2.6 R-n的标准正交基

规范正交基定义1.欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.岩宝小提示：正交向量组是线性无关的. 事实上，设正交向量组\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\有一线性关系k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}=0 \\用 \alpha_{i} 与等式两边作内积，即得k_{i}\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)=0 \\由 \alpha_{i} \neq 0, 有\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)>0, \\从而k_{i}=0(i=1,2,3, \cdots, m) \\以上结果也说明了在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个，这个事实的几何意义是清楚的.例如在平面上找不到三个两两垂直的的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.定义2.在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.定义3. n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA'=E.定理1. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明：设\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.当 n-m=0 时 ,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\就是一组正交基了.假设 n-m=k 时,也就是说，可以找到向量\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{k} \\使得\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{k} \\成为一组正交基.现在看 n-m=k+1 的情形. 因为 m < n,所以一定有向量\beta 不能被 \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\\ 线性表出，作向量\alpha_{m+1}=\beta-k_{1} \alpha_{1}-k_{2} \alpha_{2}-\cdots-k_{m} \alpha_{m} \\这里k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} \\是待定的系数. 用 \alpha_{i} 和 \alpha_{m+1} 作内积，得\left(\alpha_{i}, \alpha_{m+1}\right)=\left(\beta,\alpha_{i}\right)-k_{i}\left(\alpha_{i},\alpha_{i}\right)(i=1,2,3, \cdots, m) \\取k_{i}=\frac{\left(\beta,\alpha_{i}\right)}{\left(\alpha_{i},\alpha_{i}\right)}(i=1,2,3, \cdots, m) \\有\left(\alpha_{i}, \alpha_{m+1}\right)=0(i=1,2, \cdots, m) \\由 \beta 的选择可知 ,\alpha_{m+1} \neq 0 . \\因此\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m},\alpha_{m+1} \\是一正交向量组，根据归纳法假定,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m},\alpha_{m+1} \\可以扩充成一正交基.定理2. 对于n维欧氏空间中任意一组基\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\可以找到一组标准正交基\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\使L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, n \\证明：设\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\是一组基，我们来逐个地求出向量\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\首先，可取\eta_{1}=\frac{1}{\left|\varepsilon_{1}\right|} \varepsilon_{1} \\一般地，假定已经求出\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m} \\它们是单位正交的，具有性质L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, m \\下一步求 \eta_{m+1}.因为\varepsilon_{m}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{m}\right), \\所以 \varepsilon_{m+1} 不能被\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m} \\线性表出.按照定理1证明的方法，作向量\xi_{m+1}=\varepsilon_{m+1}-\sum_{i=1}^{m}\left(\varepsilon_{m+1}, \eta_{i}\right) \eta_{i} \\显然有\xi_{m+1} \neq 0, 且 \left(\xi_{m+1},\eta_{i}\right)=0, i=1,2, \cdots, m \\令\eta_{m+1}=\frac{\xi_{m+1}}{\left|\xi_{m+1}\right|} \\\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m}, \eta_{m+1} 就是一单位正交向量组. 同时L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{m+1}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{m+1}\right) \\由归纳原理，定理2得证.岩宝小提示：定理2中要求\varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, n \\就相当于由基\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\到基\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\的过渡矩阵是上三角形的.例1.把\begin{array}{ll} \alpha_{1}=(1,1,0,0),& \alpha_{3}=(-1,0,0,1) \\\alpha_{2}=(1,0,1,0), & \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)\end{array}\\变成单位正交的向量组.