2020年中考数学人教版专题复习：三角形全等的判定

2020年中考数学人教版专题复习：三角形全等的判定

一、学习目标：

1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

2. 能叙述三角形全等的条件，了解三角形的稳定性。

3. 能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形全等的性质解决实际问题，体会数学与实际生活之间的联系。

二、重点、难点：

重点：（1）使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；

（2）三角形全等的性质和判定

难点：（1）掌握用综合法证明的格式；

（2）选用合适的判定定理证明两个三角形全等；

（3）初步理解图形的全等变换，从而学会恰当添加辅助线。

三、考点分析：

三角形是数学中最常见的几何图形之一，三角形全等是证明线段和角相等的重要依据，在数学推理证明中起着重要的作用，因此本章是中考考查的重点内容之一，考查的题型有选择题、填空题、证明题。近几年，在开放性试题中也常会出现。在中考命题时，既会单独命题也会与四边形、相似形、圆等内容综合命题。

随着中考中对与圆有关的证明题要求的降低，对本章内容的考查要求将有所加强，利用图形变换找全等形，利用全等找对应边、对应角，求证线段、角相等是中考中常见的考查方式。

知识梳理

知识点一：全等三角形判定1

例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

思路分析：

1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。

解答过程：

已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。求证：AD∥BC。

证明：∵AE＝CF

∴AE＋EF＝CF＋EF

∴AF＝CE

在△AFD和△CEB中，

∵ADCBAFCEDFBE　

∴△AFD≌△EBC（SSS）

∴∠A＝∠C

∴AD∥BC

解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。

小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。

知识点二：全等三角形判定2

例2：已知：如图，OP是AOC和BOD的平分线，OAOCOBOD，。

求证：（1）△OAB≌△OCD；（2）ABCD。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。

解答过程：证明：（1）∵OP是AOC和BOD的平分线，

∴∠AOP＝∠COP，∠BOP＝∠DOP

∴∠AOP－∠BOP＝∠COP－∠DOP

∴∠AOB＝∠COD

在△OAB和△OCD中，

∵OAOCAOBCODOBOD

∴△OAB≌△OCD（SAS） （2）由（1）知△OAB≌△OCD

∴AB＝CD

解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。

例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。

2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB∥CD这个条件。

解答过程：

连接BD

∵ AB∥CD

∴∠1＝∠2

在△ADB和△CBD中，

∵ABCDABDCDBBDDB　　

∴△ADB≌△CBD（SAS）

∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD

∴AD∥BC

综上：AD∥BC，AD＝BC

解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。

小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：全等三角形判定3

例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：AM是△ABC的中线。

思路分析：

1）题意分析：要证明AM是△ABC的中线，就要证明

BM＝CM，要证明线段相等，就要证明与BM、CM有关的三角形全等，即△BEM≌△CFM，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。

2）解题思路：

结合已知条件和对顶角相等可由ASA来判定 △BEM≌△CFM，从而得出BM＝CM，进而得到AM是△ABC的中线。

解答过程：

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BEM＝∠CFM＝90°

在△BME和△CMF中，

∵BMECMFMEMFBEM=CFM　

∴△BME≌△CMF（ASA）

∴BM＝CM

∴AM是△ABC的中线。

解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：全等三角形判定4

例6：已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。求证：AF＝DC。

思路分析：

1）题意分析：要证明AF＝DC，就要先证明△ABF≌△DEC，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据BC＝EF，BC∥EF，想到连接BE，从而证明△BFE≌△ECB，进一步得到BF＝EC，再利用AAS来判定两个三角形全等。

2）解题思路：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF和△DEC中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF＝EC即可。于是连接BE证△BFE≌△ECB，即可证得BF＝EC。

解答过程：连接BE

∵BC∥EF

∴∠FEB＝∠CBE

在△BFE和△ECB中，

∵EFBCFEBCBEBE=EB　

∴△BFE≌△ECB（SAS）

∴BF＝CE

在△ABF和△DEC中，

∵ADABFDEC　BF=EC

∴△ABF≌△DEC（AAS）

∴AF＝DC

解题后的思考：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。

例7：在△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图a的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图b的位置时，求证：BEADDE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图c的位置时，试问BEADDE、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

图a 图b 图c

思路分析：

1）题意分析：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD、BE与CE、DC之间有何关系。这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。

2）解题思路：（1）MNAD于D，MNBE于E，又90ACB，在RtADC与RtCEB中，直角对应相等，斜边对应相等。又DAC与BCE同为ACD的余角，自然也是相等的，所以可得到ADC≌CEB。进一步可推出BEADDE。（2）第（3）问中，与（1）的证明思路类似，先证明ADC≌CEB，再来证明BEADDE、、三条线段间的数量关系。

解答过程：

（1）①90ACBADC，

90DACCAD。

90DACBCE。

BCECAD。

BCAC，

ADC≌CEB。

图a

②ADC≌CEB，

BECD,ADCE。

BEADCDCEDE。

（2）90ACBCEBADC，

CBEACD。

又∵BCAC，

ACD≌CBE。

BECD,ADCE。

BEADCDCEDE。