2020年湖南省益阳市高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (解析版)

2020年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x≤1}，则满足A∩B＝A的集合B可以是（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤2} C．{x|x≥0} D．{x|x≥2}2．（5分）若（4﹣mi）（m+i）≥0，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．23．（5分）已知向量＝（2，2），＝（1，a），若||＝1，则•＝（）A．2 B．4 C．6 D．8@4．（5分）已知函数f（x）＝2sin（πx+1），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．2 B．1 C．4 D．5．（5分）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．24 D．366．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”．三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A．30B．40C．50D．607．（5分）已知抛物线x2＝﹣4y的准线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）"A．B．5C．D．28．（5分）已知二进制数1010（2）化为十进制数为n，若（x+a）n的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为（）A．B．C．1D．29．（5分）若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知倾斜角为α的直线过定点（0，﹣2），且与圆x2+（y﹣1）2＝1相切，则的值为（）A．B．C．﹣D．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+2，则球O的体积等于（）`A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2…x n∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）＝f（x n），则正整数n的最大值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝log2（x+y+1）的最大值为．14．（5分）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若a2sin C＝5sin A，（a+c）2＝16+b2则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x+y的最大值为．#16．（5分）已知曲线C1：f（x）＝﹣e x﹣2x，曲线C2：g（x）＝ax+cos x，（1）若曲线C1在x＝0处的切线与C2在x＝处的切线平行，则实数a＝．（2）若曲线C1上任意一点处的切线为l1，总存在C2上一点处的切线l2，使得l1⊥l2则实数a的取值范围为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2），a3+a4＝12．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．'18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点．（1）证明：平面ADE⊥平面P AB；（2）若PE＝λEC，F是PB的中点，AD＝，AB＝AP＝2CD＝2，且二面角F﹣AD﹣E 的正弦值为，求λ的值．·19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x﹣y+2＝0与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|＝|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．[20．（12分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”，第二轮为“轮流坐庄答题环节”•首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题：第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推．例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依此类推……．当两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n（1≤n≤20），其中P1＝1，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出．回答下列问题．（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由．（2）①求第二轮答题中P2，P3；②求证为等比数列，并求P n（1≤n≤20）的表达式．~]21．（12分）已知对数函数f（x）过定点（其中e≈2.71828…）函数g（x）＝n ﹣mf′（x）﹣f（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数，n，m为常数）．（1）讨论g（x）的单调性（2）若对∀x∈（0，+∞）有g（x）≤n﹣m恒成立，且h（x）＝g（x）+2x﹣n在x＝x1，x2（x1≠x2）处的导数相等，求证：h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（﹣2，0），直线1交曲线C于A，B两点，求的值．\[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数ab满足a2+b2＝M，试证明：．）参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.C 10.D 11.A 12.B二、填空题13．214．215．16（16．（1）﹣2；（2）﹣≤a≤1．三、解答题：17．解：（1）依题意，由2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2）可知数列{a n}是等差数列．设等差数列{a n}的公差为d，则a3+a4＝（a1+2d）+（a1+3d）＝2+5d＝12，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣），—设数列{}的前n项和为T n，则T n＝+++…+++＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．18．解：（1）证明：由P A⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以P A⊥AD，又AB⊥AD，P A∩AB＝A，所以AD⊥平面P AB，(又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面P AB；（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），C（，1，0），D（，0，0），F（0，1，1），由（1）知，AD⊥PB，又PB⊥AF，故PB⊥平面ADF，＝（0，2，﹣2），PE＝λEC，所以，所以，设平面ADE的法向量为，）由，得，二面角F﹣AD﹣E的正弦值为，所以|cos＜＞|＝，即，得λ＝1或4．19．解：（1）由已知得，解得，b＝，c＝，∴椭圆C的方程为；（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx+m，、联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8＝0．△＝16（8k2﹣m2+2）＞0①，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，由，得，即，即x1x2+y1y2＝0，故8k2＝5m2﹣8≥0，代入①式解得m＞或m＜﹣．20．解：（1）设甲选出的3道题答对的道数为ξ，则ξ～（3，），设甲第一轮答题的总得分为x，则x＝10ξ﹣5（3﹣ξ）＝15ξ﹣15，;∴Ex＝15Eξ﹣15＝15×3×﹣15＝15，设乙第一轮得分为y，则y的所有可能取值为30，15，0，则P（y＝30）＝＝，P（y＝15）＝＝，P（y＝0）＝＝，∴y 的分布列为：y 30!15PEy＝＝12，∵Ex ＞Ey ，∴第二轮最先开始答题的是甲．*（2）①依题意得P1＝1，P2＝，P3＝＝．②证明：依题意有P n＝P n﹣1×+（1﹣P n ）×＝﹣+（n≥2），∴P n﹣＝﹣（P n ﹣1﹣），n ≥2，∵P1﹣＝，∴{}是以为首项，以﹣为公比的等比数列，∴，∴P n＝．（1≤n≤20）．21．解：（1）令f（x）＝log a x（a＞1且a ≠1），将代入得a＝e，·所以f（x）＝lnx，得，求导，（x＞0），当m≤0时，g′（x）＜0在x＞0时恒成立，即g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g′（x）＞0，则0＜x＜m，g′（x）＜0，则x＞m，即g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；综上，当m≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减；当m＞0时，g（x）在（0，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减；（2）证明：因为g（1）＝n﹣m，而∀x∈（0，+∞），有g（x）≤n﹣m＝g（1）恒成立知g（x）当x＝1时有最大值g（1），由（1）知必有m＝1，,所以，所以，依题意，设h′（x1）＝h′（x2）＝k，即，所以，所以x 1+x2＝x1x2≥，所以x1x2＞4，所以＝2x1x2﹣1﹣lnx1x2，令t＝x1x2＞4，φ（t）＝2t﹣1﹣lnt，所以，所以φ（t）在t＞4单调递增，所以φ（t）＞φ（4）＝7﹣2ln2．