证明：先把它们正交化，得\begin{array}{l} \beta_{1}=\alpha_{1}=(1,1,0,0) \\\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)}\beta_{1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 1,0\right)\\ \beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left(\alpha_{3},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)}\beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{3},\beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)}\beta_{2}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\right) \\ \beta_{4}=\alpha_{4}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{3}\right)}{\left(\beta_{3}, \beta_{3}\right)} \beta_{3}=(1,-1,-1,1) \end{array}\\再单位化，得\begin{array}{l} \eta_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right) \\\eta_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0\right) \\ \eta_{3}=\left(-\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{3}{\sqrt{12}}\right) \\\eta_{4}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \end{array}\\例2.在2级实矩阵构成的线性空间R^{2 \times 2}中定义(A, B)=\operatorname{tr}\left(AB^{\prime}\right) \\ 其中A,B是任意2级实矩阵.（1）证明如上定义(A, B) 是线性空间 R^{2 \times2} 上的内积.（2）设W是由矩阵A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),A_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\\ 生成的子空间，求W^{\perp}的一组标准正交基.（3）举例说明定义(A,B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\prime}\right)\\ 不构成内积.证明：（1）（i）(A, B)=\operatorname{tr}\left(AB^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(\left(AB^{\prime}\right)^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\le ft(B A^{\prime}\right)=(B, A) \\（ii）(k A, B)=\operatorname{tr}\left(k AB^{\prime}\right)=\operatorname{ktr}\left(AB^{\prime}\right)=k(A, B) \\（iii）任取 A, B, C \in R^{2 \times 2}, 即有(A+B, C)=\operatorname{tr}\left((A+B)C^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(AC^{\prime}+B C^{\prime}\right)\\=\operatorname{tr}\left(AC^{\prime}\right)+\operatorname{tr}\left(BC^{\prime}\right)=(A, C)+(B, C) \\（iv）(A, A)=\operatorname{tr}\left(AA^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right) \geq 0, \\当且仅当 A=O 时(A, A)=\operatorname{tr}\left(AA^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right)= 0 \\即 (A, B) 是线性空间 R^{2 \times 2} 上的内积.（2）对任意的 A \in W^{\perp}, 我们设A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c &d\end{array}\right) \\则\left(A, A_{1}\right)=\left(A, A_{2}\right)=0, \\即t r\left(\begin{array}{ll} a+b & 0 \\ c+d & 0\end{array}\right)=t r\left(\begin{array}{ll} b & a+b \\ d & c+d \end{array}\right)\\于是a+b=b+c+d=0, \\即b=-a, d=a-c, \\所以A=\left(\begin{array}{cc} a & -a \\ c & a-c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\\现在记B_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\\易知 B_{1}, B_{2}是线性无关的（岩宝提示：如果不放心可以按照线性无关的定义进行验证），从而W^{\perp}=L\left(B_{1}, B_{2}\right), \\现在对于 B_{1}, B_{2}进行施密特正交化，变为标准正交基：首先,\left(B_{1}, B_{2}\right)=3, \\所以C_{1}=\frac{B_{1}}{\sqrt{\left(B_{1},B_{1}\right)}}=\frac{\sqrt{3}}{3}B_{1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right)\\C_{1}是一个单位向量.接下来由施密特正交化有C_{2}=B_{2}-\frac{\left(B_{2},B_{1}\right)}{\left(B_{1}, B_{1}\right)}B_{1}=B_{2}+\frac{1}{3} B_{1}=\left(\begin{array}{cr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3}\end{array}\right)\\而\left(C_{2}, C_{2}\right)=\frac{5}{3}, \\对 C_{2} 进行单位化可得\frac{C_{2}}{\sqrt{\left(C_{2},C_{2}\right)}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\left(\begin{array}{ rr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3}\end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{15}}{15} & -\frac{\sqrt{15}}{15} \\\frac{\sqrt{15}}{5} & -\frac{2 \sqrt{15}}{15}\end{array}\right)\\(3) 例如取A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 &0\end{array}\right), \\这时 A \neq 0, 但是(A, A)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=0 \\这与内积的正定性矛盾.1.在 R[x]_{4} 中定义内积为(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x \\求 R[x]_{4} 的一组标准正交基（由基 1, x, x^{2}, x^{3} 出发做正交化）.2.在欧氏空间 M_{n}(R) 中，定义内积为(A, B)=\operatorname{tr}\left(A^{\prime} B\right) \\设W是所有n级实对称矩阵组成的线性子空间，求W 和W^{\perp}的一组标准正交基.3.设A为n阶实对称正定矩阵,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}, \beta \\为 n 维欧氏空间 R^{n} ( 标准度量 )中的n+1个向量，若已知(1)\alpha_{i} \neq 0, i=1,2, \cdots, n \\(2)\alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0, i \neq j, i, j=1,2,\cdots, n \\(3)\beta与 \alpha_{i}(i=1,2, \cdots, n) 正交. \\证明： \beta=0.4.设A是一个实系数方阵，判断若A的行向量组两两正交，则它的列向量组也两两相交，是否正确，若正确请给出证明.不正确请给出反例.。

