《经济数学微积分》微分方程

第四章 微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。

还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。

微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.§4.1 微分方程的基本概念定义1 凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨论常微分方程，以下简称微分方程或方程.例如，方程20y y x '+-=,4dy xdx =,04=-''y 和02=-'+''y y y 等都是微分方程.定义2 微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶. 例如，方程12+=-'x y y 和2x ydx dy =+都是一阶微分方程，方程x y y y ln 23=+'-''和04=-''y 都是二阶微分方程，方程1)5(=y 是五阶微分方程. 定义3 如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，2x y =和c x y +=2 (c 为任意常数)都是微分方程x y 2='的解;x x y +=22和2122c x c x y ++= (1c 、2c 为任意常数) 都是微分方程04=-''y 的解. 由此可见，若微分方程有解，则有无穷多个解.定义 4 微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线，该曲线称为微分方程的积分曲线，而这无穷多个解所对应的一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族.定义5 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解，称为微分方程的特解.例如2x y =和c x y +=2分别是方程x y 2='的特解和通解; x x y +=22和2122c x c x y ++=分别是方程04=-''y 的特解和通解.一般来说，特解是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这种用来确定特解的条件，称为初始条件.设微分方程中的未知函数为)(x y y =，通常一阶微分方程的初始条件为 00y y x x ==即()00y x y =其中0x 、0y 都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为 00y y x x ==，000y y x x '='=即()00y x y =与()00y x y '=' 其中0x 、0y 和0y '都是给定的值. 例如，对于方程x y 2='，它通解是c x y +=2,由初始条件00==x y可确定其通解中的任意常数0=c ，从而得到其特解2x y =.通常，我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题.例如，求一阶微分方程),(y x f y ='满足初始条件00y yx x ==的特解这样一个问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作 ⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x 二阶微分方程),,(y y x f y '=''满足初始条件00y y x x ==，000y y x x '='=的初值问题，记作 ⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==0000,),,(y y y y y y x f y x x x x 例1 验证函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 的通解，并求满足初始条件21==x y的特解.解 将所给函数的一阶导数23cx y ='代入方程左边，得033332=-⋅=-'cx cx x y y x所以函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 解.又因这个解中含有一个任意常数，因此函。

大一经济数学基础复习知识点经济数学是经济学的一门重要辅助学科，它运用数学工具和方法来解决经济学中的问题。

在大一学期，经济数学基础是我们打下坚实经济学基础的重要一课。

下面是大一经济数学基础的复习知识点：1.微积分基础- 函数与极限：函数的定义和性质，极限的概念及计算方法。

- 导数与微分：导数的定义和性质，常用函数的导数和微分法则。

- 积分与不定积分：不定积分的定义和性质，常用函数的积分法则。

2.微分方程- 一阶微分方程：可分离变量、线性、齐次和非齐次一阶微分方程的求解方法。

- 高阶微分方程：常系数线性齐次和非齐次高阶微分方程的求解。

3.矩阵与行列式- 矩阵的基本概念：矩阵的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法）。

- 行列式：行列式的定义和性质，行列式的计算方法。

4.最优化问题- 函数的极值：极大值和极小值的定义，求解函数极值的条件和方法。

- 线性规划：线性规划问题的基本概念和解法。

5.微分与一元函数的应用- 弹性：边际效应和弹性的概念，计算边际效应和弹性的方法。

- 最优化问题：求解边际收益等于边际成本的最优产量问题。

6.总体与样本统计- 统计量：样本均值、样本方差的概念和计算方法。

- 抽样分布：样本均值、样本方差的抽样分布。

7.相关与回归分析- 相关系数：相关系数的计算与解释，相关系数的性质。

- 简单线性回归：简单线性回归模型的建立与估计。

8.概率论基础- 概率的基本概念：事件、样本空间、概率的定义和性质。

- 随机变量：随机变量的定义，离散型和连续型随机变量的概率分布。

- 期望和方差：随机变量的期望和方差的计算方法。

以上是大一经济数学基础的复习知识点，通过对这些知识点的复习和理解，我们能够更好地应用数学工具和方法解决经济学中的实际问题，为我们的学习打下坚实的基础。

希望同学们能够认真复习，并在复习过程中加强对理论的理解与应用。

祝大家学业顺利！。

经济数学基础12一、微积分微积分是经济数学中最常用的工具之一，它涉及到函数、导数、微积分积分、微分方程等方面的知识。

首先，函数是经济学中的基本概念，因为大多数经济现象都可以使用数学函数来描述，例如需求函数、供应函数、收益函数等。

导数是微积分的核心，它表示函数在某一点的变化率。

对于一个经济问题而言，在坐标平面上构建函数之后，利用导数可以很容易地求出函数在某一点的切线斜率，该切线斜率可以帮助我们解决许多经济问题，例如最大化收益、利润以及最小化成本等。

