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2-2 标准正交基与向量的正交化

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向量的正交规范化

向量的正交规范化


1

2 2
, ,
r 2


2


r1,r r1, r1

r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1


0 1

,
2


11 .
19
1
1
0
令
1


11
,
2
1


0 1

,
3
2


11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,

向量标准正交化

向量标准正交化

向量标准正交化在线性代数中，向量的正交化是一个非常重要的概念。

当我们处理高维空间中的向量时，经常会遇到需要将向量进行正交化的情况。

正交化可以帮助我们简化向量的运算，减少计算的复杂度，同时也有利于我们更好地理解向量之间的关系。

本文将介绍向量的标准正交化方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。

首先，我们来看一下什么是向量的正交化。

在数学中，两个向量如果它们的内积为0，则称这两个向量是正交的。

而如果一个向量与自身的内积等于1，则称这个向量是标准正交的。

在实际应用中，我们经常需要将一组线性无关的向量进行正交化，得到一组标准正交基。

这样做的好处在于，标准正交基可以方便我们进行向量的表示和运算，同时也有利于我们更好地理解向量空间的结构。

接下来，我们将介绍一种常用的向量标准正交化方法——施密特正交化方法。

假设我们有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将这组向量正交化，得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。

施密特正交化的具体步骤如下：1. 初始化，令u1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模长。

2. 递推计算：对于i=2,3,...,n，依次进行如下计算：a. 计算投影，计算向量vi在前i-1个标准正交基{u1, u2, ..., ui-1}上的投影，即pi=vi·ui-1ui-1+vi·ui-2ui-2+...+vi·u1u1。

b. 正交化，令wi=vi-pi，即wi为vi在{u1, u2, ..., ui-1}张成的子空间的正交补空间上的投影。

c. 归一化，令ui=wi/||wi||，即ui为标准正交基。

通过上述步骤，我们可以将一组线性无关的向量正交化为一组标准正交基。

这样做的好处在于，我们可以更方便地表示向量，进行向量的运算和分解，同时也有利于我们更好地理解向量空间的结构和性质。

需要注意的是，施密特正交化方法虽然能够将一组线性无关的向量正交化为一组标准正交基，但由于计算过程中涉及到向量的模长计算和除法运算，可能会引入数值误差。

2第二节 标准正交基

2第二节 标准正交基

上页 下页
因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关
于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.
这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩
阵是单位矩阵. 由此断言
结论 在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积
简单地表示出来，即
(1, )1 ( 2 , ) 2 ( n , ) n (2)
3

(1,
1,
1,
1).
返回
上页 下页
第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
1


1 ,
2
1 , 0, 0, 2
2

1 , 6
1 ,
6
2 , 0, 6
3

1, 12
1, 12
1, 12
3 , 12
3


1 2
,

1 2
,
返回
上页 下页
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基，由定义，有
1 ,当 i j;
(i , j )

0,当i

j.
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说
结论 一组基为标准正交基的<＝>是它的度量矩 阵为单位矩阵.
返回
返回
上页 下页
a1, a2,…, am , β1, β2,…,βk . 成为一组正交基.
现在来看n-m=k+1的情形. 因为m<n ，所以
一定有向量β不能被a1, a2,…,am线性表出，作向量 αm+1=β-k1α1-k2α2-…-kmαm .

标准正交基

标准正交基

ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j

i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),

标准正交向量

标准正交向量

标准正交向量在数学和物理学中，正交向量是指两个向量之间的夹角为90度的向量。

在三维空间中，我们可以通过正交向量来描述物体的位置、方向和运动，因此对于正交向量的理解和运用具有重要的意义。

首先，我们来看一下正交向量的定义。

设有两个向量a和b，如果它们满足a·b=0，那么我们就称这两个向量是正交的。

其中，a·b表示向量a和向量b的点积，也称为内积。

点积的定义是，对于向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，它们的点积a·b=a1b1+a2b2+a3b3。