标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。

2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。

证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。

（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。

（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。

（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。

）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。

（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。

例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。

求标准正交基的几种方法[摘要]:给定欧几里得空间的一组基,我们通常想到的是施正交化将这组基化为标准正交基。

但是，若空间的维数大于３维时，我们的计算量将会很大。

在这里，将给出几种方法能更加简便求标准正交基。

［关键字］：标准正交基；施正交化；度量矩阵；其次线性方程组；一 引言定理１ 设12,,,n ααα 欧几里得空间V 的一组基，则：1111(,),(1,2,,)(,)i i j i i j j j j i n V αββαβαβββ-===-=∑为的正交基，再将它们单位化：11111,(1,2,,,)||||i i i i n εβεβββ=== 为V 的标准正交基。

下面我们用它来求解标准正交基。

例如：在3R 中，对于基11021,1,0,123ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用施密特正交求解它的标准正交基？解：11111βα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2122111101αββαβββ-⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，）（，）313233*********356αβαββαββββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，）（，）（，）（，）单位化：123βββ，，得1122331231110ηβηβηββββ======⎢⎥⎢⎥，， 二 结论一[1]：我们知道度量矩阵()ij n n A a ⨯=，（其中(,)ij i j a a a =）是正定矩阵，所以可知它合同于单位矩阵，即，存在可逆矩阵,T P P AP I =若令1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ， 则12,,n βββ 这组基度量矩阵就I ，所以,,()1,()()0,()i j i j i j i j ββββ===≠因此我们就得到了一组标准正交基：12,,n βββ从以上的分析可以看到，求解的关键在于找到可逆阵P 使矩阵T P AP I = ，所以对A 做合同变换使;A I I P⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在得到P 之后，令：1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ， 则12,,n βββ 就空间的一组基。

正交矩阵的4种判定方法正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它有许多重要的性质和应用。

正交矩阵的定义是满足AA^T=A^TA=I的矩阵A，其中I是单位矩阵。

本文将介绍正交矩阵的4种判定方法，每种方法将分别介绍其原理和具体算法。

1. 矩阵的列向量组构成标准正交基这是判定正交矩阵最基本的方法之一。

对于一个n\times n的矩阵A，如果它的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}构成一个标准正交基，即向量组中的每个向量\vec{a_i}都满足\|\vec{a_i}\|=1并且相互垂直，那么矩阵A就是正交矩阵。

该方法的证明可以根据正交矩阵的定义和向量组构成标准正交基的定义，显然得证。

算法步骤：1. 计算矩阵A的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}。

2. 判断向量组中的每个向量\vec{a_i}是否满足\|\vec{a_i}\|=1且相互垂直。

3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。

2. 矩阵的行向量组构成标准正交基这个方法与上面的方法类似，只是判断的是矩阵的行向量组。

证明同样可以通过正交矩阵的定义和构成标准正交基的定义来完成。

算法步骤：1. 计算矩阵A的行向量组\{\vec{r_1},\vec{r_2},\cdots,\vec{r_n}\}。

2. 判断向量组中的每个向量\vec{r_i}是否满足\|\vec{r_i}\|=1且相互垂直。

3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。

3. 矩阵的行列式值为1或-1这是另一个判定正交矩阵的方法。

对于一个n\times n的矩阵A，如果它的行列式值满足det(A)=\pm1，那么矩阵A就是正交矩阵。

证明可以通过正交矩阵的行列式定义来完成。

由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此可以得到A^{-1}=A^T，再由行列式的性质可得det(A)^2=det(AA^T)=det(A^TA)=det(I)=1，因此det(A)=\pm1。