其次，微积分积分是微积分的另一个重要方面，它可以帮助我们计算从一个特定值到另一个特定值之间函数的面积、体积、距离等。

例如，在经济学中，我们可以通过积分计算某种商品的总收益，以及某个企业的总成本。

最后，微分方程是经济学家经常使用的工具之一，它用于解决经济模型中的动态问题。

例如，在宏观经济学中，经济学家使用微分方程来解释经济体系变化的长期趋势，例如通货膨胀、失业率等。

二、统计学统计学是经济数学中另一个重要方面，它涉及概率、假设检验、回归分析等方面的知识。

首先，统计学中的概率概念对经济学研究有着广泛的应用，随机性和不确定性是经济学的重要特征。

而概率理论可以帮助我们分析和评估不确定性带来的风险和机遇。

其次，假设检验是经济统计学中常用的工具，用于检验一个假设的正确性。

例如，在经济学中，我们可以使用假设检验来检验两种经济政策的效果，或者检验两种商品价格的差异是否具有统计学意义。

除此之外，回归分析是一种统计学工具，用于确定某个变量对另一个变量的影响。

例如，在经济学中，我们可以通过回归分析来确定利率对货币供应量的影响程度，以及失业率对经济增长的影响程度。

三、优化理论优化理论是经济学中的另一个重要方面，它涉及线性规划、非线性规划等方面的知识。

在经济学中，我们经常需要解决最优化问题，例如最大化利润、最小化成本等。

这时，线性规划和非线性规划就可以成为我们的好帮手了。

总之，经济数学在经济学研究中起着重要的作用，它可以帮助我们更好地理解和解释经济现象，提供数学工具和方法，支持经济决策。

微积分中的微分方程与常微分方程微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化与极限，是应用广泛的数学工具。

微分方程是微积分的一个重要应用领域，它研究的是函数与其导数之间的关系。

在微积分中，我们常常会遇到微分方程与常微分方程的概念。

本文将介绍微积分中的微分方程与常微分方程的基本概念和应用。

一、微分方程的概念与基本形式微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。

一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。

常微分方程可以用一般形式表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$其中，$x$是自变量，$y$是未知函数，$y', y'', ..., y^{(n)}$是$y$的一阶、二阶、...、$n$阶导数。

常微分方程的解是指满足方程的函数。

常微分方程的解可以通过积分、分离变量、变量代换等方法求得。

二、微分方程的应用领域微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。

它可以用于描述物理过程、生物现象、经济模型等各种实际问题。

1. 物理应用：微分方程在物理学中有着重要的应用。

例如，牛顿第二定律$F=ma$可以通过微分方程形式表示为$m\frac{d^2x}{dt^2}=F$，其中$x$是物体的位移，$t$是时间，$m$是物体的质量，$F$是作用在物体上的力。

2. 生物学应用：微分方程在生物学中的应用非常广泛。

例如，人口增长模型可以用微分方程来描述。

假设一个人口的增长率与当前人口数成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dP}{dt}=kP$，其中$P$是人口数，$t$是时间，$k$是增长率常数。

3. 经济学应用：微分方程在经济学中也有着重要的应用。

例如，经济增长模型可以用微分方程来描述。

假设一个国家的经济增长率与当前经济规模成正比，那么可以得到微分方程$\frac{dE}{dt}=kE$，其中$E$是经济规模，$t$是时间，$k$是增长率常数。

微积分中的微分方程与积分方程微积分作为数学的一个重要分支，研究的是函数的变化和积分运算。

微分方程与积分方程是微积分的两个重要内容，它们在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍微积分中的微分方程与积分方程的基本概念、求解方法以及应用案例。

首先，我们来了解一下微分方程。

微分方程是含有未知函数及其导数的方程，它描述了函数变化的规律。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程中的未知函数是一个自变量的函数，而偏微分方程中的未知函数是多个自变量的函数。

我们以常微分方程为例进行讲解。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中 y 是未知函数，f(x, y) 是已知函数。

