最新2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(3)

12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。

由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。

12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r，若()a b b -⊥r r r ，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。

由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15.C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭.D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅱ卷理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()UAB =( )A.{}2,3-B.{}2,2,3-C.{}2,1,0,3--D.{}2,1,0,2,3--2.若α为第四象限角，则( ) A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) 52535456.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = ( )A.2B.3C.4D.57.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x ( ) A.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10.已知ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) 3 B.32C.1 3 11.若2233x y x y ---<-，则( ) A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln 0x y ->D.ln 0x y -< 12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{}0,1(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得i (1,2,)i m a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足i (1,2,)i m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的01-序列12na a a ，11()(1,2,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k =的序列是( )A.11010B.11011C.10001D.11001二、填空题13.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.15.设复数1z ，2z 满足122z z ==，12i z z +=+，则12z z -=_______. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 三、解答题17.ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC 周长的最大值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200809000800i ii iiii i i i i x yx x y y x x y y =======-=-=--=∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数()()()()12211yniii nniii i x x yr x x y y ===--=--∑∑∑，2 1.414≈.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ； （2）设O 为111A B C 的中心.若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.已知函数()2sin sin 2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间()0π，的单调性；（2）证明：()33f x ； （3）设n *∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x .22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23.已知函数2()21f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：C解析：7.答案：A解析：8.答案：B解析：9.答案：D解析：10.答案：C解析：11.答案：A解析：12.答案：C解析：13.解析：14.答案：36解析：15.答案：解析：16.答案：①③④解析：17.答案：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB--=⋅.①由余弦定理可知2222cosBC AC AB AC AB A=+-⋅.②由①，②得1cos2A=-.因为0πA<<，所以2π3A=.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sinAC AB BCB C A===，从而AC B=，π)3cosAB A B B B=--=.故π33cos33BC AC AB B B B⎛⎫++=+=++⎪⎝⎭.又0π3B<<，所以当π6B=时，ABC周长取得最大值为3+解析：18.答案：（1）由已知得样本平均数20116020iiy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为6020012000⨯=.（2）样本(),(1,2,,20)i ix y i =的相关系数()()200.943i ix x y yr--===≈∑.（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.解析：19.答案：（1）由已知可设2C的方程为24y cx=，其中c=.不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22,b b a a -；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，故2||2|,|4b B CD c aA ==.由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭.解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2,a c b =，故22122:143x y C c c+=.设()00,M x y ，则220022143x y c c+=，204y cx =， 故20024134x xc c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22(5)4(5)134c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.解析：20.答案：（1）因为,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1//MN CC ，又由已知得11//AA CC ，故1//AA MN .因为111A B C 是正三角形，所以111B C A N ⊥.又11B C MN ⊥，故11B C ⊥平面1A AMN .所以平面1A AMN ⊥平面11EB C F .（2）由已知得AM BC ⊥.以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向，||MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则2AB =，AM =连结NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM =，1,03E ⎫⎪⎪⎝⎭.由（1）知平面1A AMN ⊥平面ABC .作NQ AM ⊥，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC .设(,0,0)Q a ，则22123234,(433NQ a B a a ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，故21123223210,,4,||33B E a a B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝. 又(0,1,0)=-n 是平面1A AMN的法向量，故1111π10sin ,cos ,210||||B E B E B E B E ⎛⎫-〈〉=== ⎪⋅⎝⎭n n n n ⋅.所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值为10. 解析：21.