所以h（x1）+h（x2）＞7﹣2ln2．（二）选考题解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+y2＝4．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得x﹣y+2＝0．（2）由于点P（﹣2，0）在直线1上，所以转换为参数方程为（t为参数），代入（x+1）2+y2＝4，得到：，所以：，t 1t2＝﹣3，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．解：（1）f（x）＝|x﹣4|+|1﹣x|＝．∵f（x）≤5，∴或1≤x≤4或，∴4＜x≤5或1≤x≤4或0≤x＜1，∴0≤x≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}．（2）由（1）知，f（x）min＝M＝3，∴a2+b2＝M＝3，∴＝＝，当且仅当a2＝1，b2＝2时等号成立，∴．。

湖南省五市十校2020届高三5月仿真模拟联考试题数学【理】试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =-r ，343()()5152nq n =+，则k =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．82．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -= B ．222125x y -= C ．22145x y -= D ．2211620x y -=3．等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则39a a += A ．8B ．16C ．24D ．324．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且2a ，3a ，9a 成等比数列，则234456a a a a a a ++=++（ ） A ．13 B ．38 C ．37 D ．355．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．()3,+∞C ．()1,2 D ．()2,+∞6．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32π7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点。

点A 在抛物线上，若点P 是抛物线准线上的动点，O 为坐标原点，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．5 B ．13 C ．25D ．2138．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = A ．5 B ．6C ．7D ．89．复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -10．将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若函数()()sin 0,0,2g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为A ．()5sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．已知函数()2sin()01,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭的图像过点(0,1)，且关于直线23x π=对称，则下列结论正确的是（） A ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．若0x x =是()f x 的对称轴，则一定有0()0f x '≠C ．()1f x ≥的解集是2,2,3kk k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭12．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算2K 的观测值10k =，则下列选项正确的是（ ） A ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5％的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9％的把握认为使用智能手机对学习无影响 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省益阳市琼湖中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线和直线，则下述关于直线关系的判断正确的是（）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与轴围成等腰直角三角形D. 通过绕上某点旋转可以重合参考答案：D试题分析：直线的斜率;直线的斜率.(1)因为不成立,所以直线不可能平行,即通过平移也不可能重合,故A不正确;(2)当时, ,此时.故B不正确;(3)当时,此时.直线与轴交点为.直线与轴交点为.解得直线的交点.,.当时直线均过原点,与轴构不成三角形.当时, ,即轴构成的直角三角形两直角边不相等;(4)因为不成立,即,则两直线必相交.则绕交点旋转两直线可以重合.故D正确.考点：1直线的斜率;2两直线平行垂直于斜率的关系.2. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A. B.C. D.参考答案：由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为.3. 已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足，若，则的最小值为（）A. -1B.C.D.参考答案：D【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4. 如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则A. B. C. D .参考答案：A由题意知，，所以，即，所以选A.5. “”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D略6. 某几何体的三视图如图2所示（单位：cm），则该几何体的体积是( )A．B．C．D．参考答案：7. 设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则S∪T＝（）A．[－1，6] B．(3，5]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)参考答案：A8. 函数满足，且，则与的大小关系是( )A. B.C. >D.与有关不确定参考答案：A9. 执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（）A．31 B．33 C．35 D．37参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i值是什么．【解答】解：模拟程序框图运行，如下；S=0，i=1，S≤30成立，S是整数，S=；i=3，S≤30成立，S不是整数，S=[]=0，S=；i=5，S≤30成立，S不是整数，S=[]=1，S=3；i=7，S≤30成立，S是整数，S=5；i=9，S≤30成立，S是整数，S=7；…i=31，S≤30成立，S是整数，S=29；i=33，S≤30成立，S是整数，S=31；i=35，S≤30不成立，终止循环，输出i=35．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出准确的结论．10. 设不等式组，所表示的区域面积为.若，则（）A．B． C. D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合若，则实数的取值范围是，其中= 。