如果a·b=0，则表示向量a和向量b垂直，即它们之间的夹角为90度，这就是正交向量的定义。

正交向量在实际中有着广泛的应用。

在几何学中，我们可以利用正交向量来求解平面和直线的交点，或者求解两条直线的夹角。

在物理学中，正交向量可以用来描述物体的受力情况，以及物体在空间中的运动轨迹。

在工程学中，正交向量也常常用于建立坐标系，描述物体的位置和方向，从而进行精确的测量和定位。

除此之外，正交向量还有着许多重要的性质和应用。

例如，正交向量的集合是线性无关的，这意味着它们可以作为一组基向量，可以用来表示任意向量空间中的向量。

这对于矩阵运算和线性代数的理论研究具有重要的意义。

此外，在信号处理和图像处理领域，正交向量也被广泛应用，例如在压缩算法和滤波器设计中起着重要的作用。

在实际问题中，我们常常需要求解一组正交向量。

一种常见的方法是利用正交化过程，将给定的向量组转化为一组正交向量。

正交化过程可以通过施密特正交化方法来实现，这是一种基于向量投影的算法，可以将任意向量组转化为一组正交向量组。

通过正交化过程，我们可以得到一组标准正交向量，它们不仅互相正交，而且彼此长度为1，这样的向量组被称为标准正交基。

总之，正交向量作为数学和物理学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过对正交向量的理解和运用，我们可以更好地描述和解决实际问题，同时也可以深化对向量空间和线性代数理论的理解。

规范正交化

规范正交化

规范正交化正交化是数学中常用的一个概念，用于描述向量空间中向量之间的相互关系。

在实际应用中，正交化有助于简化计算、提高计算精度和减少冗余信息。

本文将介绍正交化的概念、常用的正交化方法以及其在不同领域中的应用。

一、正交化的概念正交化是指将非正交向量集合转化为正交向量集合的过程。

在向量空间中，正交向量具有特殊的相互关系，即两两之间的夹角为90度，且长度可以不同。

正交化的目标是使得向量集合中的每个向量都与其他向量正交。

二、常用的正交化方法1. 施密特正交化方法（Gram-Schmidt Orthogonalization）该方法是最常用的正交化方法之一，对于一个非正交向量集合{v1, v2, ..., vn}，依次求取正交向量集合的方法如下：a) 设v1为原始向量集合中的第一个向量，令u1 = v1；b) 对于第k（k > 1）个向量vk，计算其在前k-1个向量的张成空间中的投影，得到正交向量uk；c) 将uk标准化，得到单位正交向量ek = (1/||uk||) * uk。

2. QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。

在QR分解中，正交矩阵Q的列向量即为原始矩阵的正交向量集合。

QR分解可以通过多种方法实现，如Gram-Schmidt算法、Givens变换、Householder变换等。

3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）SVD是矩阵分解的一种方法，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。

在SVD中，U的列向量和V的行向量即为原始矩阵的正交向量集合。

三、正交化的应用正交化在许多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例。

1. 数据压缩正交化可以用于数据压缩的过程中，通过去除非正交向量的冗余信息，从而减小数据大小。

例如，在图像压缩中，正交化可以用于将图像的原始数据转化为正交基下的表示，从而减小图像数据的维度。

第二章 内积空间

第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。

定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。

§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。

称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。

例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。

例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。

证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。

例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。

向量空间的正交化_图文_图文


在空间 中，若一组基
满足标准正交
向量组的条件，即
则称
为标准正交基。
例如 是 中的一组标准正交基，而 中的自然基
也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法
空间中的线性无关 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基）
但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。
长度不为1，则可取
称 为与
同向的单位向量， 从
的过程也称为
向量的单位化。
定义3
，则称向量 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1 求与 解：设
都正交的单位向量。
与
都正交
则
对系数矩阵A作初等行变换
所以 再单位化得
为所求向量。
二 向量的正交性
设一个向量组
，若它们两两正交，
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
所得向量组是正交向量Fra bibliotek。当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
化为正交基
然后单位化：
则
书例2
即为标准正交基。
四、 正交矩阵
定义 设A是n阶的实矩阵，若 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
，则称
（1） （2）
（3） 也为正交阵 （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
向量空间的正交化_图文_图文.ppt
一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间 中的向量
定义 中内积
为
注：
当
到实数集R的函数，
上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性：

标准正交化公式

标准正交化公式标准正交化是线性代数中一个重要的概念，它在向量空间的正交基和正交矩阵的计算中起着关键作用。

在实际应用中，我们常常需要将一组线性无关的向量转化为一组标准正交基，以便于进行计算和分析。

本文将介绍标准正交化的基本概念和公式，帮助读者更好地理解和运用这一重要的数学工具。

一、Gram-Schmidt正交化方法。

Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的标准正交化方法，它可以将任意一组线性无关的向量转化为一组标准正交基。

设有向量组{v1,v2,...,vn}，其中vi≠0，1≤i≤n，要求得一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。

