浙江省黄岩中学高中数学函数模型及其应用学案(无答案)新人教版必修1

3.2 函数模型及其应用【入门向导】 想一想？杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：20＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2)幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？一般地，对于指数函数y ＝a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有a x >x n .同样地，对于对数函数y ＝log a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增长，log a x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但是由于log a x 的增长慢于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x >x 0时，就会有log a x <x n .综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)、y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x 0，当x >x 0时，就会有log a x <x n <a x .常见的数学模型有哪些？利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的，具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：1．一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；2．反比例函数模型：f (x )＝k x＋b (k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)；注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．4．指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；5．对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m 、n 、a 为常数，a >0，a ≠1)；说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．6．幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；7．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．函数应用举例函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要对一、二次函数及分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助．一、建立函数解析式，解决几何问题例1 现有100米长的篱笆材料，利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈，问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？分析 如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为100米，因此可假设宽为x 米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积S 关于x 的解析式．解 如右图，设矩形猪圈的宽为x 米，则长为(100－2x )米，于是S ＝x (100－2x )＝－2x 2＋100x＝－2(x －25)2＋1 250(0<x <50)．这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得当x ＝25(米)时，面积S 最大，最大值为1 250(平方米)，此时矩形的长为100－2×25＝50(米)．答 当矩形的长与宽分别为50米、25米时，面积最大，最大为1 250平方米．二、由表格确定函数解析式，解决实际问题例2 某公司今年一月份推出一种新产品，成本价为每件492元，经试销调查，销售量与销售价 x (元/件) 650 662 720 800销售量 y (件) 350 333 281 200由此可知，通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．分析 首先要根据表格确定销售量y 与销售价格x 的关系式，进一步才能确定利润． 解 由题意及表格可得当x ＝650时，y ＝350；当x ＝800时，y ＝200.将它们代入y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 350＝650k ＋b ，200＝800k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1 000. 即销售量y 与销售价格的关系式为y ＝－x ＋1 000(0≤x ≤1 000)．设一月份的利润为P ，则由题意可得P ＝y (x －492)＝(－x ＋1 000)(x －492)＝－x 2＋1 492x －492 000＝－(x －746)2＋64 516(0≤x ≤1 000)．这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得当x ＝746(元/件)时，利润最大，最大值为64 516(元)，此时的销售量为y ＝254(件)．答 销售价定为746元时，一月份利润最大，最大利润为64 516元，此时的销售量为254件．三、分段函数的应用例3每月工资 公积金1 000以下 不交纳1 000元 至2 000元交纳超过1 000元部分的5% 2 000元至 3 000元 1 000元至2 000元部分交纳5%2 000元至3 000元部分交纳10%3 000元以上 1 000元至2 000元部分交纳5%2 000元至3 000元部分交纳10%3 000元以上的部分交纳15%(1)(2)张某的月工资为2 400元，则他应交纳多少的公积金．分析 本题意为工资中要扣除公积金，由表可得分了四段，每一段交纳的方式不相同，因此我们一段一段地来分析．解 (1)当0<x ≤1 000元时，不交纳公积金，即y ＝x ；当1 000<x ≤2 000时，交纳超过1 000元的部分的5%，即y ＝1 000＋(x －1 000)(1－0.05)＝0.95x ＋50.同理可得当2 000<x ≤3 000时，交纳公积金后实得y ＝0.9x ＋150；当x >3 000时，交纳公积金后实得y ＝0.85x ＋300.所以所求函数的表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， 0<x ≤1 000，0.95x ＋50， 1 000<x ≤2 000，0.9x ＋150， 2 000<x ≤3 000，0.85x ＋300， x >3 000.(2)张某的月工资为2 400元，则他实得y ＝2 400×0.9＋150＝2 310(元)，因此他交纳的公积金为2 400－2310＝90(元)．答 张某应交纳公积金90元．数模型建立过程中的常见错误解答函数应用问题时，要分四步进行：第一步：阅读、理解；第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；第三步：解答数学模型，求得结果；第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”．一、忽视实际意义出错例4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x (件)时的成本函数为y ＝10＋2x ＋2x 2(万元)，若售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？错解 设该企业所能获取的最大利润为z (万元)，则z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)，即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5，故z 的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．剖析 同学们，你认为以上解答出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x 为自然数，而该错解中却是在x ＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．正解 设该企业所能获取的最大利润为z (万元)，则z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)(x ∈N )，即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5，故当x ＝4或5时，z 取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．二、因读题不精而出错例5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；④当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．其中正确的说法是()A．③B．①②③C．①③④D．②③④错解①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.剖析错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于④，乙的位移计算错误．正解①和③一定是一对一错，经分析③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确．故选D.点评对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景．三、因主观性太强而致错例6 如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是()错解观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.剖析本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．正解从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.点评 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反．错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误．求解实际问题四策略实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广．很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析．这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助．一、抓常规，乱中找序实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解．例1 某商店将每个进价为10元的商品，按每个18元销售时，每天可卖出60个．经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？分析 “总利润＝销售量×单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x 元，每日利润为y 元．解 若x ≥18(即提价)，销售量为60－5(x －18)，单个利润为x －10，那么每日利润为y ＝[60－5(x －18)](x －10)＝－5(x －20)2＋500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元．若x <18(即降价)，销售量为60＋10(18－x )，单个利润为x －10，那么每日利润为y ＝[60＋10(18－x )](x －10)＝－10(x －17)2＋490，显然当售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元．比较知，商品售价定为每个20元，每日利润最大．二、抓重点，以纲带目实际问题的一大特点是：信息量大、文字叙述较长，有时还会出现很多数据，面对这些信息要善于找主要矛盾，抓重点，以纲带目．例2 某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a 立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c 元；若用水量超过a 立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b 元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元． 月份 用水量(立方米) 水费(元)一 9 9二 15 19三 22 33分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．解 设用水量为x 立方米，支付费用为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋c (0≤x ≤a )，8＋b (x －a )＋c (x >a )， 由0<c ≤5，得8<8＋c ≤13，因此，第二、三两月的用水量超过最高限量．由⎩⎪⎨⎪⎧8＋b (15－a )＋c ＝19，8＋b (22－a )＋c ＝33，得b ＝2且2a ＝c ＋19. 再分析限量a ，若a <9，由8＋2(9－a )＋c ＝9，得2a ＝c ＋17与2a ＝c ＋19矛盾，因此a ≥9.此时，由8＋c ＝9，得c ＝1，所以a ＝10.故a ＝10，b ＝2，c ＝1.三、抓概念，深入理解实际问题一般都会伴有新概念、新术语的产生，面对这些新概念、新术语，我们必须抓住它们，通过对它们的全面分析，使我们能准确地把握题意，从而进行正确求解．例3 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －x 22(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． 则年产量为多少时，工厂所得利润最大？解 当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 22－0.5， 当x ＝4.75时，L (x )max ＝10.781 25万元．当x >5时，L (x )＝12－0.25x 为减函数，此时L (x )<10.75(万元)．∴生产475台时利润最大．四、用草图，显现关系例4 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台，B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费． 解 画一个草图，如图所示，设从甲地运x 台到A 地，那么甲地的另12－x 台运往B 地．由于A 地购10台，因此，尚需从乙地运去10－x 台，乙地的另6－(10－x )台运往B 地．设总运费为y ，则y ＝400x ＋800(12－x )＋300(10－x )＋500[6－(10－x )]＝－200x ＋10 600.(1)由y ≤9 000，即－200x ＋10 600≤9 000，得x ≥8.由于甲地有12台，A 地需要10台，因此有三种调运方案，即从甲地运8台、9台或10台到A 地．(2)由于y ＝－200x ＋10 600为减函数，又8≤x ≤10，因此，当x ＝10时，运费最低，最低运费为8 600元.函数应用问题中的创新考点分析新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明．考点一看图计算1．(广州模拟)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)图1图2(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元) 解(1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1＝ax＋b(a≠0)，由x＝1，y1＝0.25和x＝1.8，y1＝0.45，得a＋b＝0.25,1.8a＋b＝0.45，∴a＝0.25，b＝0，∴y1＝0.25x.设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2＝k x(k≠0)，由x＝4，y2＝2.5，得k＝1.25.∴y2＝1.25 x.所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为y1＝0.25x，y2＝1.25 x.(2)设将10万资金投资B产品x万元，A产品(10－x)万元，则利润y＝0.25(10－x)＋1.25 x.令t＝x，∴x＝t2.∴y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5＝－0.25(t2－5t)＋2.5＝－0.25(t－2.5)2＋4.062 5.又0≤x≤10，∴t∈[0，10]．∴当t＝2.5时，即x＝6.25时，y取得最大值y max＝4.062 5,10－6.25＝3.75.所以，当投资A产品约4万元，B产品约6万元时，所获利润最大，最大利润约为4万元．点评图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的．这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际．考点二几何图形与应用问题的交汇2．(上海高考)某人定制了一批地砖．每块地砖(如图1)是边长为0.4 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比为3∶2∶1.若将此种地砖按如图2所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形．(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明图2是由四块图1所示的地砖绕点C按顺时针连续三次旋转90°后得到的，△CFE为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形．(2)解设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料每平方米的价格依次为(单位：元)3a,2a，a，W＝12x2·3a＋12×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－12x2－12×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23]，0<x<0.4.由a>0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．所以当CE＝CF＝0.1 m时，总费用最省．点评本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力．。

