人教版高中数学必修一
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念
a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈
当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数
的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质：
（1）当n a =；当n ,0,
,0;a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
（2）
n
a =
3．分数指数幂的意义：
)0,,,1m n
a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n
m n
a
a m n N n a
-
=
>∈>
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：
()0,0,,a b r s Q >>∈
（1）r
s
r s
a a a
+= （2）()r s
rs
a a = （3）()r
r r
ab a b =
要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念
一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2
要点三：对数与对数运算 1．对数的定义
（1）若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，
N 叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x
a x N a N a a N =⇔=>≠>．
2．几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
3．常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a
M
M N N
-= ③数乘：log log ()n
a a n M M n R =∈
④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义
一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2
要点五：反函数 1．反函数的概念
设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，
通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1
()x f y -=，习惯上改写成
1()y f x -=．
2．反函数的性质
（1）原函数()y f x =与反函数1
()y f
x -=的图象关于直线y x =对称．
（2）函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1
()y f x -=的值域、定义域．
（3）若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'
(,)P b a 在反函数1
()y f x -=的图象上．
（4）一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．
要点六：幂函数 1．幂函数概念
形如()y x R α
α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四
象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为
减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q
p
α=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）
，若p 为奇数q 为奇数时，则q
p
y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p
y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q
p
y x =是非奇非偶函数．
（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α
=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算 例1．计算
（1） 2
221
log log 12log 422
-； （2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++； （3）2
2
2lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；（4）lg0.7
lg20172⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好． 【答案】（1）1
2
-
；（2）1；（3）3；（4）14．
【解析】（1）原式=1
2
2221log 12log log 22-⎫===-； （2）原式=()()
2
2
lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++
