经济数学基础微积分

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。

数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。

第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。

其中的第n 项n x 称为该数列的通项。

②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。

记为A x n n =∞→lim2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。

例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x 1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x（但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时（0x x ≠），2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L→-=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作lim ()()x x f x R f x →++=00或=R 。

《经济数学基础》微积分第4章：多元函数微分学⒈了解空间直角坐标系的有关概念，知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间的距离。

会用不等式组表示平面区域。

空间两点P x y z 1111(,,)与P x y z 2222(,,)间的距离公式：d P P x x y y z z ==-+-+-12212212212()()()⒉会求二元函数的定义域。

⒊了解二元函数的偏导数与全微分概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法。

会求简单的二阶偏导数。

求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。

复合函数 z f u v =(,)，其中u u x y v v x y ==(,),(,)，变量之间的关系可以用图形表示利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到复求合函数偏导的公式∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x =+， ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y z u u y z v v y=+ 函数z f u v =(,)的全微分为d d d z z x x z yy =+∂∂∂∂例1 填空题（1）空间两点)2,1,5(-A 与)3,0,4(B 之间的距离是 。

（2）函数)1ln(1y x z --=的定义域是 。

（3）设函数22e ),(y xy x z +=，)1,1(-'x z = 。

（4）二元函数z x x y y =-+332445，∂∂∂2z x y = 。

解：（1）由空间两点间的距离公式222212212212)23()10()54()()()(-+++-=-+-+-=z z y y x x d =3 xu z y v正确答案：3（2）因为函数)1ln(1y x z --=的定义域要求对数的真数大于零，分母不等于零，即 ⎩⎨⎧≠-->--1101y x y x 故 1<+y x 且0≠+y x 。

正确答案：1<+y x 且0≠+y x（3）因为 22e 2y x x xz +=∂∂，所以 21)1(e 2e )1(2)1,1(22-=⋅-⋅=-'+-x z 。

08春经济数学基本微积分部分第一部 微分学第1章 函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。

要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。

例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。

解 ： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解： 由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点； 判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。

也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。

例3 下列函数中，（ ）是偶函数。

A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解： 根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。

经济数学基础微积分试题（07.1-14.1）一、单项选择题：1、设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）. （10.1）A.x 1B.21x C.x D.2x2、下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等. （08.7） A. x x g x x f ==)(,)(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2C. x x g x y ln 3)(,ln 3==D. x x g x y ln 2)(,ln 2==3、下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等. （07.7,13.1，14.1）A.x x g x x f ==)(,)()(2B.1)(,11)(2+=--=x x g x x x fC.x x g x y ln 2)(,ln 2==D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ B ）. （10.7,11.7） A.x sin B.x e C.2x D.x -35、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ B ）.（09.1） A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ C ）.（08.7）A.x sinB.x 21C.x 3D.21x -7、函数242--=x x y 的定义域是（ B ）. （07.1） A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞⋃C. （-∞,-2)),2(+∞-⋃D. （-∞,2)),2(+∞⋃ 8、函数xx y -++=41)2ln(的定义域是（ A ）. （09.7）A.(-2,4)B. (-2,4)),4(+∞⋃C.)4,(-∞D.),2(+∞-9、函数)1lg(+=x xy 的定义域是（ D ）. （11.7）A.1->xB.0>xC.0≠xD. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ C ）. （11.1，13.7） A.x x y -=2 B.x x e e y -+=C.11ln +-=x x y D.x x y sin =11、下列函数中为偶函数的是（ A ）. （08.1）A.x x y sin =B.x x y +=2C.x x y --=22D.x x y cos = 12、下列函数中为偶函数的是（ C ）. （12.1）A. x x y -=2B. 11ln +-=x x yC.2xx e e y -+= D.x x y sin 2=13、已知xxx f sin 1)(-=，当x （ A ）时，)(x f 为无穷小量. （09.1） A.0→ B.∞→ C.1→ D.+∞→14、已知1sin )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. （07.7,10.1） A.0→x B.1→x C.-∞→x D.+∞→x 15、当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量. （09.7）A.x 31 B.x x sin C.)2ln(+x D.x x 1sin16、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0sin )(x k x xxx f ，在)(x f 在x=0处连续，则k =（ C ）.（13.1）A.-2B.-1C.1D.217、若4cos )(π=x f ，则=∆-∆+∞→xx f x x f x )()(lim（ A ）. （07.1）A.0B.22C.4sin π-D. 4sin π18、曲线x y sin =在点（π,0）处的切线斜率为（ D ）. （08.1）A.1B.2C.21D.-1 19、曲线11+=x y 在点（0,1）处的切线斜率为（ A ）. （10.7）A.21-B.21C.2)1(21+xD.- 2)1(21+x20、曲线1sin +=x y 在点（0,1）处的切线方程为（ A ）.A.1+=x yB. 12+=x yC. 1-=x yD. 12-=x y 21、在切线斜率为2x 的积分曲线中，通过点（1,4）的曲线为（ A ）.（13.7） A.32+=x y B. 42+=x y C. 22+=x y D. x y 4= 22、设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=P E ( D )。

经济数学基础微积分教学设计简介经济数学是经济学中重要的一门学科，微积分是经济数学的基础。

如何设计一门有效的经济数学基础微积分课程，是经济学教师必须面对的一个挑战。

本文将介绍一种经济数学基础微积分教学设计方案，并讨论如何有效地实施该方案。

教学目标经济数学基础微积分课程的教学目标是使学生掌握微积分的基础理论和应用。

具体来说，教学目标包括：1.理解微积分的基本概念和原理；2.掌握微积分的计算方法；3.熟练运用微积分解决经济学中的实际问题。

教学内容及安排教学内容本课程的教学内容包括：1.微积分的基本概念和原理；2.函数的极限和连续性；3.导数和微分；4.求解函数的最值；5.积分和微积分基本定理；6.应用微积分解决经济学问题。

本课程的教学安排如下：第一周•第一节：微积分的基本概念和原理•第二节：函数的极限和连续性第二周•第三节：导数和微分•第四节：求解函数的最值第三周•第五节：积分和微积分基本定理•第六节：应用微积分解决经济学问题教学方法为实现上述教学目标和内容，本课程采用以下教学方法：1.传授基本理论知识：教师在课堂上讲解微积分的基本概念、原理、计算方法等理论知识，详细说明微积分的意义和作用。

2.通过案例演示应用技能：教师通过实际例子演示如何运用微积分解决经济学实际问题，帮助学生理解微积分在经济学中的应用场景。

3.鼓励学生自主掌握技能：教师鼓励学生通过课后练习进行巩固和拓展知识，自主掌握微积分技能。

教学评估本课程的教学评估主要分为两个方面：形成性评估和终结性评估。

在教学过程中，教师将采用定期小测验、课堂练习和课堂互动等方式，及时获取学生的学习情况和掌握情况，并给予及时的反馈和补充，帮助学生增加对微积分的理解和掌握的准确性。

终结性评估学期结束后，将进行终结性评估，主要评估学生对本课程的理解和掌握情况，综合考虑学生的考试成绩、课堂表现、作业情况等指标来评价学生的综合表现。

同时，也对教学效果进行全面的评估，以便更好地优化和完善教学设计方案。