第12讲 综合计算(1) 教师版

第12讲 力的合成与分解知识点1 力的合成 1．合力当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力的作用效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力． 2．共点力如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但他们的力的作用线延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力．3．共点力的合成法则求几个已知力的合力叫力的合成．力的合成就是找一个力去替代几个已知的力，而不改变其作用效果．力的平行四边形定则：如右图所示，以表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向．（只适用于共点力）知识点2 力的分解 1．分力几个力共同产生的效果跟原来一个力产生的效果相同，这几个力就叫做原来那个力的分力． 2．力的分解（1）求一个已知力的分力叫做力的分解．（2）分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．3．力的分解方法力的分解方法：根据力F 产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力1F 和2F 的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小．实际上，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形．也就是说，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．一个已知力究竟应该怎样分解，这要根据实际情况来决定． 4．力的正交分解方法正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算.理解合成与分解的概念 进行力的合成的计算 进行力的分解的计算【例1】 三个共点力12N F =，25N F =，38N F =则（ ）A ．1F 可能是2F 与3F 的合力B ．2F 可能是1F 与3F 的合力C ．3F 可能是1F 与2F 的合力D ．以上三种说法都不正确【解析】（解法一）如果12F 为1F 和2F 的合力，无论两个力的夹角为多少，必然有：121212F F F F F -≤≤+成立，即123N 7N F ≤≤；同理有136N 10N F ≤≤，233N 12N F ≤≤．故A 、B 、C 都不正确．（解法二）如果老师在讲平行四边形定则的时候进行了三角形定则的拓展，可以使用下列解法：1F 、2F 、3F 如果要构成分力和合力的关系，则应该能够成一个力的三角形的关系．从数学知识我们知道，构成三角形的条件是“任意两边之和大于第三边”，但是1237N 8N F F F +=<=，不能构成三角形，故1F 、2F 、3F 不可能构成分力和合力的关系．【答案】D【例2】 右图给出了六个力1234456F F F F F F F 、、、、、、，它们作用于同一点O ，大小已在图中标出，相邻的两个力之间的夹角均为60︒，则这六个力的合力大小为（ ） A ．20N B ．40N C ．60N D ．0【解析】如下图所示，先作出三条直线上的两两合力：1420N F =、3620N F =、2520N F =由于三个合力之间夹角均为60︒，则14F 和25F 的夹角为120︒，它们的合力为20N F =，方向与36F 相同，故六个力的合力大小为40N F =总，方向与6F 相同．【答案】B【例3】 如图所示，轻绳MO 和NO 共同吊起质量为m 的重物．MO 与NO 垂直，MO 与竖直方向的夹角30θ=︒．已知重力加速度为g ．则（ ）A ．MO 所受的拉力大小为3mg B ．MO 所受的拉力大小为23mg C ．NO 所受的拉力大小为3mg D ．NO 所受的拉力大小为2mg【解析】结点O 受到绳MO 的拉力MO F 、绳NO 的拉力NO F 、物体的拉力F ，F 的大小等于重物的重力G ，根据三角形定则有 cos MO F G θ=，sin NO F G θ=【答案】A【例4】 小船用绳索拉向岸边，如图所示，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列哪句话是正确的（ ）A ．绳子的拉力F 不断增大B ．绳子的拉力F 不变C ．船的浮力减小D ．船的浮力增大【解析】由于小船匀速靠岸，对船进行受力分析可知：cos F f θ=，sin F F G θ+=浮，在小船靠岸的过程中，水的阻力f 不变，绳子倾角θ不断增大（增大范围为090︒~︒），sin θ不断增大，cos θ不断减小；故cos fF θ=增大，sin F G F θ=-浮减小．【答案】AC【例5】 如图所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30︒，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）A ．3mg 和12mgB ．12mg 和3mg C ．12mg 和12mg μ D ．3mg 和3mg μ 【解析】三棱柱在支持力N F 、静摩擦力f 和重力G 的作用下平衡，利用力的三角形知3cos30N F mg mg =︒=，1sin302f mg mg =︒=． 【答案】A【例6】 如图甲所示轻绳AD 跨过固定在水平横梁BC 右端的定滑轮挂住一个质量为1m 的物体．30ACB ∠=︒；图乙中轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G 通过细绳EG 拉住，EG 与水平方向也成30︒，轻杆的G 点用细绳GF 拉住一个质量为2m 的物体，求细绳AC 段的张力AC T 与细绳EG 的张力EG T 之比．【解析】图甲中绳AC 段的拉力1AC T m g =；图乙中G 点受力如图，由于2sin30EG T m g ︒=，得22EG T m g =，解得12//2AC EG T T m m =【答案】12//2AC EG T T m m =A1.某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力1F 的方向沿顺时针转过90︒而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为（ ）A ．1FB ．12FC ．12FD ．无法确定【答案】B2. 将二力F 1、F 2合成F 合，则可以肯定 ( )A ．F 1和F 合是同一性质的力B ．F 1、F 2是同一施力物体产生的力C ．F 合的效果与F 1、F 2的总效果相同D ．F 1、F 2的代数和等于F 合【答案】C3.如图所示，质量为5kg 的物体，在水平面上向右运动，此时所受到的水平力向右，20N F =，物体与地面之间的动摩擦因数为0.2μ=，则物体所受到的合力为（ ） A ．20N ，水平向右 B ．9.8N ，水平向左 C ．29.8N ，水平向右 D ．10.2N ，水平向右【答案】D4.如图实所示是甲、乙两位同学在“探究力的平行四边形定则”的实验中所得到的实验结果，若用F 表示两个分力F 1、F 2的合力，用F ′表示F 1和F 2的等效力，则可以判断________(填“甲”或“乙”)同学的实验结果是符合事实的．\【答案】甲5. 把一个力分解为两个力1F 和2F ，已知合力为40N F =，1F 与合力的夹角为30︒，如图所示，若2F 取某一数值，可使1F 有两个大小不同的数值，则2F 大小的取值范围是什么？【答案】220N 40N F <<F 1的方向30︒FOB6.用一根长1m 的轻质细绳将一副质量为1kg 的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10N ，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（g 取210m/s ）（ ） A ．3m B ．2m C ．1m 2D ．3m 【答案】A7. 如图所示，物体A 在同一平面内的四个共点力F 1、F 2、F 3和F 4的作用下处于静止状态，若其中力F 1沿逆时针方向转过120°而保持其大小不变，且其他三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受的合力大小为（ ）A ．2F 1B ．3F 1C ．F 1D ．32F 1【答案】B 8. 某同学做“探究力的平行四边形定则”的实验时，主要步骤是：A ．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；B ．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A 点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；C ．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O ，记录下O 点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；D ．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F 1和F 2的图示，并用平行四边形定则作出合力F ；E ．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F ′的图示；F ．比较F ′和F 的大小和方向，看它们是否相同，得出结论． 上述步骤中：(1)有重要遗漏的步骤的序号是________和________；(2)遗漏的内容分别_____________________________________________________ 和______________________________．【答案】(1)C E(2)C 中未记下两条细绳的方向 E 中未说明是 否把橡皮条的结点拉到了同一位置O9. 有两个大小恒定的力，作用在一点上，当两力同向时，合力为A ，反向时合力为B ，当两力相互垂直时，其合力大小为（ ）A ．22AB +B ．22()/2A B +C ．A B +D ．()/2A B +【答案】B10. 两个大小相等的共点力12F F 、，当它们间的夹角为90︒时合力大小为20N ，则当它们间的夹角为120︒时，合力的大小为多少?【答案】102NC11.一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，总质量为60 kg．此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°．则手受到的拉力和脚受到的作用力分别为(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．360N 480N B．480N 360NC．450N 800N D．800N 450N【答案】A12.在图中电灯的重力为20N，绳AO与天花板间的夹角为45 ，绳BO水平．求绳AO、BO所受的拉力．【答案】28.3N、20N13.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中．如图所示．已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（）A ．31,22mg mg B．13,22mg mgC．31,42mg mg D．13,42mg mg【答案】A14.有些人员，需要知道绳(或金属线)中的张力F T，可又不便到绳(或线)的自由端去测量．现某家公司制造了一种夹在绳上的仪表(图中B、C为该夹子的横截面)．测量时，只要如图示那样用一硬杆竖直向上作用在绳上的某点A，使绳产生一个微小偏移量a，借助仪表很容易测出这时绳对硬杆的压力F．现测得该微小偏移量为a＝12mm，BC间的距离为2L＝250mm，绳对横杆的压力为F＝300N，试求绳中的张力F T．【答案】1.6×103N15.如图所示，杆AB重20N，为了使杆处于竖直位置，用一根与竖直方向成30°角的斜绳AC拉住杆，测得该绳的拉力为100N．求：(1)水平绳AD的拉力是多少？(2)杆对地面的压力为多少？【答案】(1)50N(2)106.6N【检1】把一个力分解为两个力时（）A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小B．两个分力不能同时变大C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半CABOD．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍【答案】C【检2】如图所示，有五个力作用于一点P，构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，设F3＝10 N，则这五个力的合力大小为（）A．10(2＋2)N B．20N C．30N D．0【答案】C【检3】关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是（）A．合力大小随着两力夹角的增大而增大B．合力大小一定大于分力中最大者C．两分力夹角小于180°时，合力随夹角的减小而增大D．合力不能小于分力中最小者E．合力F一定大于任一个分力F．合力的大小可能等于F1也可能等于F2G．合力有可能小于任一个分力【答案】CFG【检4】做“探究力的平行四边形定则”的实验，在水平放置的木板上铺一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板的A点，橡皮条的另一端拴上两细绳套，如图所示，两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度拉橡皮条使之伸长，到达某一位置O时需记下__________、________，描下________，再用一个弹簧测力计钩住细绳套把橡皮条拉长，使结点到达位置________，再记下____________________．【答案】两弹簧测力计的读数两细绳的方向结点位置O O点弹簧测力计的读数和细绳的方向【检5】如图所示为逆风帆船航行的示意图，风斜吹向船帆对帆产生一个垂直于船帆方向的力F，正是这个力F为帆船的前进提供了动力．已知帆船沿其龙骨线方向匀速向前航行，船帆与龙骨线的夹角为30°，F的大小为2000N，求船在前进方向上受到平均阻力的大小．【答案】1000N【作业1】关于力的合成与分解，下列说法正确的是（）A．放在斜面上的物体，它的重力可以分解为一个沿斜面方向的下滑力和一个对斜面的正压力B．有三个共点力，它们的大小分别是4N、3N、6N，则它们的合力的最大值为13N，最小值为1NC．无论如何分解，两个分力不能同时小于合力的一半D．两个不同性质的力可以合成一个力【答案】CD【作业2】三个共点力构成如图所示的示意图，则这三个力的合力大小为____________．【答案】2F3【作业3】如图所示，六个力的合力为_________N，若去掉1N的那个分力，则其余五个力的合力为__________，合力的方向是__________．【答案】0，1N，与1N方向相反且在一条直线上【作业4】吊环中有一个高难度的动作，就是先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图所示位置，则在两手之间的距离增大过程中，吊环的两根绳的拉力F T(两个拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为（）A．F T增大，F不变B．F T增大，F增大C．F T增大，F减小D．F T减小，F不变【答案】A【作业5】如图所示，作用于O点的三个力平衡，设其中一个力大小为F1沿－y方向，大小未知的力F2与＋x方向夹角为θ，下列说法正确的是（）A．力F3只能在第二象限B．力F3可能在第三象限的任意方向上C．力F3与F2夹角越小，则F3与F2的合力越小D．F3的最小值为F1cosθ【答案】D【作业6】有两个大小不变的共点力F1和F2，它们合力的大小F合随两力夹角变化情况如图所示，则F1、F2的大小分别为多少?【答案】8N、4N或4N、8N【作业7】如图所示，AO、BO、CO是完全相同的三条绳子，将一根均匀的钢梁吊起，当钢梁足够重时，结果AO先断，则（）A．α>120°B．α=120°C．α<120°D．不能确定【答案】C【作业8】举重运动员在抓举比赛中为了减小杠铃上升的高度和发力，抓杠铃的两手间要有较大的距离．某运动员成功抓举杠铃时，测得两手臂间的夹角为120°，运动员的质量为75kg，举起的杠铃的质量为125kg，如图甲所示．求该运动员每只手臂对杠铃的作用力的大小．(取g＝10m/s2)【答案】1250N课程顾问签字： 教学主管签字：。

第12讲 三角函数1--三角变换（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2、二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3、半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=）4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+=（2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=++，2222sin cos a ba bϕϕ==++其中.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin 和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