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3.2。

1 函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】（一次函数模型）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法:（1）买一个茶壶赠送一个茶杯;（2)按总价的92％付款。

某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算。

思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可。

解:由优惠办法(1）可得函数关系式：y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),由优惠办法（2）可得函数关系式:y2=（5x+4×20）×92%=4.6x+73。

6.比较：y1-y2=0.4x—13。

6(x≥4)。

①当0.4x-13。

6＞0,即x＞34时,y1＞y2,即当购买茶杯个数大于34时，优惠办法(2)合算。

②当0。

4x-13。

6=0，即x=34时,两种优惠办法一样合算.③当0.4x—13。

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3.2 函数模型应用举例互动课堂疏导引导一、函数的应用1。

数学建模的地位和作用数学来源于生活，又服务于生活。

在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性。

在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用。

2.数学模型的种类第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.第二类探究的内容来源于物理、化学等学科。

主要是利用CBL（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题。

如节约能源(怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题(怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题(草食动物和肉食动物的平衡)等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料,我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系,用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形\，计算器对数学模型处理,从而解决问题.3。

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2 错误!3．2.1 几类不同增长的函数模型预习课本P95～101，思考并完成以下问题(1)函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x（a＞1)和y＝x n（n＞0）在（0,＋∞)上的单调性是怎样的?图象的变化规律是什么?(2）函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x（a＞1）和y＝x n（n＞0）的增长速度有什么不同？错误!指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x（a>1）,y＝log a x(a>1）和y＝x n（n>0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次"上．随着x的增大，y＝a x（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n（n〉0）的增长速度，而y＝log a x（a〉1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0,使得当x〉x0时,就有log a x<x n<a x（a>1,n〉0）．错误!1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．（)（2)当a＞1,n＞0时，在区间(0,＋∞）上，对任意的x，总有log a x＜x n＜a x成立．（）答案：（1)×(2)×2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝x2D．y＝e－x答案：A3．某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元，则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________________________．答案：y＝－错误!x＋50(0＜x＜200)[例1］四个变量y1，y2,y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y2232 1 02432 7681。

