高中数学必修一幂函数及其性质

引言：高中幂函数是高中数学中的重要部分，它在数学研究和实际问题中有着广泛的应用。

本文将对高中幂函数的知识点进行总结和整理，帮助学生完善对幂函数的理解和掌握。

概述：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是常数。

幂函数的特点是具有单调性和奇偶性，其图象通常为一条曲线。

在研究幂函数时，需要掌握其定义、性质和应用。

正文：一、幂函数的定义1.1 幂函数的基本形式幂函数的基本形式是y=x^n，其中n是常数。

幂函数的定义域为所有实数，且n可以是正整数、负整数、零和有理数。

1.2 幂函数的图象当n为正奇数时，幂函数的图象在第一象限和第三象限上单调递增；当n为正偶数时，幂函数的图象在第一象限上单调递增，且具有对称轴y=0；当n为负数时，幂函数的图象在第一、三象限上单调递减。

1.3 幂函数的特殊情况当n=1时，幂函数变为一次函数；当n=0时，幂函数变为常数函数；当n为正无穷大时，幂函数趋向于正无穷大；当n为负无穷大时，幂函数趋向于零。

二、幂函数的性质2.1 幂函数的单调性幂函数在定义域上的单调性与n的值有关。

当n为正奇数时，幂函数是增函数；当n为正偶数时，在非负区间上是增函数，在负区间上是减函数；当n为负数时，在非负区间上是减函数，在负区间上是增函数。

2.2 幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性与n的奇偶性有关。

当n为奇数时，幂函数是奇函数；当n为偶数时，幂函数是偶函数。

2.3 幂函数的零点当n为正奇数时，幂函数的零点为x=0；当n为正偶数时，幂函数的零点为x=0；当n为负奇数时，幂函数没有零点；当n为负偶数时，幂函数的零点为x=0。

三、幂函数的图象变换3.1 幂函数的平移幂函数的平移是指将幂函数的图象沿横轴或纵轴方向移动。

平移的方向和距离与平移的规律有关，具体可利用平移的公式进行计算。

3.2 幂函数的伸缩幂函数的伸缩是指将幂函数的图象进行纵向或横向的拉伸或压缩。

伸缩的方式和伸缩的规律有关，可利用伸缩的公式进行计算。

3.3 幂函数的翻折幂函数的翻折是指将幂函数的图象进行关于横轴或纵轴的翻折。

幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。

在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。

本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。

一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。

当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。

二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。

2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。

4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。

三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。

1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。

2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。

3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。

4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。

5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。

综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。

幂函数的概念与性质幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。

本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、幂函数的概念幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

这里要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，指数n可以是任意实数。

幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。

当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。

值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)；当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数则是递减的。

4. 渐近线：当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷，即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。

5. 极值点：幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。

6. 对称轴：幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。

当指数n为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。

7. 特殊性质：当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3y x =、12y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。

【例题选讲】例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。

高考数学知识点幂函数知识点知识点总结高考数学知识点：幂函数知识点总结在高中数学课程中，幂函数是一个重要的知识点。

幂函数的数学表达式为f(x) = ax^n，其中a和n分别代表常数，x代表自变量。

幂函数具有许多特殊性质和应用，下面将对幂函数的相关知识点进行总结。

一、定义和性质1. 幂函数的定义：幂函数是指具有形如f(x) = ax^n的函数，其中a和n为实数常数，且a≠0。

2. 幂函数的图像：根据a和n的取值不同，幂函数的图像可以表现为增函数、减函数或恒函数。

3. 幂函数的对称性：当幂函数的幂指数n为正偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为正奇数时，函数图像关于原点对称；当n为负数时，函数图像关于x轴对称。

