经济数学基础微积分

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。

数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。

第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。

其中的第n 项n x 称为该数列的通项。

②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。

记为A x n n =∞→lim2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。

例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x 1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x（但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时（0x x ≠），2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L→-=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作lim ()()x x f x R f x →++=00或=R 。

《经济数学基础》微积分第4章：多元函数微分学⒈了解空间直角坐标系的有关概念，知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间的距离。

会用不等式组表示平面区域。

空间两点P x y z 1111(,,)与P x y z 2222(,,)间的距离公式：d P P x x y y z z ==-+-+-12212212212()()()⒉会求二元函数的定义域。

⒊了解二元函数的偏导数与全微分概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法。

会求简单的二阶偏导数。

求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。

复合函数 z f u v =(,)，其中u u x y v v x y ==(,),(,)，变量之间的关系可以用图形表示利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到复求合函数偏导的公式∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x =+， ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y z u u y z v v y=+ 函数z f u v =(,)的全微分为d d d z z x x z yy =+∂∂∂∂例1 填空题（1）空间两点)2,1,5(-A 与)3,0,4(B 之间的距离是 。

（2）函数)1ln(1y x z --=的定义域是 。

（3）设函数22e ),(y xy x z +=，)1,1(-'x z = 。

（4）二元函数z x x y y =-+332445，∂∂∂2z x y = 。

解：（1）由空间两点间的距离公式222212212212)23()10()54()()()(-+++-=-+-+-=z z y y x x d =3 xu z y v正确答案：3（2）因为函数)1ln(1y x z --=的定义域要求对数的真数大于零，分母不等于零，即 ⎩⎨⎧≠-->--1101y x y x 故 1<+y x 且0≠+y x 。

正确答案：1<+y x 且0≠+y x（3）因为 22e 2y x x xz +=∂∂，所以 21)1(e 2e )1(2)1,1(22-=⋅-⋅=-'+-x z 。

08春经济数学基本微积分部分第一部 微分学第1章 函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。

要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。

例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。

解 ： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解： 由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点； 判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。

也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。

例3 下列函数中，（ ）是偶函数。

A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解： 根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。

经济数学基础微积分试题（07.1-14.1）一、单项选择题：1、设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）. （10.1）A.x 1B.21x C.x D.2x2、下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等. （08.7） A. x x g x x f ==)(,)(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2C. x x g x y ln 3)(,ln 3==D. x x g x y ln 2)(,ln 2==3、下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等. （07.7,13.1，14.1）A.x x g x x f ==)(,)()(2B.1)(,11)(2+=--=x x g x x x fC.x x g x y ln 2)(,ln 2==D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ B ）. （10.7,11.7） A.x sin B.x e C.2x D.x -35、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ B ）.（09.1） A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ C ）.（08.7）A.x sinB.x 21C.x 3D.21x -7、函数242--=x x y 的定义域是（ B ）. （07.1） A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞⋃C. （-∞,-2)),2(+∞-⋃D. （-∞,2)),2(+∞⋃ 8、函数xx y -++=41)2ln(的定义域是（ A ）. （09.7）A.(-2,4)B. (-2,4)),4(+∞⋃C.)4,(-∞D.),2(+∞-9、函数)1lg(+=x xy 的定义域是（ D ）. （11.7）A.1->xB.0>xC.0≠xD. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ C ）. （11.1，13.7） A.x x y -=2 B.x x e e y -+=C.11ln +-=x x y D.x x y sin =11、下列函数中为偶函数的是（ A ）. （08.1）A.x x y sin =B.x x y +=2C.x x y --=22D.x x y cos = 12、下列函数中为偶函数的是（ C ）. （12.1）A. x x y -=2B. 11ln +-=x x yC.2xx e e y -+= D.x x y sin 2=13、已知xxx f sin 1)(-=，当x （ A ）时，)(x f 为无穷小量. （09.1） A.0→ B.∞→ C.1→ D.+∞→14、已知1sin )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. （07.7,10.1） A.0→x B.1→x C.-∞→x D.+∞→x 15、当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量. （09.7）A.x 31 B.x x sin C.)2ln(+x D.x x 1sin16、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0sin )(x k x xxx f ，在)(x f 在x=0处连续，则k =（ C ）.（13.1）A.-2B.-1C.1D.217、若4cos )(π=x f ，则=∆-∆+∞→xx f x x f x )()(lim（ A ）. （07.1）A.0B.22C.4sin π-D. 4sin π18、曲线x y sin =在点（π,0）处的切线斜率为（ D ）. （08.1）A.1B.2C.21D.-1 19、曲线11+=x y 在点（0,1）处的切线斜率为（ A ）. （10.7）A.21-B.21C.2)1(21+xD.- 2)1(21+x20、曲线1sin +=x y 在点（0,1）处的切线方程为（ A ）.A.1+=x yB. 12+=x yC. 1-=x yD. 12-=x y 21、在切线斜率为2x 的积分曲线中，通过点（1,4）的曲线为（ A ）.（13.7） A.32+=x y B. 42+=x y C. 22+=x y D. x y 4= 22、设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=P E ( D )。