函数模型及突破思路本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤•函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功•本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数. 其中，最重要的是二次函数模型.合作讨论1 •解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么？我的思路：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化.第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得岀函数问题的解.第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答.2 •解决函数应用题的关键点和难点是什么？我的思路：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言•二是对得到的函数模型进行解答，得岀数学问题的解，要注重数学能力的培养.思维过程解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化•另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力.新题解答【例1】某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税•已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百8元收t元时，则每年销售量将减少一t万件.5(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：(1)设每年销售是x万件，则每年销售收入为250X万元，征收附加税金为y= 250X・t%.8依题意，X= 40 —t58所求的函数关系式为y= 250 ( 40 —t) t%.58(2)依题意，250 (40 —- t)- t %> 600,即卩t2—25t + 150 < 0，5••• 10W t< 15 .即税率应控制在10%〜15%之间为宜.【例2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖岀的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社•在一个月(以30天计算)有20天每天可卖岀400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：则每月获利润y=[( 6x+ 750) + ( 0.8x—200)]—6X=0.8X+ 550 ( 250 W X< 400). y在x[ 250，400]上是一次函数.• X= 400元时，y取得最大值870元.答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.点评：1•信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时,可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画岀相应的图形，建立坐标系等.2 •自变量X的取值范围]250，400]是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘.1 •商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r %变式练习1 •商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r %增加到（r+10）%，那么r 的值等于（■^灯00%= r %, 则 X解之得r = 15.y - x(1_8%) 1oo % = (r +10%).x(1-8%)答案：B2 •如下图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设 沿着A — B — C — M 运动时，以点 P 经过的路程x 为自变量，三角形 APM 的面积函数的图象 形状大致是（）解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示,11当 o < x < 1 时，y = • x • 1 = x ；2 2 1—x 0兰x 兰1, 2 1 3则y = <—— x +兰 1V X 兰2， 图形为A .4 4 1 5-—x+— 2V x 兰 2.5. 2 4答案：A3 •按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8%,零存每月利息 2%，现把2万元存入银行3年半，取岀后本利和应为人民币（）解析：销隹价-讲价 销售利润.隹进价X 100%.设销售价为y ，讲价为x ， A . 12 B . 15 C . 25 D . 50(1 + 8%)M 是CD 边的中点，则当点 P1 当 1v x <2 时，y = 1 - (x - 1)21 5 当 2V x < 2.5 时，y = ( — - x )2 2 11 _ 1 3(2 -x )-X + 444 45 1X 1 ---- x4 2B .C . (1 + 8%)(1 + 8%)(1 + 8%) 3.5万元3(1 + 2%) 6万元3+2X 2%X 5 万元答案：B4 •某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示岀发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d o 表示学生的家与学校的距离，因而首先排除 A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择 D •答案：D5 •容器中有浓度为 m %的溶液a 升，现从中倒岀 b 升后用水加满，再倒岀 b 升后用水加满，这样进行了 10次后溶液的浓度为（） A • （―）10 • m % B .（1— ―）10 • m %aa C . （—）9 • m %D . （1-—）9 • m %aa答案：B6 •某城市岀租汽车统一价格，凡上车起步价为 6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按 6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种岀租车，车费 17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（A • 5〜7kmB • 9 〜11kmC . 7〜9kmD • 3〜5km答案：A 7 •某工厂生由于市场销售发生变化,A 产品连续两次提价 20%，B 产品连续两次降价 20%，结果都以23.04元岀售，此时厂家同时岀售A 、B 产品各一件，盈 亏情况为（A •不亏不赚B •亏5.92元C •赚5.92元D •赚 28.96 元答案：B8 •某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20 %，要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据l g 2 = 0.3010 ,l g 3 = 0.4771）B • 10C • 14 答案：CD • 159 •有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成的矩形最大面积为 m 2 (围墙厚度不计).解析：设矩形宽为X m ,则矩形长为(200 — 4x ) m ,则矩形面积为 S = X ( 200 — 4X )=— 4 ( X — 25) 2 + 2500 ( 0V X V 50),••• X = 25 时，S 有最大值 2500m 2 •答案：250010 •将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖岀100个•若每个销售涨价一元， 则日销售量减少10个•为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个__________ 元.解析：设每个涨价X 元，则实际销售价为(10+x )元，销售的个数为(100 — 10X )，则利2润为 y =( 10 + X )( 100 — 10X )— 8 ( 100 — 10X )=— 10 ( X — 4) + 360 ( 0< X < 10 ).