答案：（1）当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析.解析：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+2sin sin3x x =. 当π2π0,,π33x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在区间π2π0,,,π33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（3）因为(0)(π)0f f ==，由（1）知，()f x 在区间[]0,π的最大值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而()f x 是周期为π的周期函数，故33()f x . （3）由于()()()2223332332121321sinsin 2sin 2sin sin 2sin 2|sin |sin sin 2sin 2sin 2sin 2|sin |()(2)2sin 2()(2)2nn n n n n n n x xxx x xx x x x x x x f x f x f x xf x f x f x ---=⋅=⋅⋅= 所以23222333sin sin 2sin 24nn nn x xx ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 22.答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 解析：（1）1C 的普通方程为()404x y x +=. 由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t =+-，所以224x y -=. 故2C 的普通方程为224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以P 的直角坐标为53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设所求圆的圆心的直角坐标为()0,0x ，由题意得22005924x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得01710x =. 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=23.答案：（1）32x x ⎧⎨⎩或112x ⎫⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27, 4.x x f x x x x -⎧⎪=<⎨⎪->⎩11因此，不等式()4f x 的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣或. （2）因为222()|21|21(1)f x x a x a a a a =-+-+-+=-， 故当2(1)4a -，即12a -时，()4f x .所以当3a 或1a -时，()4f x . 当-13a <<时，()22221(1)4f a a a a =-+=-<.所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞。

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29 D ．57．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）欧拉公式：e πi +1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A ＝{e ，π，i ，1，0}，则集合A 不含无理数的子集共有（ ） A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．153．（5分）已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=（ ） A ．35B ．45C ．−35D ．−454．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．25．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456．（5分）（文科做）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离7．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE →=13AD →，则BE →=（ ） A ．13AB →−23AC →B ．13AC →−16AB →C ．16AB →−56AC →D ．16AC →−56AB →8．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．√34D ．√229．（5分）若点P 是椭圆x 24b +y 2b =1(b ＞0)上的点，且点I 是焦点三角形△PF 1F 2的内心，∠F 1PF 2的角平分线交线段F 1F 2于点M ，则|PIIM |等于（ ） A ．2√33B ．√22C ．√32D ．1210．（5分）设（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 50x 50，则a 3等于（ ） A ．C513B ．C514C ．2C503D ．C50411．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．14π3B ．7πC ．28π3D ．14π12．（5分）已知函数f （x ）＝x 4lnx ﹣a （x 4﹣1）（a ∈R ），若f （x ）≥0在0＜x ≤1恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≥12C ．a ≥14D ．a ≥√28二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8（k ∈R ），若f （x ）为偶函数，则k ＝ ；若f （x ）在[2，5]上是单调函数，则k 的取值范围是 ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0，则目标函数z ＝3x +y 的最大值为 ．15．（5分）已知点N 在圆x 2+y 2﹣4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x ﹣4y +6＝0上，则|MN |的最小值为 ．16．（5分）已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25°处，乙地在丙地的南偏东35°处，则甲乙两地的距离为 km ．三．解答题（共7小题）17．设数列{a n}前n项和为S n，满足S n+1＝4a n+2（n∈N+），且a1＝1，（1）若c n=a n2n，求证：数列{c n}是等差数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且MB=4√3 3．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．19．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ 面积的最小值．20．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x（单位：只）如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a （14≤a ≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x ＜a 时，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝15，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）若a ＝16，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a ＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率． 21．已知f （x ）＝（lnx ）2+2x ﹣ae x ．（l ）证明f （x ）在x ＝l 处的切线恒过定点； （2）若f （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣2a |﹣a ． （1）当a ＝2时，解不等式f （x ）＜3；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≤|3x |恒成立？若存在求出实数a 满足的条件，不存在说明理由．2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）欧拉公式：e πi +1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A ＝{e ，π，i ，1，0}，则集合A 不含无理数的子集共有（ ） A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个【解答】解：集合A ＝{e ，π，i ，1，0}， ∵集合A 中不是无理数的有i ，1，0， ∴集合A 不含无理数的子集共有：23＝8． 