横截面上的应力分布

一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。

即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。

这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

矩形横截面上应力的分布
矩形横截面上应力的分布指的是在一个矩形横截面内，不同位置
处产生的应力大小和分布情况。

一般来说，在矩形横截面上，在中心
处应力最大，而在边缘处则应力最小。

此外，如果矩形截面在受到外
力时产生了弯曲变形，则上、下两侧产生的应力大小相反，正负相间。

在一些工程设计中，对矩形横截面上应力的分布进行精确计算是非常
重要的，因为这可以帮助工程师确定材料的抗弯和抗扭强度，从而有
效地避免材料的破坏和损坏。

第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。

如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。

这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。

本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。

一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。

当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。

p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。

称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。

由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。

若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。

把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。

变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。

变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。

相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。

当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。

1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。

但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。

这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。

要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。

当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。

其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。

将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。

因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。

应力的单位为“帕”，用Pa 表示。

1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。

6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。

复合材料杆横截面上的应力分布考虑如图１所示的杆，两种材料的杆作为一体受拉，拉力F 作用在组合截面的形心。

设两杆的横截面均为矩形，宽为b ，其它尺寸如图所示。

试分析横截面上正应力分布。

图 １ 分析：由于该杆是由不同材料组成的，因此很可能是拉伸和弯曲的组合变形。

因此我们可以把该问题分解为拉伸和弯曲两种情况单独考虑，再叠加起来。

（１） 求出力F 在横截面上的作用点A ，此时两杆只有拉伸变形建立坐标，如图1。

设力F 的作用点A 的坐标为y 。

由假设此时该杆的两部分都只发生拉伸变形。

这种情况下，可以理解为该杆两部分分别受到作用于各自横截面形心处的拉力1F 和2F ，如图1所示。

此时，两个拉力1F 和2F 与力F 是等效的，有12F F F += (1)121122F l F l E h b E h b= (2) 联立(1)、(2)两式求解得：11221211221122, E h F E h F F F E h E h E h E h ==++ (3)由假设此时只有拉伸变形，则力1F 和2F 对A 点的和力矩应该为0，即12122()()22h h F h y F y +-=- (4) 将(3)式代入(4)式，解得：221121122112211222()E h h E h E h y E h E h E h E h +=+++ (5) （２） 将作用在组合截面形心的力F 向A 点平移，求出附加力偶。

由理论力学知识，可知将力F 向A 点平移，还必须附加一个力偶M 才能等效。

如图2所示，我们有1212121122()()22()h h E E h h M F y E h E h +-=-=+ (6)图 2(3) 计算横截面的正应力分布将力F 向A 点平移后，可以看作力F 和力偶M 的叠加。

当只考虑作用在A 点的力F 时，将只发生拉伸变形，两部分的正应力分别为1122121112221122, ()()t t F E F F E F bh E h E h b bh E h E h bσσ====++ (7)图 3 当只考虑力偶M 的作用时(谢老师已讲) ,设中性轴距z 轴的距离为h ,如图3所示,则有212222210111122211221122d d 22()h h h h E yb y E yb yE h E h h E h h E h b E h b E h E h ++++==++⎰⎰ (8) 设两部分对组合截面中性轴的惯性矩分别为1I 和2I ,则1223321221()()d 3h h hh h h h h h h I y b y b +--+---==⎰ (9)233222()d 3h hh h h h I y b y b ---+==⎰ (10) 所以,两部分的正应力分别为12b 21122112()(), b M y h M y h E E I I I I E E σσ--==++ (11)将拉伸和弯曲引起的正应力叠加就可以得到总的正应力分布: 111222, b t b t σσσσσσ=+=+ (12)。