高阶常微分方程可以通过多次求导的方式转化为一阶常微分方程来解决。

常微分方程的求解方法有多种，其中常见的有变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。

变量分离法是指将方程中的未知函数和自变量分别放在等式的两边，然后进行分离变量、分别积分的操作。

齐次方程法是将方程中的未知函数和自变量进行恰当的替换，使得方程变为可分离变量的形式。

一阶线性微分方程法则是将方程化为一阶线性微分方程，然后利用积分因子求解。

接下来我们来了解一下积分方程。

积分方程是含有未知函数和积分项的方程，它的求解与微分方程有所不同。

积分方程可以分为定积分方程和无界积分方程两类。

定积分方程中的积分上下限是常数，而无界积分方程的上下限是无穷。

积分方程的求解方法较为复杂，有待更深入的研究。

微分方程与积分方程在许多学科中都有重要的应用。

在物理学中，微分方程可以描述物理量随时间的变化规律，如牛顿定律、热传导方程等。

在工程学中，微分方程可以用于描述电路的电压、电流之间的关系，以及控制系统的响应特性等。

在经济学中，微分方程可以用于描述经济增长、资源分配等问题。

举个具体的例子，假设一个湖泊中的鱼的数量随时间的变化满足微分方程dy/dt = ky(1-y/N)，其中y表示鱼的数量，t表示时间，k和N是已知的常数。

第十章 微分方程习题 10－11. 1. 指出下列微分方程的阶数，并判断是否为线性方程：222222222d d (1)4 (2)cos 0d d (3) d 3d d (4) (1)d (1)d (5) "(')120 (6) '''2''0d (7) 5d y y x y x y xxy y x x x x y y x y y xy xy y x y y xx=-++=+=+=-++=++=-42d d 3sin (8) ()40d d y y xy x x xx+=-=解 (1)1 (2)1 (3)1阶，线性;阶，非线性;阶，线性;(4)1 (5)2 (6)3(7)2 (8)4阶，非线性;阶，非线性;阶，线性;阶，线性;阶，线性.2. 2. 下列各题中的函数是否为所给微分方程的解? 若是,是通解还是特 解?2122122222d (1) 2,d (2) "2'0 , 22(3) "'0, (4) d d 0, xy xy y c xxy y y y x e y y y y c x c xx xx x y y x y R-=-=-+==-+==++=+=解 31(1) '2y c x 因为 -=-23113121222'2d (2)2d '2, "24 ,',"20 20, xxxxx xxxy c xy c x y x x c xyxy c xy xe x e y e xe x ey y y e e y x e 将,代入方程,得所以 是方程的通解.(2) 因为 将 代入方程,得,而所以不是方程的解.----==-=-=-==+=++=≠=1222212 '2, "2 ,'," 22 "'0y c c x y c y y y y y y x xy c x c x (3)因为将 代入方程,得所以 是方程的通解.=+=-+==+22222)2 d 2d 0 x y x x y y x yR +=+=+=(4)因为 d(所以是方程的通解.121200 3.:()(,)"2'0,4'xx x y c c x e c c y y y yy 验证是任意常数是方程的通解并求满足初始条件与=-2的特解.-===+++==解 12()xy c c x e 由 , 得 -=+解 12()xy c c x e 由 , 得 -=+21221212120000'(),"2()"2'0,()4' 2.4'(42).xxxxxx x x x xy c ec c x ey c ec c x ey y y y c c x e y y c c yy y x e 将上两式代入方程即得恒等式. 所以 是方程的通解.将初始条件与=-2代入方程的通解中,得=4,故满足初始条件与=-2的特解为-----====-=-+=-++++==+====+习题 10－21． 1． 求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.222231(1) ' (2) '(3) d (1)d 0 (4) sec tan d sec tan d 032(5)d d 0, 01(6) cot d cot d 0 , x yxyx yy x y e e y y y x x y x y x y x ey yxyx y x x y y+==-=-+=+=+==-+=0x == 解(1) ' y y x由方程 两端积分, 得=- 2211122y x c =-+221 .(2) 'd d .x y yxyxxyx y c y e ey e xee c e e c 故方程的通解为 由方程 分离变量,得将上式两端积分, 得 -故方程的通解为 +---+====++=2x2 ed (1)d 0d d 1xy y y x y y exy --+==+ (3)由方程 分离变量,得221ln(1)21ln(1).2xxy y ec y y ec 将上式两端积分, 得 故方程的通解为 ---+=-+-++=2222(4) sec tan d sec tan d 0 sec secd d tan tan ln(tan )ln(tan )ln tan tan .x y x y x y y x y xyxy x c y x c 由方程 分离变量,得将上式两端积分, 得故方程的通解为 +==-=-+=22223331332 (5)d d 0 131d d 2,3ln 0 2.3ln 2.yyyx yx ey xyx x x ye yxx x e c yc x x e由方程分离变量,得将上式两端积分 得再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 =+=--⋅=-=+==--=-cot d cot d 0 11d d cot cot siny sind d cosycos ln cos ln cos ln 01cos x y x x y y xyx x y yxy x c yc x (6)由方程 分离变量,得 即将上式两端积分, 得- 再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 =+==-=-=+==cos 1.y =2.