故选：A ．2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．15【解答】解：由z （1﹣i ）2＝i ，得z =i (1−i)2=i −2i =−12，∴|z |=12． 故选：B ．3．（5分）已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=（ ） A ．35B ．45C ．−35D ．−45【解答】解：∵cos(π6−α)=35，∴sin[π2−(π6−α)]＝sin （π3+α）=cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=sin （π﹣α+2π3）＝﹣sin （α+π3）=−35， 故选：C ．4．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．2【解答】解：由程序框图可得第一次：S ＝2，k ＝1， 第二次，S ＝﹣1，k ＝3，不满足退出循环的条件； 第三次，S =12，k ＝5，不满足退出循环的条件； 第四次，S ＝2，k ＝7，不满足退出循环的条件； 第五次，S ＝﹣1，k ＝9，不满足退出循环的条件； 第六次，S =12，k ＝11，不满足退出循环的条件； …观察可知S 的值成周期为3的间隔存在， 第20162=1008次，S =12，k ＝2015，满足退出循环的条件；第1009次，S ＝2，k ＝2017，满足退出循环的条件； 故输出S 值为2， 故选：D ．5．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m =C 21C 31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p =m n =610=35． 故选：C ．6．（5分）（文科做）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离【解答】解：如图，设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的圆心坐标分别为B ，O ，半径分别为R ，r在三角形PF 1F 2中，圆心距|OB |=|PF 2|2=|PF 1|−2a 2=|PF 1|2−a =R ﹣r∴分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是内切7．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE →=13AD →，则BE →=（ ） A ．13AB →−23AC →B ．13AC →−16AB →C ．16AB →−56AC →D ．16AC →−56AB →【解答】解：如图，∵D 为BC 的中点，AE →=13AD →，∴AE →=13AD →=16(AB →+AC →)，∴BE →=BA →+AE →=−AB →+16(AB →+AC →)=16AC →−56AB →． 故选：D ．8．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．√34D ．√22【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）=sin 2x +(12sinx +√32cosx)2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin(2x −π6)+1， 当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f(x)min =1−12=12． 故选：A ．9．（5分）若点P 是椭圆x 24b +y 2b =1(b ＞0)上的点，且点I 是焦点三角形△PF 1F 2的内心，∠F 1PF 2的角平分线交线段F 1F 2于点M ，则|PIIM|等于（ ） A ．2√33B ．√22C ．√32 D ．12【解答】解：令P 到F 1F 2的高为h ，则S △PF 1F 2=12×2c ×ℎ， 由内切圆的定义知：S △IF 1F 2=12×2c ×r ，S △IPF 2+S △IPF 1=12×2a ×r ， 故S △PF 1F 2=12×2c ×ℎ=12×(2a +2c)×r ，则r ℎ=MI MP =√32+√3， ∴PI IM=√3=2√33，故选：A ．10．（5分）设（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 50x 50，则a 3等于（ ） A ．C513B ．C514C ．2C503D ．C504【解答】解：依题意，a 3=C 33+C 43+C 53+⋯+C 503＝（C 44+C 43）+C 53+⋯+C 503 ＝（C 54+C 53）+C 63+⋯+C 503 =C 504+C 503 =C 514．故选：B ．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．14π3B ．7πC ．28π3D ．14π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且△P AD为正三角形，设△P AD的中心为G，过G作GO⊥平面P AD，且GO＝1，则O为该几何体的外接球的球心，连接OD，则OD为该几何体的外接球的半径．∴OD2=DG2+OG2=(2√33)2+12=73．∴该几何体的外接球的表面积为4π×73=28π3．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝x4lnx﹣a（x4﹣1）（a∈R），若f（x）≥0在0＜x≤1恒成立，则a的取值范围为（）A．a≥1B．a≥12C．a≥14D．a≥√28【解答】解：f(x)=x4[lnx−a(x4−1)x4]，又0＜x≤1，故x4＞0，则f（x）≥0等价为lnx−a(x4−1)x4=lnx−a+ax4≥0，设g(x)=lnx−a+ax4，x∈(0，1]，则g′(x)=1x−4ax5=x4−4ax5，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1]上单调递增，而当x→0时，g（x）→﹣∞，此时不满足题意；②当a＞0时，令g′（x）＞0，解得x＞(4a)14，令g′（x）＜0，解得0＜x＜(4a)14，（i）若(4a)14＜1，即0＜a＜14时，g（x）在(0，(4a)14)上单调递减，在((4a)14，1]上单调递增，则g(x)min=g((4a)14)=14ln(4a)−a+14=14[ln(4a)−(4a−1)]，由lnx ≤x ﹣1可知，ln （4a ）﹣（4a ﹣1）≤0恒成立，即始终存在x 0=(4a)14，使得g （x 0）＜0，不符合题意；（ii ）若(4a)14≥1，即a ≥14时，g （x ）在（0，1]上单调递减，此时g （x ）min ＝g （1）＝0，则g （x ）≥0在（0，1]上恒成立，满足题意． 综上，实数a 的取值范围为[14，+∞)． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8（k ∈R ），若f （x ）为偶函数，则k ＝ 0 ；若f （x ）在[2，5]上是单调函数，则k 的取值范围是 （﹣∞，16]∪[40，+∞） ． 【解答】解：∵f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴x =k8，开口向上， 若f （x ）为偶函数，则k8=0即k ＝0，由f （x ）在[2，5]上是单调函数可得，k 8≥5或k8≤2，解可得，k ≥40或k ≤16．故答案为：0；（﹣∞，16]∪[40，+∞）．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0，则目标函数z ＝3x +y 的最大值为6 ．【解答】解：画出约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0表示的平面区域，如图阴影所示；平移目标函数z ＝3x +y 知，当目标函数过点C 时，z 取得最大值； 由{2x +y =4x +2y −2=0，求得C （2，0）； 所以z 的最大值为z max ＝3×2+0＝6． 故答案为：6．15．（5分）已知点N在圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0上，点M在直线3x﹣4y+6＝0上，则|MN|的最小值为3．【解答】解：化圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0为（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆心坐标为（2，﹣2），半径为1．|6+8+6|=4＞1，圆心到直线3x﹣4y+6＝0的距离d=√3+(−4)2∴直线与圆相离，如图：由图可知，|MN|的最小值为4﹣1＝3．故答案为：3．16．（5分）已知甲、乙两地距丙的距离均为10km，且甲地在丙地的北偏东25°处，乙地在丙地的南偏东35°处，则甲乙两地的距离为10km．【解答】解：由题意，如图所示OA＝OB＝10km，∠AOB＝60∴△OAB为等边三角形；甲乙两地的距离为AB＝10km；故答案为：10三．解答题（共7小题）17．