案：A3．函数y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 B ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫x ＞110 C ．y ＝－1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 D ．y ＝1＋lg x ⎝⎛⎭⎫110＜x ≤1 解析：两边取常用对数，得lg y ＝x 2－1⎝⎛⎭⎫110＜y ≤1，互换x 、y ，得lg x ＝y 2－1，化简得y ＝1＋lg x .由原函数值域，得反函数的定义域为⎝⎛⎦⎤110，1.答案：D4．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，f －1(2)＜0，则f －1(x ＋1)的图象是( )解析：本题考查互为反函数的函数之间的关系．f (x )＝a －x ，f －1(x )＝－log a x ，由f －1(2)＜0，即－log a 2＜0，log a 2＞0，所以a ＞1.f －1(x ＋1)＝－log a (x ＋1)(a ＞1)，过(0，0)点． 答案：A二、填空题5．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________． 解析：由题意可知f (x )的图象过(－1，2)，∴a －1＝2，∴a ＝12. 答案：126．已知f (x )＝2x ，则方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1的解集为________． 解析：f －1(x )＝log 2x ，所以方程f －1(x －1)＋f －1(x )＝1，即log 2(x －1)＋log 2x ＝1，即x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞0，故x ＝2.答案：{x |x ＝2}7．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (27)＝3，则f －1(log 92)的值是________． 解析：由f (x )＝log a x ，f (27)＝3，∴log a 27＝3，∴a ＝3，∴f －1(x )＝3x ， ∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2. 答案： 28．已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，则f (1)＋g (1)＝________． 解析：令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1.∵f (x )与g (x )互为反函数，∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg 1＝1.∴f (1)＋g (1)＝2.答案：2三、解答题9．解下列不等式：(1)⎝⎛⎭⎫123x ＋1≤⎝⎛⎭⎫12x －2；(2)log 73x ＜log 7(x 2－4)．解：(1)3x ＋1≥x －2，x ≥－32. (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，x 2－4＞0，3x ＜x 2－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜－2，x ＜－1或x ＞4. 解得：x ＞4.10．若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 解：要使不等式2x <loga x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x的图象在⎝⎛⎭⎫0，12内恒在函数y ＝2x 图象的上方，而y ＝2x 图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.由图可知，log a 12≥2，显然这里0<a <1，∴函数y ＝log a x 递减． 又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，即a ≥⎝⎛⎭⎫1222.故所求的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫122≤a <1.。

数学学科教师辅导讲义解(1)(2)得：251+=a ，b=251+-，即有在251+=a ，b=251+-满足条件例3、如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设∆ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值..19．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59; S ⎥⎦⎤⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-==例4、对于区间[],m n 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果任意[],x m n ∈均有()()1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[],m n 上是接近的，否则称()f x 与()g x 在[],m n 上是非接近的，现有两个函数()()1log 3a f x x a =-与()()21log 0,1af x a a x a=>≠- （1）求()()12f x f x -的定义域；（2）若()1f x 与()2f x 在给定区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； （3）讨论()1f x 与()2f x 在给定区间[]2,3a a ++上是否是接近的。

第一课时对数及其运算【知识要点】1.对数的定义：如果（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作2.指数式与对数式的关系：（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果，，，，那么（1）；；；；（2）（3）（4）（5）（6）换底公式换底公式推论：（1）；（2）；（3）【典题精讲】题型一对数的化简、求值1.．2．注意对数恒等式，对数换底公式及等式在解题中的灵活应用．【例1】(1)若，则=，求(2)设，则__________；(3)计算：解析：(2)由3a＝4b＝36得a＝log336，b＝log436，再根据换底公式得a＝log336＝，b＝log436＝.所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.【变式1】已知，那么用表示是（ A ）A．B．C．D．【变式2】若（ A ）A．B．C．D．【变式3】（1）计算__________.答案：1（2）计算：__________.答案：2【例2】求值【解析】；【变式1】的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，故选B.【变式2】已知则=________.【答案】【解析】由得，所以，解得,故答案为.【变式3】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝_________.【答案】【解析】因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝．【变式4】(1)若，则=___________（2）若（3）若___________答案：(1)64(2)(3) 12【变式5】已知，求的值.【解析】或（舍去），.题型二对数换底公式的应用【例2】设，且.（1）求证：；（2）比较的大小。

4.6对数函数的图像与性质（1）案例背景对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础案例叙述：(一).创设情境（师）：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．（提问）：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?（学生）：是指数函数，它是存在反函数的（师）：求反函数的步骤（由一个学生口答求反函数的过程）：由得．又的值域为，所求反函数为．（师）：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．（二）新课1.（板书）定义：函数的反函数叫做对数函数．（师）：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?（教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流）（学生）对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．（在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．）2．研究对数函数的图像与性质（提问）用什么方法来画函数图像?（学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．（学生2）用列表描点法也是可以的。