求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.11(1) 'cot(2) '(3) '(ln ln ) (4) ()022(5) 'tan(6) () 02yx x x y y y xy y x xxy y y x xe y dx xdy y xy y x yxy dx xydy yx π===+=-=-+-=-==+==解(1),,''y u y ux y u xu x令 则===+'cot 'cot sin 1d d cos ln cos ln ln u xu u u xu u u u xux u x c 即 分离变量,得将上式两端积分,得- +=+===+ cos x u c 即 =cos .y x c x故变量还原, 得原方程的通解为 =','',y y x y u y ux y u xu x(2) 将原方程化为 令 ,则=-===+''1d u xu u xu u xx即 分离变量,得+=-==-arcsin ln ln arcsin lnarcsinln.u x c c u xy c x x 将上式两端积分,得即 故变量还原,得原方程的通解为 =-+==(3)'ln,'','ln '(ln 1)11d d (ln 1)ln(ln 1)ln ln y y y xxy u y ux y u xu xu xu u u xu u u u xu u x u x c 将原方程化为 令 ,则即 分离变量,得将上式两端积分,得====++==-=--=+11ln1.cxu cx y cx xy xe即 ln 于是变量还原, 得 故原方程的通解为 +-==+=(4)','',yx y y e xy u y ux y u xu x将原方程化为 令 ,则=+===+''uuu xu e u xu e即 +=+=1d d ln ln ln .uuuy xeu xx ex c x e cx ec 分离变量得 将上式两端积分,得即 故变量还原, 得原方程的通解为 ----=-=++=+=(5)' =tany yy xx 将原方程化为 -,'','tan 'tan 11d d tan ln(sin )ln ln sin y u y ux y u xu xu xu u u xu u u xux u x c u xc令 ,则即 分离变量,得将上式两端积分,得即 ===++-====+=1222sin .12sin.d (6) )d ,'',(')(1)x y cx x yc y x x y y yx x x y u y ux y u xu xu u xu u π于是变量还原, 得原方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 将原方程化为 (1+ 令 ,则=====⋅====++=+'1xuu =即2222212221d d 1ln ln 22ln ln().0 1.ln .x u u xx u x c u cxy x cx yc y x x 分离变量,得 将上式两端积分,得即 于是变量还原, 得原方程的通解为 再将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 ===+=====3.求下列各题中微分方程的通解或满足初始条件的特解.21(1) '2cos (2) ( 1)'(1)xx n y xy ex x y ny e x +-=+-=+2621(3) 'cot 2sin (4) 2(5)'ln , 1 (6)(1)'1, 1x x dy y y y x x x x ydxxy y x yx y xy yx x ==-=+=-=-=-+==解 2(1)()2,()cos xp x x q x ex 因 =-=222222()d ()d 2d 2d [()d ][cos d ][cos d ](cos d )(sin ).(2)'1p x xp x xx x x x xxxxxxy e q x e x c e e xe x c e exex c ex x c ex c ny x 故原方程的通解是将原方程化为---=+=+=+=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)(),()(1)1xnxn y e x n p x q x e x x 因 故原方程的通解是=+=-=++d d 11ln(1)ln(1)[(1)d ] [(1)d ]nnxxx nx x n x x n n x y ee x ex c ee x ex c -+++-+=++=++⎰⎰⎰⎰(1)(d )(1)().nxn xx e x c x e c =++=++⎰cot d cot d ln(sin )ln(sin )2(3)()cot ,()2sin [2sin d ][2sin d ]sin (2d )sin ().x x x x x x p x x q x x xy e x xe x c ex xex c x x x c x x c --=-==+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰因 故原方程的通解是52255d d 25ln 25ln 5352(4)6,5'5 5(),()5 (5d )(5d )5 (5d )().2xxxxx x n z yz z x xp x q x xx z ex ex c ex ex c x x x c x xc 这是一个的贝努里方程令 则因 于是方程的通解是 故原-----==-=-=-=-=-+=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰55211d d ln ln 5 ().212(5) (),() ln2 ( ln d )2 ( ln d )(x xx x xxy x y xc p x q x x x xy e x e x c xex ex c xx 方程的通解是因 故原方程的通解是---=+=-=-=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰22 ln d )22 (ln )2ln 2.x x c xx x c x cx xx+=++=++⎰11 12ln 2.x y c y x x 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 ===-=+-22221(6)'111 (),()11x y y xxx p x q x xx+=--==-- 先将原方程化为 因 故原方程的通解是22d d 1121[d ]1xxxxx x y eex c x---=+-⎰⎰⎰2211ln(1)ln(1)2221223221122221[d ]11(1)[d ](1) (1))(1)x x e ex c xx x c x x c x c x ---=+-=-+-=-=+-⎰⎰1221 1(1).x yc y x x====+- 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为4．已知连续函数f (x )满足条件320()()d .