高等数学微积分第3章第7节导数在经济上的简单应用.ppt

边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
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01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性

平均成本为
C 10 C 10 140 14万元 万件 14元 件
10 10
即在产量Q 10万件时，每件产品的成本为14元.
根据边际成本理论得 CQ 0.06Q2 0.8Q 6，于是生产10万件产品
时的边际成本是 C10 0.06 102 0.810 6 4元 件
从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品， 总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的 角度来看，应该提高产品的生产产量.
新 的 生 产 资 源 原 材 料 、 燃 料 、 劳 动 力 等 .使 生 产 资 源 得 到 最 充 分
的 利 用 ， 也 就 是 产 品 的 平 均 成 本 最 低 ?
2
解
:
由
1的
讨
论
可
知
，
若
C
Q
0
C
Q
0
，
则
在
产
量
为
Q
万
0
件
的
基 础 上 ， 再 多 生 产 1件 产 品 ， 总 成 本 增 加 C Q0 元 ， 比 当 前 每 件
(2) 边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个 重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。
3
一、边际与边际分析
3、边际分析
对 于 经 济 函 数 f ( x ) ， 设 经 济 变 量 x 在 点 x 0 有 一 个 改 变 量 x ， 则 经 济 变 量 y 在 y 0 f ( x 0 ) 处 有 相 应 的 改 变 量
16
2解：由RQ 102Q知，当Q25吨时，边际收益大于零，
5
总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当Q25吨时， 边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当Q25吨时，

导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。

03
微分在经济学中的应用
利用微分分析经济函示因变量y对于自变 量x的变动反应程度，即y对于x的变 化率。
弹性的计算
根据微分的定义，可以将弹性的计算 公式表示为d(y)/d(x)。
弹性的经济学意义
弹性反映了x变化时y的相应程度，对 于经济分析具有重要意义。
利用微分分析经济的价格弹性
微分的定义
函数在某一点的微分
函数在这一点变化率的近似值，表示函数在这一点的变化快慢。
微分的计算公式
根据定义，函数在某一点的微分等于函数值在该点的变化率与自变量在该点的变化率的比值的近似值 。
微分的几何意义
曲线在某一点的曲率
对于一条曲线，在任意一点处的微分就是该点处曲线在该点 的曲率，表示曲线在该点的弯曲程度。
导数与微分在经济学中的简单应用 教学课件
xx年xx月xx日
目 录
• 导数与微分的预备知识 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的模型应用 • 导数与微分在经济学中的实证分析 • 导数与微分在经济学中的综合应用案例
01
导数与微分的预备知识
导数的定义
函数在某一点的导数
利用导数与微分进行经济周期的预测分析
总结词
经济周期是指经济运行中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏等循环现象，对经济的 稳定和持续发展具有重要影响。
详细描述
利用导数与微分进行经济周期的预测分析，需要运用时间序列分析和谱分析等方 法，建立经济周期的数学模型，运用导数和微分的方法分析模型的动态性质，预 测未来经济周期的变化趋势，并制定相应的政策建议。
函数在这一点变化率的极限，表示函数在这一点的变化快慢 。
导数的计算公式
根据定义，函数在某一点的导数等于函数值在该点的变化率 与自变量在该点的变化率的比值。

x 与 y f ( x0 x) f ( x0 )
x0
y0
f ( x0 )
分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x0处的相对增量.
定义
设y =ƒ(x)当x 0 时, 极限
y lim x0 x
y0 x0
存在,
则称此
极限值为函数 f ( x) 在点 x0 处的弹性, 记为 ( x0 ).
是降价还是提价均对收益没有明显的影响.
由此对例36 而言: 当p = 4时, p 0.92 1 (低弹性),
2019/1此2/3 时降价使收益减少; 提价使收益增加;
14
当 p = 4.35 时, p 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益增加;
2019/12/3
p
, 均满足 p 0.
12
在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp>0) 或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
p

Q( p) p
Q( p)

p dQ Q( p) dp
价格p的微小变化(即 p 很小时)而引起的需求量的改变为
济上的应用.
1.平均成本最小
例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C( x) 9000 40x 0.001x2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并
求出其最小平均成本和相应的边际成本.
解 2019/12/3 平均成本函数是 C ( x) C( x) 9000 40 0.001x

例1：设某商品的需求函数Qd=f (P)＝a-bP ； 供应函数Qs=f (P) =-c+dP. 供需平衡时有：Qd ＝a-bP ＝Qs=-c+dP.
则均衡价格为： P a c bd
（3）总成本函数 设Q表达产品的产量，C表达总成本，则称
C= C(Q)为总成本函数，Q＝0时，称C(0)为固定
成本，称 C= C为(Q平)均成本函数。总成本函 数是单调增加的Q，但平均成本函数普通不单调。
故边际利润函数为
L(x) 0.02x 20 0.02(1000 x).
显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。
例2设某产品需求量 x 1000 10 p ，其中 p 为价格，
求边际收益函数以及 x 100,200,500,600 时的边际收益。
解由总收益函数为 R(x) px ，又根据需求函数知
x 养猪数 的函数 R(x) 1 x2 400x. ．问一年养多少头猪 2 总利润最大，最大值是多少？
解 由 C(x) 20000 100x,
得 L(x) R(x) C(x) 1 x2 300x 20000, x [0,400]. 2
由
L(x) x 300 0
得
x 300
从而 R [1 ( p) ]dp [1 ( p) ] p ,
R
p
p
当 ( p) 1.3 时
Q (1.3)( 10 ) 13%,
Q
100
R (1.3)( 10 ) 3%.
R
100
当 ( p) 2.1时，
Q (2.1)( 10 ) 21%,
Q
100
R (1 2.1)( 10 ) 11%.
（3）
y ax+b , Ey Ex

