人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教学设计

2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。

函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。

二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。

2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。

3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。

4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。

5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。

四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。

五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。

六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。

七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。

2.3幂函数教学目的:使学生掌握幂函数的概念,会画幂函数的图象,能判定一个幂函数是增函 数还是减函数,能判断一个幂函数的奇偶性。

教学重点:幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。

教学难点:幂函数增减性的证明。

教学过程一、新课引入课本P90,p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,上述问题中的函数具有什么共同特征？二、新课上述问题中涉及的函数,都是形如y ＝x a 的函数。

一般地,函数y ＝x a 叫做幂函数(power function)。

其中x 是自变量,a 是常数。

当a ＝1,2,3,21,－1时,得到下列的幂函数,画出它们的图象,并观察图象, 将你发现的结论写在下表中:y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21y ＝x －1 定义域 R R R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R ［0,＋∞) R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 ［0,＋∞)增 增 增 (－∞,0)减(－∞,0)减 ［0,＋∞)减定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)例1、证明幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。

证明:任取1x 、2x ∈［0,＋∞),且1x ＜2x ,则f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121))((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-因为1x －2x ＜0,21x x +＞0,所以,f(1x )＜f(2x )即幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。

注意:证明函数的单调性时既可以用作差的方法,也可以用作比的方法,应用用比的 方法时应注意分母不为零,及去母时考虑符号问题。

作业:P92 1、2、3。

2.3幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质;（2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方=，其中x是自变量，α是2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα常数.探究新知1．幂函数的定义=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常一般地，形如y xα数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像..23．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x=+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662,3（2）3322(1),(0)x x x+>（3）22244(4),4a--+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x=的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？作业：P92习题2.3 第2、3 题。

§2.3幂函数（教案）教材分析：幂函数是函数的重要内容之一，新课程标准将其列为基本初等函数之一，并与 指数函数、对数函数安排在一起。

新课程标准对幂函数提出了明确的要求：（1）通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =；21x y =；2x y =；1-=x y ；3x y =的图像，了解它们的变化情况。

（2）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异。

（3）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

上面的表述中，可以看出：指数函数、对数函数、幂函数三类不同函数的增长变化是认识的核心。

所以幂函数教学必须分两个层次来进行，一是幂函数概念及其简单性质，二是函数模型的应用。

本节课为前一层次。

所以幂函数的教学要求不能过高，也不能太低，必须体现以下三点： （1） 通过实例，了解幂函数的概念；（2） 结合函数x y =；21x y =；2x y =；1-=x y ；3x y =的图像，了解它们的变化情况。

（3） 与指数函数、对数函数的性质比较，概括y x α=在第一象限的简单性质。

其中（1）和（2）在新课标中已经明确指出，（3）作为培养学生概括能力目标，课本的复习与小结中也有涉及。

前面已经学习了指数函数、对数函数，得到了教系统的函数知识和研究函数的方法， 通过本节的幂函数学习，使函数内容的学习再一次得到广泛的回顾和整理，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识。

在各种数学思想方法的领悟、应用上也得到一次提高。

学情分析：本班的学生为普通校的平行班的学生，学生的数学基础，理解能力，运算能力、思维能力一般，但是通过前面的指数函数，对数函数的学习来看，学生通过数形结合来学习，学生还是有强烈的求知欲望，所以除了课标的要求外，还是酌情补充了概括y x α=在第一象限的简单性质。

学法指导1、针对以上情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维，主动获取知识，养成良好的学习方法，并逐步学会独立提出问题，解决问题。

人教版高中必修1幂函数教案《人教版高中必修1幂函数教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！§2.3幂函数一.教学目标：1.知识技能(1)理解幂函数的概念;(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2.过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3.情感、态度、价值观(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二.重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.学法与教具(1)学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;(2)教学用具：多媒体四.教学过程：1导入新课1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).2新知探究提出问题：问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.练1判断下列函数哪些是幂函数.(1)y=0.2x;(2)y=x-3;(3)y=x-2;(4)y=x;(5)y=2x2 ;(6)y=-x-1活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：(1)y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;(2)y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(3)y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(4)y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.(5)的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;(6)的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.提出问题：问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.讨论结果：③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.列表:图1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象,完成表格.提出问题：问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?讨论结果：⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=xα的性质：(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0<α<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.3典例精析例1比较下列各组数的大小：(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对(1)(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性例2.证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)===,因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0.所以f(x1)点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.4知能训练1.下列函数中,既是幂函数又是奇函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是偶函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为. 。

