精选梁横截面上的切应力资料

等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max

力学
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简 支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力 工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁 横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀 分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中 间腹板组成 （图a）。腹板是狭 长矩形，所以腹板上的切应力可 按矩形截面的切应力计算公式进 行计算，最大切应力仍然发生在 中性轴上各点处，并沿中性轴均 匀分布。在腹板与翼缘交接处， 由于翼缘面积对中性轴的静矩仍 然有一定值，所以切应力较大。 腹板上的切应力接近于均匀分布， 如图 b所示。翼缘上的切应力的 数值比腹板上切应力的数值小许 多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力

2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。

第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M x)或剪力(F Qy或F Qz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。

这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。

分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。

对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。

对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。

本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。

§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。

当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩M e （单位为Nm ）与轴传递的功率P （单位为kW ）和轴的转速n （单位为r/min ）有如下关系：{}{}{}min/.9549r kW m N e n P M = （4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b 所示。

圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c 所示。

这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB 和CD 边对应着横截面；AC 和BD 边则对应着纵截面)，分别用τ和τ'表示。

应用平衡关系不难证明：ττ'-= （4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。

1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程如图4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度γ，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。