具体的Gram-Schmidt正交化方法如下：1. 取u1=v1/‖v1‖，其中‖v1‖表示向量v1的模长。

2. 对于i=2,3,...,n，依次计算。

u'i=vi-Σ(j=1)^(i-1)(vi·uj)uj。

ui=u'i/‖u'i‖。

其中vi·uj表示向量vi和向量uj的内积，Σ表示求和运算。

经过上述计算，我们可以得到一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。

二、标准正交化公式。

在Gram-Schmidt正交化方法的基础上，我们可以得到一组标准正交化公式，用于计算一组线性无关向量的标准正交基。

假设有n个线性无关向量{v1,v2,...,vn}，我们可以使用以下公式进行标准正交化计算：1. 计算u1=v1/‖v1‖。

2. 对于i=2,3,...,n，依次计算。

u'i=vi-Σ(j=1)^(i-1)(vi·uj)uj。

ui=u'i/‖u'i‖。

通过上述公式，我们可以将任意一组线性无关向量{v1,v2,...,vn}转化为一组标准正交基{u1,u2,...,un}，满足Span{v1,v2,...,vi}=Span{u1,u2,...,ui}，1≤i≤n。

2向量的正交规范化

1
2
一、内积的定义与性质 内积的定义与性质
a1 b1 1、定义 a b α = 2 , β = 2 , 称实数 设ｎ维实向量 M M an bn a1b1 + a2b2 + L + anbn 为向量α与β的内积，记作[α , β ] . 内积，
22
2、正交矩阵的充要条件 的列向量是规范正交组. ① Ａ的列向量是规范正交组. 的行向量是规范正交组. ② Ａ的行向量是规范正交组. 个列（ 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个规范正交基. 的一个规范正交基.
23
3、正交变换 若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 为正交矩阵， 线性变换称为正交变换. 正交变换 正交变换， 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
20
1 1 −1 1 1 1 1 1 ,ζ2 = 0 , ζ3 = 2 . 令 ζ i = β βi , ζ 1 = 3 2 2 6 i 1 −1 −1
2）规范化
21
五、正交矩阵和正交变换
等价. 两两正交， 则 β 1 , β 2 ,L , β r 两两正交，且与 α1 ,α 2 ,L ,α r 等价.
15
2）规范化 令ζ 2 =
1
β2
β2 , L , ζ r =
1
βr
βr ,
的一个规范正交向量组. 就得到Ｖ的一个规范正交向量组. 的一组基， 如果 α1 ,α 2 ,L ,α r 是Ｖ的一组基，则ζ 1 , ζ 2 ,L , ζ r 就是
16
四、应用举例 例1 证明： 证明：R 中，勾股定理 x + y = x + y
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n j 1
ki 0
(k11 k2 2 kn n , i ) k j ( j , i ) ki ( i , i ) ki 0
例2 在 C 3 中向量组
2 1 2 3 3 3 1 2 2 3 [ , , ]T 3 3 3
1 [ , , ]T , 2 [ , , ]T
定理3 内积在标准正交基下的矩阵为单位阵。
证明： 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基，内积在该组 基下的矩阵为 A (aij )nn
1, i j aij ( i , j ) 故，A=E。 0, i j
定理4 设V是酉(欧氏)空间，P是从标准正交基
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[1 ,2 ,, m ] [1, 2 ,, m ]R
证明
1 1 ,2 , , n 1 , 2 , , n B 2 B 1 , 2 , , n 0 n 1 i ,( i 1, 2, , n) 是V中标准正交向量组。 令 i i , R , , 1 2 n 正线上三角阵
2

( x, y) y
2
2

( y, x ) y
2
0
（ 3） x y
2
( x y, x y )
2 2 2 2
x ( x, y ) ( y, x ) y x 2 Re( x , y ) y
由Cauchy-Schwarz不等式
2 2
x y x 2 x y y ( x y )
2 3
2 1 3 3
都是标准正交向量组
1 [ cos , 0, i sin ]T , 2 [0,1, 0]T 3 [i sin , 0, cos ]T
2.2.2 标准正交基 定义3 设 1 , 2 ,, n 是酉(欧氏)空间的基底，且是
则称 1 , 2 ,, n是空间的标准正交基。