().3x xt f x f t e f x =+⎰求:解320()()d 3x xtf x f t e x 在等式 两端对 求导数,得=+⎰2223d 3d 23233'()3()2'()3()2()3,()2, ()(2d )(2d )(2d )xx xx xx xxxx xf x f x e f x f x e p x q x ef x e e e x c e e ex c e ex c 即 因 则---=+-==-==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰33(2),0,(1)1,3()(32).xxxxe c ex f c f x e e由题意知当时 代入上式中,得 故 --=-====-5.已知某企业的纯利润L 对广告费 x 的变化率与常数A 和纯利润L 之差成正比. 当x = 0时, L = L 0 , 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解d ()d L K A L x由题意知=-d d d (0)d (),(),()[d ]K x K xL K L K A K xp x K q x K A f x e K A e x c 即 因 则-+=>==⎰⎰=+⎰000 [d ][],0,,()().K xK xK xK xK xK xe K Aex c e Ae c A cex L L c L AL x A L A e由题意知当时 代入通解中,得 故满足条件的利润函数为 ----=+=+=+===-=+-⎰习题 10－31.验证 y 1 = cos ωx 与y 2 = sin ωx 都是方程2"0y y ω+=的解，并写出该方程的通解.证 因'"211sin ,cos y x y x ωωωω=-=-''222 cos ,sin y x y x ωωωω==-"22211"2222212112212cos cos 0 sin sin 0cos sin cos sin .y y x x y y x x y x y x y c y c y c x c x ωωωωωωωωωωωωωω+=-+=+=-+====+=+ 代入方程, 得即 和是方程的解,其通解是22212 2."4'(42)0xxy ey xe y xy x y 验证: 和都是方程的解,并写出该方程的解.==-+-=证 22'"2112,2(12),xxy xe y x e因 ==+2222'2"2222 (12),642(32) xxxxy x e y xex ex x e代入方程, 得=+=+=+222"'211122"'22224(42) 2(12)42(42)04(42)x xxy xy x y x ex xex ey xy x y -+-=+-⋅+-=-+-222222222333112211221212 2(32)4(12)(42) (644842)01,,(,).xxxxxxx x ex x ex xex x x x x x e y y y y xy c y c y c e c xec c 而常数于是是方程线性无关的解,故其通解为是任意常数=+-⋅++-=+--+-==≠=+=+3.求下列二阶齐次常系数线性微分方程的通解：(1) '''20 (2) '' 4'130 (3) ''2'0 (4) ''6'90y y y y y y y y y y y +-=-+=+=++=解 22(2)(1)0λλλλ(1)由特征方程 +-=+-= 122122122122,1..413023,23.(cos 3sin 3).xxxy c ec e i i y c x c x e λλλλλλ得特征根 故方程的通解为 (2)由特征方程 得一对共轭特征根 故方程的通解为 -=-==+-+==+=-=++212212221233122(2)00,2..69(3)03,3..xxxy c c ey c ec xeλλλλλλλλλλλ (3)由特征方程 得特征根 故方程的通解为 (4)由特征方程 得特征根 故方程的通解为 ---+=+===-=+++=+==-=-=+4.求下列二阶常系数线性齐次微分方程满足初始条件的特解：00006660 (1) ''4'30, 6, '10 (2) 4 ''4'0 , 2, '(3) ''2'100, 0, '(4) "250, 2,x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y yy e y y y πππ=======-+===++===-+===+==0 ' 5 x y ==解 243(1)(3)0λλλλ(1)由特征方程 -+=--=123120012322121, 3.6, ' 104, 2.42.441(21)01.2xxx x xxy c e c ey y c c y e eλλλλλλλ得特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 (2)由特征方程 得特征根为 =====+=====+++=+===-1212001212() 2, ' 0 2, 1.(2).xx x xy c c x ey y c c y x e 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 -==-=+=====+2121261266210013,13.(cos 3sin 3)10, ',0.31cos 3.3xx x xi i y c x c x eyy e c c y e x πππλλλλ (3)由特征方程 得一对共轭特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 ==-+==+=-=+===-==-2121212002505,5.cos 5sin 52, '5 2,1.2cos 5sin 5x x i i y c x c x yy c c y x xλλλ (4)由特征方程 得一对共轭特征根 即方程的通解为 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是 ==+===-=+=====+5. 求下列二阶非齐次常系数线性微分方程的通解或满足初始条件的特解：200 (1) ''2'2 (2) 2'''2 (3) ''3'23 (4) ''4cos (5) ''3'2 5 , 1, '2 (6) ''2sin 2 , 1, xxx x x y y y x y y y e y y y xey y x xy y y y y y y x yπ-===-+=+-=++=+=-+===+=-= '1x y π==解 2220λλ(1)由齐次方程的特征方程 -+=12122012012221,1 (cos sin ).