因此X = 4，即售价定为每个 14元时，利润最大. 答案：1411 •在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a 1，a 2,…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a 是这样一似值比较，a 与各个数据的差的平方和最小， 依此规定，以a 1,a 2，…，a n 推岀的a=y ,贝U y =( a — aj 2 +( a — a?) 2+…+( a — a n )2 2 22 a 1 + a 2+ + a n卄=na — 2a (a 1+ 比 + …+ a n ) + ( a 1 + a n +…+ a n ),因此 a =—--时，y 取n得最小值. 答案：a 二 a 1+”7an-12 •有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端，而距支点 力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平，若杠杆本身每米重解析：如图所示，设杆长为 x m ,向上用力为 F .X依杠杆原理易得 490 X 1 + 5X • = FX ,2 5X 490则F =+> 70，当且仅当解析：设a 与各数据的差的平方和为1m 处挂一个490kg 的物体，同时加 5kg ，则最省力的杆长为 ____________5490X = 一2 x2 X即x= 14m时，F的最小值为70kg . 答案：14m13 .在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资 (分)表示为信重(0V X< 40)克的函数，其表达式f(X)为__________________ …'80 0V x 兰20答案：丿160 20V x 兰4014 •一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发岀邀请，且有各自的优惠政策•甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家2庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试3分别列岀两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为 a (a>0)，家庭孩子个数为x (N*)，甲、乙两家旅行收费分别为f (x)和g (x)，贝U f (x)= a+( x+ 1)・-=^x+ - a (x N* )，2 2 22a 2a 4ag (x) = ( x+ 2)・= x+ (x N* )，3 3 3g (x)> f (X)，得a x+ 3a < -2a x+ 4a，•. x> 1.2 23 3因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社.15 •把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是刊C,空气的温度是二0C, t min后物体的温度二c可由公式-0+(刊一二0) e「kt确定，k是常数•现有62 C的物体，放在15C的空气中冷却，1min后物体的温度是52 C.求常数k的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是42C?(精确到小数点后一位有效数字)解析：k k 37由题意知52 _ 15 +（62 —15）e ，e _ _ 0.7872 .两边取对数，得—klge= lg o.7872，...k=0.1039=2.303 X 0.1039 = 0.2393 . lg e又0 =（齐一二0）e—kt」U l g（二一d0 ）= l g p 1— r 0）—kt l ge，lg（日1—日0）—lg（日—日0）_ lg（日1—日0）—lg（日—日°）klge 0.1039则t=将齐_ 62，二0 _ 15代入上式得丄1.6721- IgL—15）t _0.1039若 V _ 42 C，贝U t~ 2.3min .答案：k= 0.2393 , 2.3min .16 .依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人工资薪金所得税；超过800元部分征税，设全月纳税所得额为X, X =全月总收入—800元，税率见下表：(1) 若应纳税额为f ( X)，试用分段函数表示1〜3级纳税额f (X)的计算公式;(2) 某人1999年3月份工资总收入3000元，试计算这个人3月份应纳税多少元?(3) 某人2000年4月纳税265元，问该人这个月工资总额为多少元？5%x 0< X E500,答案：(1) f (X) = <10%X— 25 500< X< 2000,J5% X— 125 2000< x 兰5000 ；(2) 205; ( 3) 3400.17 •甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度V km/h的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度V ( km/h )的函数，并指岀这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？s答案：(1) y= (bv2+ a)，0< v< c；v(2)当C》J?，V= J旦时，最小值为2sJ0b ；\b \ b当c< J旦，v= c时，最小值为s (bc+ —).V b c18 •某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80 %岀售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：则消费金额为 320元，获得的优惠额为400 X 0.2 + 30 = 110元，设购买商品的优惠率=购买商品获得的优惠商品的标价试问：(1)若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)对于标价在］500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于 的优惠率？答案：(1)优惠率为33%;1(2)标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于的优惠率.319 •某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表示：A m 3,只付基本费3元和每家每月的定额保险 C 元，若用气量超过 A m 3，则超过部分每 m 3付B元，又知保险费 C 不超过5元，根据上面的表格求A 、B 、C .答案：A = 5， b = 0.5， C = 1.20 •经市场调查，某商品在近 100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似1109 1 地满足关系g (t )=—丄t +，( t N ，0V t < 100)，在前40天里价格为f (t )=丄t +334122 (t N ，0V t < 40)，在后 60 天里价格为 f ( t )=—一 t + 52 (t N ，40v t < 100)，求这种2商品的日销售额的最大值.138809根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价,解析：由题意知，当0V t< 40，h (t)=—(t—10.5) 2+12 481 25当40 V t< 100，h (t)= 一 (t —106.5) 2—;••• t= 10或11时，这种商品的日销售额的6 24最大值为808.5.21 •为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划岀一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求岀最大面积.已知AB= CD= 200m , BC = AD = 160m , AE = 60m, AF = 40m.2 2 2 2解析：设PO= X,贝U S=——（x—190）2+ X 1902, 0 V x v200,即卩X= 190 时，最大面3 32积为24067m .答案：方案略.最大面积24067m2.22 •国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n=消费支出总额X100%，各种类型家庭的n如下表所示:根据某市城市家庭抽样调查统计，1997年至2003年间，每户家庭支岀总额每年平均增加700元，其中食品消费支岀总额每年平均增加100元.