当前形势空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分高考要求内容要求层次具体要求A B C证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第17题14分新课标剖析满分晋级第12讲空间向量与立体几何综合立体几何9级点面距离与动点问题立体几何10级空间向量与立体几何综合立体几何11级折叠问题与最值问题考点1：空间向量的运算1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 四点共面定理：设点P 满足等式：OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若1x y z ++=，则P A B C ，，，四点共面，必要性即证：若P A B C ，，，四点共面，则有1x y z ++=． 先证充分性：∵1x y z ++=， ∴1z x y =--，∴(1)OP xOA yOB x y OC =++--()()x OA OC y OB OC OC =-+-+xCA yCB OC =++． 即CP xCA yCB =+，由共面向量定理知P A B C ，，，四点共面． 再证必要性：设x y z k ++=， 由条件OP xOA yOB zOC =++， 得：()OP xOA yOB k x y OC =++--()()x OA OC y OB OC kOC =-+-+()()(1)x OA OC y OB OC OC k OC =-+-++-，∴()()(1)OP OC x OA OC y OB OC k OC -=-+-+-， 即(1)CP xCA yCB k OC =++-，∵P A B C ，，，四点共面，而点O 为空间任意一点， ∴只能1k =，即1x y z ++=． 综上知，命题成立．知识点睛12.1空间向量的概念与运算3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，． 如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．提高班学案1【铺1】 ⑴ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足a b =，则a b =； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC A C =；④若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑵ 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ） A ．111222a b c -++ B ．111222a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++⑶ 设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，且A B D ，，三点共线，则k =＿＿． ⑷ 若ABC △中，90C ∠=︒，()123A k -，，，()210B -，，，()402C k -，，，则k =＿＿．【解析】 ⑴ C当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②经典精讲c b a MD 1C 1B 1A 1DCBA错；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11A C 的方向相同，模也相等，应有11AC A C =，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． ⑵ D∵()12AM AB AD =+，∴()12AM a b =+，又∵11B A a =-，1A A c =，1111B M B A A A AM =++，∴()1111222B M a c a b a b c =-+++=-++．⑶ 8-∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A B D ，，三点共线，∴AB xBD =，∴()121212244e ke x e e xe xe +=-=-，∵1e ，2e 是不共线向量，∴24xk x =⎧⎨=-⎩，∴8k =-． ⑷ 10±()612CB k =-，，，()32CA k =--，，，则()()()263222200CB CA k k k ⋅=-⨯-++⨯-=-+=，∴10k =±．【例1】 ⑴已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A B C ，，一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++ Ｂ．2OM OA OB OC =--Ｃ．1123OM OA OB OC =++ Ｄ．111333OM OA OB OC =++⑵设a b ⊥，π3a c =，，π6b c =，，且1a =，2b =，3c =，则a b c ++=（ ）A ．1763+ Ｂ．1743+ Ｃ．63Ｄ．932⑶若()213a x =，，，()129b y =-，，，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．11x y ==，Ｂ．1122x y ==-， Ｃ．1362x y ==-， Ｄ．1362x y =-=，⑷已知空间三点()111A ，，，()104B -，，，()223C -，，，则向量AB 与CA 的夹角θ的大小是_______．【解析】 ⑴ D由向量四点共面的充要条件，只有D 选项中OA OB OC ，，系数和为1，所以选D ⑵ A∵2222ππ2221496cos 12cos 176336a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++++=+∴1763a b c ++=+；⑶ C∵()213a x =，，与()129b y =-，，共线，故有213129x y ==-，∴1362x y ==-，．⑷ 120︒()213AB =--，，，()132CA =--，，，()()()()2113321cos 21414AB CA -⨯-+-⨯+⨯-==-⋅，，∴120AB CA θ==︒，．【例2】 ⑴如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在1B B 和1D D 上，且113BE BB =，123DF DD =，①证明1A E C F ，，，四点共面；②若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++． F E ABC DA 1B 1C 1D 1⑵已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ∠=∠=∠，且OA OB OC ==，M N ，分别是OA BC ，的中点，G 是MN 的中点，求证：OG BC ⊥．【解析】 ⑴①∵11111233AC AB AD AA AB AD AA AA =++=+++111233AB AA AD AA ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB BE AD DF =+++AE AF =+，∴1A E C F ，，，四点共面 ②()EF AF AE AD DF AB BE =-=+-+112133AD DD AB BB =+--113AB AD AA =-++，∴1113x y z =-==，，，∴13x y z ++=．⑵ 如图，连接ON ，设AOB BOC AOC θ∠=∠=∠=，OA a =，OB b =，OC c =，则a b c ==，又()12OG OM ON =+()111222OA OB OC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()14a b c =++，BC c b =-，所以()()14OG BC a b c c b ⋅=++⋅- ()2214a c ab bc b c b c =⋅-⋅+⋅-+-⋅()22221cos cos 04a a a a θθ=--+=， 所以OG BC ⊥．12.2平行垂直问题GN MO CBA考点2：用空间向量证明平行垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ；线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ⇔⋅=（其中m n ，为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直：12l l 12120v v v v ⇔⇔⋅=；⑶线面垂直：1l α⊥11v n ⇔∥；⑷面面垂直：12120n n n n αβ⇔⇔⋅=；<教师备案>上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用．一般来讲，证明平行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用空间向量无脑算．提高班学案2【铺1】如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥．底面ABCD 为梯形，AB DC ∥，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．求证：PD ∥平面EAC ．EDCBAP【解析】 证法一：以A 为原点、AB 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则(000)A ，，，(00)B a ，，，(0)C a a ，，，(00)P a ，，，2033a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．设(0)D a y ，，，则()PC a a a =-，，，(0)AD a y =，，， ∵PC AD ⊥，∴20PC AD a ay ⋅=+=，解得y a =-； 则有(0)D a a -，，，()PD a a a =--，，， 经典精讲知识点睛z yPEB A2033a a EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，33a a EC a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，；∵2PD EA EC =+，PD ⊄平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．（或者求出平面EAC 的法向量(112)n =-，，得出PD 与n 垂直也可证明结论） 证法二：AB BC =，AB BC ⊥，∴ABC △是等腰直角三角形；PA ⊥平面ABCD ⇒PA AD ⊥，又AD PC ⊥，∴AD ⊥平面PAC ；∴AD AC ⊥．又AB DC ∥，∴DAC △也是等腰直角三角形； ∴22DC AC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则2DM DC MB AB==． 在BPD △中，2PE DMEB MB==，∴PD EM ∥．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．【例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．⑴求证：AF ∥平面PCE ；⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；【追问】PC 上是否存在一点H ，使得AC ⊥面EFH ？【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -．⑴ ()002P ，，，()020D ，，，()200B ，，，()220C ，，， 则()011F ，，，()100E ，，， 于是，()011AF =，，，()102EP =-，，，()120EC =，， 因为()12AF EP EC =+，所以AF 与EP EC ，共面． 又AF ⊄面ECP ，所以AF ∥平面PCE ．⑵ 因为()022PD =-，，，所以0AF PD ⋅=，即AF PD ⊥； 又()200DC =，，，所以0AF DC ⋅=，即AF DC ⊥． 于是AF ⊥面PCD ，由⑴AF ∥平面PCE ， 则面PCE ⊥面PCD ．【追问】设22H x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，则()220AC =，，，()111EF =-，，，212EH x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 易知0AC EF ⋅=，由()121202AC EH x x x ⋅=-+=⇒=．于是点112222H ⎛ ⎝⎭，，满足AC ⊥面EFH ． MPEBA DP FEDBAHz yx P FE DCBAMz yxPED CB A 【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面PCE 内找一向量与AF 共线；二是说明AF能用平面PCE 内的两不共线向量线性表示，三是证明AF 与平面的法向量垂直．证明面面垂直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面．尖子班学案1【拓2】 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得∥PM 平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；PFEDCBA【解析】 ⑴ ∵ABE △为等腰直角三角形，AB AE =，∴AE AB ⊥．又∵面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面ABCD AB =，∴AE ⊥平面ABCD ．∴AE AD ⊥．因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A xyz -． 设1AB =，则1AE =，(010)B ，，，(100)D ，，，(001)E ，，，(110)C ，，．∵FA FE =，45AEF ∠=︒，∴90AFE ∠=︒．从而，11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．∴11022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，(011)BE =-，，，(100)BC =，，．110022EF BE ⋅=+-=，0EF BC ⋅=．∴EF BE ⊥，EF BC ⊥．∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，∴EF ⊥平面BCE ．⑵ 存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE ．设(00)M m ，，，1102P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．从而112，，PM m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由11111002222，，，，PM EF m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即M 为AE 中点时，PM FE ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE ．目标班学案1【拓3】 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． ⑴ 求证：AC SD ⊥；⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】 ⑴ 连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a ， 则高()222622SO aa a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭． 于是600S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，200D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 200OC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，260SD a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥．从而AC SD ⊥．⑵ 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC ．由题设知，260DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，是平面PAC 的一个法向量， 设CE tCS =，则由260CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，220BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，可得： ()2261BE BC CE BC tCS a a t at ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 而22661003BE DS a a a at t ⎛⎫⋅=⇔⨯-+⨯=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭． 即当21SE EC =∶∶时，BE DS ⊥．而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC ．考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离12.3角度与距离问题OPC BA Sx y z EPDBA S1．设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，则12l l ，所成角θ满足：121212cos cos v v v v v v θ⋅=〈〉=，，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2．空间中的点面距离⑴体积法⑵空间向量法：定点A 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为AB n n⋅<教师备案>空间两条直线所成角的范围是π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，异面直线所成角的范围是π02⎛⎤⎥⎝⎦，，而两个向量之间的夹角范围是[]0π，，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方．尖子班学案2【铺2】如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点．⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值． 【解析】 ⑴ 解法一：∵AD BC ∥，∴AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角； ∵PBC △是正三角形，∴30MBC ∠=︒； ∴AD 和BM 所成的角为30︒． 解法二：设P 在底面的射影为O ，由于P ABCD -为正四棱锥， 所以O 为底面正方形的中心；以O 点为原点，DA 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -； 由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形， ∴斜高3PH =，2PO =；∴(110)A -，，，(110)B ，，，(110)C -，，，(110)D --，，，()002P ，，；∴11222M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(200)AD =-，，，31222BM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，； ∴3cos 23AD BM AD BM AD BM⋅===⋅，； 经典精讲知识点睛Oz yxMPD BAH AB CDPM1第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴向量AD 与向量BM 所成的角为30︒，即直线AD 和BM 所成的角为30︒． ⑵ 由⑴解法二得()112PD =---，，，33222AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，；∴5cos AM PD AM PD AM PD⋅==-⋅，； 而直线AM 和PD 所成角只能在0︒至90︒之间，∴直线AM 和PD 所成角的余弦值为5．【例4】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC的中点．⑴ 证明：直线MN ∥平面OCD ；⑵ 求异面直线AB 与MD 所成角的大小； ⑶ 求点B 到平面OCD 的距离．【解析】 作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．()000A ，，，()100B ，，，220D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，()002O ，，，()001M ，，，200P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，2210C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，2210N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ⑴ 2211MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，202OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，． 设平面OCD 的法向量为()n x y z =，，， 则00n OP n OD ⋅=⋅=，， 即2202220z y z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，，取2z =解得(042n =，，．∵(22110420MN n ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，，，， ∴MN ∥平面OCD ． ⑵ 设AB 与MD 所成的角为θ，∵()221001AB MD ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴1cos 2AB MDAB MD θ⋅==⋅，∴π3θ=，即AB 与MD 所成角的大小为π3．PNM O D CB AxyzNM ODCBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版⑶ 设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在平面OCD 的法向量(042n =，，上的投影的绝对值；由()102OB =-，，，得23OB n d n⋅==， 所以点B 到平面OCD 的距离为23．目标班学案2【拓3】 如图，已知棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面的射影O 落在正方形ABCD内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1．⑴ 求证：AB SC ⋅是定值；⑵ 已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为90︒？若不存在，说明原因；若存在，则求AQ 的长．O SPCD 解析图xyzOD ABCPS【解析】 ⑴ 以点O 为坐标原点，OS 所在的直线为z 轴，过点O 且与AD 平行的直线为x 轴，过点O 且与AB 平行的直线为y 轴，建立如图的空间直角坐标系． 设高OS h =，则由已知得()()()000210230O A B -，，，，，，，，，()()23000C S h -，，，，，，()()04023AB SC h ==--，，，，，，则()()0243012AB SC h ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即AB SC ⋅是定值．⑵ 在棱SA 上任取一点()000Q x y z ，，，使01AQ AS λλ=，≤≤．由已知得()3333003112222S P OP ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，()213AS =-，，． 由AQ AS λ=得()()00021213x y z λ-+=-，，，，， 从而022x λ=-，01y λ=-，03z λ=，()00023BQ x y z =--，，． 假设OP BQ ⊥，则0OP BQ ⋅=，即()()0003323022x y z --+-+=， ∴()()392400122λλλλ+-+=∈，，，∴34λ=． 故在棱SA 上存在点119244Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，使OP BQ ⊥．1第12讲·提高-尖子-目标·教师版此时()22233321314444AQ AS ==-++=．考点4：用空间向量求线面角设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则l 与α所成角θ满足： sin cos v nv n v nθ⋅=〈〉=，（π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）；<教师备案> 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值．【例5】如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒． ⑴ 求DP 与1CC 所成角的大小； ⑵ 求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．【解析】 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，1(001)CC =，，．连结BD ，11B D ． 在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA 〈〉=︒，， 由cos DA DH DA DH DA DH ⋅=〈〉， 可得2221m m =+．解得2m =，所以221DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，． ⑴ 因为1220011222cos 12DH CC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以145DH CC 〈〉=︒，． 即DP 与1CC 所成的角为45︒．⑵ 平面11AA D D 的一个法向量是(010)DC =，，． 因为220110122cos 212DH DC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，， 所以60DH DC 〈〉=︒，． 可得DP 与平面11AA D D 所成的角为30︒．经典精讲知识点睛D 1C 1B 1A 1D C BAPP D 1C 1B 1A 1D CB AH x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版尖子班学案3【拓2】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，且CP m =，⑴试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为32 ⑵在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则()100A ，，，()110B ，，， ()01P m ，，，()010C ，，，()000D ，，，()1111B ，，，()1001D ，，，所以()110BD =--，，，()1001BB =，，，()11AP m =-，，，()110AC =-，，，又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=知AC 为平面11BB D D 的一个法向量，设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2πsin cos 222AP AC AP AC mθθ⋅⎛⎫=-==⎪⎝⎭⨯⨯+， ()223222132m =⨯++，解得13m =，故当13m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为32⑵若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则()11Q x x -，，，()110D Q x x =-，，，依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于()1110102D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔-+-=⇔=，即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．目标班学案3【拓3】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD ．⑴ 求证：11B C ⊥平面11ABB A ；⑵ 设E 是1CC 的中点，试求出1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值．E A 1B 1C 1ABCD【解析】 ⑴ 连接1AB ，∵1AB B B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥．yz Q PD 1C 1B 1A 1DCBAz EC 1B 1A 1AB C D A 1B 1C 1D 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ， ∴111A B B C ⊥．又111BB B C ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ． ⑵ 在矩形11ACC A 中，由11AC A D ⊥可知11~A AD ACC △△，则11112CC CC AC AA AD AC==，故12AC AA =，从而AB BC =． 建立如图的空间直角坐标系，不妨设2AB =， 则()200A ，，，()1202A ，，，()1022C ，，，()021E ，，， 可得()1222AC =-，，，()1221A E =--，，． 由题意可知1AC 即为平面1A BD 的一个法向量， 设1A E 与平面1A BD 所成的角为θ， 则1111113sin cos 233AC A E AC A E AC A Eθ⋅====⨯⨯，．考点5：用空间向量求二面角设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则αβ，所成的二面角θ满足：121212cos cos n n n n n n θ⋅=〈〉=，（θ为平面α，β所生成的二面角，[]0πθ∈，）<教师备案> 利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【例6】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，PA PB ⊥， AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ．⑴ 求证：PA ⊥平面PBC ；⑵ 求二面角P AC B --的余弦值；⑶ 求异面直线AB 和PC 所成角的余弦值．【追问】在线段PC 上有一点E ，PE PC λ=，求λ的值，使得二面角C AB E --的大小为60︒？【解析】 在平面PAB 中作PO AB ⊥于点O ，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D ．经典精讲知识点睛PBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设6PA PB ==．∵PA PB ⊥， ∴233AB PO BO AO ===． ∵30AB BC BAC ⊥∠=︒，， ∴tan302BC AB =⋅︒=．∴()000O ，，，()030A ，，()030B ，， ()230C ，，，(003P ，，，()100.D ，， ⑴ ∵(033PA =-，，()200BC =，，， ∴0PA BC ⋅=，∴PA BC ⊥． 又∵PA PB ⊥， ∴PA ⊥平面PBC ．⑵ 由⑴知，(003OP =，，为平面ABC 的一个法向量，设()n x y z =，，为平面PAC 的一个法向量，∵()2230AC =，，则3302230n PA y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =得，31x z ==-，则()311n =--，，， ∴35cos 35n OP n OP n OP⋅-===⨯⨯，由图象知，二面角P AC B --为锐角，故二面角P AC B --5． ⑶ ∵()(0230233AB PC ==，，，，-，∴30cos AB PC AB PC AB PC⋅〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 30． 【追问】由PE PC λ=，可得点((2313E λλλ-，，，平面ABC 的法向量为()003OP =，， 可以算出平面ABE 的一个法向量为)()13102n λλ=--，，，于是11πcos 3OP n OP n ⋅=，解得13λ=（1-舍）．提高班学案3【拓1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4？PBOM DCxyz D 1C 1B 1A 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则()1101A ，，，()1001D ，，，()10E x ，，，()100A ，，，()020C ，，．由题意可知1DD 为平面ECD 的一个法向量，设平面1D EC 的法向量为()n a b c =，，，∵()120CE x =-，，，()1021D C =-，，，()1001DD =，，， ∴()120020.0b c n D C a b x n CE ⎧-=⋅=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1b =，得2c =，2a x =-， ∴()212n x =-，，． 依题意()121π22cos425n DD n DD x ⋅===⋅-+ ∴123x =+，223x =-∴23AE =1D EC D --的大小为π4．【备选】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==60ABC ∠=︒．⑴ 证明：1AB AC ⊥； ⑵ 求二面角1A ACB --的余弦值． 【解析】 方法一：⑴ ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB AA ⊥在ABC △中，1AB =，3AC ，60ABC ∠=︒， 由正弦定理得30ACB ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥．∴AB ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图，作1AD AC ⊥交1A C 于点D 点，连结BD ， 由三垂线定理知1BD AC ⊥∴ADB ∠为二面角1A ACB --的平面角． 在1Rt AAC △中，113366AA AC AD AC ⋅⋅== 在Rt BAD △中，6tan AB ADB AD ∠==∴15cos ADB ∠=， 即二面角1A ACB --15． 方法二：⑴∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．在ABC △，1AB =，3AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得30ACB ∠=︒，∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥． 如图，建立空间直角坐标系，则(000)A ，，，(100)B ，，，()030C ，，(1003A ，，DCBA C 1B 1A 1CB AC 1B 1A 1AB C DA 1B 1C 1D 1Ez y x24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴(100)AB =，，，()1033AC =-，，∵()11003030AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图可取(100)m AB ==，，为平面1AAC 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10A C n ⋅=，又()130BC =-，，，∴30330x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩∴3x y =，z y = 不妨取1y =，则()311n =，，()22222231101015cos 311100m n m n m n⋅⨯+⨯+⨯===⋅++⋅++，，结合图象知二面角1A ACB --为锐二面角， ∴二面角1A ACB --的余弦值为15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，且12AB AC A B ===． ⑴ 分别求出1AA 与底面ABC 、棱BC 所成的角；⑵ 在棱11B C 上确定一点P ，使14AP =并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解析】 ⑴ 因1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，则1A B ⊥底面ABC ．所以1A AB ∠就是1AA 与底面ABC 所成的角．因112AB A B A B AB ==⊥，，故1π4A AB ∠=，即1AA 与底面ABC 所成的角是π4．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()200C ，，，()020B ，，，()1022A ，，，()1042B ，，，()1222C ，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，，则1111cos 288AA BC AA BC AA BC⋅===-⨯⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3．⑵ 设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 于是()2214424142AP λλλ=+-+=（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐yzxC B AC 1B 1A 1Pyx A B CC 1B 1A 1A 1B 1C 1CBA1第12讲·提高-尖子-目标·教师版标为()132P ，，． 设平面PAB 的法向量为()1n x y z =，，，则11032022000n AP x y z x z y y n AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，， 不妨取1z =，得()1201n =-，，． 而平面1ABA 的法向量为()2100n =，，，则121212225cos 55n n n n n n ⋅-===-⋅，， 故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是255．【演练1】⑴ 设空间四点O A B P ，，，满足OP mOA nOB =+，其中1m n +=，则（ ）A ．P AB ∈ B ．P AB ∉C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上都不对⑵ 已知a b ，是空间两个向量，若2a =，2b =，7a b -=，则cos a b =，＿ 【解析】 ⑴ A已知1m n +=，则1m n =-，()1OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB ⇒=，0AB ≠∵，AP ∴和AB 共线，即点A P B ，，共线 ⑵18将7a b -=化为()27a b -=，求得12a b ⋅=，再由cos a b a b a b ⋅=，求得1cos 8a b =，【演练2】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N夹角的正弦值为（ ）A ．19B ．459C ．259D ．23 实战演练24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版NMA 1B 1C 1D 1AB CD解析图：zyxA 1B 1C 1D 1ABC DMN【解析】 B设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，可知()221CM =-，，，()1221D N =-，，， 1111cos 999CM D N CM D N CM D N⋅===-⨯⨯，，∴145sin CM D N =，【演练3】三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=︒，1A A ⊥平面ABC ，13A A =1122AB AC AC ===，D 为BC 中点．⑴ 证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵ 求二面角1A CC B --的余弦值．【解析】 ⑴ 如图，建立空间直角坐标系，则()()()000200020A B C ，，，，，，，，， ((11003013A C ，，，，，．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为()110，，． ∴()()()1110003220AD AA BC ===-，，，，，，，，， ∵()1212000AD BC ⋅=⨯-+⨯+⨯=， ()10202300AA BC ⋅=⨯-+⨯+=．∴1BC AD BC AA ⊥⊥，，又1AA AD A =，∴BC ⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ． ⑵ ∵AB ⊥平面11ACC A ，如图，可取()200m AB ==，，为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10CC n ⋅=． ∵(1013CC =-，，，∴22030x y y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 可取1y =，则311n ⎛= ⎝⎭，，． DABCA 1B 1C 1z yA 1B 1C 1ABDC1第12讲·提高-尖子-目标·教师版222222321010213cos 3200113m n ⨯+⨯+〈〉==⎛⎫++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ∴二面角1A CC B --21．【演练4】如图，已知长方体1AC 中，112AB BC BB ===，，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F ．⑴ 求证：1AC ⊥平面EBD ； ⑵ 求点A 到平面11A B C 的距离；⑶ 求直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值．【解析】 如图建立空间直角坐标系．∵1B BC BCE ∆∆∽，故2112BC CE BB ==； ⑴ ()()1000002A A ，，，，，， ()()()100010110B D C ，，，，，，，，，1112E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，∴()111112011022AC BE DE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， ∵()111011202AC BE ⋅=⨯+⨯+-⨯=， ()111110202AC DE ⋅=⨯+⨯+-⨯=． ∴1A C BE ⊥，1A C DE ⊥，即1AC BE ⊥，1AC DE ⊥， ∵BEDE E =，所以1A C ⊥平面EBD ．⑵ 设平面11A B C 的一个法向量为()m x y z =，，由11(100)A B =，，，1(012)B C =-，，，而1110A B m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02x y z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()021m =，，；而()1002AA =，，， ∴所求的距离为12555AA m d m⋅===⑶ 由⑵知，()021m =，，；而1102ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴设ED 与m 所成角为θ，则1cos 5m ED m EDθ⋅==-⋅所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．【演练5】如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，棱1DD 上是否存在点P ，使平面1APC ⊥平面1ACC ，证明你的结论．A 1D 1B 1C 1A BCD E F F E D 1C 1B 1A 1D CBA x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 如图建立空间直角坐标系，则()100A ，，，()120B ，，，()020C ，，，()1022C ，，，假设P 点存在，且DP a =，则∵平面1APC ⊥平面1ACC ，()00P a ，，， 法一：∴在平面1ACC 中作1CH AC ⊥，垂足为H 1A H C ∵，， 三点共线，∴()11CH CA CC λλ=+-()()()1201002λλ=-+-，，，， ()222λλλ=--，，，1CH AC ⊥∵，()()12221220CH AC λλλ⋅=--⋅-=∴，，，，， 49λ=∴，4810999CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，，，∵面1APC ⊥面1ACC ，1CH AC ⊥，CH ⊥∴面1APC CH AP ⇒⊥， ()4810100999CH AP a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭∴，，，，，25a =∴，∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使面1APC ⊥面1ACC ．法二：()10,0,2CC =，()11,2,2AC =-，()1,0,AP a =-，设平面1ACC 的法向量为(),,m r s t =，平面1APC 的法向量为(),,n x y z =， 则1120220m CC t m AC r s t ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，10220n AP x az n AC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 即可取()2,1,0m =，2,,12a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以平面1ACC ⊥平面1APC ⇔0m n m n ⊥⇔⋅=，即2202a a -+=，解得25a =．∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使平面1APC ⊥平面1ACC ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为AD 、1AA 、11A B 中点， ⑴ 求B 到平面EFG 的距离；⑵ 求二面角1G EF D --的余弦值．大千世界ABC DA 1B 1C 1D 1P zyxHP D 1C 1B 1A 1D C B AD 1C 1B 1A 1DCBAE FG1第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的坐标系．则(010)E ，，，()200B ，，，(001)F ，，，(102)G ，，； 于是向量(011)FE =-，，，(101)FG =，，； 设面EFG 的法向量为()n x y z =，，，则0n FE n FG ⋅=⋅=， 即00y z x z -=⎧⎨+=⎩，于是可取(111)n =-，，； ⑴ (210)EB =-，，，设B 到面EFG 的距离为h ；则33n EB h n⋅===⑵ 平面11ADD A 的法向量可取成(100)m =，，；于是3cos 3m n m n m n⋅===， 由图象知二面角1G EF D --3G EA C D1B 1C D 1xy。

