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横截面上的应力分布

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杆件横截面上的应力

杆件横截面上的应力
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x

梁横截面上的切应力

梁横截面上的切应力
力学
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简 支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力 工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁 横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀 分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中 间腹板组成 （图a）。腹板是狭 长矩形，所以腹板上的切应力可 按矩形截面的切应力计算公式进 行计算，最大切应力仍然发生在 中性轴上各点处，并沿中性轴均 匀分布。在腹板与翼缘交接处， 由于翼缘面积对中性轴的静矩仍 然有一定值，所以切应力较大。 腹板上的切应力接近于均匀分布， 如图 b所示。翼缘上的切应力的 数值比腹板上切应力的数值小许 多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力

梁横截面上的应力

梁横截面上的应力

2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。

杆件横截面上的应力

杆件横截面上的应力

F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：

一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。

即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。

这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

矩形横截面上应力的分布

矩形横截面上应力的分布

矩形横截面上应力的分布
矩形横截面上应力的分布指的是在一个矩形横截面内，不同位置
处产生的应力大小和分布情况。

一般来说，在矩形横截面上，在中心
处应力最大，而在边缘处则应力最小。

此外，如果矩形截面在受到外
力时产生了弯曲变形，则上、下两侧产生的应力大小相反，正负相间。

在一些工程设计中，对矩形横截面上应力的分布进行精确计算是非常
重要的，因为这可以帮助工程师确定材料的抗弯和抗扭强度，从而有
效地避免材料的破坏和损坏。

横截面上的应力分布


XA A YA
FNCD F C

B
d
4 FNCD [ ]
4 45103 3.14160106
18.93103 m 18.93mm
取 d=19mm
35
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆，已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。试确定吊车的最大许可起重量。 解：(1) 计算杆AB、BC的轴力
4
F3 3
2
F2 FN1 F2
1 1
F1
E
解：
求约束反力 RA=40kN
RA
A
4 B
D 3 C 2
FN2
10kN
F1 F1
DE 段： CD段：
FN1 20kN
40kN
FN2 30 20 10kN
FN
+
BC段：
AB段：
FN3 FN 2 10kN
FN4 RA 40kN
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
3、强化阶段ce：
强度极限
b
冷作硬化现象：金属在冷态塑性变形中，使金属的强化
指标，如屈服点、硬度等提高，塑性指标如伸长率降低的现象
e
胡克定律
4、局部颈缩阶段ef
E
E ─ 弹性模量 比例极限
E tg
24
p
0
两个塑性指标: 伸长率:
l1 l0 100% l0 5% 为塑性材料, 5% 为脆性材料 A0 A1 100% A0
FN1 28.3 10 1 π A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa

《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力

桥梁结构应力分析
在桥梁设计中，需要分析不同工况下的应力分布，以确保桥梁的安 全性和稳定性。
机械零件的疲劳强度
在机械运转过程中，某些关键零件会受到周期性载荷，导致疲劳断 裂。对零件进行疲劳强度分析，可以预测其使用寿命。
建筑结构的稳定性
建筑结构在风、地震等外力作用下会发生变形，分析结构的应力分布 有助于评估其稳定性。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将杆件横截面离散成有限个小的单元，并对每 个单元进行应力分析来计算横截面上的应力。
有限元法适用于各种形状和材料的杆件，且可以模拟复杂的边界条件和载荷情况。
有限元法的优点是适用范围广、精度高、可以处理复杂的非线性问题，但计算量大、 需要较高的计算机技术和软件支持。
04
应力的计算方法
截面法
截面法是工程中常用的应力计算方法之一，通过在杆 件横截面上选择一个或多个代表性点，并分析这些点
的应力状态来计算横截面上的应力。
截面法适用于各种形状和材料的杆件，只需要知道杆 件横截面的几何尺寸和材料属性即可。
截面法可以通过实验测量和数值计算两种方式进行， 实验测量需要制作专门的试件进行测试，数值计算则
可以通过计算机软件实现。
解析法
01
解析法是通过数学公式和定理来计算应力的方法，适用于简单 形状和材料的杆件。
02
解析法需要建立杆件横截面的力学模型，并利用弹性力学、材
料力学等理论公式进行计算。
解析法的优点是计算精度高，适用于理论分析和设计计算，但
03
适用范围较窄，对于复杂形状和材料的杆件难以应用。
05
应力的影响与控制
应力的影响
变形与开裂
应力会导致材料发生变形，当 应力超过材料的屈服极限时，

3.2轴向拉压杆横截面上的正应力

轴向拉压杆的平面假设：
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
二、横截面上的正应力
试求各横截面面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 , A2 300mm , A3 200mm
求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:

第三章 杆件横截面上的应力


ydA
A
E
y2dA EIZ
A
结论 1.中性轴过截面形心
2. 1 M Z
EIZ
3. M z y
Iz
目录
M m
M n
中性轴
z
y
Mzy Iz
MZ:横截面上的弯矩
y:点到中性轴的距离
o
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dA
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
mn dx
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
丝中产生的最大应力。设 E 200GPa 。
解 取钢丝作为研究对象，
d 1.0005m 1m
D
max
E
ymax
200 109
0.0005 1
Pa
100MPa
目录
三、截面的几何性质
1.静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
Ip
2 dA
A
A（x2 y 2 )dA I y I x
4.惯性积
I xy
xy d A
A
惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零
如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的 任一对正交轴的惯性积必为零。
目录
例3-6 试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。
第三章 杆件横截面上的应力
第三章 杆件横截面上的应力
❖ 第一节 应力、应变极其相互关系 ❖ 第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上
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F1 F1 F1 FN
1 F2
F3 3
F4
解：1.计算各段的轴力
FN1 FN2 F2 FN3 25kN
+ +
AB段
BC段
FN1 F1 0 FN1 F1 10kN FN2 F2 F1 0
FN2 F1 F2 10kN
F4
CD段
10kN 10kN
–
FN3 F4 25kN
21
22
二 、 低 碳 钢 拉 伸 时 的 力 学 性 能
拉伸图
应力应变曲线图
23

