2第二节 标准正交基

标准正交基的求法在线性代数中，标准正交基是指一个向量空间中的一组基，其中每个向量都是单位向量，并且每个向量都与其他向量正交。

标准正交基在计算机图形学、信号处理和量子力学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍标准正交基的求法。

1. Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程是求解标准正交基的一种常用方法。

该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量逐一正交化，得到一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。

具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。

1）将第一个向量v1单位化，得到u1：u1 = v1 / ||v1||其中||v1||表示向量v1的模长。

2）对于第二个向量v2，先将它在u1上的投影p2计算出来：p2 = (v2 · u1)u1其中·表示向量的点积运算。

然后将v2减去它在u1上的投影，得到一个新的向量w2：w2 = v2 - p23）将w2单位化，得到u2：u2 = w2 / ||w2||4）对于第三个向量v3，先将它在u1和u2上的投影p3计算出来：p3 = (v3 · u1)u1 + (v3 · u2)u2然后将v3减去它在u1和u2上的投影，得到一个新的向量w3：w3 = v3 - p35）将w3单位化，得到u3：u3 = w3 / ||w3||以此类推，直到求得所有的标准正交基向量。

2. QR分解QR分解是另一种求解标准正交基的方法。

该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量通过正交矩阵Q变换成一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。

具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。

1）将这些向量组成一个矩阵A：A = [v1 v2 ... vn]2）对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R：A = QR其中Q的列向量就是标准正交基向量。

标准正交基怎么求标准正交基是线性代数中的重要概念，它在向量空间的正交性质和标准化表示方面起着关键作用。

那么，接下来我们就来探讨一下标准正交基的求解方法。

首先，我们需要明确标准正交基的定义。

在n维实内积空间中，如果向量组{v1, v2, ..., vn}满足以下两个条件，一是向量组中的向量两两正交，即vi·vj=0（i≠j），二是向量组中的每一个向量的模长为1，即||vi||=1，则称向量组{v1, v2, ..., vn}为标准正交基。

接下来，我们来讨论标准正交基的求解方法。

一般来说，求解标准正交基的方法有Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法。

首先是Gram-Schmidt正交化方法。

对于给定的线性无关向量组{u1, u2, ..., un}，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 取第一个向量v1=u1，进行标准化处理，即v1=u1/||u1||。

2. 对于第i个向量ui，我们可以通过以下公式来求解vi：vi=ui-Σ(j=1 to i-1)(ui·vj)·vj。

然后进行标准化处理，即vi=vi/||vi||。

3. 重复以上步骤，直到求得n个标准正交向量{v1, v2, ..., vn}。

其次是矩阵的特征值分解方法。

对于给定的矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 首先，求解矩阵A的特征值和对应的特征向量。

2. 将特征向量进行标准化处理，即将每个特征向量除以其模长。

3. 如果A是对称矩阵，那么它的特征向量是两两正交的，我们可以直接将它们作为标准正交基。

需要注意的是，对于一般的矩阵，其特征向量未必是两两正交的，所以在使用特征值分解方法求解标准正交基时，需要进行额外的正交化处理。

综上所述，我们可以通过Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法来求解标准正交基。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基，以满足我们的需求。