2020年湖南省益阳市第九中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，,．那么下面命题中真命题的序号是（）①的最大值为② 的最小值为③在上是增函数④ 在上是增函数A．①③ B．①④ C．②③ D．②④参考答案：A2. 已知全集U=R，集合M={x│x2-4≤0}，则CuM=（）A.{x│-2<x<2}B.{x│-2≤x≤2}C.{x│x＜-2或x>2}D.{x│x≤-2或x≥2}参考答案：C3. 将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．4. 如果log x<log y<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x参考答案：D5. 执行右图所示的程序框图，若输入x＝8，则输出y的值为A．－ B．C． D．3参考答案：B6. 已知集合，，则A∩B=（）A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4}参考答案：C【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3. 那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A． B． C． D．参考答案：B8. 已知等差数列的前n项和为等于（）A．144 B．72 C．54 D．36参考答案：B略9. 若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91.5、5 B．91、5 C．92、5.5 D．92、5参考答案：A【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】对应思想；待定系数法；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5，S2= [（87﹣91.5）2+（88﹣91，5）2+（90﹣91.5）2+…+（97﹣91.5）2]=5，故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求方差与平均数的应用问题，是基础题目．10. 设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则a=A. 2B. －2C.D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足且目标函数的最大值是，则的最大值为___________.参考答案：略12. 已知函数f （x ）＝－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______________．参考答案：略13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______参考答案：( ，＋∞)14. 二项式的展开式中常数项为________.参考答案：415. 若存在b∈[1，2]，使得2b（b+a ）≥4，则实数a 的取值范围是 ．参考答案：[﹣1，+∞）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由b∈[1，2]，知2b∈[2，4]，，由2b（b+a ）≥4，能求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵b∈[1，2]，∴2b ∈[2，4]，∴，∵2b （b+a ）≥4，∴a≥≥﹣1．∴实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数a 的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意指数的性质的灵活运用． 16. 已知向量，满足条件：，，且与互相垂直，则与的夹角为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，利用数量积的定义列出方程求出、夹角的大小． 【解答】解：向量，满足条件：，，且与互相垂直，∴?（2﹣）=2?﹣=0，设、的夹角为θ，则2×||×||×cosθ﹣=2×2××cosθ﹣22=0，解得cosθ=，又θ∈[0，π]，∴θ=．故答案为：．17. 已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年湖南省益阳市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−3x<0}，B={x∈Z|x≤3}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. (−∞,0)D. (0,3)2.已知i为虚数单位，z=−1+i，zz+a=i(a∈R)，则a=()A. 1B. −1C. 2D. −23.已知向量a⃗=(x,1)与向量b⃗ =(x2−3x+94,2x−3)共线，则实数x的值为()A. −32B. 32或−32C. 32D. 32或04.刘徽《九章算术⋅商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则此阳马的体积为()A. 83B. 163C. 8D. 165.已知tan(α2+π4)=−2，则sinα=()A. −45B. 45C. −35D. 356.已知函数f(x)=x2lnx+1−f′(1)x，则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为()A. 12B. −12C. 12−3e D. 3e−127.轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱O′O中，以底面圆O为底面圆，OO′的中点O″为顶点作圆锥O″O，现在等边圆柱O′O中随机取一点，则该点取自圆锥O″O内的概率是()A. 12B. 13C. 16D. 1128.若等比数列{a n}满足：a1=1，a1+a2+a3=7，则a4=()A. 8B. −27C. 8或−27D. −8或−279.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=−f(x)，且当x∈[−1,0]时，f(x)=x(1−x)，则f(172)=()A. 34B. −34C. 14D. −1410. 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545，设ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≥3)=0.15865，在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2+y 2=σ2上恰有两个点到直线12x −5y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围为( )A. (−26,−13)∪(13,26)B. (−26,26)C. (−39,−13)∪(13,39)D. (−39,39)11. 如图，已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(|AF 2|>|BF 2|)，若|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，S 四边形AF 1BF 2=4，则tan∠BAF 2=( ) A. 14 B. 13 C. 2+√3 D. 2−√312. 若[x]表示不超过x 的最大整数(例如：[0.1]=0，[−0.1]=−1)，数列{a n }满足：a 1=3，a n+1−a n =2n +2，则[√a 1]+[√a 2]+⋯+[√a 2020]=( )A. 1010×2021B. 1010×2020C. 1009×2021D. 1009×2020二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若二项式(2x +2√x )8展开式中，1x 项的系数为74，则实数a 的值为______．14. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a >0)的一条渐近线与圆C′：(x −1)2+(y +2)2=4相切，切点在第三象限，则a =______．15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω∈N ∗)的图象向右平移π4个长度单位，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[π4,π2]上单调递增，则ω的值为______．16. 在三棱锥S −ABC 中，AC =2AB =4，BC =2√5，AS ⊥SC ，平面ABC ⊥平面SAC ，则当△CBS 的面积最大时，三棱锥S −ABC 内切球的半径约为______.(参考数据：√159+√6+√15≈0.25)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a 、b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，(b −a)cosC =c(cosA −cosB)，b 2=2ac ．(1)求cos C ；(2)若△ABC 的面积为√15，求c ．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中．(1)求证：AD1//平面A1BC1；(2)若AB=AD=2，AA1=3，求直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值．19.抛物线y2=4x的焦点为F，斜率为k(k≠0)的直线l过点F且交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．(1)若x1=2x2+1，求k；(2)过焦点F与l垂直的直线交抛物线于C，D两点，求|AB|+|CD|的最小值．(a∈R)．20.已知函数f(x)=lnx+ax(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当a=1时，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，证明x1x2>1．21.某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20−55之间，现将所有分数情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)七组，其频率分布直方图如图所示，已知m=2n，[30,35)这组的参加者是12人．