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n +1＝4a n +2（n ∈N +），且a 1＝1， （1）若c n =a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列． （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【解答】证明：（1）数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n +1＝4a n +2（n ∈N +），则：S n ＝4a n ﹣1+2，所以a n +1＝4a n ﹣4a n ﹣1，整理得a n−12+a n+12=4a n−12+4a n −4a n−12=2a n 2，所以数列{c n }是等差数列．解：（2）由于S 2＝4a 1+2，由于a 1＝1， 所以a 2＝3a 1+2＝5，所以数列{c n }是等差数列，且首项为c 1=a 12=12，公差为34，所以c n =3n−14， 所以a n =c n ⋅2n =3n−14⋅2n， 则：S n +1＝4a n +2＝（3n ﹣1）•2n +2， 所以S n =(3n −4)⋅2n−1+2..18．如图，在直角△AOB 中，OA ＝OB ＝2，△AOC 通过△AOB 以直线OA 为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC ＝120°），点D 为斜边AB 上一点，点M 为线段BC 上一点，且MB =4√33． （1）证明：OM ⊥平面AOB ；（2）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B ﹣CD ﹣O 的正弦值．【解答】（1）证明：△OBM 中，由余弦定理可得：OM 2＝22+(4√33)2−2×2×4√33×cos30°=43，解得OM =2√33． ∴OM 2+OB 2＝MB 2．∴OM ⊥OB ．由题意可知：OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB ∩OC ＝O ，∴OA ⊥平面OBC ，∴OA ⊥OM ． 又OB ∩OA ＝O ，∴OM ⊥平面AOB ．（2）解：由（1）可得：OM ⊥平面AOB ．∴OD 是斜线MD 在平面OAB 的射影． ∴∠ODM 是直线MD 与平面AOB 所成的角，取取最大值时，OD ⊥AB ，垂足为D ． ∴点D 为线段AB 的中点．建立如图所示对空间直角坐标系． O （0，0，0），B （0，2，0），D （0，1，1），C （√3，﹣1，0）， OC →=（√3，﹣1，0），OD →=（0，1，1），设平面OCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•OC →=n →•OD →=0， ∴√3x ﹣y ＝0，y +z ＝0，取n →=（1，√3，−√3）， 同理可得平面CDB 的法向量m →=（√3，1，1）． ∴cos ＜m →，n →＞=√37×5=√10535．∴二面角B ﹣CD ﹣O 的正弦值为4√7035． 19．如图，F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求△FPQ 面积的最小值．【解答】解：（1）证明：抛物线x 2＝4y 的焦点F （0，1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12＝4y 1，x 22＝4y 2，直线AB 的方程为y ＝kx +1，联立抛物线方程可得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，由y =14x 2的导数为y ′=12x ，可得A 处的切线的方程为y ﹣y 1=12x 1（x ﹣x 1）， 即为y =12x 1x −14x 12，同理可得B 处切线的方程为y =12x 2x −14x 22， 解方程可得M （x 1+x 22，x 1x 24），即M （2k ，﹣1），即点M 在抛物线的准线y ＝﹣1上；（2）设C （x 3，y 3），可得C 处的切线PQ 的方程为y =12x 3x −14x 32，则点F 到直线PQ 的距离为d =1+x 324√1+x 34，由（1）可得P （x 1+x 32，x 1x 34），Q （x 2+x 32，x 2x 34），可得|PQ |=|x 1−x 2|2√1+x 324， 则S △FPQ =12d |PQ |=|x 1−x 2|4（1+14x 32）≥|x 1−x 2|4=√x 12+x 22−2x 1x 24=√x 12+x 22+84≥√2(−x 1x 2)+84=1，当且仅当x 1＝﹣2，x 2＝2，x 3＝0时取得等号．则△FPQ面积的最小值为1．20．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a （14≤a ≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x ＜a 时，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝15，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）若a ＝16，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a ＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2，当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a 30a ，x ≥a (x ∈N ∗)，由a ＝15，得y ={29x +15，x ＜15450，x ≥15(x ∈N ∗)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N *），300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为1300×(420×45+450×60+195×480)=465（元）．（Ⅲ）当a ＝17时，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17(x ∈N ∗)，当x ＝16时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润y ＝479元， ∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为60300+60300=25．21．已知f （x ）＝（lnx ）2+2x ﹣ae x ．（l ）证明f （x ）在x ＝l 处的切线恒过定点； （2）若f （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f ′(x)=2(lnx+x)−axe xx，∴f ′（1）＝2﹣ae ， 又f （1）＝2﹣ae ，∴f （x ）在x ＝1处的切线方程为y ﹣（2﹣ae ）＝（2﹣ae ）（x ﹣1），即y ＝（2﹣ae ）x ， ∴f （x ）在x ＝1处的切线恒过定点（0，0）；（2）f ′(x)=2(lnx+x)−axe x x，其中x ＞0，设g （x ）＝2（lnx +x ）﹣axe x ，则g ′(x)=(x+1)(2−axe x )x， 当a ≤0时，g ′（x ）＞0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （x ）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f ′（x ）在（0，+∞）上至多有一个零点， ∴f （x ）至多只有一个极值点，不合题意，舍去；当a ＞0时，设h （x ）＝2﹣axe x ，h ′（x ）＝﹣a （x +1）e x ＜0，则h （x ）在（0，+∞）上单调递减，又ℎ(0)=2＞0，ℎ(2a )=2−2e 2a ＜0，∴存在x 0∈(0，2a )，使得h （x 0）＝0，即ax 0e x 0=2，且当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，此时g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，x 0）上单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＜0，此时g ′（x ）＜0，g （x ）在（x 0，+∞）上单调递减， ∴g （x ）在（0，+∞）上存在极大值g （x 0），即g(x)max =2(lnx 0+x 0)−ax 0e x 0=2(lnx 0+x 0)−2=2(lnx 0+x 0−1)，若lnx 0+x 0﹣1≤0，则g （x ）≤0，f ′（x ）≤0， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；若lnx 0+x 0﹣1＞0，设p （x ）＝lnx +x ，则p ′(x)=1x +1＞0，∴p （x ）在（0，+∞）上单调递增，且p （1）＝0， ∴x 0＞1，∵（xe x ）′＝（x +1）e x ＞0， ∴y ＝xe x 在（0，+∞）单调递增，∴2a =x 0e x 0＞e ，即0＜a ＜2e ，此时g （x 0）＞0，f ′（x 0）＞0，∵g(1e )=2(−1+1e )−a ⋅1e ⋅e 1e =−2+2e −ae 1e −1＜0，g （x ）在（0，x 0）单调递增，g （x 0）＞0，∴存在x 1∈(1e ，x 0)，使得g （x 1）＝0，且当x ∈（0，x 1）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）在x ∈（0，x 1）上单调递减， 当x ∈（x 1，x 0）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）在x ∈（x 1，x 0）上单调递增， ∴f （x ）在x ＝x 1处取得极小值， 又∵e x ≥x +1＞x ﹣1≥lnx ，e x ≥x +1＞x ，∴g(4a )=2(ln 4a +4a )−4e 4a =2[(ln 4a −e 4a )+4a−e 4a ]＜0，∴g （x ）在（x 0，+∞）单调递减，g （x 0）＞0， 又∵x 0∈(0，2a)， ∴4a ＞x 0，∴存在x 2∈(x 0，4a )，使得g （x 2）＝0，且当x ∈（x 0，x 2）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，x 2）单调递增， 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）在（x 2，+∞）单调递减， ∴f （x ）在x ＝x 2处取得极大值．