2.3 幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α=的函数．二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 21x y =； 2x y =；1-=x y ；3x y =的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数x y =； 21x y =； 2x y =；3x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2x y =是偶函数；（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3x y =和21x y =是增函数，函数1-=x y 是减函数；（4）在第一象限内，函数1-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数αx y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。

[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 21的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y ＝mx α是幂函数，m 应满足什么条件？(2)幂函数与指数函数有何区别？答 (1)并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y ＝x 和y ＝x 2是幂函数.若y ＝mx α是幂函数，则必有m ＝1.(2)幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y ＝x α(α∈R )，其自变量x 处于底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y ＝a x (a >0且a ≠1)，其自变量x 处于指数位置，常数a 处于底数位置，且a 须满足大于0而且不等于1. 知识点二 幂函数的图象与性质题型一 幂函数的概念例1 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)255-+a a x (a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的值.解 (1)设f (x )＝x α， ∵(2，2)在f (x )的图象上， ∴f (2)＝(2)α＝2，∴α＝2. 故f (x )＝x 2，f (2)＝22＝4.(2)∵f (x )为幂函数，∴a 2－3a ＋3＝1， 得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意. 当a ＝2时，f (x )＝x －1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.综上，得a 的值为2.反思与感悟 1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减.跟踪训练1 函数f (x )＝(m 2－m －1)23+-mm x是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式.解 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数， 当m ＝－1时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 题型二 幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，12，－2，－12答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，n ＜0时看|n |的大小.根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n ＞0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.反思与感悟 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大.(2)幂函数y ＝x α，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减.(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹.跟踪训练2 如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A.－1＜n ＜0＜m ＜1B.n ＜－1,0＜m ＜1C.－1＜n ＜0，m ＞1D.n ＜－1，m ＞1答案 B解析 方法一 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0＜m ＜1，n ＜－1.方法二 根据幂函数图象增减性知m >0，n <0，由x ＝1右侧指数逆时针增大，知n <－1，由图象上凸知0<m <1，故选B. 题型三 比较幂的大小 例3 比较下列各组数的大小. (1)325-和3.125-；(2)898-和(19)98；(3)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和251. 解 (1)函数y ＝x25-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以325->3.125-.(2)函数y ＝x 98在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(18)98>(19)98，即898->(19)98.(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y ＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,251>0，所以(－13)－3<251.反思与感悟 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1243与⎝⎛⎭⎫3421.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1243＜⎝⎛⎭⎫1221. y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1221.∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1243. 题型四 幂函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝x 31；(2)y ＝x －2；(3)y ＝x32-.解 (1)f (－x )＝(－x )31＝－x 31＝－f (x )， 又∵y ＝x 31定义域为R ，∴y ＝x 31为奇函数.(2)f (x )＝x －2＝1x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数. (3)f (x )＝x32-＝321x＝1x 3. ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称. ∴f (x )为非奇非偶函数.反思与感悟 幂函数的奇偶性.y ＝x n ，当n ＝pq (p ，q ∈Z )是最简分数时，若p ，q 均为奇数，则y ＝x n 是奇函数；若p 为偶数，q 为奇数，则y ＝x n 是偶函数；若q 为偶数，则y ＝x n 为非奇非偶函数.跟踪训练4 函数y ＝x 59在[－1,1]上是( ) A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数答案 A解析 由幂函数的性质知当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数， ∴y ＝x 59在x ∈[0,1]上是增函数.设f (x )＝x 59，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )59＝－x 59＝－f (x )，∴f (x )＝x 59是奇函数. ∵奇函数的图象关于原点对称， ∴x ∈[－1,0]时，y ＝x 59也是增函数.当x ＝0时，y ＝0，故y ＝x 59在[－1,1]上是增函数且是奇函数.故选A.忽略幂函数定义致误例5 函数y ＝(a 2＋1)211-a x是幂函数，求a 的取值范围.错解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知指数11－a2有意义，有1－a 2≠0，即a ≠±1，所以a 的取值范围是{a |a ≠±1}.