二、基本性质和运算法则1. 幂函数的基本性质：a) 当n>0时，幂函数是增函数；当n<0时，幂函数是减函数。

b) 当a>1时，幂函数递增速度大于直线函数y=x；当0<a<1时，幂函数递增速度小于直线函数y=x。

c) 当n=1时，幂函数是一次函数；当n=0时，幂函数是常值函数。

2. 幂函数的运算法则：a) 幂函数相乘：f(x) = ax^m * bx^n = abx^(m+n)。

b) 幂函数相除：f(x) = (ax^m) / (bx^n) = (a/b)x^(m-n)，其中b≠0。

c) 幂函数相乘的分配律：(a * b)x^n = a * bx^n，其中a和b为常数，n为指数。

d) 幂函数的复合：f(g(x)) = (ax^m)^n = a^n*x^(m*n)，其中a、g(x)和n为常数。

三、幂函数的应用1. 函数图像：通过掌握幂函数图像的特点，我们可以辨认各类函数的图像特征，帮助解题。

2. 变化率计算：由于幂函数在不同区间具有不同的递增、递减性质，可以用来计算变化率，例如速度、增长率等。

3. 经济学应用：幂函数可以描述经济学中的一些指数关系，如价格与需求量的关系等。

高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。

幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。

下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。

1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。

当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。

2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。

具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。

3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。

当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。

4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。

若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。

二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。

以下是幂函数在一些具体问题中的运用。

1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。

幂函数可用来描述这种过程。

例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。

同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。

2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。

例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。

高一幂函数幂函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式可以写作f(x) = x^n，其中n为指数，也可以是整数、分数或负数。

在高一阶段，我们将会学习到一些关于幂函数的基本性质和应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数的定义域一般为实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

而幂函数的值域则取决于指数n的奇偶性。

当n为奇数时，幂函数的值域也为实数集R；当n为偶数时，幂函数的值域则为非负实数集[0, +∞)。

幂函数的图像特点也与指数n的奇偶性密切相关。

当n为正整数时，幂函数的图像呈现出单调递增或单调递减的特点，且经过原点(0,0)；当n为负整数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上单调递增，而在第二象限和第四象限上单调递减；当n为分数时，幂函数的图像则具有更加复杂的形状。

二、幂函数的应用1. 金融领域中的利息计算在金融领域中，我们常常会遇到复利计算的问题。

而复利计算中的利息增长往往可以用幂函数来表示。

例如，如果我们存款10000元，年利率为5%，那么每年的本息总额可以表示为f(n) =10000*(1+0.05)^n，其中n表示存款的年限。

通过计算幂函数的值，我们可以得到每年的本息总额。

2. 自然科学中的物理规律在自然科学的研究中，我们经常会遇到一些与幂函数相关的物理规律。

例如，牛顿的万有引力定律就是一个幂函数的应用。

该定律表明，两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。

这可以用幂函数来表示为f(r) = G*m1*m2/r^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。

通过计算幂函数的值，我们可以得到它们之间的引力大小。

3. 经济学中的增长模型在经济学研究中，幂函数也被广泛应用于描述经济增长模型。

例如，柯布-道格拉斯生产函数就是一种幂函数模型，用于描述劳动力和资本对产出的贡献。

该模型可以表示为Y = A*K^α*L^β，其中Y表示产出，A表示全要素生产率，K表示资本，L表示劳动力，α和β分别为资本和劳动力的弹性系数。

高中数学高一（上）幂函数的性质与图像同步强化教学案【解析】教学目的1、 掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在∞（0，+）内的单调性；2、 会画幂函数的图像。

【知识梳理】（1）幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 思考讨论：在幂函数y ＝x n中，当n ＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？当n ＝0时，此时y ＝x 0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x 为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外．练习：幂函数概念辨析有下列函数：y=2x ，y=x ，3y x =，21y x =，1y x=，23y x =， 34y x -=，122y x x =+，其中那些为幂函数？解：注：幂指数范围的讨论. k ∈Q（2）幂函数的定义域： 若()*Nn n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3xy =、2x y =若()互质、、n m m N m n mn k ,2,*≥∈=，则m nm nx x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3232x x y ==、4343x x y ==若()*Nn n k ∈-=，则nnx x1=-；例如：5-=x y 、6-=x y若()互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：32321x x y ==-、43431xx y ==-后两种情况只需注意分母不为0，其他与前两种情形类似 （3）幂函数的性质：所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．k ＞0时，图像过（0，0）和（1，1）；且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调增函数。

k ＜0时，图像过（1，1）；且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴。

高中数学必修1幂函数的基本性质幂函数是数学中一种常见的函数类型，它的表达式形式为 $y = x^a$，其中 $x$ 是自变量，$a$ 是常量指数。

幂函数的基本性质有以下几个方面：1. 定义域和值域对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是有理数时，定义域为正实数集，即 $x > 0$；当指数 $a$ 是整数时，定义域为实数集；当指数 $a$ 是负有理数时，定义域为整个实数集。

其中，当指数 $a$ 是正偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是正奇数时，值域为整个实数集；当指数 $a$ 是负偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是负奇数时，值域为负实数集，$y < 0$。

2. 奇偶性对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是偶数时，函数为偶函数，即 $f(-x) = f(x)$；当指数 $a$ 是奇数时，函数为奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。