（1）若1997年该市城区刚达到小康，且该年每户家庭消费支岀总额为9000元，问2002 年能否达到富裕？（2）若2002年比1997年的消费支岀总额增加35%，而其中食品消费支岀总额增加10 %, 问哪一年能达到富裕？答案：（1）2002年刚好达到富裕；（2）至少到2003年才能达到富裕.23 •某人从A地到B地乘坐岀租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km 价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按岀租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的•则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适.答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A、B距离在（a, a+10）时，选择第二种方案；当A、B距离恰好为a+ 10时，选择两种方案均可以；当A、B距离大于a+ 10时，选择第一种方案.（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）规律总结1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．相关链接数学模型及其应用数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情景的数学化”．即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．1．数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：（ 1 ）直接套用现成的公式；（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；（3）对于已经经过提炼加工，忽略了次要因素，保留下来的诸因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；（4）对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．2．解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得岀数学结论；④还原：将用数学知识和方法得岀的结论，还原为实际问题的意义.请你解决：某县1995〜2000年县财政收入情况如下表所示：（表中第1年即1995年，其他依此类推)(1) 请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况. (2) 计算该县财政收入的平均年增长率.由(1)、( 2)分别预测2001年该县财政收入，并讨论哪种预测结果更有可行性，假如你 是该县县长，将会采用哪种模型?知识归纳 学力测评基础巩固、选择题{xx > 0}D .{xx R 且 x ^ 0}答案： C2 •下列各组中，f (x )与g (x )是同一函数的是A .f (x )= =x ，g (x )= (.x ) 2B .f (x )= =lg |x |，g (x ) 1 2=-l g xC .f (x )==1，g (x )=x 0D .f (x )= =|x |，g (x )==3 x 3答案： B3 . ( log 89)- (log 23)等于( )A 2 3B . 1C .3 2C .答案：A1 .函数 (X + 1)的定义域是(xy= _ 』x—B . {x |x v 0={x |x v 0 且 X K — 1—xy = a —与y = log a x 的图象可能是4 •如下图所示，当a> 1时，在同一个坐标系内，函数答案：A5 •若函数y = f (x )( x R )为奇函数，则它的图象必经过点(A •(- a ， - f (— a )) B• ( a ， - f (a )) C .( a ，f (a -1))D•(— a ， - f (a ))答案：D6 •下列不等式中正确的是( )1 1A . log i 3 v log i vlog i -2 2 33 24答案：-3三、解答题10 •设o v a v i v b ，试比较log a b 与log b a 的大小. 答案：当 ab = i 时，log a b = log b a ； 当 ab > 1 时，log a b v log b a ；B .log 1 3 v log !丄 V23 2汽1C . 1 1|og iv|og i3 v log i -2 323 21 1log i vlog 1 v3 22 3log i 32答案：A 二、填空题7 •若函数f (x ) = ( a 2- 4)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是 ___________________ 答案：2v |a |v .58 .如下图所示, M 、N 、P 、Q 分别为幕函数图象上的四个点，且它们的纵坐标相同•若-2 - 1四个幕函数为①y = x -3；②y = x -2；③y = x 3 :④y = x 3，贝U M 、N 、P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只能是 _____________ .答案：②③④①9 .函数f (x ) 的最大值是1- x(1-x)当 ab v i 时，log a b >log b a .11 .集合 A = { (x , y ) |y = x 2 + mx + 2}, B ={(x , y ) |x — y + 1 = 0，且 o < x < 2},若 A B =■-，求实数m 的取值范围.答案：m >— 1. 迁移应用 、选择题x1 .函数y = a 在［0， 1］上的最大值和最小值的和为 3，则a 等于（）C . 2 答案：C2 •已知f (x )=V x — a ax + 4ax +3的定义域是R ，则实数 a 的取值范围是（)(一X33A)B .[0，44(0，3/ 3C .)D. .(—，+oo)44答案：B3A . v = log 2tB . v = log ou tC . V = 0.5t 2— 0.5D . V = 2t — 2答案：C4 •已知函数f (x )= x 2+bx + c 对于任意实数 X ，都有f ( 1+ x )= f (— X )，则下面不等 式成立的是()A . f ( 2)> f ( 0)> f (— 2)B . f (— 2)> f ( 2)> f (0)C . f ( 0)> f (— 2)> f (2)D • f （- 2）＞ f （ 0）＞ f （ 2）答案：B5 •函数f （ x ）= x + ax -1 （a ＞ 0），则下列结论中错误的是（ ）A .函数f （ x ）的最小值为2、- aB •函数f （x ）在（o , , a ）上递减c .函数f （x ）在］.a ,+^）上递增D .函数f （X ）不存在反函数答案：D答案：C 二、填空题6 .设函数y =江3和yx — 4 2x _9一的值域分别是A 和B ,则（x —7x + 12A . A =B B . A 真包含BC . A 真包含于BD . A B = R 答案：B7.函数 f ( x ) = ( x + a ) 3，且它的图象关于点（1, o ）成中心对称，则 a 等于（ 答案：D8 .函数 f (x )满足 f (x + a )= f (b —x )，则函数 f (x )( )关于直线 x = a 对称关于直线 x = b 对称关于直线 关于直线 1x = 一2 1 x = 一2 (a + b )对称(l a — b |)对称19 .若 x 2 + x 3,(2){X I 1—卫 <x < 0,或丄 <x < Z }• 1og 2 x x >0, 10 •已知f ( X )二」 则 f (f (-)) 3x XW0, 4 11 •定义在R 上的函数f (X )满足f ( - +X )+ f ( 1 — X ) 2 12 3 2, f ( )+ f ( ) + f ( 8 8 8 + …+ f (7)8答案：7三、解答题1 , 1-x+ l g x + 2 1+ x判断函数的单调性并加以证明；12 •设 f (X ) (1) (2) 解关于X 的不等式f [X (x — 1 )]<2答案: (1) f (x )在(—1, 1) 上单调递减.证明略;4 2 43+ 2 (1 + 8) 3 * *(1 + 2%) 6万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8%计算，而半年按6个月（月息2%）计算，又由于是复利问题，故只有选 B .(2)。

