横截面上的应力

⼀、横截⾯上的切应⼒⼀、横截⾯上的切应⼒实⼼圆截⾯杆和⾮薄壁的空⼼圆截⾯杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截⾯上的切应⼒象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截⾯上切应⼒计算公式，关键就在于确定切应⼒在横截⾯上的变化规律。

即横截⾯上距圆⼼τp任意⼀点处的切应⼒p与p的关系为了解决这个问题，⾸先观察圆截⾯杆受扭时表⾯的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表⾯上的切应变γp，即γp与p的⼏何关系利⽤切应⼒与切应变之间的物理关系，再利⽤静⼒学关系求出横截⾯上任⼀点处切应⼒τp 的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表⾯上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其⼤⼩和形状均不变，⽽且在⼩变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平⾯假设：等直圆杆受扭时它的横截⾯如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截⾯上任⼀根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆⼼旋转了⼀个⾓度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的⼀个微段，从⼏何、物理、静⼒学三个⽅⾯来具体分析圆杆受扭时的横截⾯上的应⼒图8-581.⼏何⽅⾯⼩变形条件下dφ为dx长度内半径的转⾓，γ为单元体的⾓应变图8-59或因为dφ和dx是⼀定的，故越靠近截⾯中⼼即半径R越⼩，⾓应变γ也越⼩且γ与R成正⽐例(或线性关系)由平⾯假设：对同⼀截⾯上各点θ表⽰扭转⾓沿轴长的变化率，称为单位扭转⾓，在同⼀截⾯上其为常数所以截⾯上任⼀点的切应⼒与该点到轴⼼的距离p成正⽐p为圆截⾯上任⼀点到轴⼼距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应⼒的变化规律2.物理⽅⾯(材料在线性弹性范围内⼯作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内⼯作时，横截⾯上的切应⼒在同⼀半径p 的圆周上各点处⼤⼩相同，但它们随p做线性变化同⼀横截⾯上的最⼤切应⼒在横截⾯的边缘处。

这些切应⼒的⽅向均垂直于各⾃所对应的半径，指向与扭矩对应3.静⼒学⽅⾯前⾯已找出了受扭等直圆杆横截⾯上的切应⼒τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

1．轴横截面上的最大切应力
轴横截面上的最大切应力是指轴承受的最大切削力在横截面上的最大剪应力。

在机械
设计和工程中，轴横截面上的最大切应力是一项重要的指标，它反映出轴在承载和传递力
矩时的强度和耐久性能，对于轴的设计和选择具有重要意义。

在理论力学中，我们可以通过静力学方法来计算轴横截面上的最大切应力。

在轴承载
工作时，由于外界力的作用，轴受到一定的弯曲和扭转，使得轴截面上的材料遭受拉和压，同时也发生剪切应力，其中剪应力最大值就是轴截面上的最大切应力。

我们可以通过以下公式计算轴横截面上的最大切应力：
τ_max = T_max / J
其中，τ_max为最大切应力，T_max为轴的最大扭矩，J为轴横截面的极振截面系
数。

极振截面系数J是一个与轴形状和尺寸有关的物理量，它描述了轴旋转时各截面的抗
剪切能力，也是计算最大切应力的重要参数。

常用的轴形状包括圆形、方形、三角形等，
通过不同的形状和尺寸来实现对J值的优化。

在轴的设计中，我们通常会考虑加强轴的强度和刚度，以保证承载力和传递能力，在
此基础上尽量减小轴的重量和体积，以提高轴的技术经济性和实用性。

为此，我们需要综
合考虑轴的材料、形状、尺寸、工艺等诸多因素，以满足轴的功能和性能要求。

在实际工程中，轴横截面上的最大切应力是影响轴使用寿命和安全性的重要因素，只
有通过科学的设计和制造，才能保证轴的可靠性和稳定性，为机械工程发挥更大的作用。

梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
1、梁横截面上的切应力
（1）、矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式
b
I S F τz z *S = （10−11） 式（10−8）即为。