05
导数与微分在经济学中的实践练习
练习一：利用导数分析函数单调性
总结词
通过导数的符号判断函数的单调性
详细描述
首先，需要了解导数的基本概念及其与函数单调性的关 系。其次，通过实例，展示如何利用导数判断函数的单 调性。
练习二：利用微分求解函数极值
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过微分求解函数的极值点
首先，需要了解微分的基本概念及其与函数极值的关系 。其次，通过实例，展示如何利用微分求解函数的极值 点。
2023
导数与微分在经济学中的 简单应用教学课件
contents
目录
• 导数与微分的概念 • 导数在经济学中的应用 • 微分在经济学中的应用 • 导数与微分在经济学中的案例分析 • 导数与微分在经济学中的实践练习
01
导数与微分的概念
导数的定义
1 2
函数在某一点的导数
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率。
案例一：商品价格与需求量的关系
01
总结词：价格弹性பைடு நூலகம்
02
详细描述：在经济学中，商品 价格与需求量之间的关系可以 用导数来描述。如果需求函数 是线性的，那么它的导数就是 价格弹性，表示价格变动对需 求量变动的影响程度。
03
公式展示：如果需求函数是 Q=a-bP，其中Q是需求量， P是价格，a和b是常数，那么 价格弹性就是-b/a。
导数可以用来寻找最大收入的解，即如何确定销售量以达到最大 收入。
03
微分在经济学中的应用
微分在函数极值中的应用
总结词
找寻经济函数的最大值和最小值
详细描述
通过微分，我们可以求出函数的一阶导数，并找到导数为零的点，这些点就是函数的极值点。在经济学中，我 们常常需要找出一个经济函数的最优解，即经济函数的最大值或最小值。例如，在成本最小化问题中，我们可 以通过微分来找到总成本的最小值点。

. 边际
导数与微分在经济学中的简单应用
.边际分析
在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
*
总成本、平均成本、边际成本
“总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。
*
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性商品采取提高价格增加经济收益的策略。
当 时，需求量增加(减少)的百分比小于价格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使消费者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收益减少 ,提高价格会使总收益增加。
（3）当 时，称为低弹性，这时当商品价格增加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %, 即需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量的影响不大。
*
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。
*
定义设函数y=f(x)在点x=x0
称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+△x两点间的平均相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹性”.
的某邻域内有定义，
且 ，如果极限
存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 处的点弹性， 记为
而称比值
表示f(x)在x=x0处的相对变化率
*
由定义可知
如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称 为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为弹性函数。 相对变化率 平均相对变化率

10 10
(2) 由于平均成本为 C (Q )
C (Q )
Q

Q
10
2
160
Q
1 160 C (Q ) 2 10 Q
令C (Q ) 0，得唯一驻点Q 40.
160 C (Q ) 2 160(Q 2 ) 320 Q 3 Q 320 1 C (40) 3 0 40 200
在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”
二字．
例4 解
Ey Ey 求 y 4 3 x 的弹性函数 及 Ex Ex
Ey x 3x y , y 3, Ex y 4 3x
．
x2
Ey Ex
x2
3 2 0.6． 4 3 2
2、需求弹性 格P的函数：
R(Q ) 平均收益函数为 R P (Q )． Q
dR P (Q ) QP (Q )． 边际收益函数为 R dQ
其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基 础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。
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二、最大利润原则 设总利润为L，则
L L(Q ) R(Q ) C(Q )，
R(Q ) Q P (Q ) 10Q
Q2
5
,
2Q R(Q ) P (Q ) 10 , R(Q ) 10 , 5 5 所以当 Q 10 时，总收益、平均收益与边际收益分别为：
Q
R(10) 80, R(10) 8, R(10) 6．
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Ey x 我们称它为y f ( x)的弹性函数， y 仍为x的函数， Ex y
Ey 当x x0 时， Ex Ef ( x0 ) x0 f ( x0 ) ． Ex f ( x0 )

解 因为 y 300e3x ，于是
Ey Ex
300e3
x
x 100e3x
3x
f (x) 0
所以
Ey Ex
x2 6
弹性的实际意义是在x 2 处当自变量改变1％时，
的函数值改变6％
18
弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系. 需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力 购买的商品量. 商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数 称为需求函数.
加（减少） R x0 个单位。
9
例.某商品销售量 x与价格 P之间的函数关为 P 10 0.01x 。
求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明 边际收益的经济意义
解 因为总收益函数为 R(x) x P(x) 10x 0.01x2 所以，当销售量 x 400,500, 600 时的总收益分别为
弹性
因变量变动的比率 自变量变动的比率
1144
利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一 个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.
定义 设 y f (x) 在点 x0 量的相对增量(变化率)，y
y0
处可导，且 x0 0,
f x0 x f x0 f x0
x 为自变 x0 为函数的相
x x0
x0
x
L x表0 示产量为 时x0的边际利润，其经济意义是当产量为 x时0， 每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） L x0个单位.
11
由L x R x C x ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定. 即当 R x C x 时，L(x) 0；当 R x C x时，L(x) 0； 当 R x C x 时 ，L(x) 0