2018中考数学知识点：全等三角形的判定

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；

（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移

（2）翻折

（3）旋转

5. 判定两个三角形全等所需条件：

（1）需要三个条件；

（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】

例1. （2005年安徽）

如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

分析：由AB∥DE，可以得到∠A＝∠D；

由AF＝DC，可以得到AC＝DF；

由AB＝DE，由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC，及△BAC≌△EDF

由此又可以得到BF＝EC，BC＝EF，FC又是公共边，可证△BFC≌△EFC

证明：在△BAF与△EDC中，

∵AB∥DE

∴∠A＝∠D

又AB＝DE，AF＝DC

2018初三数学中考复习 相似三角形判定定理的证明 专项复习训练题

1. 如图，结合图形及所给条件，无相似三角形的为( )

2．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ADAC＝13，AE＝BE，则有( )

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD

C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD

3．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC＞BC＞BD，请你添加一个条件，使△ABC∽CDB，那你添加的条件是_____________________________________________.

4．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝23AD，连接BE，交AC

于点F，AC＝12，则AF为_______.

5. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )

A．4 B．42

C．6 D．43

6. 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.下列结论不一定成立的是( )

A．△AED≌△BFA B．△BGF∽△DAE

C．AE2＝AF·FG D．DE－BG＝FG

7. 如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有( )

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

8. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于 .

9. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长，交DC于点F，则CFCD＝_____.

10. 如图，点D、E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.

11. 如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB.

1 中考数学复习----《全等三角形之性质与判定》知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结 1. 全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中重合的点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。用“≌”符号表示。 注意：在书写全等三角形时，对应点写在对应的位置。 2. 全等三角形的性质： 若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。 3. 全等三角形的判定： ①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。 ②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。 ③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。 ④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 练习题 1、（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ） A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE 【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即2 可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠DOE＝∠FOE， 又OE＝OE， 若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意， 而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意， 增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意， 增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意， 故选：D． 2、（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据． 【解答】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故选：B． 3、（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ） 3 A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D 【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AC＝DF， ∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF； 当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF； 当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF． 故选：B． 4、 （2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 .（只写一个） 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC， 故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． 5、（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ． 4 【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答． 【解答】解：∵AB∥ED， ∴∠B＝∠E， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 6、（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC． 【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答． 【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， ∵CA＝CD，CB＝CE， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， 故答案为：CB＝CE（答案不唯一）． 7、（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ） 5 A．24 B．22 C．20 D．18 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【解答】解：∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AB＝6，AC＝8， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故选：B． 8、（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ） 6 A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD 【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE＝DF． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C， ∴∠ADC＝90°， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF， 故选：C． 9、（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度． 【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数． 方法二：根据角平分线的判定定理求解即可． 【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC， 7 ∴∠OMB＝∠ONB＝90°， 在Rt△OMB和Rt△ONB中， ， ∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL）， ∴∠OBM＝∠OBN， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABO＝15°． 方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC， 又∵OM＝ON， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBM＝∠OBN， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABO＝15°． 故答案为：15． 10、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 ． 【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°， ∵BD＝BC＝3，AC＝BC， ∴BD＝AC，AD＝3﹣3． ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC． 8 ∵BD＝BC， ∴∠DCE＝∠CDB， ∴∠CED＝∠CDB， ∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB， ∴∠CDE＝∠B＝45°． ∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°． ∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°， ∴∠ACD＝∠EDB． 在△ADC和△BED中， ， ∴△ADC≌△BED（SAS）． ∴BE＝AD＝3﹣3． 故答案为：3﹣3．

一、知识要点：

1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．

3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

4．全等三角形的表示：

（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．

（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．

5．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．

（2）全等三角形的周长、面积相等．

6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．

平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．

7．全等三角形基本图形

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

8．两个三角形全等的条件

（1）全等三角形的判定1——边边边公理

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．

（2）全等三角形的判定2——边角边公理

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

（3）全等三角形的判定3——角边角公理

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．

（4）全等三角形的判定4——角角边推论

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．

（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．

判定直角三角形全等的方法：