第三章 3.2第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1-3.2.2几类不同增长的函数模型和函数模型的应用实例1教学目标1.1知识与技能：[1]利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异.[2]结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.[3]了解一次函数、二次函数、幂函数的广泛应用并求解实际问题.[4]能够利用指数 ( 或对数 ) 函数模型解决实际问题 .1.2 过程与方法：[1]通过具体实例，函数图像及数据表格，掌握指数函数、对数函数及幂函数的增长差异.[2]结合具体例题，掌握函数模型的解决方法和一般步骤.1.3情感态度与价值观：[1]通过学习指数函数、对数函数及幂函数的增长差异，提高学生对基本函数性质的理解。

[2]通过对生活中具体问题的解决学习，让学生体会学习数学的必要性和函数模型的意义。

2教学重点 / 难点 / 易考点2.1教学重点[1] 利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异.[2] 结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.[3] 了解一次函数、二次函数、幂函数的广泛应用并求解实际问题.2.2教学难点[1] 了解一次函数、二次函数、幂函数的广泛应用并求解实际问题.[2]能够利用指数 ( 或对数 ) 函数模型解决实际问题 .3专家建议此节为高中数学必修一第三章的内容-函数模型及其应用，对于解决实际问题有很大帮助。

要在学习的同时启发学生对数学的兴趣，带领学生感受数学知识在实际生活中的应用。

此外，本节内容中有大量的数学计算，要注重提高学生的数学计算能力。

4教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高第三章 3.25教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6教学过程6.1引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就算过应用题，那么这节课我们利用我们所学的函数来解决一些实际问题。