()011,1,.22111 (1)222xi iy c x c x e f x x r y A x A x A A A A y x x x λλ得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解 将其代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解=+=-=+===++====++=+2122121(cos sin )(1).21212(1)()0211,.2xy c x c x e x λλλλλλ故原方程的通解是(2)由齐次方程的特征方程 解得特征根 =++++-=+-==-=12121212()2 1. +.xxxxxxxxy c ec e f x e y AeA y ey c ec e e 即齐次方程的通解为 又因为且r = 1 不是特征根,所以设非齐次方程有特解 代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解 故原方程的通解为 --=+=====+212212010123201,2.()31()3, 3.23(3)2x xxxy c ec ef x xe r y x A x A e A A y x x λλλλ (3)由齐次方程的特征方程 得特征根 即齐次方程的通解为 又因为且是特征方程的单根, 所以设非齐次方程有特解 代入原方程,得 于是非齐次方程有特解---++==-=-=+==-=+==-=-22123+(3).2xxxxey c ec ex x e故原方程的通解是 ----=+-2121201*********,2.cos 2sin 2()cos ()cos ()sin 12,,0391 i i y c x c xf x x x r i y A x A x A x A x A A A A y λλλ (4)由齐次方程的特征方程 得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解为+===-=+===+++=====2cos sin 39x x x+1221212 cos 2sin 2cos sin .393201,2.y c x c x x x x λλλλ故原方程的通解是(5)由齐次方程的特征方程 得特征根 =+++-+===21201012120012 ()5055,0.22527 1, ' 25,.2xxxxx x y c e c ef x r y A A x A A y y c e c ey y c c 即齐次方程的通解为 又因为且不是特征根,所以设非齐次方程有特解 代入非齐次方程,得 于是非齐次方程有特解 故原方程的通解是 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解是===+===+====++===-=2755.22xxy e e=-++212120110,.cos sin ()sin 22,cos 2sin 2i i y c x c xf x x i i y A x A xλλλ (6)由齐次方程的特征方程 得一对共轭特征根 即齐次方程的通解为 又因为且所以设非齐次方程有特解 +===-=+=-≠=+0110,.31sin 23A A y x代入非奇次方程,得 于是非齐次方程有特解===121cos sin sin 23y c x c x x即原方程的通解为 =++121 1, ' 11,.311cos sin sin 2.33x x y y c c y x x x ππ 将初始条件代入通解中,得 故满足初始条件的特解为 =====-=-=--+6. 求下列高阶微分方程的通解或满足初始条件的特解：2311 (1) ''sin (2) ''' (3) '''(') (4) '''tan sin 2 (5) ''1, 1, ' 0 (6) "x x y x x y y xyy y y y y x x y y y y y ===-==-+==-==000', '"0xx x x xe yy y =======解 (1)在原方程两端同时积分,得111 'sin d cos cos d cos sin (cos sin )dsin sin d sin d y x x x x x x xx x x c y x x x c x x x x x x x c x再积分一次,得原方程通解为 ==-+=-++=-++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰12d d 1111 sin 2cos . (2)',"'' [d ][d ][]1x x x xx xxx x x c x c y p y p p p xp p e xe x c e xe x c e xeec x c e令 代入原方程,得这是关于的一阶线性方程,其通解为----=--++==-=⎰⎰=+=+=--+=--+⎰⎰x故原方程通解为21121d (1)d .2xxy p x x c e x x x c e c ==--+=--++⎰⎰(3) '(),"dp y p y y pdy令 , 代入原方程,得==211111112d 1d d 1d1ln 1ln ln 1dd 11ln(1) ln(1)p yp p p p p yp y py p y c p c y y xc yc y x cc c y c x c (0,)分离变量,得两端积分,得 即于是两端再积分,得 即=-≠≠=---=+=-=---=+-=-+111112dd 11ln(1) ln(1)y xc yc y x cc c y c x c 于是两端再积分,得 即=---=+-=-+tan d tan d 1ln cos ln cos 1 (4)'(),"''tan sin 2 [sin 2d ][sin 2d ]cos [2sin d x x x xxxy p x y p p p x xp p e xe x c exex c x x x 令 代入原方程,得这是关于的一阶线性方程,其通解为--==+=⎰⎰=+=+=+⎰⎰⎰112121112]cos [2cos ] 2cos cos ]d (2coscos )d (1cos 2)d cos d 1 sin 2sin .2(5)',"c x x c x xc y p x x c x xx x cx xx x c x c y p y p 故原方程通解为 令 =-+=-+==-+=-++=--++==⎰⎰⎰⎰33221221d d d 1d d d 1122p yp y p yp p y y p yc p yc 代入原方程,得分离变量,得两端积分,得 即---⋅=-=-=+=+111 1, ' 0 1.'x x y y c y y 将初始条件代入上式,得 于是 =====-=2dxx c 分离变量,得两端积分,得=-=+1210121, 1.1 (6)"d " 0 1.'