几分之几【教学目标】一、通过折一折、涂一涂、说一说，经历几分之几的形成过程，认识几分之几.二、理解平均分，理解分数表示的意思，会读写几分之几，知道分数各部分的名称与意义.三、理解不同大小不同形状可以用同一个分数表示，同一个分数所表示出来的图形部分大小也可 能会不一样.四、理解并掌握比较分母相同的分数大小的方法，能够正确比较.【例题解析】【例1】（1）32的分子是（ ），分母是（ ），读作（ ）。

（2）分子是4，比分母少5，这个分数是（ ）。

（3）填一填：41>（）1。

【答案】1. 2 3 三分之二 2.94 3. 5 （答案不唯一）【例2】（1）12个苹果的31是（ ）个苹果。

（2）12个苹果的43是（ ）个苹果。

（3）12个苹果的123是（ ）个苹果。

【答案】1.4 2.9 3.3【例3】（1）一段路长20千米，工程队已经修了它的52，是（ ）千米；没修 的是这条路的)() (，是（ ）千米。

（2）小红带20元钱去买学习用品，买笔记本用去这些钱的41，买钢笔 用去这些钱的52，买笔记本和钢笔各用去多少元钱？ 【答案】（1）8 53 12 （2）20÷4=5（元） 20÷5×2=8（元）答：买笔记本用去5元，买钢笔用去8元。

【例4】写出涂色部分所表示的分数（ 5/8 ） （ 3/4 ） （ 1 ）( 1/4 ) ( 1/2 ) ( 1/3 )【例5】填一填把一个图形平均分成（ ）份，涂色部分占了期中的（ ）份，所以涂色部分是整个图形的()()， 没有涂色的部分是整个图形的()().②把一张圆形纸平均分成8份，每份是这个圆的（ ），3份是它的（ ）；如果将它平均分成16份，每份是它的（ ），5份是它的（ ），（ ）份是它的1613。

③把一张正方形纸对折三次，每份是这个正方形的（ ）。

【答案】（1）5 2 2/5 3/5（2）1/8 3/8 1/16 5/16 13（3）1/8【例6】填上合适的数字1厘米=（ ）分米 15分=（ ）时 500千克=（ ）吨20秒=（ ）时 5分米=（ ）米 300克=（ ）千克【答案】1/10 1/4 1/21/180 1/2 3/10【例7】一块布料长16米，用它的41做衣服，用它的83做窗帘。

第12讲流水行船1.问题简介。

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题（又叫流水问题）。

2.基本公式。

逆水船速=净水船速-水流速度；顺水船速=净水船速+水流速度。

3.推论。

静水船速=（顺水船速+逆水船速）÷2；水流速度=（顺水船速-逆水船速）÷2。

4.问题引申。

除此以外，在流水行船问题中还经常运用到一条性质：河流漂流物体速度=水流速度。

在相同的一条河流中，甲乙两船的速度有如下数量关系。

甲船顺(逆)水速度+乙船逆(顺)水速度=甲船静水船速+乙船静水船速。

同样的在追及问题也有类似的数量关系：甲船顺(逆)水速度－乙船顺(逆)水速度=甲船静水船速－乙船静水船速。

第一流水行程问题中静水速度，水流速度，顺水速度，逆水速度之间的关系；第二分析与判断流水行程中的路程速度与时间关系.；第三流水相遇与追及问题中速度和与速度差与水速无关的运用。

例1.甲、乙两船在静水中的速度分别为33千米/小时和25千米/小时，两船从相距232千米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？考点：船在静水中的问题。

分析：此题属于流水行船的静水问题，不需要考虑水流的速度，第一问求两船相遇的时间，可直接用距离除以两船的速度之和即可；第二问求几小时后甲船追上乙船，用他们出发时的距离除以它们的速度差即可。