【板书】第三章函数的应用 3.2函数模型及其应用6.2新知介绍[1]几种不同增长的函数模型【师】下面请同学们思考下面的例题 .【板演 /PPT】PPT演示示例。

课题：函数及其表示目标要求1． 理解函数概念，掌握函数三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2． 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． 知识原理1． 设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2． 函数的定义域、值域、对应关系是函数的三个要素，两个函数相等当且仅当它们的定义域、对应关系均完全一致．3． 在通常情况下，函数的“对应关系”可以用解析式，或图象，或表格表示，因而函数的表示法也有解析法、图象法和表格法．但是并不是每一个函数都能用三种表示法表示，即使某函数能用三种表示法表示，实际应用时也应该根据具体情况选用最适合的表示法表示．4． 函数的解析式与其图象之间的对应关系充分体现了数形结合的思想，是抽象与直观的典范，是理解函数和运用函数模型的重要方式．5． 映射概念是函数概念的推广，函数表现为从非空数集到非空数集之间的对应，而映射表现为非空集合到非空集合之间的对应．例题分析例1 用清水洗衣服时，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：有一个单位的水可清除衣物上残留脏物的12 ，用水越多，洗掉的脏物也越多，但总还有脏物残留在衣物上．设用x 单位量的水清洗一次后，衣物上残留有脏物与本次清洗前残留的脏物之比为函数f (x )．（1） 试f (0)规定的值，并解释其实际意义；（2） 设f (x )= 1 1+x 2．现用a （a ＞0）单位的水，可以清洗一次，也可以把水平分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后脏物上残留的脏物比较少？请说明理由．例2 设f (x )=⎩⎨⎧<≥1||,1||,2x x x x ，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0,＋∞)，求函数g (x )的值域．例3 已知a ，b ，c ，d 为非零实数，f (x )=ax ＋b cx ＋d ，x ∈R，且f (19)=19，f (97)=97．若当x ≠－d c 时，对于任意实数x ，均有f [f (x )]=x ，试求出f (x )值域外的惟一数．例4 已知f (x )=|x 2－1|＋x 2＋kx ．（1） 若k =2，求方程f (x )=0的解；（2） 若关于x 的方程f (x )在（0,2）上有两个解x 1、x 2，求k 的取值范围，并证明1 x 1＋1 x 2＜4． 巩固练习 一、选择题1.已知集合A ＝{1,2,3,4}，设f (x )，g (x )是从A 到A 的函数，其对应关系如下表格：表1x1 2 3 4 f (x) 3 4 2 1表2x1 2 3 4 g (x)4 3 1 2则与f (g (1))相同的是（ ） A ．g (f (1)) B ．g (f (2)) C ．g (f (3)) D ．g (f (4))2.若函数y =f (x )的图象如图所示，则函数y =f (x )的解析式可以是（ ） A ．f (x )=(x －a )2(b －x ) B ．f(x )=(x －a )2(x ＋b )C ．f (x )=－(x －a )2(x ＋b )D ．f (x )=(x －b )2(x －a )3.已知x ，y 都是正数x ＋2y =2，p =x 2＋y 2，则p 关于x 的函数p =f (x )的定义域为（ ）A ．（0,＋∞）B ．（2,＋∞）C ．（0,2）D ．（0,2]4.f (x )对任意实数x 满足f (x ＋2)= 1 f (x )，若f (1)=－5，则f [f (5)]的值为（ ） A ．15 B ．－15C ．5D －5 二、填空题5.如果函数f (x )的定义域为R ，对m ，n ∈R，恒有f (m ＋n )=f (m )＋f (n )－6，且f (－1)是不大于5的正整数，当x ＞－1时，f (x )＞0．那么具有这种性质的一个函数f (x )＝ （填上你认为正确的一个函数即可）．6.已知f (x )= 1 1＋x，g (x )=x 2＋2，则g (2)= ;g (f (2))= ;f (g (x ))= . 7.函数的定义域为M ，值域为P ＝[1,2]，以下六个结论：①M＝[0,1]；②M＝（－∞，1）；③[0,1] M ，b a O y x④M ⊆（－∞，1]；⑤1∈M ；⑥－1∈M ．其中一定正确的结论是 ． 三、解答题8.求下列函数的定义域：（1）y =(5x －4)0lg(4x ＋3) ;（2）y =log 0.5(x －1) ；（3）y =23)3(-+x ＋x 2－5x －6 . 9.设f (x )是R 上的奇函数，对一切x ∈R ，f (x ＋2)= －f (x )恒成立，当0≤x ≤1时，f (x )=x ．（1）当x ∈[－1，1]时，求f (x )的表达式；（2）当x ∈R 时，求f (x )的表达式．10.今有一长2米、宽1米的矩形铁皮，如图所示，在四角上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起，做一个无盖的长方形水箱，（接口连接问题不考虑）．（1）求水箱容积的表达式f (x )，并指出函数f (x )的定义域；（2）若要使水箱容积不大于4x 3立方米的同时，又使得底面积最大，求x 的值．xx。