不难证明: 1 , 2 , m 是V中正交向量组
1 1
( 1 , 2 ) 2 1 2 ( 1 , 1 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n 1 2 n n ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
(2) A U
T
nn
, AB U
nn
(3)
Hale Waihona Puke det A 1, ( A) 1 ，其中 是A的特征值
(4) A，AT和AH的列分别构成Cn的标准正交基 证明(3)： AH A I n
det AH det A det En 1
det A det A det A 1
（2） 不妨设 y
0 x y ( x y, x y ) ( x , x ) ( x , y ) ( y, x ) ( y, y )
取
2
2
( y, x ) ( y, y )
( x, y ) x
2
y
2
x
2
( x, y) y
设 是 A 的特征值,则存在 x C n ，使得 Ax x
( Ax) ( Ax) ( x) ( x) x A Ax x x
H H H H H
( A) 1
证明(4)： 设 A [1 , 2 ,, n ],由 A H A I 知:
( 1 , 2 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
1 1 ,
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )

( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n n 1 2 n 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念；理解矩阵范数的概念，掌握算
子范数，会求常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数 的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
算子范数；相容性
定义( f ( x ), g( x ))2 0 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V2； 取元素 f ( x) x,
1
g( x) x ，则
2
则在V1中， x⊥x2； 在V2中，与x⊥x2不正交。
定义2 设V是酉(欧氏)空间, , ,, 1 2 n
是V中非零向量组，如果 1 ,2 ,,n 两两正交， 则称 1 ,2 ,,n 是正交向量组。
1
当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y.
( x, y ) 1 x y
应该注意的是 ： 在同一个线性空间中，如果定义了两个不同 的内积，得到两个不同的内积空间，则向量在这 两个内积空间的正交性不一定相同。 例1 在 P[ x]n 中，
1
定义( f ( x ), g( x ))1 1 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V1；
第二章 内积空间与赋范线性空间
1 2
内积空间
标准正交基与向量的正交化
正交子空间 向量范数 矩阵范数
授课预计 向量范数与矩阵范数的相容性 (10学时)
3
4 5 6
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
§2.2
标准正交基与向量的正交化
由于向量与其自身的内积满足 ( x, x ) 0 ，故可以
利用它定义向量的模（或范数），并将向量间的夹
角、正交等概念推广到一般的内积空间。 2.2.1 向量的度量性质
定义1 设V是酉(欧氏)空间，x∈V，称 x ( x, x) 为x
, 2 , , n 1 , 2 ,, n 到标准正交基 1
的过渡矩阵，则PHP=En(PTP=En)
, 2 , , n 证明： 内积在标准正交基 1 , 2 ,, n 与 1
下的矩阵都是 E 。 又由第一节定理3知内积在不同基 下的度量矩阵是合同的。所以有
是一个正交矩阵
cos (3) sin
sin 是一个正交矩阵 cos
cos (4) 0 i sin
i sin 1 0 0 cos 0
是一个酉矩阵
n 定理5 设 A, B U n，则 (1) AH A1
正线上三角阵：对角线元素都 * 是正数的上三角阵。
T T (1,1,0,0) , (1,0,1,0) , 例4. 把 1 2 3 ( 1,0,0,1)T 4 (1, 1, 1,1)T
变成单位正交的向量组. 解答：令 1 1 (1,1,0,0)T 正交化 ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0)T ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 T ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
即
2
2
x y x y
因此利用内积、范数及其性质可以定义
定义x的长度为:
( x, x ) 0
x ( x, x )
范数 性质
定义x与y的距离为: d ( x , y ) x y
定义x, y的夹角θ的余弦为:
( x, y) arccos x y
CauchySchwarz不 等式知
* 1 , , , B , , , , , , n n n 1 2 1 2 1 2 1 0
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
[1 , 2 ,, m ] [1 , 2 ,, m ]B
nn nn B C ( R 其中: n n ) 为单位上三角阵.
Cnn×n 秩为n的 矩阵全体。
单位上三角阵：对角线 元素都是1的上三角阵。
证明： Schmidt正交化过程: 先把线性无关的向量组 1 , , n 化成正交向量组 1 , 2 ,, n .
PHEP=En 或 (PTEP=En) 即 PHP=En (PTP=En)
注：通常称满足PHP=En的矩阵为酉矩阵。
定义4
设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满足
AH A AAH E
则称 A 是酉矩阵，一般记为 A U nn 特别地， 设 A 为一个 n 阶实矩阵，如果其满足
AT A AAT E
若 1 ,2 ,,n 是正交向量组，且它们都是单 位向量，则称其为标准正交向量组。 定理2 正交向量组是线性无关向量组 。