(1)根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；(2)组织者从[35,40)这组的参加者(其中共有5名女学生，其余为男学生)中随机选出1人(为公平起见，把每个人编号，通过号码确定)，如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去(已知本班男生人数多于女生人数)，重复上述过程n次后，该组中的男生人数为X n．①求随机变量X1的概率分布及数学期望E(X1)；②求随机变量X n的数学期望E(X n)关于n的表达式．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为tanθ=2． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦长．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +3|+m ．(1)求不等式f(x)<m 的解集；(2)若恰好存在7个不同的整数n ，使得f(n)<1，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x|x 2−3x <0}={x|0<x <3}， B ={x ∈Z|x ≤3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：A ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z =−1+i ，zz+a =i ，∴z =i(z +a)，即−1+i =i(−1+a +i)=−1+(a −1)i ， ∴a −1=1，即a =2． 故选：C ．把z =−1+i 代入zz+a =i ，整理后利用复数相等的条件列式求得a 值． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵a⃗ 与b ⃗ 共线， ∴x(2x −3)−(x 2−3x +94)=0，解得x =32或−32． 故选：B ．根据向量a ⃗ ,b ⃗ 共线即可得出x(2x −3)−(x 2−3x +94)=0，然后解出x 即可． 本题考查了共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体其中底面为长为4，宽为2的长方形，高为2四棱锥体． 如图所示：所以：V=13×2×4×2=163．故选：B．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：因为tan(α2+π4)=1+tanα21−tanα2=−2，所以tanα2=3，则sinα=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=2×31+32=35．故选：D．t由已知可求anα2，然后根据sinα=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2，代入可求．本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x2lnx+1−f′(1)x的导数为f′(x)=2xlnx+x−f′(1)，令x=1，则f′(1)=0+1−f′(1)，可得f′(1)=12，则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为12，故选：A．首先对f(x)求导，再令x=1，解方程可得f′(1)，由导数的几何意义可得所求切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导和运用赋值法是解题的关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设等边圆柱O′O 的高为h ，由几何概型的概率计算公式知， 该点取自圆锥O″O 内的概率是 P =V 圆锥O″O V 等边圆柱O′O=13⋅S 圆O ⋅12ℎS 圆O ⋅ℎ=16．故选：C ．由题意利用几何概型的概率计算公式，计算即可． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为等比数列{a n }满足：a 1=1，a 1+a 2+a 3=7， 所以1+q +q 2=7， 解可得q =2或q =−3， 当q =2时，a 4=a 1q 3=8， 当q =−3时，a 4=a 1q 3=−27． 故选：C ．由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．9.【答案】A【解析】解：由f(2+x)=−f(x)可得f(4+x)=f(x)， 所以函数的周期T =4，当x ∈[−1,0]时，f(x)=x(1−x)，则f(−12)=−34， 则f(172)=f(12+8)=f(12)=−f(−12)=34． 故选：A ．由已知可求函数的周期，结合已知奇函数及已知区间上的函数解析式进行转化即可求解． 本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是确定函数的周期．10.【答案】C【解析】解：由题意知：P(ξ≥3)=P(ξ≤−1)=12[1−P(−1<ξ<3)]， ∴P(−1<ξ<3)=0.6827，∴1−σ=−1，1+σ=3.∴σ=2． 故圆的方程为x 2+y 2=4，圆心为(0,0)，半径为2．如图，L 1，L 2表示与12x −5y +c =0平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于L 1，L 2．当BC =AC =1时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1． 当直线介于L 1，L 2之间时，符合题意．故1<√122+(−5)2<3，∴13<|c|<39，∴−39<c <−13或13<c <39． 故选：C ．先根据正态分布密度曲线的对称性，求出σ的值，然后做出图，利用数形结合找到圆心到直线的距离满足的不等关系，列出不等式求解即可．本题考查正态分布曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，同时考查学生运用数形结合思想解题的能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，两边平方整理可得：AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以四边形AF 1BF 2是矩形，|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c =4，所以c =2， 而S 四边形AF 1BF 2=4，所以|AF 1||AF 2|=4，则|BF 2||AF 2|=4，① 又|BF 2|2+|AF 2|2=|AB|2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=16，②， 由①②可得|AF 2|=√6+√2，|BF 2|=√6−√2， 所以tan∠BAF 2=|BF 2||AF 2|=√6−√2√6+√2=2−√3，故选：D ．由向量的和的模等于向量差的模相等可得两个向量垂直，可得四边形为矩形，向量差的模恰好为焦距，由题意可得焦距的值，由四边形的面积可得|AF1||AF2|=4，则|BF2||AF2|=4，由勾股定理及其焦距可得|AF2|，|BF2|的值，进而求出tan∠BAF2=|BF2||AF2|的值．本题考查椭圆的性质及矩形的性质，和向量垂直的性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：当n=2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=2n+2(n−1)+⋯+4+3=(2n+4)(n−1)2+3=n2+n+1．当n=1时，a1=3也满足条件．所以a n=n2+n+1．所以n2<n2+n+1<(n+1)2，故n<√a n<n+1．所以[√a n]=n，故则[√a1]+[√a2]+⋯+[√a2020]=1+2+3+⋯+2020=2020(1+2020)2=1010×2021．故选：A．首先利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用放缩法的应用和取整问题的应用进一步利用等差数列的前n项和的应用求出结果．本题考查的知识要点：叠加法的应用，数列的通项公式的求法及应用，放缩法的应用，取整问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．13.【答案】±1【解析】解：二项式(2x2√x )8展开式中，通项公式为Tr+1=C8r⋅28−r⋅(a2)r⋅x8−3r2，令8−3r2=−1，可得r=6，1 x 项的系数为C86⋅22⋅(a2)6=74，则实数a=±1，故答案为：±1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于−1，求得r的值，即可求得展开式中的1x项的系数，再根据1x 项的系数为74，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】34【解析】解：由题意，双曲线C的渐近线方程为y=±1ax，∵切点在第三象限，∴渐近线方程为y=1ax，即x−ay=0．由渐近线与圆C′：(x−1)2+(y+2)2=4相切，可得√12+(−a)2=2，解得a=34．故答案为：34．由双曲线方程求出渐近线方程，再由圆心到直线的距离等于半径列式求得a值．本题考查圆与双曲线的综合，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．由题意，令−π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω，k∈Z，可得−2π3ω+2kπω≤0，且π4≤π3ω+2kπω，结合ω∈N∗，即可求解ω的值．