综上所述，若f （x ）有两个极值点，则实数a 的取值范围为(0，2e )．22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =|2cosθ+sinθ−3√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣2a |﹣a ． （1）当a ＝2时，解不等式f （x ）＜3；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≤|3x |恒成立？若存在求出实数a 满足的条件，不存在说明理由．【解答】解：（1）．当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣4|﹣2={−2x +2，x ≤22x −6，x ＞2，当x ≤2时，﹣2x +2＜3，解得x ＞−12，∴−12＜x ≤2． 当x ＞2时，2x ﹣6＜3，解得x ＜92，∴2＜x ＜92．综上所述，a ＝2时，不等式f （x ）＜3的解集为：(−12，92)． （2）．f （x ）≤|3x |恒成立，即|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ≤0恒成立．当a ＜0时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ={x +a ，x ≤a 5x −3a ，a ＜x ＜0−x −3a ，x ≥0，此时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a 的最大值﹣3a ≤0，解得a ≥0，不成立；当a ≥0时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ={x +a ，x ≤0−5x +a ，0＜x ＜a −x −3a ，x ≥a，此时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a 的最大值a ≤0，结合条件，∴a ＝0． 综上所述，存在a ＝0，使f （x ）≤|3x |恒成立．。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A ={x |3<x <8}，B ={x |2x −7x +10>0}，则A ∪(R B ð)=（ ）A ．[2，3)B ．[2，8)C ．[3，5]D ．(5，8) 2．已知复数z 满足(i −1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．i −1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 3．已知等差数列{n a }的前7项和7S =14，11a =9，则2018a =（ ）A ．2018B ．2017C ．2016D ．20154．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．22154x y -= C ．22145y x -= D ．22154y x -= 5．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是（ ）A ．34B ．23C ．12D ．136．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．43π7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为（ ）A ．i >5B ．i 7C ．i >9D ．i 9 8．已知a =132-，b =21log 32(2)-，c =14sin x π⎰dx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 9．已知函数()f x =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示，把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为（ ）A ．[−23π，−712π]，[−12π，3π] B ．[−23π，−712π]∪[−12π，3π]C ．[−12π，3π] D ．[−23π，−712π] 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN =BC =4，P A=4，则异面直线P A 与MN 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知数列{n a }的首项1a =a ，其前n 项和为n S ，且满足n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，若对任意的n ∈N *，n a <1n a +恒成立，则正整数a 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 12．已知函数()f x 满足(1)f x +=1()1f x +，当x ∈[0，1]时，()f x =1()2x ，若在区间(−1，1]上，方程()f x =2x +m 只有一个解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[−1，−12)∪{1}B ．(−1，−12)∪{1}C ．(−1，−12] D ．(−1，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．二项式(m 3x−x)8的展开式中4x 的系数为，则m = ． 14．在平面四边形ABCD 中，已知AC u u u r =(1，3)，BD u u u r=(m ，−3)，则四边形ABCD 的面积的最大值为 ．15．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≥，且u =2x +y +2的最小值为−4，则k = ．16．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)相切于第一象限的点P (0x ，0y )，且直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，当∆AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠12F PF =60°(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在∆12PF F 中，∠12F PF的平分线的长度为，则实数m 的值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，2AB +2AC +AB ×AC =2BC ，且△ABC 的面积为3．(1)求∠BAC 的大小及AB AC u u u r u u u r的值；(2)若AB =4，求AD 的长． 18．(本小题满分12分)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∠BAC =90°，1AA ⊥BC ，1AA =AC =2AB =4，且1BC ⊥1A C ．(1)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；(2)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面1ABC ．若存在，求二面角E−1AC −B 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知曲线C 上任意一点到点A (1，−2)的距离与到点B (2，−4)2(1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，−3)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线PE 和直线FE 的倾斜角互补，求线段EF 的最大值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln()x xλ+ (λ∈R)，曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线 (1−2ln 2)x −2y =0平行．(1)求曲线y =()f x 在x =1处的切线方程； (2)若x >0，证明：(x e −1)ln(x +1)>2x ．