(1)d 2x xx xx xx x xy c x y xex xe e c y c y xee x xe e x c 再将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 在原方程两端同时积分,得 将初始条件代入上式,得 再积分,得 ====-=-==-+===-+=-++⎰⎰02 ' 0 2.x y c 又将初始条件代入上式,得 ===23032(22)d 1 3220 3.132 3.2xxxxx xxy xee x xxe e x x c y c y xe e x x 再积分得原方程通解为 又将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解为 ==-++=-+++===-+++⎰习题 10－41. 英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了人口指数增长模型. 设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数x (t ) 成正比. 若已知t t =时的人口总数为x 0, 求时间t 与人口总数x (t ) 的函数关糸. 根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报,1990年7月1日我国人口总数为116亿，过去8年的年人口平均增长率为14.8 %0 ,若今后的年增长率保持这个数字，预报2000年我国的人口总数.解 设时间为t 时的人口总数为x (t ), 由题意得00d ()0.0148d ()x t x tx t x⎧=⎪⎨⎪=⎩这是一个变量可分离的方程，易求出满足初始条件的解为00.0148()0()t t x t x e-=又将002000,1990,11.6t t x === 代入上式,得 2000年我国的人口总数为0.148(2000)11.613.45x e=⨯≈（亿）2. 假设有一个很小的相对独立的小镇, 总人口1800人, 并假设最初有5人患流感, 且流感以每天12.8%的比率蔓延, 那么10天内将有多少人被感染? 经过多少时间该镇将有一半人被感染?解 设x(t )是第t 天被感染流感的人数, 由题意得d ()0.0128()[1800()] ()d (0)5x t x t x t tx 这是一个阻滞增长模型 这是一个变量可分离得方程，分离变量,得⎧=-⎪⎨⎪=⎩10.1280.128d ()0.128d (1800)()ln0.1281800()1800 ()1(0)5359.1800()135910,(10)18,ttx t tx x x t t c x t x t cex c x t et x 两端积分,得即将初始条件代入上式得 故小镇被感染流感的人数的增长曲线为 若 即十天内约有18人被--=-=+-=+===+=≈000-0.128018001()18009002135946.46,.t t t x t et 感染流感. 又设时,小镇有一半人感染流感,则有 解得 故大约经过天小镇将有一半人感染流感===⨯=+≈3. 某市几十家专业商场，今年销售全自动洗衣机15千台, 预计今后几年销售数量将以每年60%的速率增长,估计年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和. 试写出自动洗衣机的销售曲线方程.解 设x (t ) 是第t 年自动洗衣机的销售数, 由题意, 年销售达60千台, 销售市场基本趋于饱和,得10.6d ()0.6()[60()] ()d (0)15d ()0.6d 0.6()[60()]()ln0.660()60 ()1(tx t x t x t tx x t tx t x t x t t c x t x t cex 这是一个阻滞增长模型 这是一个变量可分离得方程，分离变量,得 两端积分,得即将初始条件 -⎧=-⎪⎨⎪=⎩=-=+-=+0.60)15360().13tc x t e代入上式,得 故自动洗衣机的销售增长曲线为 -===+4．设某商品的供给函数与需求函数分别为4244'" 68(0)6,'(0)4,,().d S Q p p p Q pP P p t 与初始条件为若在每一时刻市场均是出清的求价格函数=--+=-+==解 d Q s Q 由题意知=262124244'"68"4'1248(41206,2.()48,0 ttp p p pp p p p c ec ef t r λλλλ 所以即 这是一个二阶常系数线性非齐次方程)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则二阶常系数线性齐次方程的通解为 又因为 不是特征根,所以设非齐次方程有特解---+=-+--=---===-=+=-= 01 p A A t=+10 0,4A A 代入非奇次方程,得==621212624(0) 6.'(0)41,1() 4.ttttp c e c ep p c c p t ee于是非齐次方程的通解为将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的价格函数为 --=++=====++5.设某商品的供给函数S (t )与需求函数D (t )分别为()604,()1003dp dp S t p D t p dtdt=++=-+()p t 其中表示时间t 时的价格, 且p (0) = 8, 试求均衡价格关于时间的函数, 并说明实际意义.解()()S t D t 由题意知在市场均衡价格时, =d d 6041003d d d 402d d 2d 20p p p p ttp ptp tp于是即分离变量,得++==+=-=-综合习题十1.填空题：(1) 微分方程324(')2(')20y y xy ++=的阶数是( ).① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4(2) 下列微分方程中为一阶微分方程的是( ).①22d yxy dx+= ② d y +3y d x = 3x 2d x③ cos y + 6x = 0 ④35"70y y y +-=(3) 微分方程24'2xy x y x =+是( ).① 可分离变量方程 ② 齐次方程③ 一阶线性齐次方程 ④ 一阶线性非齐次方程(4) 方程1=-dxdy eyx 的通解是( ).① x y e e c += ② x ye e c --+= ③ x y e e c -= ④ x ye e c ---=(5) 微分方程'0y y +=满足初始条件 01x y==的特解是( ).① xe ② x e -③ x e - ④ xe --(6) 函数 y = cos x 是微分方程( )的解.① '0y y += ② '20y y += ③"0y y +=④"cos y y x+=(7) 微分方程"2'0y y y -+=的解是( ).