解答：相遇的时间：232÷（33+25）=8（小时）；甲船追上乙船的时间：232÷（33-25）=29（小时）。

点评：难度较为简单，考查基本内容。

例2.一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时，求：这两个港口之间的距离。

考点：船在顺水中的问题、船在逆水中的问题。

分析：此题中既包含顺水问题，有包含逆水问题，首先我们考虑，两港口之间的距离=（船在静水中的速度+水流速度）×时间1=（船在静水中的速度-水流速度）×时间2。

第12讲 整式的乘除 单元综合检测（重点）一、单选题1．计算：()2323x x y ×-=（ ）A ．236x y B ．236x y -C ．336x y -D ．3318x y 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则即可求解．【解析】解：原式()23336··6x x y x y=-=-故选：C【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法运算法则是关键．2．下列计算正确的是（ ）A ．()2352x y x y -=B ．236a a a ×=C ．()43a a a -¸=D ．()222x y x y -=-【答案】C【分析】根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、同底数幂的除法运算法则和完全平方公式，逐项分析判断即可．【解析】解：A. ()2362x y x y -=，故本选项运算错误，不符合题意；B. 235a a a ×=，故本选项运算错误，不符合题意；C. ()4343a a a a a -¸=¸=，本选项运算正确，符合题意；D. ()2222x y x xy y -=-+，故本选项运算错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．3．计算：()2236x y xy =¸-（ ）A ．6yB ．6y -C ．6xy -D ．6xy-【答案】A【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式的除法运算即可．【解析】解：()()2232322666x y xy x y x y y =¸-¸=；故选A4．下列各式中，能用平方差公式的是（ ）A ．(2)(2)a b a b -+B ．(2)(2)a b a b ----C ．(2)(2)a b a b --+D ．(2)(2)a b a b --+【分析】利用平方差公式的结构特征进行判断即可．【解析】解：能用平方差公式的是22(2)(2)4a b a b a b -+=-，故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键．5．若22(1)9x m x --+是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．4B ．2或4-C ．6±D ．2-或4【答案】D【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m 的值．【解析】解：∵2222(1)92(1)3--+=--+x m x x m x ，∴2(1)23m x x --=±g g ，解得m=-2或m=4，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到2(1)23m x x --=±g g 是解决问题的关键．6．一个长方形的面积是22a ab a -+，宽是a ，则这个长方形的长是（ ）A ．2a b-B ．2+a b C ．21a b --D ．21a b -+【答案】D【分析】本题租用考查了整式除以单项式，根据长方形面积公式只需要计算出()22a ab a a -+¸的结果即可得到答案．【解析】解：∵一个长方形的面积是22a ab a -+，宽是a ，∴这个长方形的长是()2221a ab a a a b -+¸=-+，故选D ．7．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a>>【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．【解析】解：∵()314131248133a ===；()413141232733b ===；()61261122339c ===．则a b c >>．8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）A ．()a b x ab ax-=-B ．()b a x ab bx-=-C ．()()a x b x ab ax bx--=--D ．2()()a x b x ab ax bx x --=--+【答案】D【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．【解析】解：图1中，阴影部分=长()a x -宽(2)a b -长方形面积，\阴影部分的面积()()a x b x =--，图2中，阴影部分=大长方形面积-长a 宽x 长方形面积-长b 宽x 长方形面积+边长x 的正方形面积，\阴影部分的面积2ab ax bx x =--+，2()()a x b x ab ax bx x \--=--+．故选：D ．9．已知252a a -=，则代数式()()()2331a a a -+--的值是（ ）A ．2B ．2-C ．8D ．8-【答案】A【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可．【解析】解：∵252a a -=，∴225a a -=，∴()()()2331a a a -+--2633a a a =+--+223a a =--53=-2=．故选：A ．10．设2017a x =-，2019b x =-，2018c x =-．若2234a b +=，则c 2的值是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】A 【分析】先将a=x-2017，b=x-2019代入2234a b +=，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．【解析】解：∵a=x-2017，b=x-2019，a 2+b 2=34，∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，∴2（x-2018）2=32，∴（x-2018）2=16，又∵c=x-2018，∴c 2=16.故答案为A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．二、填空题11．3212x y æö-ç÷èø的值为 ．．【答案】195【分析】本题考查了，掌握整式的乘除法法则和乘法公式是解决本题的关键，把102、98、99分别变形为(1002)+、(1002)-、(1001)-，再套用平方差和完全平方公式计算比较简便．【解析】原式2(1002)(1002)(1001)=+---2221002(1002001)=---+2210041002001=--+-195=．故答案为：19513．计算：()()32x y y x --=g．（结果用幂的形式表示）【答案】()5x y -【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．【解析】解：()()32x y y x --g ()()32x y x y =--g ()5x y =-，故答案为：()5x y -．14．100100(4)(0.25)-´-= ．【答案】1【分析】本题考查的是乘方符号的确定，积的乘方运算的逆运算的含义，本题把原式化为()10040.25´，再计算即可.【解析】解：()100100100100(4)(0.25)40.2511-´-=´==，故答案为：115．已知23m =，25n =，则422m n -的值为．16．要使22213x mx x -++×-的展开式中不含3x 项，则m =．【答案】0【分析】本题考查了单项式乘整式，以此判断不含某一项的结果，先根据单项式乘整式进行化简，然后让3x 这一项的系数为0即可，正确计算是解题的关键．【解析】解：()()22213x mx x -++×-()()()222223313x x mx x x =-´-+´-+´-432633x mx x =--，∵展开式中不含3x 项，∴0m =，故答案为：0．17．如图，把7个长和宽分别为a ，b 的小长方形（图1），拼接在一起构成如图2所示的长方形ABCD ，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有a ，b 的代数式表示）【答案】2242a ab b -+【分析】由图2可知，该图形长是图1小长方形的一个长加上两个宽，该图形宽是图1小长方形的一个长加上一个宽，用矩形面积公式即可求出整个图形的面积，再减去7个小长方形面积即可．【解析】解：（a +2b ）（a +b ）-7ab =22237a ab b ab +-+=2242a ab b -+【点睛】本题主要考查了整式乘以整式，熟练地掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键．整式乘以整式，把前面一个整式的每一项分别乘以后面一个整式的每一项的结果作为积的因式．18．我国古代的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中用如图的三角形解释()n a b +的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”计算()20a b +的展开式中第三项的系数为 ．【答案】190【分析】根据图形中的规律即可求出()20a b +的展开式中第三项的系数．【解析】解：∵()3a b +的第三项系数为312=+；()4a b +的第三项系数为6123=++；三、解答题19．计算(1)()2741023a a a a a ×--+¸．(2)()()223242x x y x x xy --+-．【答案】(1)87a -(2)32410x x y-+【分析】本题考查了整式的乘除运算．（1）分别计算同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂的除法，再合并即可求解；（2）先计算单项式乘整式，再合并同类项即可．【解析】（1）解：()2741023a a a a a ×--+¸8889a a a =-+87a =-；（2）解：()()223242x x y x x xy --+-323261222x x y x x y=-++-32410x x y =-+．20．计算：(1)()233（结果用幂的形式表示）(2)()()3242xy x --(3)()22232x y x x x-+×(4)()()354432322010205x y x y x y x y --¸-【答案】(1)63(2)338x y (3)6xy(4)32424y xy -++【分析】（1）根据幂的乘方公式计算；（2）用单项式乘法法则计算即可；（3）先算单项式乘整式和单项式乘单项式，再合并同类项即可；（4）根据整式除单项式法则计算．【解析】（1）()62333=；（2）()()3233428xy x x y --=；（3）()22232x y x x x-+×33622xy x x =-+6xy =；（4）()()354432322010205x y x y x y x y --¸-32424y xy =-++.【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式乘除的相关运算的法则．21．计算（1）2331()()3x y xy -¸-（2）11(3)(3)44x y x y ---+（3）2(31)(2)(3)x x x -++-（4）3()()2a b a b ab-¸-+22．（1）先化简，再求值：()()2(2)11a a a +-+-，其中32a =-．（2）先化简，再求值：()()3224843x y x y xy x x y -¸--，其中23x y ==，．(1)23m n a a +；(2)2m n a +；(3)2m n a -．【答案】(1)44(2)24(3)18【分析】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘除法和幂的乘方运算以及逆运算法则．（1）根据幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可；（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可；（3）根据同底数幂除法和幂的乘方运算及逆运算法则进行计算即可．【解析】（1）解：原式()2m a =+()3236244n a =+=；（2）解：原式()2226224m n m n a a a a =´×=×==；（3）解：原式()226218m n a a =¸=¸=．24．如图是一个长方形纸片，它的长为()2cm a b +，宽为()3cm b a -，现用剪刀在长方形纸片内剪的去2个边长均为cm b 的正方形．(1)用含a ，b 的代数式表示剩余纸片的面积；（结果化为最简形式）(2)若6a =，8b =，求剩余纸片的面积．【答案】(1)()22225cmb a ab -+(2)2232cm 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算；（1）用长方形纸片的面积减去2个正方形的面积进行列式，然后根据整式乘以整式以及合并同类项的法则进行计算即可；（2）直接代入（1）中结果计算即可．【解析】（1）解：()()2232a b b a b+--2226232ab a b ab b =-+--()22225cm b a ab =-+，所以剩余纸片的面积为()22225cm b a ab -+；（2）若6a =，8b =，则222225826568b a ab -+=-´+´´6472240=-+2232cm =，所以剩余纸片的面积为2232cm ．25．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：()()23x a x b ++，甲由于抄错了第一个整式中a 的符号，得到的结果为261110x x +-；乙由于漏抄了第二个整式中x 的系数，得到的结果为22910x x -+．(1)试求出式子中a ，b 的值；(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．【答案】(1)52a b =-=-，(2)261910x x -+【分析】本题考查了整式乘整式、二元一次方程组的应用等知识点，根据整式乘整式的运算法则分别进行计算，求出a 与b 的值是解题的关键．（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据整式相等的条件列出关于a 、b 的二元一次方程，再求出a 与b 的值；（2）把a 与b 的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．【解析】（1）解：由题意得(2)(3)x a x b -+26(23)x b a x ab =+--261110x x =+-，(2)()x a x b ++22(2)x a b x ab=+++22910x x =+－，所以2311b a -=，①29a b +=-.②由②得29b a =--，代入①得9311a a ---=，所以5a =-.所以2 4.b =-所以 2.b =-（2）解：当5a =-. 2b =-时，由()1得2(2)(3)(25)(32)61910x a x b x x x x ++=--=-+.26．【探究】如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为 ；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．【拓展】计算()()()()()248322121212121+++++L 的结果为 ．【答案】探究：（1）22a b -，()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b +-=-；应用：①12；②481x -；拓展：6421-．【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积；（2）根据图①与图②的面积相等即可得；应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；②利用两次平方差公式即可得；拓展：将原式改写成()()()()()()24832212121221211+++-++L ，再多次利用平方差公式即可得．【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即22a b -，图②的阴影部分为长为()a b +，宽为()a b -的矩形，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；应用：①22()(422342)1m n m n m n -+=´=-=，故答案为：12；②原式22(9)(9)x x =-+，222()9x =-，481x =-；拓展：原式()()()()()()24832212121212211+++=-++L ，()()()()()2248322121212121++=-++L ，()()()()4348221212121=++-+L ，()()()8328212121=-++L ，()()32322121=-+，6421=-．故答案是：6421-．【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．27．【典例展示】若关于x ，y 的代数式3324ax y x y +--+的值与x 无关，求a 的值；解：原式()332434ax x y y a x y =-+-+=-++∵代数式3324ax y x y +--+的值与x 无关，∴30a -=，∴3a =．【理解应用】已知()()()43213A x x x m =+---，21B x mx =+-，且4A B -的值与x 无关，求m 的值；【拓展延伸】用6张长为a ，宽为b 的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为1S ，右下角部分的面积为2S ，当AD 的长度发生变化时，2152S S -的值始终保持不变，求a 与b 之间的数量关系．【答案】【理解应用】6m =-；【拓展延伸】5b a=【分析】本题考查了整式的混合运算的应用：【理解应用】先去括号得()62m x ---，再根据去关型问题得60m --=，进而可求解；【拓展延伸】设AD c =，由图得14S bc ab =-，222S ac ab =-，则可得()21521022S S a b c ab -=--，根据题意得1020a b -=，进而可求解；熟练掌握其运算法则是解题的关键．【解析】解：【理解应用】()()()()244321341A B x x x m x mx -=+----+-2243448364x mx x x x x x m -+-+---+=()62m x =---，Q 4A B -的值与x 无关，60m \--=，解得：6m =-；【拓展延伸】设AD c =，由图得：()144S c a b bc ab =-=-，()2222S a c b ac ab =-=-，()()215252224S S ac ab bc ab \-=---101028ac ab bc ab=--+()1022a b c ab =--，Q AD的长度发生变化时，21-的值始终保持不变，S S52\-=，1020a b\=．5b a。

1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶<教师备案> 推导： 证法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始 边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--知识点睛12.1和角公式与差角公式满分晋级第12讲 和差角公式和二倍角公式三角函数6级 正弦型函数的图象性质及综合应用三角函数7级 和差角公式 和二倍角公式三角函数8级 三角恒等变换 三大问题∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦． 证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==．因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=〈〉+，或2πOP OQ k αβ-=-〈〉+，成立． 因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+，，．()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅〈〉=-，． 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶<教师备案>推导：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．<教师备案>推导：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．<教师备案> 练习1和练习2是和差角公式直接应用的配套练习，如果学校已经学习过可以不做，可能有些学校的进度较慢，有些学生没有学习过，供老师们选择使用．3sin 5α=，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，12cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-，cos()αβ+，sin()αβ+，sin()αβ-的值． 【解析】 由3sin 5α=，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α==-，3tan 4α=-； 由12cos 13β=-，β是第三象限角得5sin 13β=-，5tan 12β=，∴4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；4123563cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3124556sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7B ．7-C ．73D ．73-【解析】 B因为4sin 5α=- ，α是第三象限的角，所以3cos 5α=-，则4tan 3α=，πtan tan π4tan 7π41tan tan 4ααα+⎛⎫+==- ⎪⎝⎭-．考点1：公式的逆用<教师备案> 公式的正用就象上面的练习1和练习2，直接使用公式就可以算出来．而公式的逆用是从右到左的，铺垫是两个小例子，让同学熟悉这样的形式，在讲完铺垫后老师就可以讲例1与例2了．【铺垫】⑴（2010福建理1）计算sin43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的结果等于（）．A ．12B C D⑵ ()()cos cos sin sin αββαββ---可以化为（ ），A ．()cos 2αβ-B ．cos αC ．cos βD ．()sin 2αβ-【解析】 ⑴ A()1sin 43cos13cos43sin13sin 4313sin302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=． ⑵ B()()()cos cos sin sin cos cos ααββαββββα---=-+=．<教师备案> 例1里都是正余弦公式逆用的题．【例1】 ⑴cos15cos45cos75sin45︒︒-︒︒的值为（ ）A．12 B C ．12- D．⑵sin133cos13cos47cos77︒︒+︒︒的结果等于（ ）A ．12B C ．2 D经典精讲⑶（目标班专用）计算：ππππsin 3cos 3cos 3sin 34364x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【解析】 ⑴ A()1cos15cos45cos75sin 45sin75cos45cos75sin 45sin 75452︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=． ⑵ D ；sin133cos13cos47cos77cos43cos13sin 43sin13cos30︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=⑶原式ππππππcos 3sin 3cos 3sin 3242364x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππcos 3sin 3sin 3cos 34646x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin 3cos 3cos 3sin 36464x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1sin 33sin 64642x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦<教师备案> 例2是两角和与差的正切公式的变形和逆用，常见的变形有：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+()tan tan tan tan 1tan αβαβαβ+=-+老师在说完这种变形之后，就可以讲例2了．【例2】 ⑴ 求值：①tan15tan30tan15tan30︒+︒+︒⋅︒= ； ②()()1tan551tan10+︒-︒= ；③（目标班专用）()()1tan11tan 2(1tan 44)+︒+︒⋅⋅⋅+︒= ．⑵ππππtan 2tan tan 2tan tan tan 6363θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【解析】 ⑴ ① 1；t a n 15t a n 301t a n 451t a n 15t a n 30︒+︒=︒=-︒⋅︒，所以tan15tan301tan15tan30︒+︒=-︒⋅︒ 则tan15tan30tan15tan301︒+︒+︒⋅︒= ② 2；()()1t a n 551t a n 101t a n 55t a n 10t a n 10t a n 55+︒-︒=+︒-︒-︒⋅︒ 而tan55tan10tan 45(1tan10tan55)1tan10tan55︒-︒=︒+︒⋅︒=+︒⋅︒所以原式值为2 ③ 222；(1tan1)(1tan 44)1(tan1tan 44)tan1tan 44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒ 而tan1tan 44tan(45)(1tan1tan 44)1tan1tan 44︒+︒=︒-︒⋅︒=-︒︒ 则(1tan1)(1tan 44)2+︒+︒=，同理(1tan 2)(1tan 43)2+︒+︒=，． ∴原式=222．⑵ 1；原式ππππtan 2tan tan tan tan 6363θθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππππtan 2tan 21tan tan tan tan 26363θθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1=．考点2：公式的灵活运用<教师备案> ()S αβ-与()S αβ+相加减可得含sin cos αβ与cos sin αβ的式子，相比即得tan tan αβ； ()C αβ-与()C αβ+相加减可得含sin sin αβ与cos cos αβ的式子，相比即得tan tan αβ．在具体讲解的时候，老师可以讲例3第一问，让学生做第二问．【例3】 ⑴已知()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为_______．⑵已知()1sin 6αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为_______．【解析】 ⑴12； 依题意有1cos cos sin sin 53cos cos sin sin 5αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2cos cos 51sin sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ⋅==．⑵ 3-；依题意有1sin cos cos sin 61sin cos cos sin 3αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以1sin cos 41cos sin 12αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，tan sin cos 3tan cos sin ααββαβ==-．<教师备案> 下面的题目是一种常见的变形，寻找两个式子之间的联系．处理的方式一般是两式平方再相加会得出我们想要的形式．老师可以拿下题来讲解，再让学生做例4．已知4sin sin 53cos cos 5αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则()cos αβ-= ．【解析】 12-；()()22sin sin cos cos 1αβαβ+++=．即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=，得到()22cos 1αβ+-=，从而()1cos 2αβ-=-．【例4】 ⑴已知4sin cos 53cos sin 5αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()1cos 2αβ-=B ．()1sin 2αβ-=C ．()1cos 2αβ+=-D ．()1sin 2αβ-=-⑵已知4sin 2cos 12sin 4cos αββα+=+=，()sin αβ+的值为 ． ⑶已知sin sin sin 0cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，，则()cos αγ-的值为 ． ⑷（目标班专用）设sin sin x y +cos cos x y +的最大值是 ． 【解析】 ⑴ D ；⑵ 12依题意有()()224sin 2cos 2sin 4cos 28αββα+++=，化简整理得：1sin cos sin cos 2αββα⋅+⋅=，所以()1sin 2αβ+=．⑶ 12-；sin sin sin cos cos cos βγαβγα-=+-=+，．所以有()()22sin sin cos cos 1γαγα+++=， 即22sin sin 2cos cos 1γαγα++=，()22cos 1αγ+-=．所以()1cos 2αγ-=-．⑷；两式平方相加得()()2122cos cos cos 2x y x y +-=++，()()237cos cos 2cos 22x y x y +=+-≤，所以cos cos x y +的最大值是2，当x y =时等号可以取到．考点3：公式在三角形中的应用<教师备案> 1．在ABC △隐含条件：πA B C ++=，即πA B C +=-，π222A B C+=-． 常用等式：sin()sin A B C +=，πsin sin cos 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 2．在ABC △，sin sin A B >与A B >是等价的．证明：① 若A B >，则sin sin A B >，因为0πA B <+<，所以0ππB A <<-<，根据正弦函数的单调性，易得sin sin B A <（A B ，均为锐角）或()sin sin πsin B A A <-=（π2A ≥），所以若A B >，则sin sin A B >， ② 若sin sin A B >，则A B >，因为0πA B <+<，所以0πB A <<-，当π2A ≥时，则π0π2B A <<-≤，则()sin sin πsin B A A <-=，当A 为锐角时，则π02B <≤或π0<π2B -≤，因为sin sin A B >，所以()sin sin πA B >-，若π0<π2B -≤，则πA B >-，πA B +>与0πA B <+<矛盾， 所以π02B <≤，所以A B >．备注：学完正弦定理这个结论能更快得到．<教师备案> 因为三角形的内角都在(0π)，上，所以它们的正弦值都为正，但已知内角的正弦值求余弦值就需要对角度大小进行判断，以确定余弦值是正是负，有时需要用到上面的结论去估计角的大小范围，如下面例5.⑵．【例5】 ⑴在ABC △中，3cos 5A =，5cos 13B =，则cos C 的值为_________．⑵已知在ABC △中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC 的值为（ ）A ．1665-或5665B ．1665或5665C ．5665D ．1665【解析】 ⑴ 3365∵A 、B 、C 为ABC △的内角， ∴A 、B 、(0π)C ∈，，πA B C ++=． ∴sin 0A >，sin 0B >∵3cos 5A =，5cos 13B =∴4sin 5A =，12sin 13B =．∴()()cos cos πcos (cos cos sin sin )C A B A B A B A B =--=-+=--541233513513653⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ⑵ D在ABC △中，0πB <<，0πA <<，πA B C ++=．因为5cos 13B =，所以12sin 13B =．又3sin 5A =，所以sin sinB A >，所以B A >，所以A 为锐角，故4cos 5A =．从而()cos cos πC A B =-+⎡⎤⎣⎦()cos A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+1665=．<教师备案>例6主要是判断三角形的形状，我们现在判断三角形形状只能根据内角和为π等基本条件，能解决的问题也有限，更多的判断三角形形状会在我们学完解三角形后遇到．【例6】 ⑴在ABC △中，若tan tan 1A B >，则这个三角形是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形⑵在ABC △中，已知()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC △是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形 ⑶ (目标班专用)在ABC △中，若2sin cos sin A B C =，则这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解析】 ⑴ C ；由tan tan 0A B >知，tan 0A >且tan 0B >（如果同负会出现两个钝角，不可能），故A B ，均为锐角．tan tan 1A B >∵，sin sin cos cos A B A B >∴，即()cos 0A B +<，即cos 0C >，∴C ∠为锐角，从而三角形的三个内角都是锐角，所以ABC △为锐角三角形． ⑵ C ；将()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥展开整理得：sin 1A ≥，sin 1A =∴，π2A ∠=∴，ABC ∴△为直角三角形 ⑶ B ；()2sin cos sin sin sin cos sin cos A B C A B A B B A ==+=+即()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，即B A = 所以ABC △为等腰三角形【备选】已知ABC △为非直角三角形，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅． 【解析】 证明：因为πA B C ++=，所以πA B C +=-．所以()()tan tan πtan A B C C +=-=-．即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--⋅，()tan tan tan 1tan tan A B C A B +=--⋅，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．1．二倍角的正弦、余弦、正切 2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos 2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． 2． 公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，． ()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±；()()cos 2cos sin cos sin ααααα=+-．备注：由公式的变形221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，，还可以得到21cos2tan 1cos2ααα-=+，由这组公式我们可以由α的三角函数值，结合α角的范围得到cossintan222ααα，，，这组公式又被称为知识点睛12.2二倍角公式半角公式．这些公式现在课本不再单独提出，直接作为二倍角公式的变形使用，它的应用还是挺广泛的．<教师备案> 设置挑战五分钟的目的是为了让学生尽快熟悉公式的形式和变形式，通过一些简单的练习来加强公式的记忆．而例7是公式的变形使用，在做完挑战五分钟后，老师就可以讲解例7了．【挑战5分钟】求下列各三角函数的值：①34sin ,cos 55αα==，求sin 2,cos2,tan 2ααα；②π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，求cos2,sin 2,tan 2x x x ；③sin22.5cos22.5︒︒；④22cos 15sin 15︒-︒；⑤22tan 751tan 75︒-︒；⑥224cos 1533+︒；⑦1tan 42α=，求tan α； ⑧7cos29α=-，并且90180α︒<<︒，求cos ,sin ,tan ααα．【解析】 ①2472425257，，；②7242425257--，，；⑤；⑦247-；⑧13--．考点4：二倍角公式及其变形的应用 【例7】 ⑴若π3sin 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=_________．⑵ (目标班专用)若π1sin 53α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3πcos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑶（2012山东理7）若ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ=sin θ=（ ）A ．35B ．45 CD ．34 【解析】 ⑴ 725-π3cos sin 25θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，于是27cos22cos 125θθ=-=-．⑵ 79-∵π1sin 53α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3π1cos 103α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴23π3π3π7cos 2cos 22cos 1510109ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．⑶ D ；经典精讲ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，，π2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，，1cos28θ==-∴，3sin 4θ==∴．<教师备案> 灵活应用1sin cos sin 22θθθ=可以解决一些连乘问题，这需要连乘的对象是余弦，从而可以一直变形下去，还需要角度成比例关系（即等比数列）才可以递推，所以如果不是这个形式，需要通过诱导公式进行变形转化．【例8】 求值：⑴cos20cos40cos80︒︒︒；⑵π2π3π4πcos cos cos cos9999⋅⋅⋅．⑶（目标班专用）sin6sin42sin66sin78︒︒︒︒．【解析】 ⑴ 18；原式8sin 20cos20cos40cos808sin 20︒︒︒︒=︒sin1608sin 20︒=︒18=．②116； ππ2π4π8π8sin cos cos cos sinπ2π4π199999cos cos cos ππ99988sin 8sin 99⋅⋅⋅⋅⋅===， 原式π2π3π4π1π1cos cos cos cos cos 99998316⋅⋅⋅==．③ 116； 原式sin6cos48cos24cos12=︒︒︒︒442sin 6cos6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒=︒32sin12cos12cos24cos4816cos6︒︒︒︒=︒22sin 24cos24cos4816cos6︒︒︒=︒sin9616cos6︒=︒116=．<教师备案> 例9是一类分数形式的化简问题，需要将分子和分母朝有联系的方向进行化简，从而找到公因式等消去得到结果．【例9】 ⑴23sin 702cos 10-︒=-︒________． ⑵若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A． B ．12- C ．12D⑶若tan 2α=，求1sin 4cos41sin 4cos4αααα+-++的值．⑷（目标班专用）已知α是第二象限角，且sin α=πsin 4sin 2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值． 【解析】 ⑴ 211 ()()223sin 7023sin 703sin 703sin 7021cos202cos 103cos203sin 7022-︒-︒-︒-︒====+︒-︒-︒-︒-． ⑵ C ()()()()222cos sin cos sin cos 222cos sin πsin cos 2sin sin cos 4αααααααααααα-+===-+=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以1cos sin 2αα+=． ⑶ 43-； ()()22sin 2sin 2cos 21sin 4cos 42sin 22sin 2cos 2tan 21sin 4cos 42cos 22sin 2cos 2cos 2cos 2sin 2ααααααααααααααααα++-+===++++． 22tan 44tan 21tan 143ααα===---． ⑷ 2- 2ππ2sin sin (sin cos )2442sin 2cos21sin 22cos 2cos (sin cos )ααααααααααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===++++ ∵α是第二象限角且15sin α=，∴1cos 4α=-．∴原式2=-．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，求1tan 21tan 2αα+-的值． 【解析】 2sin 21cos sin 1tan cos cos sin 1sin 222222cos 1tan sin cos sin cos sin cos sin 222222221cos 2αααααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭====⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-． 因为4cos 5α=-，α是第三象限的角，所以3sin 5α=-． 311tan 1sin 1524cos 21tan 25αααα-++===---．实战演练12【演练1】若α，β是同一象限的角，且1sin 3α=-，cos β=，则()sin αβ-=_____． 【解析】 由sin 0cos 0αβ<>，知，α、β为第四象限角，从而3cos sin 4αβ==-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-【演练2】设ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5sin =13απ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ． 【解析】 1713-πππ12517cos cos sin sin cos sin 444131313ααααα⎛⎫⎫+-=-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎭．【演练3】求tan20tan30tan30tan40tan40tan20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值．【解析】 1；原式tan30(tan20tan40)tan40tan20=︒⋅︒+︒+︒⋅︒tan(2040)(1tan 20tan 40)tan 40tan 20=︒+︒⋅-︒⋅︒+︒⋅︒1tan20tan40tan40tan201=-︒⋅︒+︒⋅︒=．【演练4】已知π4αβ+=，则()()1tan 1tan αβ++的值为 ． 【解析】 2； 因为π4αβ+=，所以()πtan tan 14αβ+==． 所以tan tan 11tan tan αβαβ+=-⋅，tan tan tan tan 1αβαβ++⋅=． ()()1tan 1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ++=+++⋅112=+=．【演练5】已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ． 【解析】 725- 因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 25θθ+=，即11sin 225θ+=，24sin 225θ=-． 又324θππ≤≤，32θππ≤2≤，所以cos20θ<，7cos225θ=-．【演练6】已知1tan 2α=，则()2sin cos cos 2ααα+=（ ）． A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【解析】 C方法一：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos2cos sin ααααααααα+++=-22111tan 2tan 14311tan 14ααα++++===--． 方法二：13 ()()()()()22222sin cos sin cos sin cos cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααααααααα+++==--+ 11sin cos tan 1231cos sin 1tan 12αααααα+++====---．已知sin sin 1αβ+=，cos cos 0αβ+==__________．【解析】由sin sin 1αβ+=得22sin sin 2sin sin 1αβαβ++=……① 由cos cos 0αβ+=得22cos cos 2cos cos 0αβαβ++=……②则①+②得112cos()1αβ++-=，即1cos()2αβ-=-， cos cos 0cos cos cos(π)αβαββ+=⇔=-=±，所以(21)πk αβ=+-（πk αβ-≠） 即(21)πk αβ+=+，所以cos()cos(21)π1k αβ+=+=-大千世界。