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，0 α<2π)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2ρ=2312sin θ+(0≤θ<2π)，若直线l 与y 轴正半轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限． (1)写出曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t (用α表示)； (2)设曲线C 的左焦点为1F ，若|1F B |=|AM |，求直线l 的倾斜角α的值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()f x =|x −a |，若不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}． (1)求实数a 的值；(2)若不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)答案1．B 【解析】由已知得B ={x |x <2或x >5}，则R B ð={x |2 x 5}，所以A ∪(R B ð)=[2，8)，故选B ． 2．B 【解析】解法一 依题意可得z =2i1i-+3i =2i(1i)(1i)(1i)-+-+−i=−(i −1)−i=1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．解法二 依题意，由(i −1)(z −3i )=2i 得(−1−i)(−1+i)(z +i)=2i(−1−i)，即z+i=i(−1−i)，z =1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．3．C 【解析】通解 设等差数列{n a }的公差为d ，则11767142109a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得111a d =-⎧⎨=⎩，所以2018a =−1+2 017=2 016．故选C ．优解 设等差数列{n a }的公差为d ，则14=177()2a a +，即17a a +=4，所以24a =4，即4a =2，又11a =4a +7d =2+7d =9，所以d =1，2018a =4a +2 014=2+2 014=2 016．故选C ．4．A 【解析】易知抛物线2y =8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a =2．又双曲线的离心率e =32，所以c =3，2b =2c −2a =5，所以双曲线的方程为22145x y -=，选A ．5．D 【解析】解法一 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )=455201405453+-=++，选D ．解法二 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”， 则P (A )=1−40201405453+=++，选D ．6．D 【解析】作出该三视图所对应的几何体的直观图，并将其放到正方体中，如图，易知该几何体是正方体中的四棱锥S −ABC D ．由三视图知，SA =AB =AD =2，所以SC几何体的外接球的直径为所以该几何体的外接球的体积为43，选D ．7．D 【解析】根据输出结果为170判断何时退出循环体，从而得到判断框内可以补充的条件．S =0+2=2，i =1+2=3，不满足条件，执行循环体； S =2+8=10，i =3+2=5，不满足条件，执行循环体； S =10+32=42，i =5+2=7，不满足条件，执行循环体； S =42+128=170，i =7+2=9，满足条件，退出循环体． 故判断框内的条件可以为i 9，故选D ．8．C 【解析】因为a =132-=131()2=161()4，b =21log 32(2)- =123-=121()3=161()27，所以a >b ，排除B ，D ；c =14sin x π⎰dx =−14cos x 0π=−14(cos π−cos 0)=12=121()4，所以b >c ，所以a >b >c ，选C ．9．A 【解析】解法一 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x =2sin(2x −3π)的图象，令−2π+2kπ 2x −3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−12π+kπ x 512π+kπ(k ∈Z )，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+k π](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π， 3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π， 3π]，选A ．解法二 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k ∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．令−2π+2kπ 2x +3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−512π+kπ x 12π+k π(k ∈Z )，所以()f x 的单调递增区间为[−512π+kπ，12π+kπ](k ∈Z )．由于把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+kπ](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x在[−23π，3π]上的单调递增区间为[−23π，−712π]，[−12π，3π]，选A．10．A【解析】取AC的中点O，连接OM、ON，则∠ONM就是异面直线P A与MN所成的角，由此能求出异面直线P A与MN所成角的大小．取AC的中点O，连接OM、ON，则OM∥12BC，ON∥12P A，∴∠ONM就是异面直线P A与MN所成的角．由MN=BC=4，P A=43，得OM=2，ON=23，∴cos∠ONM=2222ON MN OMON MN+-⋅=32234=⨯⨯，∴∠ONM=30°，即异面直线P A与MN所成角的大小为30°．故选A．11．B【解析】由nS+1nS-=32n+2n+4(n 2)，可以得到1nS++nS=32(1)n++2(n+1)+4，两式相减得1na++na=6n+5，故2na++1na+=6n+11，两式再相减得2na+−na=6．对于nS+1nS-=32n+2n+4(n 2)，由n=2得1a+2a+1a=20，即2a=20−2a，故偶数项为以20−2a为首项，6为公差的等差数列，从而2na=6n+14−2a．对于nS+1nS-=32n+2n+4(n 2)，由n=3得1a+2a+3a+1a+2a=37，即3a=2a−3，从而21na+=6n−9+2a．由题意得20261426926926(1)142a an a n an a n a<-⎧⎪+-<-+⎨⎪-+<++-⎩，解得234<a<203，故正整数a的值为6．12．B【解析】当−1 x<0，即0 x+1<1时，由(1)f x+=1()1f x+可得()f x=1(1)f x+−1，即()f x=111()2x+−1=12x+−1，如图，作出函数y=()f x在区间(−1，1]上的图象及函数()g x=2x+m的图象．当函数()g x 的图象过点A (1，12)时，有21+m =12，解得m =−12， 当函数()g x 的图象过点B (−1，0)时，有2(1)-+m =0，解得m =−1， 当函数()g x 的图象过点C (0，1)时，有20+m =1，解得m =1．故当方程()f x =2x +m 在(−1，1]上只有一个解，即函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点时，由图象知，m ∈(−1，−12)∪{1}． 13．−1【解析】依题意知1r T +=(−1)r ×8C r ×(m 3x )8r -×(2x)r =(−1)r ×22r×8C r×m 8r -×x 244r -，令24−4r =4，得r =5，因为二项式(m 3x −2x)8的展开式中4x 的系数为2， 所以(−1)5×522×58C ×m 32，m =−1．14．15【解析】设AC 与BD 相交于点O ，设B ，D 到AC 的距离分别为B d ，D d ，则S 四边形ABCD =12×|AC u u u r |×B d +12×|AC u u ur |×D d=12×|AC u u u r |×(B d +D d )≤12×|AC u u ur |×|BD u u u r | =122109m ⨯+，当四边形ABCD 的面积最大时， AC u u u r ·BD u u u r =1×m +3×(−3)=0，得m =9，S 四边形ABCD =15． 15．−1【解析】因为u =2x +y +2，设z =2x +y ，则u =z +2，因为u =2x +y +2的最小值为−4，所以z =2x +y的最小值为−6，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，目标函数z=2x +y 过点A (2k ，2k )时，取得最小值z min =4k +2k =−6，解得k =−1．16．