式中：F S 为横截面上的剪力；S z *为面积A 1对中性轴的静矩；I z 横截面对中性轴的惯性矩；b 为截面的宽度。

矩形截面梁横截面上的最大切应力 A
F bh F I h F τz 23238S S 2S max === (10-12) （2）工字形截面梁横截面上的最大切应力为
d I S F τz z *max
,S max = （10−13）
其中d 为腹板的宽度，S z *,max 为半截面对中性轴的静矩。

(3)薄壁环形截面梁衡截面上的最大切应力
A
F τ23S max = （10-14） （1） 圆截面梁横截面上的最大切应力
A
F τ34S max =
（10-15） 1、 梁的切应力强度条件 []τb I S F τz z ≤=*max
,max S,max （10−16）
其中，F S,max 为全梁的最大剪力；S z *,max 为横截面上中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。

简述弯曲正应力在梁横截面上的分布特点。

弯曲正应力是指在梁横截面上由弯曲引起的正向应力。

梁在受到弯矩作用时，其横截面上存在一系列的正应力分布情况，这些分布特点对于梁的强度分析和设计具有重要的影响。

下面将对弯曲正应力在梁横截面上的分布特点进行简要的描述。

1.应力发展的趋势在梁的上表面，由于受到的弯矩作用引起的拉应力会增大，因此正应力呈线性增长，达到最大值。

随着距离上表面的距离增加，拉应力逐渐减小，最终趋于零。

而在梁的下表面，由于受到的弯矩作用引起的压应力会增大，因此正应力同样呈线性增长，达到最大值。

随着距离下表面的距离增加，压应力逐渐减小，最终趋于零。

2.应力分布的对称性在梁截面上，由于受到的弯矩作用对称，导致弯曲正应力具有对称分布的特点。

即梁的上表面和下表面上的应力分布形式是相似的，只是正负符号相反。

在截面的中性轴附近，即弯矩为零的地方，应力也为零，这是由于弯曲作用不产生正应力。

3.顶部和底部表面的应力最大值位置在梁的顶部和底部表面，由于受到的弯矩作用的影响最强烈，因此正应力的最大值会出现在梁的表面位置。

具体来说，在位于距离梁中性轴较远的地方，正应力的最大值会更大，而在位于距离梁中性轴较近的地方，正应力的最大值会较小。

4.中性轴附近的应力分布特点中性轴是指在梁的截面上弯曲引起的应力为零的轴线。

在中性轴附近，梁的弯曲正应力分布比较均匀，呈线性分布。

这是由于在中性轴附近，受弯曲作用的力矩的效果较小，因此应力值较小。

5.应力分布的变化与截面形状的关系梁的截面形状会对弯曲正应力的分布产生影响。

在相同弯矩作用下，不同形状的截面上的应力分布会有所不同。

一般来说，当截面的高度增加时，顶部和底部表面上的应力会增大，而中间位置的应力会减小。

当截面的宽度增加时，顶部和底部表面上的应力会减小，而中间位置的应力会增大。

总结起来，弯曲正应力在梁横截面上的分布特点主要表现为：应力呈线性增长，最大值出现在顶部和底部表面，对称分布，中性轴附近应力分布均匀，与截面形状有关。

梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。

在弯曲应力满足的 前提下，剪应力一般都满足要求一、矩形截面梁的剪应力利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:公式中：Q ――为横截面上的剪力;S ；――为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性轴的静矩；I Z ――为横截面对中性轴的惯性矩;b ――矩形截面宽度。

计算时Q S ；均为绝对值代入公式。

当横截面给定时，Q l z 、b 均为确定值，只有静矩S ；随剪应力计算点在横截面上的位置而变化* *h1 h h h2 2bh 2 4y 2S ； A yb(- y) [y (- y)]-(-y )(1 2 )2 2 22 48h 把上式及I ;bh 3 代入虫 中得到：3Q(1 4^)12I Z b2bhh 2可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。

在截面上、下边缘 处（y=± 0.5h ），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。

二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K处剪应力为:公式中：b i――腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母S z ――为横截面上阴影部分面积A对中性轴的静矩;公式中：S zmax ――为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。

Cb）图皐工字卑梁横苗面的应力计算图三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为:*QmaxSzmax Zmaxmax I z b b（l z/S；）[]d标注的）；工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为:max* QS z max .；I Z b1。