个性化教学辅导教案1、已知数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足*)(242N n a a S n n n ∈+=，则=n a ____2n______．2、在数列}{n a 中，4,411=-=+n n a a a ，则20a 的值为____77______.3、若等差数列的前项和为，且，则 114、在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________[解析]由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<- 5、设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6等于( )A ．31.5B ．160C ．79.5D ．159.5[解析]1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，∴1＋2a 6＝5×25.∴a 6＝5×32－12＝79.5.6、三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是___________． [解析]设三数为a q ，a ，aq ，则a q ＋a ＋aq ＝14，aq ·a ·aq ＝64，即a )11(qq ++＝14，a 3＝64，解得：a ＝4，q ＝12或2，故所求三数为8，4，2或2，4，8.{}n a n n S 3115,2S a ==4a =例3 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列.错位相减法求数列的前n 项和 例4 求数列n n 212,167,85,43,21-⋅⋅⋅的前n 项和1、等比数列前n 项和的有关计算2、等比数列的前n 项和与通项公式的关系3、等比数列的前n 项和性质4、错位相减法求数列的前n 项和目标分解学习目标：等比数列的前n 项和及应用 目标1：掌握等比数列前n 项和公式 目标2：等比数列前n 项和公式及其获取思路目标3：会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 目标4：会用等比数列的前n 项和公式的性质解决一些与前n 项和有关的问题 教学过程（1）写求和展开式时习惯算出每一项 （2）出现某些项的遗漏现象（3）项数的计算错误（最常见的错误） （4）两式相减时，等比数列前面的系数出错 第四步中前面S n （5）的系数没有除尽 例4[解析] 设n n n S 21225232132-+⋅⋅⋅+++=， ① 则1-2212252312n n n S -+⋅⋅⋅+++=， ②∴①-②，得-Sn=-1-2(132********-+⋅⋅⋅+++n )+n n 212-=-1-2nn n 22211)211(211+--⨯- =-1-2+n n n 212212-+-=-3+nn 232+∴nn n S 2323+-=1、等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及 [解析] 由等比数列的通项公式得64143-==a a q ，∴q =-4 ∴S 4 =511)1(41=--qq a2、等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ -13、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.[证明] ∵142n n S a +=+，① ∴2412+=++n n a S ，② ①-②，得)(4-112n n n n a a S S -=+++即）（n n n n n n n a a a a a a a -22-4411212+++++=⇒-= ∴n n b b 21=+ ∴数列{}n b 是等比数列4、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S[解析] 由等比数列前n 项和性质得：2030102010,,S S S S S --成等比数列， ∵301013S S =，1030140S S +=，联立解得：4020=S 或-30（舍去） ∴)()(20301021020S S S S S -⋅=- 5、设等比数列{}n a 的前n 项和S n ，若336=S S ，则69S S=（ B ） A.2 B.37 C.38D.3 6、设数列{}n a 满足121123,2-+⋅=-=n n n a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n na b =，求数列{n b }的前n 项和S n . [解析] (1)由已知，当1≥n 时，2)222(3)]()()[(3212112111++⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅+-+-=---++n n n n n n n a a a a a a a a =1)1(21222-++=n n而,21=a 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为122-=n n a（2）由122-⋅==n n n n na b ，知12532232221-⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n S ① 1212753222)1(2322212+-⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=⋅n n n n n S ② ①-②，得121253222222)21(+-⋅-+⋅⋅⋅+++=-n n n n S ，即]22)13[(9112+-=+n n n s查漏补缺：1、设首项为l ，公比为32的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则 ( D ) A ．12-=n n a S B ．23-=n n a S C ．n n a S 3-4= D ．n n a S 2-3=2、已知数列}{n a 满足021=-+n n a a ，若212=a ，则数列}{n a 的前11项和为（ C ） A ．256 B ．C ．D ．3、已知数列}{n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，8,26521=+=+a a a a ，则=10S （ D ）A ．B ．C ．D ．4、一个等比数列前n 项的和为48，前n 2项的和为60，则前n 3项的和为（ D ） A ．83B ．108C ．75D ．635、设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若448=S S ，则=812S S（ B ） A ．2 B ．C ．D ．46、已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 1052+=，（其中*N n ∈），则3a =___35___；7、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，*))(1(31N n a S n n ∈-=． （1）求21,a a ；（2）求数列}{n a 的通项公式． [解析]（1）由，得，故，又，即，得（2）当时，，得，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以举一反三：1、中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”。

辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题分组分解法教学内容分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．如何将多项式am an bm bn+++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn+++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n+=+,()bm bn b m n+=+分组分解法知识结构知识精讲内容分析而：()()()()a m n b m n m n a b +++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【例1】 因式分解：（1）2a ab ac bc -+-；（2）ax by bx ay --+． 【难度】★【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()x y a b +-．【解析】（1）原式()()()()a a b c a b a c a b =-+-=+-；（2）原式()()()()a x y b x y x y a b =+-+=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例2】 分解因式：32x bx ax ab +++．【难度】★【答案】2()()x b x a ++．【解析】原式2()()x x b a x b =+++2()()x b x a =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例3】 分解因式：32acx bcx adx bd +++．【难度】★【答案】2()()ax b cx d ++．【解析】原式2()()cx ax b d ax b =+++2()()ax b cx d =++．例题解析【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例4】 分解因式：22abx bxy axy y +--．【难度】★【答案】()()ax y bx y +-．【解析】原式()()bx ax y y ax y =+-+()()ax y bx y =+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例5】 分解因式：2105ax ay by bx -+-．【难度】★【答案】(2)(5)a b x y --．【解析】原式2(5)(5)a x y b x y =---(2)(5)a b x y =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例6】 因式分解：26694k mn km kn -+-．【难度】★【答案】(32)(23)k n k m -+．【解析】原式3(23)2(23)k k m n k m =+-+(32)(23)k n k m =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例7】 分解因式：222332154810ac cx ax c +--．【难度】★【答案】22(23)(165)c x a c --．【解析】原式222216(23)5(23)a c x c c x =---22(23)(165)c x a c =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例8】 分解因式：2222ac bd ad bc +--．【难度】★★【答案】()()()c d c d a b -+-．【解析】原式2222()()a c d b d c =-+-22()()c d a b =-- ()()()c d c d a b =-+-．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例9】 分解因式：221x ax x ax a +++--．【难度】★★【答案】2(1)(1)a x x ++-．【解析】原式2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例10】 分解因式：4321x x x ++-．【难度】★★【答案】322(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=+-+．【解析】原式3(1)(1)x x x =+++3(1)(1)x x =++（未学过立方和的分解到这一步就可以） 22(1)(1)x x x +-+【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例11】 分解因式：22221a b a b --+．【难度】★★【答案】(1)(1)(1)(1)a a b b -+-+．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a b a a b b =---=--=-+-+【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例12】 分解因式：22222a b a b ab ---．【难度】★★【答案】()()ab a b ab a b --++．【解析】原式2222222(2)()()()a b a b ab a b a b ab a b ab a b =-++=-+=--++【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【例13】 分解因式：2421193n n m m x x y y +-+． 【难度】★★【答案】2211()(1)33n m n m x y x y +-+． 【解析】原式2422222211()93111()()()33311()(1)33n m n m n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-+ 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解．【例14】 分解因式：()()x x z y y z +-+．【难度】★★【答案】()()x y x y z -++．【解析】原式2222()()()x xz y yz x y z x y x y x y z =+--=-+-=-++．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．【例15】 分解因式：()()2221ab x x a b +++． 【难度】★★【答案】()()ax b bx a ++．【解析】原式222()()()()abx ab a x b x ax bx a b a bx ax b bx a =+++=+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．【例16】 因式分解：()()2232x x x x ++-+． 【难度】★★★【答案】2(2)(1)(1)x x x x +-+-【解析】原式222222()3()2[()2][()1](2)(1)(1)x x x x x x x x x x x x =+-++=+-+-=+-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，注意先拆再重新分组．【例17】 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．【难度】★★★【答案】7、9、11．【解析】设三个连续奇数最小的为21(0)k k +≥且k 为整数，则由题意可得：222(21)(23)(25)251k k k +++++=，即222441412942025251k k k k k k ++++++++=．整理，得：23180k k +-=，即(6)(3)0k k +-=． ∵0k ≥，∴3k =． ∴这三个连续奇数为7、9、11．【点评】如何设三个连续奇数是难点，然后完全平方公式的分解化为一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解．【例18】 已知：111201*********a xb xc x =+=+=+，，， 求：222a b c ab bc ac ++---的值．【难度】★★★【答案】3．【解析】由222a b c ab bc ac ++---，可得：2222222221(222222)21[()()()]2a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b b c a c ++---=++---=-+-+- 把已知代入，可得：222a b c ab bc ac ++---=1(141)32⨯++=． 【点评】主要利用系数乘以2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性．【例19】 已知三条线段长分别为a 、b 、c 其中a b c <<，且满足2222a c b ac +<+．证明：以a 、b 、c为三边能构成三角形．【难度】★★★【答案】见【解析】．【解析】∵2222a c ac b +-<，即22()a c b -<．∴c a b -<，∴c a b <+，又c 最大，可得以a 、b 、c 为三边能构成三角形．【点评】考查学生对于构成三角形的条件判定，以及运用因式分解求解不等式的能力．【例20】 求方程x y xy -=的整数解．【难度】★★★【答案】12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．【解析】由方程可得1(1)111y x y xy x y y x y y-=-===-+--，，所以， ∵x 、y 均为整数，∴11y -=±，∴12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 【点评】本题综合性较强，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整数解，注意对方法的总结．【习题1】 因式分解：（1）33ac bc a b +++；（2）1xy x y --+、【难度】★【答案】（1）()(3)a b c ++；（2）(1)(1)x y --．【解析】（1）原式()3()()(3)c a b a b a b c =+++=++；（2）原式(1)(1)(1)(1)x y y x y =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题2】 分解因式：432x x x x +++．【难度】★【答案】2(1)(1)x x x ++．【解析】原式32(1)(1)(1)(1)x x x x x x x =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题3】 分解因式：222a ab ac bc +--．【难度】★【答案】()(2)a c a b -+．【解析】原式()2()()(2)a a c b a c a c a b =-+-=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题4】 分解因式：ax ay bx cy cx by -++--【难度】★【答案】()()a b c x y +--．【解析】原式()()()()()a x y b x y c y x a b c x y =-+-+-=+--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题5】 分解因式：27321x y xy x -+-．【难度】★随堂检测【答案】(7)(3)x y x +-．【解析】原式7(3)(3)(7)(3)x x y x x y x =---=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题6】 分解因式：2226923ax a xy xy ay -+-．【难度】★【答案】(3)(23)ax y x ay +-．【解析】原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题7】 分解因式：222221x y z x z y z --+．【难度】★【答案】22(1)(1)y z x z --．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)x z y z y z y z x z =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题8】 分解因式：3254222x x x x x --++-．【难度】★★【答案】24(2)(1)x x x -+-．【解析】原式2424(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x =---+-=-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意不要漏项．【习题9】 因式分解：2224x xy y ++-．【难度】★★【答案】(2)(2)x y x y +-++．【解析】原式2()4(2)(2)x y x y x y =+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题10】 分解因式：2293x x y y ---．【难度】★★【答案】(3)(31)x y x y +--．【解析】原式229(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y =--+=+--+=+--．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题11】 228224x y xy ---．【难度】★★【答案】2(2)(2)x y x y --++．【解析】原式22[4()]2(2)(2)x y x y x y =-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用，第一步先提取公因式很重要．【习题12】 分解因式：226269x xy x y y --++【难度】★★【答案】(3)(32)x y x y ---．【解析】原式222(69)2(3)(3)2(3)(3)(32)x xy y x y x y x y x y x y =-+--=---=---【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题13】 分解因式：2212x x y ---+．【难度】★★【答案】(1)(1)y x y x --++．【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)x x y y x y x y x =-+++=-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题14】 分解因式：222223a ab b a b ++---．【难度】★★【答案】(3)(1)a b a b +-++．【解析】原式2()2()3(3)(1)a b a b a b a b =+-+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题15】 分解因式：()()126x x x ---．【难度】★★【答案】2(2)(3)x x +-．【解析】原式3222326(3)2(3)(2)(3)x x x x x x x x =-+-=-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题16】 分解因式：()()()()2222a b a c c d b d +++-+-+．【难度】★★【答案】2()()a d a b c d -+++．【解析】原式2222()()()()()()()()()(2)()(2)()(2222)2()()a b b d a c c d a b b d a b b d a c c d a c c d a d a b d a d a c d a d a b c d a d a b c d =+-+++-+=+--+++++--+++=-+++-++=-+++=-+++【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重新分组，分解一定要彻底．【习题17】 已知：22102510x xy y ++-=，化简：3225x x y x ++．【难度】★★【答案】0或22x ．【解析】由22102510x xy y ++-=，可得：2(5)10x y +-=，∴51x y +=±．∵32225(51)x x y x x x y ++=++，∴3225x x y x ++的值为0或22x ．【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想．【习题18】 把多项式()242211a a a a a +++++分解因式，所得的结果为（ ）A ．()221a a +-B ．()221a a -+C ．()221a a ++D ．()221a a -- 【难度】★★★【答案】C【解析】()2423242222222222112221(21)221()2()1(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++++=++++=++【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题19】 因式分解：222816x x y y -+-．【难度】★★★【答案】(4)(42)x y x y -+-．【解析】原式2222211816(1)(14)(114)(114)(4)(42)x x y y x y x y x y x y x y =-+-+-=---=-+---+=-+-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题20】 因式分解：22243x y x y -++-．【难度】★★★【答案】(3)(1)x y x y -++-．【解析】原式222221(44)(1)(2)(12)(12)(3)(1)x x y y x y x y x y x y x y =++--+=+--=+-+++-=-++-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题21】 已知：221a b +=，221c d +=，且0ac bd +=，求ab cd +的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由222222222()202ac bd a c abcd b d abcd a c b d +=++==--，得， 代入2222222222222()2ab cd a b abcd c d a b a c b d c d +=++=--+2222222222()()()()a b c d b c b c a d =---=--，再把221a b +=，221c d +=代入，可得：22222222222()()(11)()()b c a d a d a d a d --=--+-=--，∴2222()()ab cd a d +=--，∴2222()()0ab cd a d ++-=，可得0ab cd +=．【点评】本题综合性较强，主要考查学生如何通过代数式等式，利用完全平方公式和因式分解以及非负性求解代数式的值．【作业1】 因式分解：课后作业（1）a ax b bx --+；（2）2xy y yz xz --+．【难度】★ 【答案】（1）()(1)a b x --；（2）()()x y y z -+．【解析】（1）原式()()()(1)a b x a b a b x =---=--；（2）原式()()()()y x y z y x x y y z =---=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业2】 分解因式：4333x x y xz yz +++．【难度】★【答案】33()()x z x y ++．【解析】原式3333()()()()x x y z x y x z x y =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业3】 分解因式：325153x x x --+．【难度】★【答案】2(51)(3)x x --．【解析】原式225(3)(3)(51)(3)x x x x x =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业4】 分解因式：251539a m am abm bm -+-．【难度】★【答案】(53)(3)m a b a +-．【解析】原式5(3)3(3)(53)(3)am a bm a m a b a =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业5】 分解因式：54321x x x x x +++++．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +++．【解析】原式4242(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =+++++=+++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业6】 分解因式：22ax bx bx ax a b -+-+-．【难度】★★【答案】2()(1)a b x x --+．【解析】原式22()()()()(1)x a b x b a a b a b x x =-+-+-=--+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业7】 分解因式：21ax x a ++-．【难度】★★【答案】(1)(1)x ax a +-+．【解析】原式2(1)(1)(1)(1)a x x x ax a =-++=+-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业8】 分解因式：()22112a b b b --+-．【难度】★★【答案】2(1)(1)a b --．【解析】原式222(1)(1)(1)(1)a b b a b =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力．【作业9】 分解因式：3223a a b ab b --+．【难度】★★★【答案】2()()a b a b -+．【解析】原式22()()a a b b a b =---()()()a b a b a b =-+-2()()a b a b =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力，注意分解要彻底．【作业10】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】由22224613044690a b a b a a b b +--+=-++-+=，得， 即22(2)(3)0a b -+-=，∴23a b ==，． ∴5a b +=．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．。

高一·物理·竞赛班·第12讲·教师版 讲述高端的真正的物理学第12讲 电流 电动势 欧姆定律1. 电流，电压，电动势。

2. 欧姆定律，电阻，欧姆定律微分式。

3. 导电原理，经典自由电子论。

从电场到电路，我们的同学在物理思维习惯上需要一个质的突破，突破的障碍来源于初中的电学给我们同学交代的概念都是“不解释”的，所以本讲的目的在于让大家从本质上去理解这些概念。

第一部分 电学参数引入：电流的发现1780年，意大利生物学家伽伐尼偶然发现助手用解剖刀接触到青蛙的股神经时，蛙腿发生强烈的抽搐现象。

几年后，伽伐尼在伦敦博物馆看到当人用两只手同时接触一种称为“电鳗”的鱼的头部和尾部时，有一种麻电的感觉，这说明电鳗体内存在“动物电”，可引起放电。

意大利物理学家、化学家伏打怀疑蛙腿的抽动是一种对电流的灵敏反应。

从实验发现了两种不同金属相互接触时会产生接触电势差。

1800年伏打把圆铁片、浸过盐水的圆纸板以及圆铜片堆放在一起。

这样，他就做成了第一个电池。

伏打电堆被称为"神奇的仪器",曾表演给拿破仑看.知识模块本讲提纲到了近代，随着原子科学的发展，人类逐渐发现了，原子，电子，离子。

终于能准确的描述电的现象。

所谓电流，就是导体中可以自由移动的电荷（电子或者离子）在力的作用下运动的现象。

知识点睛一.电流强度电流密度 1．电流的产生导体中存在着大量的自由电荷，在静电平衡条件下，导体内部的场强为零，自由电荷没有宏观的定向运动。

若导体内的场强不为零，自由电荷将会在电场力的作用下，逆着电场方向运动。

我们把导体中电荷的定向运动称为电流。

2．产生电流的条件：①导体中要有可以自由运动的带电粒子(电子或离子)； ②导体内电场强度不为零。

若导体内部的电场不随时间变化时，驱动电荷的电场力不随时间变化，因而导体中所形成的电流将不随时间变化，这种电流称为恒定电流（或稳恒电流）。

如下是本来的热运动电荷再受到外电场作用时形成电流的示意图：计算表明：导体中的自由电荷在电场力作用下定向移动的速率一般为10-5～10-4m/s （这个推导在本讲后面内容中讲提到）。

说明文阅读（一）整体把握（一）说明文分类1.依说明对象与目的的不同分为：事物说明文：着重介绍说明事物的特点（如：形态、位置、结构、功能等）事理说明文：着重阐明事物内在机理（如：概念、特点、种类、原因、规律等）2.依语言特色分为：平实说明文、生动说明文（二）说明对象1.考查说明对象：（1）若考全文的说明对象一般在文题或首尾段。

（2）若考段落的说明对象，一般是出现在段首的中心句，有时在段间的承上启下句中能找到。

2.说明对象的特征表现在构造（内外）、形态（大小、长短）、性质（软硬、冷热）、变化（动静、快慢）、成因（简单复杂）、功用（广狭、正反）方法：（1）看标题（修饰、限制成分）（2）抓关键句（即含有许多能提挈、收束全文或文段的语言信息，常出现在开头部分或结尾处，也有在承上启下的中间）（3）若无关键句，归纳各段段意，总体分析后概括（4）借助说明方法的分析（三）说明顺序1.时间顺序：说明事物发展、演变，表现为从古至今、具体日期等的依次推移。

另：介绍制作过程的程序，一般用时间顺序。

2.空间顺序：说明事物形状、构造或参观建筑物，表现形式有：上下、左右、前后、内外、远近，表现为视线、方位的依次转移3.逻辑顺序：阐释事理，表现形式有：因—果，主—次，浅—深，现象—本质，简—繁，整体—局部，一般—特殊，概括—具体注：有的说明文不单一用一种说明顺序，答题时注意题目问法（四）说明文的结构1.总分式（包括总－分，总－分－总，分－总）2.递进式（各层意思逐步深入：从现象到本质，从性状到用途，从原因到结果，从整体到部分，从主要到次要，从具体到概括）3.并列式注：事物说明文多用总分式结构，其中“分”的部分常按并列式安排；事理说明文多用递进式（五）说明方法及作用1.说明方法：举例子、列数字、作比较、列图表（常见）2.说明方法作用：思路：①、无论何种方法，都是为了说清说明对象的××特征②、应注意是为了说明本段中心句，还是全文说明对象的特征3.常见说明方法作用：（1）运用举例子的说明方法，（举了什么事例）具体充分（有力）地说明了××说明对象的××特征（2）运用列数字的说明方法，具体准确地说明了××说明对象的××特征（3）运用作比较的说明方法，将……和……作比较，鲜明突出地说明了××说明对象的××特征。