【解答】解：由题意，函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω∈N∗)在区间[0,π4]上单调递增，令−π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω，k∈Z，由于函数f(x)在区间[0,π4]上单调递增，所以−2π3ω+2kπω≤0，且π4≤π3ω+2kπω，可得：ω≤8k+43，k∈Z，由于ω∈N∗，所以k=0时ω≤43，所以ω=1．故答案为：1．16.【答案】0.5【解析】解：在△ABC中，AC=2AB=4,BC=2√5，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，因为平面ABC⊥平面SAC，平面ABC∩平面SAC= AC，所以AB⊥平面SAC，所以AB⊥SC，因为SC⊥SA，SA∩AB=A，所以SC⊥SB，所以SB2+SC2=(2√5)2=20，S△SBC=12SB⋅SC≤12×SB2+SC22=204=5，当且仅当SC=SB=√10时取等号，此时SA=√SB2−AB2=√6，所以S△SAC=12×√6×√10=√15，S△SAB=12×√6×2=√6，S△ABC=12×2×4=4，设三棱雉S−ABC内切球的半径为r，则1 3r(√15+√6+4+5)=13×2×√15，解得r=√15√15+√6+9≈2×0.25=0.5，故答案为：0.5．由勾股定理得AB⊥AC，利用面面垂直的性质定理可得，AB⊥平面SAC，再推出SC⊥平面SAB，于是SC⊥SB，可得SB2+SC2=20，再利用基本不等式的性质可得当SA=√6时，△CBS的面积最大，再结合等体积法即可求内切球的半径．此题考查了面面垂直的性质定理、勾股定理及其逆定理、基本不等式的综合性强，属于中档题．17.【答案】解：(1)由(b−a)cosC=c(cosA−cosB)及正弦定理可得，sinBcosC−sinAcosC=sinCcosA−sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC，即sin(B+C)=sin(A+C)，所以sinA=sinB，所以a =b ，因为b 2=2ac =2bc ， 所以b =2c ，由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=4c 2+4c 2−c 22×2c×2c=78，(2)由(1)知sinC =√1−(78)2=√158，因为△ABC 的面积为√15，所以12absinC =12a 2×√158=√15，解可得a =4，则c =12a =2【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求； (2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】(1)证明：长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =C 1D 1，AB//C 1D 1，所以ABC 1D 1是平行四边形，所以AD 1//BC 1； 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，AD 1⊄平面A 1BC 1， 所以AD 1//平面A 1BC 1；(2)解：以A 1为原点，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 、y 、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系如图所示；由AB =AD =2，AA 1=3，则A 1(0,0，0)，C 1(2,2，0)，D(2,0，3)，所以A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，3)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，3)； 设平面C 1A 1B 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{2x +2y =02y +3z =0；令y =−3，得m⃗⃗⃗ =(3,−3,2)， 设直线A 1D 与平面A 1BC 1所成的角为θ，所以sinθ=|cos <A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ ||=4+0+9×9+9+4=6√286143， 即直线A 1D 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为6√286143．【解析】(1)证明四边形ABC 1D 1是平行四边形，得出AD 1//BC 1，AD 1//平面A 1BC 1；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面C 1A 1B 的法向量，再求直线A 1D 与平面A 1BC 1所成角的正弦值．本题考查了空间中的平行关系证明问题，也考查了直线与平面所成角的正弦值计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得F(1,0)，直线AB 的方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)y 2=4x ，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，△>0，即(2k 2+4)2−4k 4>0，解得k ∈R 且k ≠0， 则x 1+x 2=2k 2+4k 2，x 1x 2=1，因为x 1=2x 2+1，所以x 1x 2=(2x 2+1)x 2=2x 22+x 2=1，解得x 2=−1(舍去)或x 2=12， 则x 1=2×12+1=2，则x 1+x 2=52=2k 2+4k 2，解得k =±2√2； (2)由条件有AB ⊥CD ， 所以直线CD 的斜率k CD =−1k ， 则直线CD 的方程为y =−1k (x −1)， 由(1)可得|AB|=x 1+x 2+2=2k 2+4k +2=4k +4，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，同理可得x 3+x 4=2+4(−1k)2=2+4k 2，所以|CD|=x 3+x 4+2=4+4k 2， 故|AB|+|CD|=4k 2+4+4+4k 2=8+4k 2+4k 2≥8+2√4k 2⋅4k 2=16，当且仅当4k 2=4k 2，即k =±1时取得等号，故|AB|+|CD|的最小值为16．【解析】(1)求得焦点F ，可得直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，结合条件，解方程可得k ；(2)由题意可得AB ⊥CD ，求得CD 的斜率和方程，运用弦长公式分别求得|AB|，|CD|，再由基本不等式计算可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f′(x)=1x −ax 2=x−a x 2≥0恒成立，即a ≤x 在(0,+∞)上恒成立，所以a ≤0，(2)证明：当a =1时，f(x)=lnx +1x ，f′(x)=x−1x 2，易得，当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x >1时，f′(x)>0，函数单调增， 不妨设x 1<1<x 2，要证明x 1x 2>1， 只要证x 2>1x 1>1，因为f(x)在(1,+∞)上单调递增， 只要证f(x 1)=f(x 2)>f(1x 1)，只要证g(x)=f(x)−f(1x )>0对任意的x ∈(0,1)都成立， ∴g′(x)=x−1x 2+1x 2×1x −11x 2=x−1x 2−x(x−1)x 2=−(x−1)2x 2≤0，所以g(x)在(0,1)上单调递减且g(1)=0， 所以g(x)>0，即得证．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；(2)要证明x 1x 2>1，只要证x 2>1x 1>1，结合f(x)在(1,+∞)上单调递增，问题转化为证f(x 1)=f(x 2)>f(1x 1)，即证g(x)=f(x)−f(1x)>0对任意的x ∈(0,1)恒成立，结合导数可证．本题主要考查了导数与单调性关系的应用及利用导数和函数的性质证明不等式，体现了转化思想的应用．21.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可知，{m =2n(0.01+0.03+0.06+m +0.03+n +0.01)×5=1，解得{m =0.04n =0.02，由于(0.01+0.03+0.06)×5=0.5，所以中位数为35．(2)由题可知，总人数为120.06×5=40，所以[35,40)组中的人数为40×0.04×5=8， 又因为有5名女学生，所以男生人数为3人， ①由题可知，X 1=3，4，当X 1=3时，即第一次抽到男生，其概率是P(X 1=3)=C 31C 81=38，当X 1=4时，即第一次抽到女生，其概率是P(X 1=4)=C 51C 81=58，所以随机变量X 1的概率分布列为所以数学期望E(X 1)=3×38+4×58=298．②设P(X n =3+k)=p k ，k =0，1，2，3，4，5，则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1， E(X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5，P(X n+1=3)=38p 0，P(X n+1=4)=58p 0+48p 1，P(X n+1=5)=48p 1+58p 2，P(X n+1=6)=38p 2+68p 3，P(X n+1=7)=28p 3+78p 4，P(X n+1=8)=18p 4+88p 5， 所以X n+1的分布列为数学期望E(X n+1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E(X n )+1，由此可知，E(X n+1)−8=78(E(X n )−8)， 又由①知，E(X 1)−8=−358，所以E(X n )=8−358×(78)n−1=8−5×(78)n ．