经济数学基础微积分教学设计简介经济数学是经济学中重要的一门学科，微积分是经济数学的基础。

如何设计一门有效的经济数学基础微积分课程，是经济学教师必须面对的一个挑战。

本文将介绍一种经济数学基础微积分教学设计方案，并讨论如何有效地实施该方案。

教学目标经济数学基础微积分课程的教学目标是使学生掌握微积分的基础理论和应用。

具体来说，教学目标包括：1.理解微积分的基本概念和原理；2.掌握微积分的计算方法；3.熟练运用微积分解决经济学中的实际问题。

教学内容及安排教学内容本课程的教学内容包括：1.微积分的基本概念和原理；2.函数的极限和连续性；3.导数和微分；4.求解函数的最值；5.积分和微积分基本定理；6.应用微积分解决经济学问题。

本课程的教学安排如下：第一周•第一节：微积分的基本概念和原理•第二节：函数的极限和连续性第二周•第三节：导数和微分•第四节：求解函数的最值第三周•第五节：积分和微积分基本定理•第六节：应用微积分解决经济学问题教学方法为实现上述教学目标和内容，本课程采用以下教学方法：1.传授基本理论知识：教师在课堂上讲解微积分的基本概念、原理、计算方法等理论知识，详细说明微积分的意义和作用。

2.通过案例演示应用技能：教师通过实际例子演示如何运用微积分解决经济学实际问题，帮助学生理解微积分在经济学中的应用场景。

3.鼓励学生自主掌握技能：教师鼓励学生通过课后练习进行巩固和拓展知识，自主掌握微积分技能。

教学评估本课程的教学评估主要分为两个方面：形成性评估和终结性评估。

在教学过程中，教师将采用定期小测验、课堂练习和课堂互动等方式，及时获取学生的学习情况和掌握情况，并给予及时的反馈和补充，帮助学生增加对微积分的理解和掌握的准确性。

终结性评估学期结束后，将进行终结性评估，主要评估学生对本课程的理解和掌握情况，综合考虑学生的考试成绩、课堂表现、作业情况等指标来评价学生的综合表现。

同时，也对教学效果进行全面的评估，以便更好地优化和完善教学设计方案。

集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。

”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。

第一章　函 数习　题　一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解　（１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或　x－２＜－３由此得　x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解　（１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０　且　ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得　x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０，　x－１０≠０，　x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０，　（x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０　且　x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且　x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解　因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解　（１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解　（１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解　（１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３，　x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解　（１）由y＝１－x１＋x　解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解　设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０　所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得　a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解　设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解　供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p，　Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答　（１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解　（１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得　p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．解　（１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解　令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证　（１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２）　（f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２）　（g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若　a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若　a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证　因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证　要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解　由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解　设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ，　０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００），　７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解　设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解　设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答　（１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。

经济数学基础微积分
经济数学基础微积分：
微积分是“经济数学基础教程”之一.主要内容包括经济函数、经济变化趋势的数学描述、经济变量的变化率、简单优化问题、“积零为整”的数学方法、离散经济变量的无限求和、方程类经济数学模型等各章,并配有适量习题.书后附有数学与经济的关系、三次数学危机产生的原因和结果、诺贝尔经济学奖简介等3个附录.微积分除了介绍通常高等数学中的微积分内容外,还特别介绍了它们的经济应用,并增加了相应的数学软件及数学建模的基本方法。