d
e
b
e P
b
f
2、屈服阶段bc ① 应力不增加，应变不断增加。 屈服极限
a c
d'
s
s
② 出现450条纹：滑移线
o

g
③ 主要为塑性变形。
4
5
二、轴向拉伸与压缩杆的受力及变形特点：
受力特点: 外力的合力作用线与杆的轴线重合。 变形特点: 杆件沿轴向伸长或缩短（伴随横向缩扩）。 轴向拉伸(axial tension) ：轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩(axial compress)：轴向缩短，横向变粗。
拉伸
压缩
F
F F
F
6
§2 轴向拉伸或压缩时的应力
x
2.绘制轴力图。
9
FN3 F4 0
A
B
C
D
F1 FN
+
F2
F3 25kN
+
F4
10kN 10kN
–
轴力图要求： 1.位置（对应关系） 2.分段明确 3.正负号标注清楚 4.数值大小和单位 5.封闭的实线图
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷值 意义: 1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，可确定危险截面位置， 为强度计算提供依据。
10
[例2-1-2] 杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。 已知F1 =20kN，F2 =30kN， F3 =30kN。
4
F3 3
2
F2 FN1 F2
1 1
F1
E
解：
求约束反力 RA=40kN
RA
A
4 B
D 3 C 2
FN2
10kN
F1 F1
DE 段： CD段：
FN1 20kN
40kN
FN2 30 20 10kN
3.横截面上的应力分布：
如设想杆由无数根纵向纤维组成，则由上平面假设可知，每根纤维所受力相等，即 横截面上的应力是均匀分布的。
F 4.横截面上应力公式
FN
FN σdA
x
F N σdA
A
F Nσ dA
A
FN A
15
FN A
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
单位: FN 牛顿(N) A 平方米(m2) 帕斯卡(pa)
FN
+
BC段：
AB段：
FN3 FN 2 10kN
FN4 RA 40kN
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
11
– 20kN
[例2-1-3] 直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。
2F
A FN B 3FFra bibliotek5F C
2F D E
F
+
F +
– 2F
12
二、横截面上的应力
F
F
问：
如图两杆件，除横截面尺寸不同外，其它均相 同，问随着 F 的逐渐增大，哪一杆先破坏？
一、 横截面上的内力
如图两杆件，除受力不同外，其它均相 同，问随着 F 的逐渐增大，哪一杆先破坏？
F
问：
2F
可见，构件的强度与内力是密切相关的。
F
下面用截面法求轴向拉压杆的内力
2F
7
1.用截面法求杆的内力 取左侧为研究对象
m F m m
F
F
x
0
FN F 0

FN F
F
}
FN
x
同样可取右侧为研究对象
轴向拉伸与压缩
1
轴向拉伸与压缩
§1 轴向拉伸与压缩的概念 §2 轴向拉伸或压缩时的应力 §3 材料在拉伸时的力学性质 §4 材料在压缩时的力学性质 §5 轴向拉伸或压缩的强度计算
§6 轴向拉伸或压缩时变形 §7 直杆在轴向拉伸或压缩的应变能
§8 应力集中的概念
2
§1
一、实例
轴向拉伸与压缩的概念
3
可见，构件的强度不仅与内力有关，而且与横截面面积有关， 即与横截面上的应力有关。
F
F
下面求轴向拉压杆横截面上的应力
13
1.实验观察变形：
变形前
a c
变形后
b d b´ d´ F
F
a´ c´
2.平面假设(plane assumption)：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，
且垂直于轴线。
14
A 1 45° C 2 B F
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平 杆为2杆） 取节点B为研究对象：
FN1
Fx 0 :
FN1cos45 FN2 0
y
45° B F
FN2
x
Fy 0 :
解得
FN1sin45 F 0
FN1 28.3kN
FN2 20kN
FN
m m
{
F
m
可见，拉、压杆的内力为沿杆件轴线的力，故称为轴力(axial force)，记为FN 。
联系变形规定内力符号：拉为正，压为负。 2.轴力图：表示杆件轴力与杆件截面位置关系的图线。
8
[例2-1-1]
A
1
B
2 2
C
3
D
已知F1=10kN，F2=20kN， F3=35kN， F4=25kN。试画 出图示杆件的轴力图。

正应力符号规定: 当FN为拉力时， 为拉应力，规定为正， 当FN为压力时， 为压应力，规定为负。

16
4.公式的应用条件
圣文南原理： 离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响 。
17
[例题2-2-1]
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为 直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。
19
§3 材料在拉伸时的力学性质 问：
如图两杆件，除材料不同外，其它均相同，问 随着 F 的逐渐增大，哪一杆先破坏？ 木
F
F
钢
可见，构件的强度不仅与横截面上的应力有关，而且与构 件的材料力学性质有关。
F
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的特性。
F
20
下面材料在轴向拉、压时力学性质的测试方法 一、拉伸试验试件和条件 标准试件： 横截面直径d 标距l 试验条件：常温、静载
18
A 1 45° C 2 B F
FN1 28.3kN
2、计算各杆件的应力。
FN2 20kN
3
FN1 28.3 10 1 π A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
FN1
y
45° B F
FN2
x
FN2 20 103 2 2 A2 15 10 6 89 106 Pa 89MPa