经济数学微积分极限运算法则54页PPT

解
解
商旳法则不能用
由无穷小与无穷大旳关系,得
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
解
(无穷小因子分出法)
解
先变形再求极限.
推论 2 . 有限个无穷小旳乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
阐明 : y = 0 是
旳水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思索：
是否存在 ? 为何 ?
答: 不存在 .
不然由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
时, 对
型 , 约去公因子
时 , 分子分母同除最高次幂
“ 抓大头”
作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3 , 5
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式
则
一般有如下成果：
为非负常数 )
求极限措施举例
所以
一般有如下成果：
为非负常数 )
例9. 求
解: 令
∴ 原式 =
例10 . 求
解: 措施 1
则
令
∴ 原式
措施 2
例11.
解:
求
故
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限旳措施
分式函数极限求法
时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )

重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。

经济数学——微积分
1.6 极限运算法则
一、极限的四则运算 二、复合函数极限的运算法则 三、小结
一、极限四则运算
定理
证 由无穷小运算法则,得
推论1 常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
极限计算举例
1、 例1 解 例2 解
小结:
例3 解
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
例4 解
(消去零因子法)
则有 意义：（可以用变量替换的方法求复合函数的极限）
推论（幂指函数的极限）
例11 求
解
时，令
n=1时，结论也成立，故
三、小结
1. 极限的四则运算法则及其推论 2. 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷大化无穷小求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3. 复合函数的极限运算法则
2、
例5 解 将无穷大化为无穷小，再求极限.
结论:（化无穷大为无穷小）
3、需经适当变形再求极限
例6 求 解
例7
解 原式 :
8 求 解
化无穷大为无穷小，利用
例9
解 先变形再求极限.
例10 求 解
二、复合函数的极限运算法则
定理 （复合函数的极限，变量替换定理） 设y=f(u)与u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)].如果

2x
5、
1 lim( x1 1
x

3 1 x3
)
6、
lim
x
(2x
3)20 (3x (2x 1)50
2)30
7、 lim (x h)2 x2
h0
h
8. 设f
(x)


x2
2x 3, x 1
x
1 ,求 lim
f
( x).
4 x
x1
,x 1
例 1 求lim(3x2 2x1) x1
解 lim(3x2 2x1) lim 3x2 lim 2xlim1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x1
x 1
x1
3(lim x)2 21321 2 x1
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而 lim n 1， lim n 1，
n n2 n
n n2 1
1
1
1
由准则(I)得 lim


1.
n n2 1 n2 2
n2 n
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单调数列 设有数列ynf(n) 如果对任何正整数n 恒有f(n)f(n1) 则称f(n)为单调增
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（三）两个重要极限
定理211(准则I) 如果在某个变化过程中 三个变量x、y及z满足下列条件 (1)yxz (2)lim ylim zA
则 lim xA
例12. 证明limsin x 0 x0
证
当|x| 1

n1
满 足 条 件 lim un1 （ 其 中 可 以 为 ）
n un
则 当 1时 ， 级 数 un 收 敛 发 散
n1
例 4 判别下列级数的收敛性:
(1)
xn
;
n0 n!
(2)
(1)n
x2n
;
n1
(2n)!
(3)
此处可用定义证明 .
s 2 n 1 (1 3 1 2 ) (1 5 1 4 ) (2 n 1 1 1 2 n )
或 s 2 n 1 1 2 (1 3 1 4 ) (2 n 1 1 1 2 n ) 2 n 1 1
s2 n 1 为单调递减数列。
nli ms2n1 s； ln i m u2n10,
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性
1. un绝对收敛： un 收敛；
n1
n1
2. un条件收敛 ： un发散，un收敛；
n1
n1
n1
3.un发散. n1
定 理 2若 u n 收 敛 , 则 u n 收 敛 .
n 1
n 1
证明
令 vn1 2(u nu n) (n1 ,2 , ),
三、小结
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛
审 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 敛 3.按基本性质;
4.绝对收敛
法 5.交错级数
(莱布尼茨定理)
思考题1
设级数| un |收敛, 能否推得un收敛?反之
n1
n1
是否成立?
思考题1解答
由 级 数 |un|收 敛 ， 可 以 推 得 un收 敛 ,
显v然 n0, 且vnun,