第12讲简单的代数式单元综合检测一、单选题1．下列各式符合代数式书写规范的是（）A ．18b ´B ．2b a -C ．114xD ．2m n÷【答案】B【分析】本题考查了代数式的书写规范等知识，依据代数式的书写规范逐项判断即可求解．【解析】解：A.数字与字母相乘，一般省略乘号或用“⋅”代替，应写为18b ，故原选项书写不规范，不合题意；B.2ba -书写规范，符合题意；C.单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为54x ，故原选项书写不规范，不合题意；D.两个字母相除，一般写成分数形式，故应写为2mn，故原选项书写不规范，不合题意．故选：B ．2.下列各式中，是一次式的是()A.3x+2y+5 B.6;C.y²+3x+2; D.x3【答案】A3．用a -表示的数一定是（）A ．负数B ．正数或负数C ．负整数D ．以上全不对【答案】D【分析】本题主要考查用字母可以表示数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数．【解析】解：A 、当a 为非正数时，则a -表示的数是非负数，故此选项不符合题意；B 、当0a =时，0a -=，即此时a -表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意；C 、当0a =时，0a -=，即此时a -表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意；故选D ．4.下列去括号正确的是（）A.a-(5b-c)=a-5b-c;B.a+(b-c-6d)=a+b-c+6d;C.m-3(p-q)=m-3p+q;D.x-[-(-x+y)]=y.【答案】D5.下列说法中正确的是（）A.在一次式中，常数项没有同类项；B.在一次式中，3x 与3y 是同类项；C.一次式与一次式的和一定是一次式；D.在一次式中，—2x 与2x-是同类项.【答案】D6．甲数是乙数的5倍少3，则下列说法正确的是（）①设乙数为x ，甲数为53x -②设甲数为x ，乙数为135x +③设甲数为x ，乙数为()135x +④设甲数为x ，乙数为()135x -A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④【答案】A【分析】本题考查了列代数式，根据“甲数是乙数的5倍少3”，逐个进行判断即可．【解析】解：设乙数为x ，甲数为53x -，故①正确，符合题意；设甲数为x ，乙数为()135x +，故②④不正确，不符合题意；③正确，符合题意；综上：正确的有①③，故选：A ．7．代数式a b -的值为2，则代数式()8a b --+A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】C【分析】本题主要考查了代数式求值，将2a b -=整体代入，再计算即可．【解析】∵2a b -=，∴()8286a b --+=-+=．故选：C ．8.王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示.王老师捂住的一次式是()A.5m+11;B.-5m-11;C.35m—11;【答案】A9．张老师用长10a 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为b a -，则另一边的长为（）A ．11a b -B ．4a b-C ．122-a bD ．6a b-【答案】D【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算求解即可，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则，是解题的关键．【解析】解：由题意得，另一边长是()1102a b a ⨯--，5a b a =-+，6a b =-，故选：D ．1a x =2，规定从第二个式子开始，每一个式子的2倍等于它前、后两个式子的和．例如：2132a a a =+，3242a a a =+，则下列说法正确的有（）（1）181920111a a a x ++=（2）123866a a a a x++++= （3）()()24610013599100a a a a a a a a x ++++-++++= A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】本题考查了数字的变化规律，根据所定义的运算，可求出3a ，4a ，5a ，分析存在的规律，再逐项进行分析即可判断求解，解题的关键是求得3a ，4a ，5a ，总结出存在的规律．【解析】解：1a x = ，23a x =，规定从第二个式子开始，每一个式子的2倍等于它前、后两个式子的和，2132a a a =+ ，∴35a x =，∵3242a a a =+，∴47a x =，∵4352a a a =+，∴59a x =，L ，∴()21n a n x =-，∴(1)181920353739111a a a x x x x ++=++=，故(1)正确；(2)()123835151351564a a a a x x x x x x ++++=++++=++++= ，故(2)错误；(3)()()24610013599a a a a a a a a ++++-++++()()()()375119199197x x x x x x x x =-+-+-++- ，2222x x x x =++++ ，250x =⨯，100x =，故(3)正确；综上所述，正确的有2个，故选：B ．二、填空题11．下列各式：0，101x -，F ＝ma ，m +2＞m ，2x 2﹣3x +11，B≠12，2263x y +，﹣y ，6π，其中代数式的有个．【答案】6【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．【解析】解：根据代数式的概念可得，题中的代数式有：0，101x -，2x 2﹣3x +11，2263x y +，﹣y ，6π，共6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了代数式，注意：代数式中不含有“＞”，“＝”号．12．合并同类项：15410x x x +-=．【答案】9x【分析】根据合并同类项的运算法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变解答即可．本题考查了合并同类项的运算法则，熟练运用合并同类项的运算法则是解题的关键．【解析】解：∵()15410154109x x x x x +-=+-=，故答案为9x ．13.一次式x 512-中，一次项是,常数项是【答案】x 51-214.在横线上填入合适的一次式：2a+()=-a-2.【答案】-3a-215．如图，数轴上的两点,A B 分别表示有理数,a b ，化简：2a b b a +--=．【答案】3a b-【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．根据数轴确定出绝对值内式子的符号，然后去绝对值化简即可得．【解析】解：根据数轴上点,A B 的位置可知：0a b <<，a b <，∴0a b +<，0b a ->，∴()a b a b a b +=-+=--，b a b a -=-，∴()22223a b b a a b b a a b b a a b +--=----=---+=-．故答案为：3a b -．16．若()5，则．【答案】7-【分析】由绝对值和偶次方的非负性可求出x ，y 的值，再代入计算可求解．本题主要考查绝对值及偶次方的非负性，代数式求值，求出x ，y 的值是解题的关键．【解析】解：∵()2350x y -++=，又∵()230x -≥，50y +≥，∴30x -=，5y =-，解得3x =，5y =-，∴()23257x y +=+⨯-=-．故答案为：7-．17.已知A=3a+b,B 比A 少2a-2b,C 比A 的2倍多2a+b,则B=；C=．【答案】a+3b;8a+3b18．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下图所示规律铺地面，则第n 个图形有块白色地砖．【答案】()42n +/()24n +【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖6410+=（块)；第3个图形有白色地砖64414++=（块)；．⋯．；第5个图形白色地砖的块数：64(51)22+⨯-=（块)；⋯⋯；第n 个图形白色地砖的块数：64(1)(42)n n +⨯-=+块．据此解答．【解析】解：第1个图形有白色地砖6块，第2个图形有白色地砖6410+=（块），第3个图形有白色地砖64414++=（块），第5个图形白色地砖的块数：64(51)22+⨯-=（块），第n 个图形白色地砖的块数：64(1)(42)n n +⨯-=+块，故答案为：(42)n +．三、解答题19．用代数式表示：(1)m 的3倍与n 的一半的和；(2)a 与b 两数差的平方减去它们和的平方．【答案】(1)132m n +；(2)()()22a b a b --+．【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，是解题的关键．（1）根据描述，列出代数式即可；（2）根据描述，列出代数式即可．【解析】（1）解：m 的3倍与n 的一半的和，即：132m n +；（2）a 与b 两数差的平方减去它们和的平方，即：()()22a b a b --+．20．用含x 的代数式填空：①甲工程队每天可以完成x 平方米的小区绿化，10天可以完成平方米的绿化．②某工程队计划以每天x 米的速度完成1800米的隧道掘进任务，按计划完成任务需要天．③某工程队计划每天铺设排污管道x 米，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，则实际每天的工效为米．【答案】10x1800x1.25x /54x /54x 【分析】本题考查列代数式．①由甲工程队的工作效率乘以时间列式即可；②由工作总量除以工作效率列式即可；③由实际每天的工效=计划每天的工效()125%⨯+列式即可．【解析】解：①甲工程队10天可以完成10x 平方米的绿化；②完成任务需要1800x天；③实际每天的工效为()125% 1.25x x +=米．故答案为：10x ；1800x；1.25x ．21．指出并合并一次式74365m n m n +---+中的同类项．【答案】7m 和m -是同类项，4n 和6n -是同类项，3-和5是同类项，合并同类项得622m n -+【分析】本题考查了同类项，合并同类项等知识．熟练掌握同类项，合并同类项是解题的关键．根据同类项的定义判断同类项，然后合并同类项即可．【解析】解：由题意知，74365m n m n +---+中，7m 和m -是同类项，4n 和6n -是同类项，3-和5是同类项，∴74365m n m n +---+()()()74635m m n n =-+-+-+622m n =-+．22．计算：﹣5a ﹣2b+7a+9b 【答案】2a+7b【分析】根据合并同类项：系数相加，字母及字母的指数保持不变，可得答案．【解析】解：-5a-2b+7a+9b ＝(-5a+7a)+(-2b+9b)＝2a+7b ．【点睛】本题考查了合并同类项法则．同类项的字母及字母的指数保持不变，只把系数进行相加．23．化简：（1）(47)(32)x x ++-（2）3(2x ﹣5y )﹣4(3x ﹣5y )+5【答案】（1）75x +；（2）655x y -++【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可；【解析】（1）(47)(32)x x ++-，解：原式4732x x =++-，75x =+；（2）3(25)4(35)5x y x y ---+，解：原式61512205x y x y =--++，655x y =-++；【点睛】本题主要考查了去括号法则和合并同类项，准确计算是解题的关键．24．化简下列一次式：(1)7273m n m --+；(2)15213m m -+-【答案】(1)1072m n --(2)763m -【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则：字母和字母指数不变，只把系数相加减．（1）直接合并同类项即可；（2）直接合并同类项即可．【解析】（1）解：7273m n m --+()7372m n =+--1072m n =--；（2）解：15213m m -+-12513m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭763m =-．25．当2,3a b ==时，求下列各代数式的值：(1)()2a b +；(2)()()a b a b +-；(3)222a ab b ++．【答案】(1)10(2)5-(3)25【分析】（1）把a 与b 的值代入，先算括号内的，再算乘法即可求出值；（2）将a 与b 的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答；（3）将a 与b 的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答．【解析】（1）解：原式()22310=⨯+=．（2）解：原式()()23235=+⨯-=-．（3）解：原式222223325=+⨯⨯+=【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．设113242323A x x y x y ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)当1,13x y =-=时，求A 的值；(2)若33y x -=-，则A =________．【答案】(1)4(2)6-【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，把x 、y 的值代入计算即可求出值．（2）根据化简的结果整体代入即可此题考查了一次式的加减-化简求值，以及整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【解析】（1）113242323A x x y x y ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 143242323x x y x y=--+-+62x y=-+∴当1,13x y =-=时，原式16212243⎛⎫=-⨯-+⨯=+= ⎪⎝⎭；（2）由33y x -=-，得到()()()2323236A x y y x =-+=-=⨯-=-27．若36x y ax y ++-【答案】-3【分析】根据同类项与合并同类项定义，可知若36x y ax y ++-合并同类项后不含x 项，则3x －3x ＝0，计算即可得到答案.【解析】有题意可知，因为36x y ax y ++-合并同类项后不能含有x 的项，即3x －3x ＝0，所以a ＝-3，【点睛】本题考查同类项与合并同类项定义，解题的关键是掌握同类项与合并同类项定义.28.小亮准备完成题目“化简：(▲x+6y+8)一(6y+5x+2)”时，发现系数“▲”印刷不清楚.(1)小亮猜“▲”是3,请你化简：(3x+6y+8)—(6y+5x+2).(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数.”那么原题中的“▲”是几?【答案】(1)—2x+6.(2)5.29．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少．（可列方程求解）【答案】37【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的十位上数字为x ，则个位上的数字为()4x +，根据“把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110”，可列出关于x 的一元一次方程，解之可得出x 的值，再将其代入()104x x ++中，即可求出结论．【解析】解：设原两位数的十位上数字为x ，则个位上的数字为()4x +，根据题意得：()()104104110x x x x +++++=，解得：3x =，∴()()1041033437x x ++=⨯++=．答：原两位数是37．30．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为1l ，图3中两个阴影部分图形的周长的和为2l ，(1)用含m ，n 的式子表示图2阴影部分的周长1l (2)若1254l l =，求m ，n 满足的关系？【答案】(1)22m n +(2)23m n=【分析】本题考查整式加减的应用：（1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形ABCD 的周长，计算即可；（2）设小卡片的宽为x ，长为y ，则有2y x m +=，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解2l ，根据1254l l =，即可求m 、n 的关系式．【解析】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形ABCD 的周长，故()1222m n m n l =+=+；（2）设小长形卡片的宽为x ，长为y ，则2y x m +=，∴2y m x =-，所以两个阴影部分图形的周长的和为：()()2222m n y n x +-+-()()22222m n m x n x =+-++-222424m n m x n x =+-++-4n =，即2l 为4n ∵1254l l =，∴52244m n n +=⨯整理得：23m n =．。

第12讲 进位制与取整符号典型问题 兴趣篇1. 将下面的数转化为十进制的数：()21111，()21010010，()54301 ，()1608B 。

【分析】()0123211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=；()64210100101212126416282=⨯+⨯+⨯=++=；()325430145351576=⨯+⨯+=； ()216081116162824=⨯+=B ；2. 请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数。

【分析】90÷2=45余0,45÷2=22余1,22÷2=11余0,11÷2=5余1,5÷2=2余1,2÷2=1余0；1÷2=0余1。

所以90转化为二进制后是：2(1011010)；90÷7=12余6；12÷7=1余5；1÷7=0余1，所以90转化为七进制后是：7(156)； 由于90÷16=5余10,5÷16=0余5。

所以80转化为十六进制后为：16(5)A3. 请将七进制数()7403化成五进制的数，将五进制数()5403化成七进制的数。

【分析】()7403转化为十进制为：()()2710403473199=⨯+=；而199÷5=39余4,39÷5=7余4；7÷5=1余2,1÷5=0余1。

所以()()1051991244=；将()5403转化为十进制为：()()2510403453103=⨯+=，而103÷7=14余5,14÷7=2余0。

而2÷7=0余2。

所以()5403转化为七进制数后为：()7203；4. （1）在二进制下进行加法：()()221010*********+； （2）在七进制下进行加法：()()77120364251+； （3）在九进制下进行加法：()()991788803+。