标准正交基是一种常用的几何概念，它表示空间中的基本向量，可以用来描述物体的形状、大小和位置。

正交基是一个基本的几何空间，由三个互相垂直的向量组成，它们之间互相垂直，每个向量不同。

这三个向量构成一个正交基，它们构成一个标准正交基。

标准正交基是在几何学中经常使用的一种基本概念，它可以帮助我们理解物体的外观和位置，以及物体之间的关系。

它由三个基本的向量组成，这三个向量构成一个正交基，它们之间的比例是一样的，以此来确定物体的位置和形状。

正交基可以把空间划分成一个个小块，这些小块构成一个坐标系，以便我们可以轻松地把物体放到一个特定的位置。

正交基也可以用来表示几何图形，因为它们可以描述物体的形状和位置，所以可以用来表示图形。

例如，正交基可以用来描述三角形、多边形等，可以把它们划分成若干个小正方形，这样就可以得到几何图形的形状和位置。

总之，标准正交基是一种几何概念，它由三个相互垂直的向量构成，可以用来描述物体的形状、大小和位置，以及用来表示几何图形。

正交基可以把空间划分成若干个小块，这样就可以轻松地把物体放到一个特定的位置。

§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。

标准正交基的求法在线性代数中，我们经常会遇到标准正交基的求法问题。

标准正交基是指向量空间中的一组基，其特点是两两正交且单位长度。

求解标准正交基的方法有很多种，下面我们将介绍其中一种常用的方法。

假设我们有一个向量空间V，我们希望求解它的标准正交基。

首先，我们从V中选取一个非零向量作为第一个基向量。

然后，我们将V中的其他向量投影到第一个基向量的正交补空间中，得到一个新的向量空间W。

接下来，我们再从W中选取一个非零向量作为第二个基向量，并重复上述步骤，直到我们得到V的一组标准正交基为止。

具体的步骤如下：1. 选取第一个基向量。

首先，我们从V中选取一个非零向量作为第一个基向量。

这个向量可以是任意非零向量，通常我们会选择V中的一个标准基向量作为起始向量。

2. 投影到正交补空间。

接下来，我们将V中的其他向量投影到第一个基向量的正交补空间W中。

投影的方法可以是Gram-Schmidt正交化过程，也可以是其他投影方法，关键是保证投影后得到的向量与第一个基向量正交。

3. 选取第二个基向量。

从W中选取一个非零向量作为第二个基向量。

同样，这个向量可以是任意非零向量，通常我们会选择W中的一个标准基向量作为第二个基向量。

4. 重复以上步骤。

重复以上步骤，直到我们得到V的一组标准正交基为止。

在每一步中，我们都要确保选取的新基向量与已有的基向量正交。

通过以上步骤，我们就可以求解出向量空间V的标准正交基。

这种方法的优点是简单易懂，容易实现。

当然，求解标准正交基的方法还有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基。

总之，标准正交基的求法是线性代数中的重要问题。

掌握了求解标准正交基的方法，可以帮助我们更好地理解向量空间的结构，更高效地进行相关计算和分析。

希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，也希望您能够进一步深入学习和探索标准正交基的求法问题。

§5 子空间一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有(),0αβ=，则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有(),0αβ=，则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,112m m n n x x V βεε++=++∈,()()1111,,,0m n m ni i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则1213V V V V V =⊕=⊕对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即{}|W V W αα⊥=∈⊥② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()WW ⊥⊥=ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的12,W W αα⊥∈∈,使12ααα=+称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补。

标准正交基的新定义及运用
一、定义
标准正交基是指在一个向量空间中采用一组互相正交且向量长度为1的单位向量组成
的基底，又称为正交单位基底或正交基。

二、应用
1、线性代数和多维分析中的应用
标准正交基是线性代数和多维分析中最基本的概念之一，它是研究线性空间的不变量，是研究集合的基础。

标准正交基的使用使线性空间的分析变得更加容易，可以帮助研究者
更好地理解和分析这些空间中的结构、性质以及相互作用。

另外，标准正交基还可以帮助
科学家减少在多维空间中研究物理及数学问题时的计算复杂性。

2、几何学中的应用
标准正交基也可以用来研究各种几何学对象，如空间曲线与曲面。

此外，也可以用标
准正交基来研究空间轨道、天文物理解析等复杂的几何问题。

标准正交基也被用于量子力学，量子力学是量子物理的重要分支，它涉及到一系列比
较有趣的现象，比如量子影像、量子晶体、散射及相关研究。

标准正交基在量子力学中用
来描述物质的不同特性，如波函数、能量以及其它性质，并且可以让科学家更好地理解和
探索量子物理的现象。

标准正交基也可以用来研究物理学中的一些基本概念，比如粒子质量以及引力场、电
磁场等物理量的表示和描述。

此外，标准正交基也可以在物理研究中用来分解和组合物理量，并且可以用来计算任何物理量的表达式，其结果可以用来检验物理理论的基础和可靠性。