中考数学知识点复习：全等三角形判定定理

1“边边角”能够判定两个三角形全等吗？ 通过实际作图，我们知道判定两个三角形全等主要有“SSS'”“SAS”“AAS”“ASA”“HL”几种方法，但是，对于两边及其中一边的对角分别对应相等（不妨简称为“边边角”）的两个三角形，它们是否会全等呢？下面我们来探究这个问题． 一、“边边角”中的“角”是直角 如图1所示，在△ABC和△A'B'C'中， ∠B＝∠B'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'． 根据“HL”可以判定这两个直角三角形全等，即 △ABC≌△A'B'C'． 二、“边边角”中的“角”是钝角 如图2所示，在△ABC和△A'B'C'中， ∠B＝∠B'>90°， AB＝A'B'，AC＝A'C'． 过点A作AH⊥BC于点H，过点A'作A'H'⊥B'C'于点H'． 在△ABH和△A'B'H'中， ∠ABH＝∠A'B'H'， ∠H＝∠H'＝90°，AB＝A'B'， ∴△ABH≌△A'B'H'，∴AH＝A'H'． ∴△AHC≌△A'H'C'，∴∠C＝∠C'， ∴△ABC≌△A'B'C'． 三、“边边角”中的“角”是锐角 在△ABC和△A'B'C'中， ∠B＝∠B'<90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'． 1．如图3所示，过点A作AH⊥BC于点H， 过点A'作A'H'⊥B'C'于H'．

2 如果AC＝AH，A'C'＝A'H'，很显然H与C重合，H'与C'重合， ∴△ABC≌△A'B'C'． 2．如图4所示，已知△ABC，过点A作AH⊥BC于点H． 如果AH

3 4．如图6所示，已知△ABC，如果AC>AB，过点A作AH⊥BC于点H，作∠B'＝∠B． 在∠B'的一边上取A'B'＝AB，以A'为圆心，以AC的长为半径画弧与∠B'的另一边相交．显然它们只有一个交点C'，由此我们很容易知道△ABH≌△A'B'H'． ∴AH＝A'H'． ∴△AHC≌△A'H'C'， ∴∠C＝∠C'． ∴△ABC≌△A'B'C'． 通过以上的分析我们知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，即“边边角”型的两个三角形是否全等问题，我们可以根据“边边角”中的“角”大小分两种情况进行判定： (1)当“边边角”中的“角”为直角或钝角时，两个三角形一定全等； (2)当“边边角”中的“角”为锐角时，我们不妨把这两个三角形两组对应相等的边称为此锐角的对边和邻边，把其余的一条边称为第三边．这两个三角形是否全等须根据它们的第三边的高与它们对应相等的两组边的大小关系来决定，只有当此锐角所对的边小于它的邻边且大于第三边的高，如图4所示，这时的两个三角形才不一定全等，其余情况下它们都一定会全等．

1 专题16 全等三角形判定和性质问题

1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2．全等三角形的表示

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。

4．三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

5．直角三角形全等的判定：

HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

【例题1】（2019•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；

选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．

故选：A．

【例题2】（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、 专题知识回顾

专题典型题考法及解析

2 C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 _________（只填一个即可）．

【答案】AB＝DE．

2018初三数学中考复习 相似三角形判定定理的证明 专项复习训练题

1. 如图，结合图形及所给条件，无相似三角形的为( )

2．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ADAC＝13，AE＝BE，则有( )

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD

C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD

3．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC＞BC＞BD，请你添加一个条件，使△ABC∽CDB，那你添加的条件是_____________________________________________.

4．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝23AD，连接BE，交AC

于点F，AC＝12，则AF为_______.

5. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )

A．4 B．42

C．6 D．43

6. 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.下列结论不一定成立的是( )

A．△AED≌△BFA B．△BGF∽△DAE

C．AE2＝AF·FG D．DE－BG＝FG

7. 如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有( )

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

8. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于 .

9. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长，交DC于点F，则CFCD＝_____.

10. 如图，点D、E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.

11. 如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB.

第 1 页 中考复习训练 全等三角形的性质与判定

一、选择题

1.如图在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是 ( )

A. ∠B=∠E,BC=EF B. BC=EF，AC=DF C. ∠A=∠D，∠B=∠ED D. ∠A=∠D，BC=EF

2.对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）

A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC

4.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是( )

A. AB＝3，BC＝4，AC＝8 B. AB＝3，BC＝4，∠A＝30°

C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝6 D. ∠C＝90°，AB＝6

5.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（ )