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

2 当n无限增大 时, 与常数 a无限接近,尽
0 管接近的方式 不同。
1
我们研究数列就是研究它在自变量 n 的动态变 化过程中， 能否渐趋稳定，或是说，能否无限的
接近某一定数 a ？如果能，a 就叫 的极限。
数列极限的描述性定义：
给定数列 xn ，当 n 无限增大时， xn 无限的接近
yn

0,有
0, N ,当n
N
时, yn M .
从而， 0, N ,当n N时，
xn yn
xn yn
M ,
M
证得lim n
xn
yn

0.
例8.证明: lim 3n 1 3 n 2n 1 2
证:
3n 1 3 2n 1 2
(1)n1 1 1 nn
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1

1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1

1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
方法3. 0,N 0,当n N时,总有xn a .


0, N1 ,
N2 .使得 当n

N1时恒有 xn

a

; 2
当n

N
时
2
恒
有
xn

b

; 2
取N maxN1 , N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)Leabharlann xn b xn a

二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
x x0
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
x 2＋ax b 例4 设 lim 2 2, 求a、b. x 1 x 2 x 3 , 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
第四节
极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).

热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。

3
( x 2)( x 1)

lim
x1
(
x

1)(
x2

x

1)
x2

lim
x 1
x2

x

1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x

x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)

u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)

A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x

n 1 ( 1 ) 当 n 无限增大时 ,x 1 无限接近 1 . n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
x 1 (1 ) n
n1
1 1 n n
1 1 1 1 由 , x 1 , 只要 n 100 时 ,有 给定 , n n 100 100 100
1. 定义 : 以正整数集 N 为定义域的函数 f ( n) 按
f (1) , f ( 2) , , f ( n) ,排列的一列数称为数列，
通常用 x1 , x2 ,, xn ,表示，其中 xn f ( n)，
x n 称为通项
例如
2 , 4 , 8 , , 2, ; {2 n }
4. 子数列 (subsequence)
定义：将数列 x 在保持原有顺序情 ，任 n
列，简称子列．
, x , , x , x , 例如， x 1 2 i n
取其中无穷多项构成的 新数列称为 x 的子数 n
x , x , , x , n n n 1 2 k
注意：在子数列 x 中，一般项 x 是第 k 项， n n k k
2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 2; 2 2

1 1 1 第 n 天截下的杖长总和为 X n; n 2 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列(sequence)的有关概念
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 , x , , x , . 动点在数轴上依次取 x 1 2 n
x3
x1
x2 x4
xn

cosx1
lim x0
x2
x2
lim x0
2 x2
1 2
Special lecture notes
Excellent handout template
〈Ⅳ〉注意事项
Special lecture notes
注1：自变量的变化过程不影响代换。
例1
ln1cotx
lim
lim
cot
x
x cosx
x cos x
Excellent handout template
〈Ⅱ〉代换原理
Special lecture notes
例 1 limsin5x limsin5x 5x x0arctan2x x 0arctan2xsin5x
5x lim
x0 arctan2x lim5x arctan2x
x 0arctan2x 2x
lim 5x 5 x0 2x 2
Excellent handout template
例 2
e2x3 1 lxi m 0sinx2ln(1x)
Special lecture notes
e 2 x 3 1 2 x 3 s in x 2ln ( 1 x ) l x i m 0 s in x 2 ln ( 1 x )e 2 x 3 1 x 2 x
Special lecture notes
解
原式
2 lim
3 x
1 x2
x
3
4 x
2 x2
2 3
Excellent handout template
例2
求
2x23x1 lx i m 3x34x22
23 1
解
原式 lim x x2 x3