52【解析】由题意，在P (0x ，0y )处的切线方程为0022yy xx a b+=1，∵直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，∴A (20b x ，0)、B (0， 2a y )，∴AOB S ∆=12·2200ab x y ．∵202y a +202x b =1 002x y ab ，∴001x y 2ab，∴AOB S ∆ ab ，当且仅当0022y x a b ==时，∆AOB 的面积最小．设|1PF |=x ，|2PF |=y ，由余弦定理可得42c =2x +2y −xy ，∴xy =432b ， ∴12PF F S ∆=12xy sin 60°=332b ，∴12×2c ×0x =332b ，∴0x =23232b c =b ， ∴c 6，∴a 15b ．∵在12PF F ∆中，∠12F PF 3， ∴12×x ×3a×12+12×y ×3×1232b ， ∴123a (x +y )=32b ， ∴1232a m ⨯×2a =332b ，∴m =52． 17．【解析】(1)在△ABC 中，由2AB +2AC +AB ×AC =2BC 可得2222AB AC BC AB AC +-⨯⨯=−12=cos ∠BAC ，故∠BAC =120°．（1分）因为ABC S ∆=12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AC ×sin 120°3所以12×AB ×AC ×323AB ×AC =4．（3分）所以AB AC ⋅u u u r u u u r =|AB u u u r |×|AC u u u r |×cos 120°=|AB u u u r |×|AC u u u r |×(−12)=4×(−12)=−2．（4分）(2)解法一 由AB =4，AB ×AC =4得AC =1． 在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21， 得BC（6分） 由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC=∠∠， 得sin ∠ABC=1sin 14AC BACBC⨯∠==∵0°<∠ABC <60°，故cos ∠ABC=14．（8分） 在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=， 得AD=2．（12分） 解法二 由AB =4，AB ×AC =4得AC =1． 在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21， 得BC（8分）cos ∠ABC=222214AB BC AC AB BC +-==⨯⨯， 在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=， 得AD=2．（12分）【备注】三角解答题主要有以下几种题型：一是考查三角形中的三角函数问题，正、余弦定理，三角形的面积公式和三角恒等变换是解决问题的主要工具；二是解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具；三是三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具．18．【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P =(23)4+14C (23)4×13=112243．（2分） (2)由题意知，X 的所有可能取值为4，5，6，7，且P (X =4)= (23)4+(13)4=1781， P (X =5)= 14C (23)4×13+14C ×23×(13)4=72243=827， P (X =6)=25C ( 23)4×(13)2+25C (23)2×(13)4=200729， P (X =7)=36C (23)4×(13)3+36C (23)3×(13)4=160729．（8分） 所以X 的分布列为E (X )=4×1781+5×827+6×729+7×729=729．（12分）19．【解析】(1)在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∴1AA ⊥AB ，（1分）又1AA ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴1A A ⊥平面ABC ，∴1A A ⊥AC ．（2分） 又1A A =AC ，∴1A C ⊥1AC ． 又1BC ⊥1A C ，1BC ∩1AC =1C ， ∴1A C ⊥平面1ABC ，又1A C 平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．（4分）图1(2)解法一 当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图1，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥1AC ， 又EF ∩DF =F ，AB ∩1AC =A ， ∴平面EFD ∥平面1ABC ， 则有DE ∥平面1ABC ．（6分）以 A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AA =AC =2AB =4，∴A (0，0，0)，B (2，0，0)，1C (0，4，4)，C (0，4，0)，E (2，0，2)，1A (0，0，4)，由(1)知，1AC u u u r=(0，4，−4)是平面1ABC 的一个法向量．（7分） 设n =(x ，y ，z)为平面1AC E 的法向量，∵1AC u u u u r=(0，4，4)，AE u u u r =(2，0，2)，∴100AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n ，即440220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 令z=1，则x =−1，y =−1，∴n =(−1，−1，1)为平面1AC E 的一个法向量．（10分）设1AC u u u r 与n 的夹角为θ，则cos θ342⨯=−63由图知二面角E −1AC −B 为锐角，∴二面角E −1AC −B 的余弦值为63（12分）图2解法二 当E 为1BB 的中点时，连接DE ，如图2，设1A C 交1AC 于点G ，连接BG ，DG ，∵BE ∥DG ，∴四边形DEBG 为平行四边形，则DE ∥BG ，又DE ⊄平面1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，则DE ∥平面1ABC ． 求二面角E −1AC −B 的余弦值同解法一．【备注】(1)证明面面垂直的常用方法：①利用面面垂直的定义；②利用面面垂直的判定定理，转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．两个平面垂直的证明，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直的过程来实现的．(2)二面角的计算一般转化为空间向量夹角的计算，需要注意判断空间二面角与向量夹角的关系是相等还是互补． 20．【解析】(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )2222(1)(2)(2)(4)x y x y -++-++22， 整理得22x y +=10，即曲线C 的方程为22x y +=10．（3分） (2)由题意知，直线PE 和直线PF 的斜率存在，且互为相反数， 因为P (1，−3)，故可设直线PE 的方程为y+3=k (x −1)．由223(1)10y k x x y +=-⎧⎨+=⎩，消去y 得(1+2k )2x −2k (k +3)x +2k +6k −1=0，（6分） 因为点P (1，−3)在圆上，所以点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得E x =22611k k k +-+，同理，F x =22611k k k--+， 所以EF k =(1)3(1)32()E F E F E F E F E F E F y y k x k x k k x x x x x x x x ---+-+-++==---=−13，故直线EF 的斜率为定值−13．（10分）设直线EF 的方程为y=−13x +b ，则圆C 的圆心到直线EF 的距离d，所以|EF(−103<b <103)， 所以当b =0时，|EF |max（12分）【备注】(1)求圆的方程的代数法：从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点即可求出圆的方程．因此待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上”等．21．【解析】(1) 因为()f x =ln()x x λ+，()f x '=2ln()xx x xλλ-++， 因为直线(1−2ln2)x −2y =0的斜率为12−ln2，且曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线(1−2ln 2)x −2y =0平行， 所以(1)f '=11λ+−ln(1+λ)=12−ln 2， 解得λ=1，（3分）所以()f x =ln(1)x x+，(1)f =ln 2， 所以所求的切线方程为y −ln2=(12−ln 2)(x −1)，即y =(12−ln 2)x −12+2ln 2．