【解析】(1)根据频率分布直方图的性质列出关于m 和n 的方程组，解之即可；结合中位数的性质可算出中位数；(2)由题可知，总人数为40，所以[35,40)组中的人数为8，故女生有5名，男生有3名，①X 1=3，4，再分别写出两种情形下的P(X 1)即可得分布列，进而求得数学期望；②设P(X n =3+k)=p k ，k =0，1，2，3，4，5，则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E(X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5，再逐一写出每个X n+1的取值所对应的概率即可得其分布列和数学期望，通过化简整理，得E(X n+1)=78E(X n )+1，最后结合数列中求通项公式的构造法和等比数列的通项公式即可得解． 本题考查频率分布直方图的性质、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力、逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．直线l 的极坐标方程为tanθ=2.根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程2x −y =0．(2)设两曲线的交点为A 和B ， 由于{x 2+y 24=12x −y =0解得：{x =√22y =√2或{x =−√22y =−√2，即：A(√22,√2)，B(−√22,−√2).所以|AB|=√(√22+√22)2+(√2+√2)2=√10．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|2x −1|−|x +3|+m ，∴由f(x)<m ，得|2x −1|<|x +3|，∴(2x −1)2<(x +3)2， ∴(3x +2)(x −4)<0，∴−23<x <4， ∴不等式的解集为{x|−23<x <4}.(2)设g(x)=|2x −1|−|x +3|，则g(x)={−x +4,x <−3−3x −2,−3⩽x ⩽12x −4,x >12，∴不等式f(x)<1等价于g(x)<1−m ，又g(−2)=4，g(−1)=1，g(0)<0，g(1)<0， g(2)<0，g(3)<0，g(4)=0，g(5)=1，g(6)=2， 若恰好存在7个不同的整数n ，使得f(n)<1， 则恰好存在7个不同的整数n ，使得g(n)<1−m ， ∴{g(5)<1−m g(6)⩾1−m ，即{1<1−m 2⩾1−m ，∴−1⩽m <0，∴m 的取值范围为[−1,0)．【解析】(1)根据式f(x)<m ，可得|2x −1|<|x +3|，然后边同时平方，解出不等式即可；(2)设g(x)=|2x −1|−|x +3|，根据条件，可知若恰好存在7个不同的整数n ，使得f(n)<1，则恰好存在7个不同的整数n ，使得g(n)<1−m ，进一步得到{g(5)<1−mg(6)⩾1−m，再解出m 的范围即可．本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

高三数学考试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（）A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】分析：将化为，然后进行化简即可得到z=a+bi的形式，再有模长公式计算即可。

详解：故选C点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长。

2. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据交集的定义求得A∪B，根据补集的定义求得．详解：：∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，∁U（A∪B）={x|﹣5＜x≤2}，故选：A．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3. 中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.纵式：横式：1 2 3 4 5 6 7 8 91-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由对数的运算性质可得=729，结合算筹记数的方法分析可得结果．详解：根据题意，=36=729，用算筹记数表示为；故选：D．点睛：本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法，属于基础题.4. 若双曲线（）的焦距等于离心率，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线方程求出焦距以及离心率，建立方程即可．详解：：双曲线﹣x2=m（m＞0）的焦距等于离心率．可得：e=，即，解得m=．故选：A．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题.5. 设有下面四个命题若，则；若，则；若的中间项为-20；的中间项为.其中真命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：由二项分布的概率求法，即可判断为假命题，p2为真命题；运用二项式的展开式的通项公式，即可得到所求中间项，判断为假命题，p4为真命题．详解：若 X～B（3，），則 P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣）3=，故p2为真命题；（x2﹣）6的中间项为（x2）3（﹣）3=﹣20x3，故p4为真命题．故选：D．点睛：题考查命题的真假判断和应用，考查二项分布概率的求法和二项式定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．详解：由题意可知：几何体的直观图如图：是半圆柱与个球体组成，表面积为：=+π2．故选：B．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 已知表示除以余，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（）A. 求被5除余1且被7除余3的最小正整数B. 求被7除余1且被5除余3的最小正整数C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D. 求被7除余1且被5除余3的最小正奇数【答案】D【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数，由此得解．详解：因为n的初值为﹣1，且n=n+2，n≡1（mod 7），n≡3（mod5），所以：该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数．故选：D．点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8. 若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及同角的商数关系，两角差的正切公式，计算即可得到所求值．详解：α∈（0，π），且，可得sinα=2（1﹣cosα），即为2sin cos=4sin2，由sin＞0，可得tan==，则===﹣，故选：B．点睛：本题考查二倍角公式的运用和两角差的正切公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9. 设，满足约束条件若的最大值为6，则的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D. 5【答案】C【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得则的最大值．详解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，由解得A（，a），直线z=x+y，经过交点A时，目标函数取得最大值6，可得，解得a=4．则=的几何意义是可行域的点与（﹣4，0）连线的斜率，由可行域可知（﹣4，0）与B连线的斜率最大，由可得B（﹣2，4）则的最大值为：4．故选：C．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 若函数与都在区间（）上单调递减，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出函数与在上单调减区间，再根据两函数都在区间上单调递减，即可求得的最大值.详解：∵函数∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵∴在上单调递减，在上单调递增.∴函数与都在上单调递减∴的最大值为故选B.点睛：本题考查的是三角函数的单调性，涉及到的知识点辅助角公式，以及正弦函数与余弦函数的单调区间的求法，在解题的过程中，要熟记各个知识点，解答本题的关键是正确求出函数与共同的单调减区间.11. 在正方体中，，以为球心，为半径的球与棱，分别交于，两点，则二面角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设棱长为4，果然年纪勾股定理计算AF，AG可得△AFG和△EFG均为等腰三角形，作出两三角形的底边上的高AM，EM，则∠AME为所求角．详解：设正方体棱长为4，则AE=1，EB=3，∴EF=EG=EC==5，∴AF==2，DE==，∴A1F==2，DG==2．∴D1F=D1G=4﹣2，FG=D1F=4﹣4，∴FM=FG=2﹣2，取FG的中点M，连接AM，EM，∵△AFG和△EFG均为等腰三角形．∴AM⊥FG，EM⊥FG，∴∠AME为二面角A﹣FG﹣E的平面角，∵AM==2+2，∴tan∠AME===．故选：B．点睛：（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。