正解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知a 2＋1＝1，即a ＝0， 此时指数11－a 2有意义，所以a 的取值范围为{0}. 易错警示跟踪训练5 幂函数y ＝(m 2－m －1)223--m m x ，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m 的值，并求函数的定义域. 解 因为y ＝(m 2－m －1)223--m m x为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0， 所以m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)不是减函数， 所以m ＝2，此时y ＝x －3.所以函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}.1.下列给出的函数中，是幂函数的是( ) A.y ＝3x B.y ＝2x 3 C.y ＝x －3D.y ＝x 3－1答案 C2.若函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值为( ) A.3 B.2 C.3或－2 D.k ≠3且k ≠－2 答案 C解析 由幂函数的概念可知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，得k ＝－2，或k ＝3. 3.幂函数f (x )＝x 23的大致图象为( )答案 B解析 由于f (0)＝0，所以排除C ，D 选项，而f (－x )＝(－x )23＝3(－x )2＝3x 2＝x 23＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称.故选B. 4.设f (x )＝(m －1)22-m x，若f (x )为正比例函数，则m ＝________；若f (x )是反比例函数，则m＝________；若f (x )是幂函数，则m ＝________. 答案 ±3 －1 2解析 f (x )＝(m －1)22-mx.若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2－2＝1，∴m ＝±3.若f (x )是反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≠0，m 2－2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1，m 2＝1，∴m ＝－1.若f (x )是幂函数，则m －1＝1，∴m ＝2.5.若a ＝(12)53，b ＝(15)53，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 a ＞b ＞c解析 ∵y ＝x 53在(0，＋∞)上为增函数. ∴(12)53＞(15)53，即a ＞b ＞0. 而c ＝(－2)3＝－23＜0，∴a ＞b ＞c .1.幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.一、选择题1.下列函数是幂函数的是( ) A.y ＝5x B.y ＝x 5 C.y ＝5x D.y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数. 2.已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为( ) A.16 B.116 C.12 D.2答案 C解析 设f (x )＝x a ，则有2a＝22，解得a ＝－12，即f (x )＝x 21-，所以f (4)＝421-＝12.3.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又∵y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3. 4.设a ＝⎝⎛⎭⎫2553，b ＝⎝⎛⎭⎫2552，c ＝⎝⎛⎭⎫3552，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.a ＜b ＜c D.b ＞c ＞a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上是减函数，又35＞25， ∴⎝⎛⎭⎫2553＜⎝⎛⎭⎫2552，即a ＜b .又∵函数y ＝x 52在R 上是增函数，且35＞25，∴⎝⎛⎭⎫3552＞⎝⎛⎭⎫2552，即c ＞b ，∴a ＜b ＜c . 5.函数y ＝x 31的图象是( )答案 B解析 函数y ＝x 31是幂函数，幂函数在第一象限内的图象恒过定点(1,1)，排除A 、D.当x >1时，x >x 31，故幂函数y ＝x 31图象在直线y ＝x 的下方，排除C.6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.无数个 答案 C解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况. 二、填空题7.已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________.答案136解析 依题意13＝(3)m ＝32m，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.8.若y ＝249--a a x是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是________.答案 1,3,5，－1解析 由题意得，a 2－4a －9应为负偶数， 即a 2－4a －9＝(a －2)2－13＝－2k (k ∈N *)， (a －2)2＝13－2k ，当k ＝2时，a ＝5或－1；当k ＝6时，a ＝3或1.9.已知幂函数f (x )＝x 21，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________. 答案 (3,5]解析 因为f (x )＝x 21＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3.所以3<a ≤5.10.幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 －1解析 ∵f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1， ∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意.综上可知，m ＝－1. 三、解答题11.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5). (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域. 解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 21.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞).12.已知函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a＋1为幂函数，且为奇函数. (1)求a 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋[f (x )]2在[0，12]上的值域. 解 (1)因为函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数，所以a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝0时，f (x )＝x ，函数是奇函数；当a ＝1时，f (x )＝x 2，函数是偶函数.故a ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x ＋x 2＝(x ＋12)2－14. 当x ＝0时，函数取得最小值g (0)＝0；当x ＝12时，函数取得最大值g (12)＝12＋14＝34. 故g (x )在区间[0，12]上的值域为[0，34]. 13.已知幂函数f (x )＝(m －1)2242-+m m x在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ].∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，⇒0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1].。