请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图．（师）由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．具体操作时，要求学生做到：(1) 指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．(2) 画出直线(3) 的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出和的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：教师画完图后再利用电脑将和的图像画在同一坐标系内，如图然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)3. 性质(1) 定义域：(2) 值域：由以上两条可说明图像位于轴的右侧．(3)图像恒过(1,0)(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称(5) 单调性：与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的当时，在上是减函数，即图像是下降的．之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：当时，有；当时，有．学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．（三）．简单应用1. 研究相关函数的性质例1. 求下列函数的定义域：(1) (2) (3)先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．2. 利用单调性比较大小例2. 比较下列各组数的大小(1)与； (2)与；(3)与；(4)与．让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．三．拓展练习练习：若，求的取值范围．四．小结及作业案例反思：本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在教学上采取教师逐步引导，学生自主合作的方式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．在教学中一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地以反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．课题：对数函数的图像与性质（2）（教案）【教学目标】知识与技能目标：（1）进一步熟悉对数函数的图像和性质（2）会利用对数函数的性质解决数学问题；（3）培养学生数形结合的意识。

第8讲 对数函数及性质（教师版）一．学习目标：（1）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（2）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（3）了解指数函数y=a x与对数函数互为反函数（）二．重点难点：重点：对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数函数在a >1与0<a <1时图象、性质的区别．②对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．三．知识梳理：1.定义：形如（）的函数。

（1）定义域：（0,+）数的自变量。

而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

（2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f -1(x)表示.（3）指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

四．典例剖析：题型一 对数函数的概念例1 （一）指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1[思路探索] 严格按照对数函数的形式判断，对于形似的函数要辨别清楚． 解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．课堂小结： 1.同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x 2等都不是对数函数，只有y ＝log ax (a >0，且a ≠1)才是．2．判定一个函数为对数函数，必须满足：log x a y =0,1a a >≠且log xa y =0,1a a >≠且1a >01a <<∞(1)log ax 的系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x .（二）已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1， 即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)． 从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2. 课堂练习1： 下列函数中是对数函数的是 ( )． ①y ＝log x2； ②y ＝log ax (a ∈R)； :③y ＝ln；④y ＝log x(x ＋2)；A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析 上述4个函数均不符合对数函数的定义，没有对数函数．答案A 例2（1）求下列函数的定义域：（1）y =（2）2lg(23)y xx =+- 答：（1）x ∈(0,12) (2) x ∈(-∞,1-∪(1-∪[3,+ ∞)课堂练习2：（1）（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C（2）(2011年江西理科高考)若f (x )f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 答案 A题型二 对数函数的图像例3（1） 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A. 3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35答：A 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1>a 2>a 3>a 4， 所以C 1，C 2，C 3，C 4的底值依次由大到小．（2）（2013年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A（3）已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图像如图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1【解析】 首先由于函数φ(x )＝2x＋b －1单调递增，可得a >1；又－1<f (0)<0，即－1<log a b <0，所以a －1<b <1，故0<a －1<b <1.（4）．（2012年高考全国新课标）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 答：B课堂练习3：（1）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0 B ．恒为正数 C ．恒为负数 D ．不大于0解析：选B 由题意知，x 0是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x和y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，由图知，⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1>log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数． （2） (2010年全国高考题Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解：画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.题型三 对数函数性质及应用例4（定点性）不论a 为何值，f(x)=3+log (35)a x + 恒过定点 。

第一课时 对数及其运算【知识要点】 1.对数的定义：如果N a b=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log2.指数式与对数式的关系：b N N a a b=⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）log 10a =； log 1a a =； log a Na N =； logb a a b =；（2）()log log log a a a MN M N=+ （3）log log log aa a MM N N=- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5）1log log aa M n=（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）log log m n a a n b b m= 【典题精讲】题型一 对数的化简、求值1.b N N a a b=⇔=log ．2．注意对数恒等式log aN a N＝，对数换底公式log log log b a b NN a=及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a=⋅=在解题中的灵活应用．【例1】(1) 若23=x，则x = 465=⎪⎭⎫⎝⎛x，求=x(2)设3643==ba ，则=+ba 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363，b＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ． 23a a -【变式2】若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y xa y x 则（ A ）A ．a 3B ．a 23C ．23-aD ．a【变式3】（1）计算=-+23lg 53lg 25lg __________. 答案：1（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2__________. 答案：2【例2()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-； 【变式1】lg 的值是（ ）A.12B.1C.10D.100 【答案】B【解析】由1==，故选B.【变式2】已知,lg ,24a x a==则x =________.【解析】由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝_________.【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________（2）若__________3log ,2log123==则a（3）若2log 2,log 3,m na a m n a +===___________答案：(1) 64 (2)11+a (3) 12【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值.【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩Q （），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==. 题型二 对数换底公式的应用【例2】 设+∈R z y x ,,，且zy x 643==.（1） 求证：yx z 2111=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。