湖南省益阳市小北洲中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ，，，则与的大小关系为（）。

A． B． C． D．不确定参考答案：C知识点：换底公式；比较大小.解析：解：因为，，，所以，然后两边同时取以为底的对数可以得到，，所以由两式可得，即，故选C.思路点拨：首先根据的范围判断出，然后两边同时取以为底的对数即可比较大小.2. 已知全集（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A．B．C．D．参考答案：略4. 若a=log23，b=log3，c=3﹣2，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log23＞1，b=log3＜0，c=3﹣2∈（0，1），∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数（），对任意，满足，则实数a=（）A. 2B.C.D.参考答案：C6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=A．10π B．C．D．12π参考答案：B方法一：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，，，故，方法二：只考虑三棱锥的外接球即可，而此三棱锥的侧棱与底面是垂直的，故其外接球的半径：（其中是三角形外接圆的半径）7. 若，则（）A. z的实部大于的实部B. z的实部等于的实部C. z的虚部大于的虚部D. z的虚部小于的虚部参考答案：C【分析】利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于的虚部.故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8. 设，是非零向量，“ =||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．9. 若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A．15 B．16 C．28D．25参考答案：A10. 点M是抛物线x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上，在△PFM中，sin∠PFM=λsin∠PMF，则λ的最大值为（）A．B．1 C．D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由正弦定理求得丨PM丨=λ丨PF丨，根据抛物线的定义，则=，sinα=，则λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△=0，求得k的值，即可求得λ的最大值．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，由sin∠PFM=λsin∠PMF，则△PFM中由正弦定理可知：则丨PM丨=λ丨PF丨，∴|PM|=λ|PB|∴=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣，则，即x2﹣2pkx+p2=0，∴△=4p2k2﹣4p2=0，∴k=±1，即tanα=±1，则sinα=，则λ的最大值为=，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为__________.参考答案：略12. 已知，则的值为_______________．参考答案：略13. A：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知曲线、的极坐标方程分别为，曲线的参数方程为（为参数，且），则曲线、、所围成的封闭图形的面积是 .参考答案：14. 平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______________________参考答案：由得，所以。

2020届湖南省益阳市高考数学模拟试卷(4月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={0,1，2，3，4，5，6}，A={0,1，2}，B={1,2，3}，则()A. A∪B=UB. A∩B={1,2}C. ∁U A={3,4，5}D. ∁U B={4,5，6}(i是虚数单位)的实部为2，则a的值为()2.设a∈R，若复数z=a−i3+iA. 7B. −7C. 5D. −53.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。

若的最小值为1，则椭圆的离心率为A. B. C. D.4.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成．如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为()A. 107π3+33πB. 323C. 32+99π+33πD. 1635.已知某几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是上底为2，下底为4，底角为的等腰梯形，俯视图是直径分别为2和4的同心圆，则该几何体的表面积为()A.B.C.D.6. 如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确的是( )A. 甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快B. 乙公司近年的销售收入增长速度比甲公司快C. 甲、乙两公司近年的销售收入增长速度一样快D. 不能确定甲、乙两公司近年销售收入增长速度的快慢7. 已知函数f(x)=(e x +e −x )ln 1−x1+x +1，若f(ln2)=a ，则f(ln 12)的值为( )A. aB. −aC. 2−aD. 1a8. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ=( )A. 32 B. 23 C. 3 D. 139. 设函数的最小正周期为，最大值为，则( )A. ，B. ，C.，D.，10. 如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α所成的角为，过A 、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若，则AB 与平面β所成的角的正弦值是( )A.B.C.D.11. 直线xcosα−y −4=0的倾斜角的取值范围是( )A. [0,π)B. [0,π4]∪(π2,π)C. [0,π4]D. [0,π4]∪(3π4,π)12. 定义一种运算，令(为常数)，且，则使函数最大值为4的值是( ) A.或B.或C.或D.或二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −2y −6≤02x +y ≥0y ≤2，则y+4x−7的取值范围为______．14. 某程序框图如图所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出的S =26，则判断框内的n = ______ ．15.设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合．已知曲线C1的极坐标方程是：ρcos(θ+π3)=m，曲线C2参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是______ ．16.直线x4+y3=1椭圆x216+y29=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有______ 个．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{}满足，且(1)求证：数列{}是等差数列；(2)求数列{}的通项公式；(3)设数列{}的前项之和，求证：．18.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差(°C)101113128发芽数(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程已知回归直线方程是：，其中，；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2，AP=2．(1)求三棱锥P−BCD的体积；(2)求异面直线EF与PD所成角的大小．．20.已知函数f(x)=sinxx(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点A(π,f(π))处的切线方程；(Ⅱ)证明：若x∈(0,π)，则f′(x)<0；(Ⅲ)若0<α<π2<β<2π，判定f(α)与f(β)的大小关系，并证明你的结论．21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)在x=3处取得极值0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是函数y=f(x)，x∈[1,3]图象上两个不同的点，且|x1−x2|=√3，图象在A(x1,y1)，B(x2,y2)两点处的切线的斜率分别为k1，k2，证明：√|k1k2|≤3(1−m4)．