高中数学必修一幂函数教课设计教课目的：知识与技术经过详细实例认识幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．感情、态度、价值观领会幂函数的变化规律及包含此中的对称性．教课要点：要点从五个详细幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个详细幂函数的图象并由图象归纳其性质，领会图象的变化规律．教课程序与环节设计：创建情境问题引入．组织研究幂函数的图象和性质．试试练习幂函数性质的初步应用．稳固反省复述幂函数的图象规律及性质．作业回馈幂函数性质的初步应用．课外活动利用图形计算器或计算机研究一般幂函数的图象规律．教课过程与操作设计：环节教课内容设计阅读教材 P90的详细实例（ 1）~（5），思考以下问题：1．它们的对应法例分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？创（答案）设情1．（1）乘以 1；（ 2）求平方；（ 3）求师生双边互动生：独立思虑完成引例．师：指引学生剖析归纳归纳得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．境立方；（ 4）开方；（ 5）取倒数（或求－ 1次方）．2．上述问题中波及到的函数，都是形如 y x 的函数，此中 x 是自变量，是常数．资料一：幂函数定义及其图象．师：说明：一般地，形如幂函数的定义y x (a R)来自于实践，它同指数函数、对数函数一的函数称为幂函数，此中为常数．样，也是基本初等函下边我们举例学习这种函数的一些性质．数，相同也是一种作出以下函数的图象：“形式定义”的函（1） y x ；（2）12数，指引学生注意辨y x2；（）；析．3 y x组（4）y x 1；（5） y x 3．织探[ 解]1列表（略）究○2图象○生：利用所学知识和方法试试作出五个详细幂函数的图象，察看所图象，领会幂函数的变化规律．师：指引学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同剖析，重申绘图象易犯的错误．环节教课内容设计师生双边互动资料二：幂函数性质归纳．师：指引学生观（1）全部的幂函数在（ 0， +∞）都有定察图象，归纳归纳幂义，而且图象都过点（ 1，1）；函数的的性质及图（2）0时，幂函数的图象经过原点，象变化规律．而且在区间 [ 0,) 上是增函数．特别地，当生：察看图象，分组议论，研究幂函组1时，幂函数的图象下凸；当 01时，数的性质和图象的织幂函数的图象上凸；变化规律，并展现各探（ 3 ）0 时，幂函数的图象在区间自的结论进行沟通究评析，并填表．(0, ) 上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋势原点时，图象在 y 轴右方无穷地迫近 y轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无穷地迫近 x 轴正半轴．资料三：察看与思虑察看图象，总结填写下表：y xy x 2y x31y x1y x2定义域值域奇偶性单一性定点资料五：例题[例1]（教材 P92例题）[例2]比较以下两个代数值的大小：（1）(a1) ， a22（2）(2a2 ) 3，232[例 3]议论函数 y x 3的定义域、奇偶性，作出它的图象，并依据图象说明函数的单一性．环节体现教课资料1．利用幂函数的性质，比较以下各题中两个幂的值的大小：33（1）4，4；66（2）5，5；尝33（3）( 2)2，( 3)2；试11练（4）2， 2 ．习32．作出函数y x2的图象，依据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数y x2和函数y(x 3) 2的图象，求这两个函数的定义域和单一区间．4．用图象法解方程：师：指引学生回首议论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单一性是鉴别大小的重要工具，幂函数的图象能够在单一性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思虑，给出解答，共同议论、评析．师生互动设计（1） xx 1；（2） x 3 x 2 3 ．1．如下图， 曲线是幂函数 yx 在第一象限内的图象，已知 分别取11,1, ,2 四个值，则相应2图 象 依 次 探为： ．究 2．在同一坐标系内，作出以下函数的图与 象，你能发现什么规律？发 （1） yx 3 和 y 1现x 3 ；5 4（2） yx 4 和 y x 5 ．1．在 函 数作业 y1, y 2x 2 , y x 2 x, y 1 中，幂函数的 回馈 x 2个数为：A ．0B ．1C ．2D ．3 环节 体现教课资料规律 1：在第一象限，作直线x a(a 1) ，它同各幂函数图象订交，按交点从下到上的次序，幂指数按从小到大的次序摆列．规律 2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象对于直线 y x 对称．师生互动设计2 ．已知幂函数y f ( x) 的图象过点(2, 2) ，试求出这个函数的分析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体经过圆形管道时，其流量速率 R与管道半径 r 的四次方成正比．（1）写出函数分析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流3量速率为400cm/s ，求该气体经过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（ 2）中的气体经过的管道半径为 5cm，计算该气体的流量速率．4．1992 年末世界人口达到54．8 亿，若人口的均匀增加率为x%，2008 年末世界人口数为 y（亿），写出：（1）1993 年末、 1994 年末、 2000 年末的世界人口数；（2）2008 年末的世界人口数y 与 x 的函数分析式．课外利用图形计算器研究一般幂函数y x 活的图象随的变化规律．动收1．说说五个基本幂函数的定义域与对应获幂函数的奇偶性、单一性之间的关系？与2．幂函数与指数函数的不一样点主要表现体在哪些方面？会。