① xy xe =② 2xy x e =③ 2xy x e=-④ xy x e=-(8) 微分方程tandyy y dxxx=+的通解是( ).①siny cxx = ②1 siny x cx =③ sin x cx y= ④1 sin x ycx =解 (1) ① ； (2) ②； (3) ④； (4) ④； (5) ③； (6) ③； (7) ①； (8) ① .2. 验证22`0'x xtx xy ee dt y y e是微分方程+=-=⎰的解; 并说明是通解还是特解.解22`0'x xtx xy ee dt e因为 +=+⎰2222222`0`0`0`0','.x x xtx xxtx xx x xtxtx xy y e e dt eee dt ey ee dt y ee dty y e 代入方程 成为恒等式所以是方程的解，且函数不含任意常数.故是微分方程 的特解+++-=+-===-=⎰⎰⎰⎰3.求下列方程的通解和特解.222212233(1)d ()d (2)d d d d (3)()d ()d 0 (4)ln d (ln )d 0(5)'13 (6)'(1)sin , 11x yx x yyx x x y y xy x x x xy y y x y y ee x e e y y y x x y y y y xy y y x x yx++===-++=+-++=+-==-=+=+=+解22d (1)1d y y y xxx将原方程化为 =-+2,','','21y u y xu y u xu xxu u u 令 则原方程变为===+=-+2d d (1)1ln 1ln .u xu x cxu x cx x y变量分离,得 两端积分,得 -故变量还原得原方程的通解为=-=-=-2(2)d d 11y y x yx 将原方程变量分离,得=--20221ln(1)ln (1)2(1)(1).y c x y c x 两端积分,得故原方程的通解为-=--=-0 (3)d d 11ln 1ln (1)(1)(1).yxyxyx xye y e x e e e c e e e c 将原方程变量分离,得两端积分,得 故原方程的通解为－-=-+--=++=d 11 (4)d ln x x yy yy 将原方程化为这是一阶线性非齐次方程,由通解公式可得+=d d ln ln ln ln ln ln 21[d ]1 [d ]111 [ln ]ln .ln 22ln (5)yyy yy y yyx e e y c y e ey c yc y c y y y将原方程变量分离,得--⎰⎰=+=+=+=+=⎰⎰11 x cy c 两端积分,得 将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解是====223312333d 3d 311 (6)2,d 3(1)sin d 1 [(1)sin d ]x xx xxxn z yz xz x xx xz ex xex c 原方程为的贝努里方程. 令 则原方程化为这是一阶线性非齐次方程,由通解公式可得--++==-=-++⎰⎰=-++⎰3ln(1)333[sin d ](1)[cos ]1(1)[cos ].1 0sec .1x x e x x c x x c x x c yy c x y x即将初始条件代入上式,得 故满足初始条件的特解是 +==-+=++=++===+⎰ 4．求满足方程 0()() ()x xy x y t dt e y x =+⎰的函数.解()()d x xy x y t t e x 在方程 两端同时对 求导,得=+⎰d d ''()[d ]()0 1.1, ()(1).xxx x x xxy y e y y e y x e e e x c e x c x y c y x e x 即这是一阶线性非齐次方程，由通解公式,得 又当时，代入原方程得 再代入通解中得 故满足条件的函数为-=+-=⎰⎰=+=+====+⎰5. 求下列方程的通解和特解：200(1)(ln )"' (2)(")'0(3)"'20, ' 0(4)"5'62, '1x x xx x x x y y y y y y y y y y y e yy ====⋅=-=++===-+===解 (1)',"'y p y p 令 代入原方程,得== 12ln )'d d ln ln ln ln 'ln ln d (ln ).x x p p p x px xp x c y p c xy c x x c x x x c(分离变量,得两端积分,得 即两端再积分,得方程的通解为 ===+====-+⎰2(2)',"'')'d y p y p p p p x令 代入原方程,得(分离变量,得=====21 122321'()2121()d ().232x c y p x c y x c x x c c 两端积分,得 即两端再积分,得方程的通解为=+==+=+=++⎰2121200, 1.x y c c eλλλλ (3)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则齐次方程的通解为 -+===-=+ 010*******()20 ()2,0.22 ' 0 2, 2.x x x f x r y x A A x A A y xy c c e xy y c c 又因为 且是特征根,所以设非齐次方程有特解代入原方程,得 于是,非齐次方程有特解为故原方程的通解是 又将初始条件代入通解中,得-===-==+=-==-=+-====- 222.x y ex 故满足初始条件的特解是 -=-- 212321200321212005603, 2.1..'10,0x xxx x x x x x y c e c e y A e A y e y c ec e e y y c c λλλλ (4)由齐次方程的特征方程 得特征根为 则齐次方程的通解为所以设非齐次方程有特解 代入原方程,得 于是非齐次方程有特解为 即原方程的通解是 又将初始条件代入通解中,得故满足初始条==-+====+====++====.x y e 件的特解是 =6.设函数()x ϕ连续,且满足 00 ()()d ()d ().x x x x e t t t x t t x ϕϕϕϕ求:=+-⎰⎰解 00()()d ()d x x xx e t t t x t t x ϕϕϕ在方程 两端同时对求导数,得=+-⎰⎰ 021212 '()()d "()()"()()10,.()cos sin xx x xx e t t x x e x x x e i i x c x c x ϕϕϕϕϕϕλλλϕ再对求一次导数,得 即 这是二阶常系数线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为解得一对共轭特征根为 则齐次方程的通解为 =-=-+=+===-=+⎰。