函数模型及其应用一考纲要求。

1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．高考趋势。

函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。

三．要点回顾解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。

其解题步骤如下： 1.审题 2.建模（列数学关系式） 3.合理求解纯数学问题。

4.解释并回答实际问题。

四．基础训练。

1．在一定的范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格)(t f 与时间t 满足关系),101(2110)(+∈≤≤+=N t t t t f 销售量)(t g 与时间t 满足关系),101(24)(+∈≤≤-=N t t t t g 则这种商品的日销售额的最大值为 .3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交a 元)53(≤≤a 的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9)11≤≤x 时，一年的销售量为2)12(x -万件。

则分公司一年的利润L(元)与每件产品的售价x 的函数关系式为 .4.有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示）,则围成矩形场地最大面积为（围墙厚度不计）。

5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。

函数的实际应用【考点精讲】1. 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其他函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题。

解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）。

例如：（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，两个分裂成4个…，1个这样的细胞分裂5次后，得到32个细胞，分裂n次后得到n2个细胞，如果分裂x次后，得到y个细胞，那么y与x的关系式是x=。

y2（2）我国现有人口数为N，年平均增长率为P，经过x年后，我国人口数y与x的函数关系式是x=。

1(+pNy)【典例精析】例题1 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3。

其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤ 思路导航：解决此类问题的关键是选择合适的函数模型，此题已经给出指数函数的模型，只需结合图象判断选项即可。

将点（2，4）代入可得a ＝2。

故①正确。

当t ＝5时y ＝25＝32＞30，故②正确。

对于③，当浮萍从4 m 2经过1.5个月后，浮萍蔓延为8 2 m 2＜12 m 2，故③错，由4－2≠8－4知④错。

⑤由于6＝2×3，因此212132222t t t t t +=⋅=，所以t 3＝t 1＋t 2，故⑤正确，综上所述，选D 。

答案：D例题2 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿。

课题：函数与方程目标要求1． 结合二次函数图象，了解函数的零点一方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2． 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识原理1． 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )f (b ) ＜0，那么，函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得，这个也就是方程的根．2． “二分法”的基本内涵是：把函数f (x )的零点所在的区间[a ，b ]（满足f (a )·f(b )<0）“一分为二”：[a ，m ]、[m ，a ]，根据“f (a )·f (m )＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a ，b ]；将所得的区间[a ，b ]重复上述的步骤，直到零点的区间[a ，b ]“足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精度d （即|a －b |<d ）例题分析例1 已知a 是实数，方程2ax 2＋2x －3－a =0在区间[－1，1]上有解，求a 的取值范围．例2 设实数a ，b ，c ，m 满足条件：a m ＋2 ＋b m ＋1 ＋c m =0，且a ≥0，m ＞0，求证：方程ax 2＋bx ＋c =0有一根x 0满足0＜x 0＜1．例3 设函数f (x )的定义域是（0,＋∞），对任意实数m ，n 恒有f (mn )=f (m )＋f (n )，且当x ＞1时，f (x )>0，f (2)=1．（1） 求f ( 12)的值； （2） 求证：f (x )在（0, ＋∞）上是增函数；（3） 求方程4sin x =f (x )的根的个数．例4设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程202a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间． 巩固练习一、选择题1.已知三个函数f (x )=x x +2，g (x )=2-x ，h (x )=x x +2log 的零点依次为a ，b ，c 则( )A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<2．已知函数20102009ln )23()(2-++-=x x x x x f ，则方程0)(=x f 在下面哪个区间内必有实根（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（2，4）3．已知函数)(x f 是定义域为R 的周期为3的奇函数，且当)23,0(∈x 时)1ln()(2+-=x x x f ，则函数f (x )在区间[0，6]上的零点的个数是（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9 4.若函数f (x )的零点与g (x )=4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )可以是（ ）A. f (x )=4x－1 B.f (x )=(x －1)2 C.f (x )=e x －1 D.f (x )=ln(x －12) 5.函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x =－ b 2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p =0的解集都不可能是( )A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}二、填空题6.若函数f (x )=a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .7. 已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a ,b ,c ,满足a ＋c =2b ，且满足0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >，其中有可能成立的判断的序号是 （请把你认为正确的都填上）．三、解答题8.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f(x －4)=－f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x )=m (m >0)在区间 [－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4,求x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值9．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2－2x ，若x ∈[－4,－2]时，f (x )≥)3(181t t-恒成立，求实数t 的取值范围. 10.设a 为实数，记函数f (x )=a 1－x 2＋1＋x ＋1－x 的最大值为g (a )．（1）设t =1＋x ＋1－x ，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数；（2）求g (a )；（3）试求满足g(a )=g ( 1a)的所有实数a ．。