（5分）(2)由(1)知，()f x =ln(1)x x+，当x >0时，欲证(x e −1)ln(x +1)>2x ，只需证ln(1)x x +>1x xe -，因为1x x e -=ln 1x x e e -=ln(11)1x x e e -+-，故只需证ln(1)x x+>ln(11)1x x e e -+-，即证()f x >f (x e −1)，（7分）因为()f x '=2ln(1)1xx x x-++，令()g x =1xx +−ln(x +1)．则当x >0时，()g x '=21(1)x +−11x +=−2(1)x x +<0， 故()g x 是(0，+∞)上的减函数，所以当x >0时，()g x <g (0)=−ln 1=0， 所以()f x '<0，故函数()f x =ln(1)x x+在(0，+∞)上单调递减．（9分） 故要证原不等式成立，只需证明：当x >0时，x <x e −1． 令()h x =x e −x −1，则当x >0时，()h x '=x e −1>0，（10分） 所以()h x 是(0，+∞)上的增函数， 所以当x >0时，()h x >h (0)=0， 即x >0时，x <x e −1．综上所述，当x >0时，(x e −1)ln(x +1)>2x ．（12分）【备注】求解此类题需掌握以下三点：一是明晰导数的几何意义，并利用直线方程的点斜式求出切线方程；二是转化，即把证明不等式问题转化为求函数的单调性及最值问题；三是会构造函数，对所构造的函数求导，利用导数法判断其单调性，从而证得结果． 22．【答案】(1)由2ρ=2312sin θ+得2ρ+22ρsin 2θ=3， ∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴23x +2y =1，即曲线C 的直角坐标方程为23x +2y =1．又由题意可知点M 的横坐标为0，代入x =+t cos α，得t cos α，∴M t ．（5分）(2)由(1)知，直线l 恒过1F (−，0)，将cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入23x +2y =1，化简可得(1+2sin 2α)2t −cos αt −1=0， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，∴|1t +2t |=|M t |，即212sin cos ααα=+， 得sin α=±12，又0 α<2π，∴α=6π．（10分）【备注】(1)参数方程化为普通方程的关键是消去参数，消去参数的常用方法有：①先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，即代入法；②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin 2α+cos 2α=1，即三角公式法；③整体观察，对两式进行四则运算，或先分离参数再运算．(2)参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义，如本题的第(2)问． 23．【解析】(1)由()f x ≤2得|x −a |≤2，解得a −2≤x ≤a +2．又不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}，所以2125a a -=⎧⎨+=⎩，解得a =3．（4分）(2)由(1)知()f x =|x −3|． 设函数()g x =(2)f x +(2)f x +，则()g x =|2x −3|+|x −1|=334,232,1234,1x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪-<<⎨⎪-+⎪⎪⎩≥≤，所以函数()g x 的最小值为3()2g =12．由不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，得m ≤12． 故实数m 的取值范围为(−∞，12]． （10分）。

2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则( )A. B.C. D.3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )A. B.C. D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )A. B.C. 或D. 或9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和,且有,,则第2019项的个位数为( )A. 1B. 2C. 8D. 910. 已知函数 的图象在处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )A.B.C.D.11. 已知函数在上至少存在两个不同的 满足 ,且函数 在上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为B. 函数 图象关于直线对称 C. 函数 图象关于点对称 D. 函数 在上是单调递减函数12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个内角,则（ ）A.B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则__________.14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)由散点图看出,可用线性回归模百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 选修4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求的最大值.22B. 已知函数. (1)求不等式 的解集; (2)设函数,若存在 使 成立,求实数 的取值范围.2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析第1题： 【答案】B【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.第3题： 【答案】A【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.第4题： 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题： 【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第6题： 【答案】C【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.第7题： 【答案】D【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项为,故展开式的常数项为.第8题：【答案】D【解析】当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以，所以.第9题：【答案】C【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,得,所以，故其个位数为8.第10题： 【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第11题： 【答案】D【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不同的满足,所以,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又,所以,所以.由于函数的周期为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.第12题：【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以,故函数在单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,所以,即,所以,即,所以.第13题：【答案】【解析】满足约束条件的可行域如下图:由,得,由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.第14题：【答案】 【解析】,所以,又向量在方向上投影为,当且仅当“”时取等号.第15题：【答案】【解析】取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.第16题：【答案】 【解析】设,,,把代入抛物线方程得,由可得， 所以,,因为,即, 即,所以,即,由于,所以,故.第17题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量. 则,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.第19题：【答案】见解析【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为所以.第20题：【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.第21题：【答案】见解析【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以, 所以,即的最大值为.第22B 题：【答案】见解析上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。