3. 单调性当指数 $a$ 是正数时，幂函数是递增函数，即 $a > 0, x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$；当指数 $a$ 是负数时，幂函数是递减函数，即 $a < 0, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$。

4. 极值点和拐点当指数 $a$ 是正数时，幂函数不具有极值点和拐点；当指数$a$ 是负数时，幂函数具有极值点和拐点。

具体的极值点和拐点的位置需要根据具体的指数和函数图像来判断。

以上是关于高中数学必修1幂函数的基本性质的简要介绍。

幂函数作为数学中常见的函数类型，在数学的应用中具有重要的作用。

幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。

本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。

一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。

特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。

幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。

（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。

2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。

在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。

对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。

3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。

4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。

只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。

数学高一上册知识点幂函数幂函数是高中数学中的重要知识点之一，在高一上册的数学学习中，幂函数的概念和性质需要我们深入理解和掌握。

本文将围绕幂函数的定义、图像特征、基本性质以及幂函数的应用方面展开讨论。

一、幂函数的定义对于任意的实数a（a>0且a≠1）和实数b（b是任意实数），幂函数可以表示为 y=a^b。

其中，a被称为底数，b被称为指数。

幂函数的定义域一般为实数集。

二、幂函数的图像特征1. 当底数a>1时，随着指数b的增大，幂函数的增长速度也增大；当指数b<0时，幂函数的函数值趋于0，且在x轴的正半轴上递减。

2. 当0<a<1时，随着指数b的增大，幂函数的增长速度减小；当指数b<0时，幂函数的函数值趋于∞，且在x轴的正半轴上递增。

3. 当a=-1时，幂函数的图像为下凸函数，并且在x轴的奇数倍根处与x轴相切；在x轴的偶数倍根处，幂函数与x轴相交。

4. 当a=-1且b是奇数时，幂函数的图像在整个定义域上均与x轴相交；当b是偶数时，幂函数的图像在负半轴与x轴相交，在整个定义域上与x轴相切。

5. 当a<0且a≠-1时，幂函数的图像与a>0时的情况相似，但在定义域内有对称性。

三、幂函数的基本性质1. 幂函数的奇偶性：当指数b为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数b为偶数时，幂函数关于原点对称。

2. 幂函数的单调性：当底数a>0且a≠1时，幂函数随着指数b的增大，在定义域内递增或递减；当底数a<0时，幂函数在定义域内具有单调性，方向由指数的奇偶性决定。

3. 幂函数的零点和极限：当指数b>0时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当指数b<0时，幂函数在x趋于0时函数值趋近于∞或者趋近于0。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有许多应用。

例如，金融领域的复利计算、物理学中的指数增长模型、生物学中的细胞分裂等等。

幂函数的特性使得它在描述和解决这些问题时具有较高的准确性和实用性。

数学高中幂函数知识点总结一、幂函数的定义幂函数是形如y = ax^b (a ≠ 0)的函数，其中a、b为常数且b为实数。

当b为自然数时，叫做指数函数；当b为整数时，叫做整数幂函数。

二、幂函数的基本性质1、幂函数的定义域：要求x的b次幂在任何实数范围内都有定义，即x∈R。

2、幂函数的值域：当b为正数时，a为正值时，y的取值范围是(0,+∞)；当b为正数时，a为负值时，y的取值范围是(-∞,0)；当b为负数时，函数图象经过第二象限，y的取值范围是(0,+∞)，a的正负对y的取值范围没有影响。

3、幂函数的奇偶性：b为偶数时，函数图象关于y轴对称；b为奇数时，函数图象关于原点对称。

4、幂函数的单调性：在定义域内，当b>0时，a>0时y随x增大而增大；当b>0时，a<0时y随x增大而减小。

5、幂函数的图象：a) b>0时，a>1时的函数图象是上凸的抛物线，a<1时的函数图象是下凸的抛物线；b) b<0时，a>0时的函数图象是一条破折线；c) b=1时，函数图像是一条直线。

6、幂函数的增长性：a) 当a>1，b>0时，y随x增大而增大；b) 当0<a<1，b>0时，y随x增大而减小；c) 当a>0，b<0时，y随x增大而减小。

三、幂函数的运算性质1、乘法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的乘积是幂函数y=abx^(m+n)。

2、除法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的商是幂函数y=(a/b)x^(m-n)。

(b≠0)3、幂函数的乘方：(ax^m)^n = a^nx^(m*n)。

四、幂函数的应用1、指数增长和指数衰减：指数增长是指幂函数的指数大于1且底数大于1时，函数值随自变量的增大而呈指数增长；指数衰减是指幂函数的指数大于1且底数小于1时，函数值随自变量的增大而呈指数衰减。