22.如图，在极坐标系Ox中，A(2,π)，B(2,0)，弧AO⏜，BO⏜，AB⏜所在圆的圆心分别为(1,π)，(1,0)，(2,3π2)，曲线M1是弧AO⏜，幽线M2是弧BO⏜，曲线M3是弧AB⏜．(1)写出曲线M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若曲线M4的极坐标方程为θ=π6+k⋅23π(ρ≥0,k=0,1，2)，写出曲线M与曲线M4的所有公共点(除极点外)的极坐标．23.已知函数f(x)=√9−6x+x2+√x2+8x+16(1)解不等式f(x)≥f(4)；(2)设函数g(x)=kx−3k，k∈R，若不等式f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合U={0,1，2，3，4，5，6}，A={0,1，2}，B={1,2，3}，则A∪B={0,1，2，3}，A∩B={1,2}，∁U A={3,4，5，6}，∁U B={0,4，5，6}，故选：B．直接根据交并补的定义即可求出．本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2.答案：A解析：解：z=a−i3+i =(a−i)(3−i)(3+i)(3−i)=(3a−1)−(3+a)i10=3a−110−3+a10i，∵复数z=a−i3+i(i是虚数单位)的实部为2，∴3a−110=2，解得：a=7．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件即可求出a的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：试题分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．当且仅当取得等号，故，故选D．考点：直线与椭圆的位置关系的运用点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．4.答案：B解析：本题考查空间几何体的三视图及几何体的体积．由三视图知该几何体的上部为正四棱锥，中部为圆柱，下部为圆锥，根据图中数据即可计算体积．解：由三视图知，该几何体的上部为正四棱锥，中部为圆柱，下部为圆锥，根据图中数据，计算该陀螺的体积为V=V上+V中+V下=13×4×4×2+π×32×3+13×π×32×2=323+33π．故选B．5.答案：D解析：．6.答案：A解析：解：从折线统计图中可以看出：甲公司2010年的销售收入约为50万元，2014年约为90万元，则从2010～2014年甲公司增长了90−50=40万元；乙公司2010年的销售收入约为50万元，2014年约为70万元，则从2010～2014年乙公司增长了70−50=20万元．则甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快．故选A ．本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．结合折线统计图，分别求出甲、乙两公司近年销售收入各自的增长量即可求出答案．7.答案：C解析：解：函数f(x)=(e x +e −x )ln 1−x1+x +1，设g(x)=(e x +e −x )ln 1−x1+x ，x ∈(−1,1)，定义域关于原点对称， g(−x)=(e −x +e x )ln 1+x 1−x =−(e x +e −x )ln1−x 1+x=g(−x)，故g(x)为奇函数，f(ln2)=g(ln2)+1=a ，g(ln2)=a −1，所以f(ln 12)=g(ln 12)+1=g(−ln2)+1=−g(ln2)+1=1−a +1=2−a ， 故选：C ．构造奇函数g(x)，利用奇函数的性质，求出结果． 考查构造函数法，函数的奇偶性，函数求值，中档题．8.答案：A解析：解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )；∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线； ∴根据平面向量基本定理得：λ=13,μ=29； ∴λμ=32． 故选：A ．根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，从而可求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量基本定理即可得出λ=13,μ=29，从而求出λμ．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．9.答案：A解析：试题分析：由题知，故选A ．考点：1、三角函数的周期性；2、三角函数的最值．10.答案：A解析：试题分析：连接，因为平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α所成的角为，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，所以是与平面所成的角，设，因为，所以，设则，解得，所以，，所以考点：用空间向量求直线与平面的夹角．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．11.答案：D解析：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．先求出斜率的范围，再根据倾斜角和斜率的关系，求出倾斜角的取值范围． 解：由于直线xcosα−y −4=0的斜率为cosα∈[−1,1]，设倾斜角为θ，θ∈[0,π)， 则tanθ∈[−1,1]，∴θ∈[0,π4]∪(π，3π4]， 故选：D ．12.答案：C解析：试题分析：y =4+2x −x 2在x ∈[−3,3]上的最大值为4，所以由4+2x −x 2=4，解得x =2或x =0．所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t <1时，即x =2时，|2−t|=4，此时解得t =−2． 当t >1时，即x =0时，|0−t|=4，此时解得t =4.故t =−2或4． 考点：函数的性质及应用点评：本题考查了新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键。

2020年湖南省益阳市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x(x −3)<0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {1,2}C. {0,3}D. {−1,1，2，3} 2. i 为虚数单位，若a =5i−2，则a 的值为( ) A. 2+i B. 2−i C. −2−i D. −2+i3. 若向量a ⃗ =(2,x)，b ⃗ =(3,6)为共线向量，则x 的值等于( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A. 6B. 8C. 6√2D. 8√25. 设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且，则( )A. α=3βB. α=2βC. α+3β=πD. α+2β=π 6. 函数f(x)=1+1x 的图象在点(12,f(12))处的切线斜率为( )A. 4B. −4C. 2D. −27. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于《九章算术⋅方田章》.如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为( )A. 2−π2B. π4−12C. π2−1D. 32−π4 8. 在等比数列{a n }中，已知a 3=3，a 3+a 5+a 7=21，则a 5=( )A. 6B. 9C. 12D. 189. 函数f(x)={4x +t,x ≥0g(x),x <0为定义在R 上的奇函数，则f(log 213)等于( )A. 23B. −9C. −8D. −13 10. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ>0)=0.8，则P(2<ξ<4)=( )A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2 11. 直线过椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 和上顶点A ，与圆心在原点的圆交于P ，Q 两点，若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠POQ =120°，则椭圆离心率为( )A. 12B. √33C. √73D. √217 12. 设数列{a n }的通项公式a n =1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n ，那么a n+1−a n 等于( )A. 12n+1B. 12n+2 C. 12n+1+12n+2D. 12n+1−12n+2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (2x +x)(1−√x)6的展开式中x 的系数是______．14. 已知双曲线C 1：x 2−y 23=1，若抛物线C 2：x 2=2py(p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为1，则抛物线C 2的方程为______．15. 已知函数的图像向左平移π6个单位后与函数的图像重合，则正数ω的最小值为________16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥面ABC ，∠ABC =30°，△APC 的面积为2，则三棱锥P −ABC 外接球体积的最小值为______。