2、复利问题：利息的计算通过年限n^{'}m即可直接得到m*n倍经过以上的总结，我们对高中幂函数的相关知识有了更深入的了解。

.．过程与方法.、研究幂函数的图像幂函数性质凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）上凸的程度越大（你能说出原因吗？）.课外练习一、选择题1．下列函数中既是偶函数又是 （ ）A ．B ．C ．D ．2．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 （ ）A ．41 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y = D ．13-=x y 4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-9． 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<<10． 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f +B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定二、填空题 11．函数的定义域是 .12．的解析式是.13．942--=a a xy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .14．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mnk∈=-图象在一、二象限，不过原点，则nm k ,,的奇偶性为 . 三、解答题 15．（12分）比较下列各组中两个值大小1α3α4α2α（1）16．（12分）求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.17．（12分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ） 18．（14分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）.（1）．参考答案一、CCBAD DCADA 二、11．； 12．)0()(34≥=x x x f ； 13．5； 14．k m ,为奇数，n 是偶数；三、15． 解：（1）+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ （2）函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即16．解： 显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-， 其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数. 17．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）323x x y ==定义域[0，，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，是增函数；.),0(16),0(15),0(14),0[3),0[22133223232331上减函数函数，在既不是奇函数也不是偶定义域为）（是减函数；是奇函数，在定义域）（是减函数；是偶函数，在定义域）（是增函数；，是偶函数，在定义域为）（是增函数；，是奇函数，在定义域为）（+∞==+∞==+∞==+∞==+∞==+--+--+-R xx y UR R x x y UR R x x y R x x y R x x y通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）.18．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.（2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略。

高中幂函数知识点总结在高中数学中，学生们需要掌握幂函数的基本性质、图像特征、变化规律以及应用等知识点。

下面就幂函数的这些知识点进行总结。

一、幂函数的基本性质1.定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集R，当a>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0时，幂函数的值域为(-∞,0)。

当b为实数时，定义域不变，值域也不变。

2.奇函数和偶函数当b为奇数时，幂函数为奇函数，其图像关于原点对称；当b为偶数时，幂函数为偶函数，其图像关于y轴对称。

3.增减性当b>0时，a^b是单调递增函数；当b<0时，a^b是单调递减函数；当a>1时，a^x是单调递增函数；当0<a<1时，a^x是单调递减函数。

4.奇偶性当b为偶数时，幂函数的值域为(0,+∞)，其奇函数；当b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,+∞)，其为奇函数。

5.图像特征当a>1时，幂函数的图像开口向上，且与y轴有交点(0,1)；当0<a<1时，幂函数的图像开口向下，且与y轴有交点(0,1)。

二、幂函数的变化规律1.当a>1时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。

2.当b>0时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当b<0时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。

3.在定义域内，当a大于1时，幂函数呈现增长趋势，a小于1时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数的图像是在a的基础上上升或下降，实际上是在描绘x的指数函数。

4.幂函数的图像经常在一轴上浮躺，显示出一种不平滑的弧度，变化没有一元二次函数的平稳。

随着a的变大或者减小，幂函数的图像与x轴的夹角越来越小。

5.当b不为整数，是一个更加复杂的形式；而指数函数是幂函数的一种特殊情况，b为整数时。

三、幂函数的应用1.在现实生活中，幂函数的变化规律被应用在各个方面，比如物理学中的指数增长和衰减模型、生物学中的人口增长模型、经济学中的利润增长模型等。

【高中数学】高中数学必修（幂函数的性质）定义:y=x^A（A为常数）形式的函数，即以基为自变量、以幂为因变量、以指数为常数的函数称为幂函数。

定义域和值域:当a的值被定义为不同的功率场时，a：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a是负数，那么x不能是0，但此时，函数的定义字段也必须根据Q的奇偶性来确定，也就是说，如果Q同时是偶数，那么x不能小于0，那么函数的定义字段都是大于0的实数；如果q同时是奇数，那么函数的定义域是所有不等于0的实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：当x大于0时，函数的值范围始终大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

只有当a为正时，0才进入函数的值范围性质:由于a的值是非零有理数，有必要在几种情况下讨论其特征：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了0和负两种可能性，即当x>0时，a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了负的可能性，也就是说，对于x大于或等于0的所有实数，a不能为负。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a是任意实数，则函数的定义字段为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。