第12讲点到直线的距离公式课程标准课标解读1． 掌握点到直线的距离公式，了解点到直线的距离公式的两种推导方法（平面几何法与向量法）2.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题.通过本节课的学习了解与掌握平面内点到直线的公式内容及推导过程，会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题.知识点01点到直线的距离1．点到直线的距离点0P 到直线l 的距离，是指从点0P 到直线l 的垂线段0P Q 的长度，其中Q 为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式平面上任意一点000(,)P x y 到直线l ：Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离为d =0022||Ax By C A B+++．3．点到直线的距离公式的推导如图，设0,0A B ≠≠，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点0P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线l 于R 和S ，则直线0P R 的方程为0y y =，R 的坐标为00(,)By Cy A+-；直线0P S 的方程为0x x =，S 的坐标为00(,)Ax Cx B+-， 于是有00000||||||||By C Ax By C P R x A A +++=--=，00000||||||||Ax C Ax By C P S y B B +++=--=， 22220000||||||||||||A B RS P R P S Ax By C A B +=+=++．知识精讲目标导航设0||P Q d =，由三角形面积公式可得00||||||d RS P R P S ⋅=⋅， 于是得000022||||||||P R P S Ax By C d RS A B⋅++==+．因此，点000(,)P x y 到直线l ：Ax +By +C =0的距离0022||Ax By C d A B++=+．可以验证，当A =0，或B =0时，上述公式也成立．【微点拨】用向量法推导点P 到直线l 的距离|PQ |公式的向量法推导，在直线上取任意一点M ，与直线方向向量垂直的单位向量为n ，则有PQ PM =⋅n ，所以有PQ PM =⋅n .【即学即练1】在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，﹣1）到直线l ：4x ﹣3y +4=0的距离为（ ） A ．3B ．115C ．1D ．35 【答案】A【解析】已知P （2．﹣1），直线l ：4x ﹣3y +4=0，则由点到直线距离公式得P 到l 的距离 d ()224231434(3)⨯-⨯-+==+-．故选A ．【即学即练2】已知点A （2，1），点B （5，﹣1），则AB |=_________． 【答案】13【解析】点A （2，1），B （5，﹣1），则|AB |()2225(11)13=-++=．故答案为：13．【即学即练3】已知x ＋y －3＝0，则()()2221x y -++的最小值为________．【答案】 2【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)，则点P 在直线x ＋y －3＝0上，且()()2221x y -++＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝()2221311+--+＝ 2.知识点02 点到直线的距离问题（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x =a 或y =b ，求点00(,)x y 到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成0||d x a =-或0||d y b =-．（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【即学即练4】直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( ) A ．(－4,5) B ．(－3,4) C ．(－3,4)或(－1,2) D ．(－4,5)或(0,1)【答案】C【解析】 设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2.故选C.【即学即练5】已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．【解析】(1)由直线的点斜式方程得y －5＝－34(x ＋2)，整理得直线l 的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)∵直线m 与l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，∴()223245334c⨯-+⨯+=+，即|14＋c |＝15.∴c ＝1或c ＝－29.故所求直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.【即学即练6】点P （﹣1，2）到直线kx ﹣y ﹣k =0的距离的最大值为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．32 【答案】A【解析】由kx ﹣y ﹣k =0，得k （x ﹣1）﹣y =0，∴直线kx ﹣y ﹣k =0过点（1，0），∴点P （﹣1，2）到直线kx ﹣y ﹣k =0的距离的最大值为22(11)(20)22--+-=．故选A ． 【即学即练7】已知点P （﹣2，3），点Q 是直线l ：3x +4y +3=0上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A ．2B ．95 C ．85D ．75【答案】B【解析】点P （﹣2，3），点Q 是直线l ：3x +4y +3=0上的动点，|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离， ∴|PQ |的最小值为d ()3243395916⨯-+⨯+==+．故选B ． 知识点03 易错点（直线斜率存在性讨论）【即学即练8】已知直线l 过点A （1，2），且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为．【错解】由题意设直线l 的方程为y −2=k （x −1），即kx −y −k +2=0．因为原点到直线l 的距离为1，所以2|2|11k k -+=+，解得34k =．所以所求直线l 的方程为32(1)4y x -=-，即3x −4y +5=0．【错因分析】符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线． 【正解】①当直线l 过点A （1，2）且斜率不存在时，直线l 的方程为x =1， 原点到直线l 的距离为1，满足题意． ②当直线l 过点A （1，2）且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y −2=k （x −1），即kx −y −k +2=0． 因为原点到直线l 的距离为1，所以2|2|11k k -+=+，解得34k =．所以所求直线l 的方程为32(1)4y x -=-，即3x −4y +5=0． 综上所述，所求直线l 的方程为x =1或3x −4y +5=0．【误区警示】当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．【即学即练9】在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，设为x a =，由题意可知：02a -=且43a -=， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：0y kx b kx y b =+⇒-+=，点(0,3)A 到该直线的距离为2，所以有2232(1)(1)b k -+=+-，点(4,0)B 到该直线的距离为3，所以有2243(2)(1)k b k +=+-，由(1)(2)得：89b k =+或985k b -=， 当89b k =+时，代入(1)中，得2152480k k ++=，该方程的判别式2244158960∆=-⨯⨯=>，该方程有两个不相等的实数根， 当985kb -=时，代入(1)中，得2924160k k -+=， 该方程的判别式2(24)49160∆=--⨯⨯=，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.考法01求点到直线的距离【典例1】利用向量知识可以计算点到直线的距离，例如：直角坐标平面内有一直线21y x =+，求点(3,4)P 到该直线的距离d ，可以按以下步骤计算；第一步，在直线上取两点(0,1)A 和()1,3B ，则向量(1,2)AB =；第二步，写出一个与AB 垂直的向量(2,1)n =-；第三步，求出PA 在n 上的投影向量163,55PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；第四步，求出距离1355d PA ==，请根据以上方法完成下面两个小题： （1）求点(1,1)P 到直线21y x =+的距离； （2）求点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离． 【答案】（1）255；（2）0021kx y b k -++. 【分析】能力拓展（1）根据题中所给方法按步骤进行求解即可； （2）根据题中所给方法按步骤进行求解即可. 【详解】（1）第一步，在直线21y x =+上取两点(0,1)A 和()1,3B ，则向量(1,2)AB =； 第二步，设(,)n x y =且n AB ⊥，则有20x y +=，令1y =，则2x =-，即(2,1)n =-； 第三步，(1,0)PA =-，在n 上的投影向量12222cos ,242(2,1)(,);55((2)1)PA n PA PA PA n PA n PA n PA n n n nnn⋅⋅⋅〈〉⋅⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-=--+第四步，求出距离2214225()()555d PA ==-+=，所以点(1,1)P 到直线21y x =+的距离为255； （2）第一步，在直线y kx b =+上取两点(0,)A b 和()1,B k b +，则向量(1,)AB k =； 第二步，设(,)n x y =且n AB ⊥，则有0x ky +=，令1y =，则x k =-，即(,1)n k =-； 第三步，00(,)PA x b y =--，在n 上的投影向量10000122222cos ,(,1)(,1);1(()1)PA n PA PA PA n PA n kx b y kx b y PA n PA n n n k k k nnk n⋅⋅⋅〈〉⋅+-+-⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-=⋅-+-+第四步，求出距离00200122111kx y b kx y b d PA k k k -+-+==⋅+=++， 所以点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离为0021kx y b k -++.【点睛】关键点睛：求一个向量在另一向量上的投影向量是解题的关键.【即学即练10】点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________. 【答案】655【分析】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小，求出点到直线距离即可. 【详解】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小， 最小值为：()2146555⨯--=， 故答案为：655. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题.【即学即练11】点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为（ ） A ．25 B ．255C ．655D ．0【答案】B 【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为22211222551(2)⨯-⨯+=+-， 故选：B考法02点、线间距离公式的综合应用利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题． 【典例2】已知直线l 经过点()2,1P ，则（1）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且△OAB 的面积为4，求直线l 的方程； （2）若直线l 与原点的距离为2，求直线l 的方程． 【解析】（1）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，则点()(),0,0,A a B b ，由题意得211142a bab ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩，解得42a b ==⎧⎨⎩，所以直线l 的方程为142x y+=，即240x y +-=． （2）过P 点的直线l 与原点的距离为2，而P 点坐标为，则过垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为．若斜率存在，设l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=．由已知过P 点的直线与原点的距离为2，得22121k k -+=+ ，解得34k =-．此时l 的方程为34100x y +-=．综上，可得直线l 的方程为2x =或34100x y +-=．【典例3】已知正方形ABCD 的一边CD 所在直线的方程为x ＋3y −13=0，对角线AC ，BD 的交点为P （1，5），求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．【解析】设点P （1，5）到l CD 的距离为d ，则310d =． ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m =0（13m ≠-）． 由题意知点P （1，5）到l AB 的距离也等于d ，即|16|31010m +=， 又∵m ≠−13，∴m =−19，即l AB ：x ＋3y −19=0． ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x −y ＋n =0，则P （1，5）到l AD 的距离等于P （1，5）到l BC 的距离，且都等于310d =， 即|2|31010n -=，得n =5，或n =−1， 则l AD ：3x −y ＋5=0，l BC ：3x −y −1=0．所以，正方形ABCD 其他三边所在直线的方程为x ＋3y −19=0，3x −y ＋5=0，3x −y −1=0．【典例4】一河流同侧有两个村庄A ，B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A ，B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【答案】水电站建在P (90，0)处电线用料最省． 【分析】如图，以河流所在直线为x 轴、y 轴通过点A ，建立平面直角坐标系，再求出点B 的坐标，利用对称性求解. 【详解】解：如图，以河流所在直线为x 轴、y 轴通过点A ，建立平面直角坐标系， 则点A (0，300)，B (x ，700)．设点B 在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝22AB AH -＝300， 故点B (300，700)．设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)， 则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300. 令y ＝0，得x ＝90，得点P (90，0)， 故水电站建在P (90，0)处电线用料最省． 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.【典例5】求适合下列条件的直线l 的方程：（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且()4,3P 到直线l 的距离为32； （2）直线l 经过点()2,5P -且与点()3,2A -和点()1,6B -的距离之比为1:2. 【答案】（1）答案见解析；（2）30x y ++=或17290x y +-=. 【分析】（1）对直线l 是否过原点进行分类讨论，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，进而可得出直线l 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，由此可得出直线l 的方程. 【详解】（1）若直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =，由题意可得243321k k -=+，解得123142k -±=；若直线l 不过原点，可设直线l 的方程为()10x ya a a+=≠，即0x y a +-=，由题意可得7322a-=，解得13a =或1. 综上所述，直线l 的方程为12342y x -+=或12342y x --=或10x y +-=或130x y +-=； （2）若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为2x =， 此时，点A 、B 到直线l 的距离分别为1、3，不合乎题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()52y k x +=-，即250kx y k ---=.由已知条件可得22322531162531121k k k k k k k k +---+==----++，整理得218170k k ++=，解得1k =-或17-. 综上所述，直线l 的方程为30x y ---=或173450x y --+-=，即30x y ++=或17290x y +-=. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用点到直线的距离求直线方程，需要注意以下两点：（1）求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论； （2）在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.题组A 基础过关练1.点()1,1到直线40x y -+=距离为（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．32【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式直接计算即可得答案. 【详解】解：根据点到直线的距离公式得点()1,1到直线40x y -+=距离为114222d -+==故选：C分层提分2.点(cos ,sin )P θθ到直线34120x y +-=的距离的取值范围为（ ） A ．1217,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．717,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1224,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】由点到距离公式把距离表示成θ的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围. 【详解】由点到直线距离公式有： P 到直线的距离为223cos 4sin 125sin()12534d θθθϕ+-+-==+，其中34sin ,cos 55ϕϕ==，由三角函数性质易知，5sin()12[17,7]θϕ+-∈--， 故717,55d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C.3. 直线:3250l x y -+=，()P m n ,为直线l 上动点，则()221m n ++的最小值为（ ）A ．21313B ．31313C ．413D ．313【答案】C 【分析】根据题意，所求最值即为()10-，到直线:3250l x y -+=距离的平方，即可求解. 【详解】解：由题意得：()221m n ++表示()P m n ,到()10-，的距离的平方,而()P m n ,为直线l 上动点,所以()221m n ++的最小值，即为()10-，到直线:3250l x y -+=距离的平方，即()222312054=133+2⎛⎫⨯--⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：C4. ．直线l ：()2y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则k 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()3,3-C ．()1,1-D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D由原点到直线的距离小于1可得． 【详解】直线l ：()2y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以2211k k ，解得3333k -<<．故选：D ．5. ．已知直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点P ，则点P 到直线:3440l x y +-=的距离是（ ） A ．6 B ．3C ．4D ．7【答案】B 【分析】把直线方程整理为关于m 的方程，由恒等式知识求得定点P 坐标，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】由直线方程(2)(12)430m x m y m ++-+-=变形为：(23)(24)0m x y x y --+++=，由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点(1,2)P --， 故点P 到直线:3440l x y +-=的距离是22|384|334d ---==+，故选：B.6. 点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值为（ ） A ．10 B ．22 C ．2 D ．2【答案】B 【分析】根据垂线段最短求解． 【详解】点O 到40x y +-=的距离为：4222d ==， 所以OP 的最小值为27. 若动点()11,A x y ．()22,B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ） A ．23 B ．33 C ．32 D ．42【答案】C 【分析】先分析出M 的轨迹，再求M 到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M 点的轨迹为平行于直线1l 和2l 且到1l 、2l 距离相等的直线l ，故其方程为：60x y +-=，故M 到原点的距离的最小值为63211=+. 故选：C 【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.8. 已知点()1,2P ，则当点P 到直线240ax y +-=的距离最大时，a =（ ） A ．1 B ．14-C ．14D ．5【答案】B 【分析】确定直线过定点(0,4)A ，当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离达到最大值，由此可得参数值． 【详解】因为直线恒过定点4)0,A（， 则当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离达到最大值， 此时过P A 、的直线的斜率为2,-所以直线240ax y +-=的斜率为12，即122a -=，所以14a =-.故选：B ．9. 已知点(2,3)P ，点Q 是直线:3420l x y ++=上的动点，则||PQ 的最小值为（ ） A ．195B ．3C ．4D ．165【答案】C 【分析】PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，由此能求出PQ 的最小值．【详解】解：点(2,3)P ，点Q 是直线:3420l x y ++=上的动点，PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，PQ ∴的最小值为324324591620d ⨯+⨯+===+． 故选：C ．10. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ） A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5] D ．[0，10]【答案】D 【分析】求出点到直线的距离，解不等式可得结论． 【详解】由题意得，点P 到直线的距离为|4431|5a ⨯-⨯-＝|153|5a -. 又|153|5a -≤3， 即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]． 故选：D ．题组B 能力提升练1. 直线l 通过两直线75240x y +-=和0x y -=的交点，并且点()5,1到l 的距离为10，则l 的方程是（ ） A ．340x y ++= B ．340x y -+=C ．340x y --=D ．340x y -+-=【答案】C 【分析】求得直线交点后，采用待定系数法，利用点到直线距离公式构造方程可求得结果. 【详解】由752400x y x y +-=⎧⎨-=⎩得：2x y ==， ∴两直线75240x y +-=和0x y -=的交点为()2,2．①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=． ∴点()5,1到l 的距离25122101k kd k -+-==+，解得：3k =．∴直线l 的方程为340x y --=．②当直线l 的斜率不存在时，:2l x =，不满足题意． 综上所述：直线l 的方程为340x y --=． 故选：C.2. 已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，直线2:1l y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6)，当||||PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．27,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1712,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．127,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先求得M 的坐标．可得M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方，求出点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为'M ，可得'M N 直线方程，再把'M N 直线方程和直线2l ：1y x =-联立方程组，求得点P 的坐标． 【详解】直线1l ：240kx y k +--=，即()1240k x y -+-=， 令10x -=，求得1x =，2y =，可得该直线恒过点()1,2M . 直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为()4,6， 故M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方．点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ，则'M N 直线方程为036043y x --=--，即618y x =-. 把'M N 直线方程和直线2l ：1y x =-联立方程组，求得175125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为1712,55⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B 【点睛】关键点点睛：问题转化为求一个点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ，根据对称性，||||||PM PN PM PN M N ''+=+≥,联立两直线方程求出直线交点即可得到所求点的坐标，属于中档题．3.（多选题）已知(4,3)A -，(2,1)B -和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（ ） A ．21(,)33-B ．(1,4)-C ．6(1,)5D ．278(,)77- 【答案】BD 【分析】设点P 的坐标为(,)a b ，点(,)P a b 在线段AB 的垂直平分线上，得出50a b --=，再利用点到直线的距离公式可得43210a b +-=±，解方程组即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(,)a b ，线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-，31142AB k -+==--， ∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=， ∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=， 又点(,)P a b 到直线l ：4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±， 联立可得1a =-、4b =-或277a =、87b =-，∴所求点P 的坐标为(1,4)-或278(,)77-， 故选：BD.4.（多选题）已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．430x y -= D ．210x y -+=【答案】BC 【分析】根据题意，点M 到直线的距离不大于4，计算出点M 到各选项中直线的距离，由此可得出合适的选项. 【详解】根据题中定义，若直线为“点M 相关直线”，则点M 到该直线的距离不大于4. 对于A 选项，点M 到直线1y x =+的距离为63242=>，A 选项不满足条件； 对于B 选项，点M 到直线2y =的距离为24<，B 选项满足条件； 对于C 选项，点M 到直线430x y -=的距离为()2245443⨯=+-，C 选项满足条件； 对于D 选项，点M 到直线210x y -+=的距离为25111455⨯+=>，D 选项不满足条件. 故选：BC.5. 已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．y=x +1 B ．y=2 C ．43y x =D ．y=2x +1【答案】BC 【分析】根据切割型直线的定义，由点M (5，0)到直线距离不大于4求解. 【详解】A. 点M (5，0)到直线 y=x +1的距离为：63242d ==>，故错误；B. 点M (5，0)到直线y=2的距离为：34d =<，故正确；C. 点M (5，0)到直线43y x =的距离为：2453441+3d ⨯==⎛⎫ ⎪⎝⎭，故正确；D. 点M (5，0)到直线y=2x +1的距离为：()211541+2d ==>，故错误；故选：BC 【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力. 6.点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________. 【答案】2 【分析】直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离为||AB . 【详解】解：直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，则点()0,1-到直线()1y k x =+的距离的最大值为点()1,0-到点A 的距离， ∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：()()2201102d =++--=.故答案为：2.7. 已知,x y 满足30x y ++=，求()()2212x y ++-的最小值__. 【答案】8. 【分析】把()()2212x y ++-的最小值转化为()()2212x y ++-点(1,2)-到直线30x y ++=距离的平方，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由于()()2212x y ++-表示点(1,2)-与直线上的点的距离的平方，转化()()2212x y ++-的最小值为点(1,2)-到直线30x y ++=距离的平方， 由点到直线的距离公式，可得221232211d -++==+，所以22(1)(2)x y -+-的最小值为8. 故答案为：8.8. 已知(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，则实数a 为________.【答案】1或13-【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】两点(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等， ∴22|321||141|11a a a a --+-++=++，化为|22||4|a a +=．224a a ∴+=±，解得1a =或13-．故答案为：1或13-．9.已知实数925m ≠，原点到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离的取值范围为________. 【答案】(]0,5 【分析】先整理方程求得直线恒过的定点P ，则,O P 间的距离是原点到动直线的最大距离，又根据925m ≠，得0d >，即得结果. 【详解】依题意，设原点()0,0O 到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离为d ， 动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=，即(3425)390x y m x y +-+-+=，联立34250390x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，故动直线过定点()3,4P ,故d 的最大值为,O P 间的距离，而22345OP =+=，故max 5d =， 又925m ≠，则()0,0O 不在直线上，故0d ≠，即0d >， 所以d 的取值范围是05d <≤. 故答案为：(]0,5. 【点睛】本题考查了直线外一点到动直线的距离范围问题，属于中档题.10. 若直线l 在x 轴上的截距为1,点()()2,14,5A B --，到l 的距离相等，则l 的方程为______.【答案】10x y --=或1x = 【分析】考虑斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】显然直线l x ⊥轴时符合要求，此时l 的方程为1x =.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=. ∵A ，B 到l 的距离相等 ∴22214511k k k k k k -+---=++，∴1335k k -=-，∴1k =，∴直线l 的方程为10x y --=. 故答案为10x y --=或1x = 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误.C 培优拔尖练1. 已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程. 【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离22|38||11|85534n n d +--===+， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k < 令0,20x y k ==->，20,10y x k ==->， 所以1222(2)(1)222()()4222AOB k k S k k k k=--=--≥+--=△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.2.在平面直角坐标系内，已知ABC 的三个顶点坐标分别为()()()0,2,4,0,,0A B C m ．（1）求AB 边的垂直平分线所在的直线l 的方程；（2）若ABC 的面积为5，求点C 的坐标．【答案】（1）230x y --=；（2）(9,0)或()0-1，． 【分析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出l 的斜率，再用点斜式求直线l 的方程． （2）根据ABC ∆的面积为5，求得点C 到直线AB l 的距离，再利用点到直线的距离公式，求得m 的值．【详解】解：（1）(0,2)A ，(4,0)B ，,A B ∴的中点M 的坐标为(2,1)A ，又021,402AB k -==-- 设AB 边的垂直平分线所在的直线l 的斜率为,k则1,AB k k ⋅=-2k ∴=，可得l 的方程为12(2)y x -=-，即230x y --=．∴AB 边的垂直平分线所在的直线l 的方程230x y --=（2）AB 边所在的直线方程为240.x y +-=设AB 边上的高为,d 即点C 到直线AB l 的距离为224|4|=512m m d --=+， 且152ABC S AB d =⋅=1255,2d =⋅⋅= 解得5,d =解得9m =或1m =-，∴点C 的坐标为(9,0)或()0-1，．3. 已知ABC ∆中，(1,1)A ，(4,2)C ，点B 在函数(14)y x x =<<的图象上运动，问点B 在何处时，ABC ∆的面积最大，最大面积是多少？【答案】当B 点点坐标为93(,)42时，ABC ∆的面积S 取最大值18. 【分析】根据AC 是定值，利用点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可.【详解】设B 点横坐标为(,)m m ，∴当点B 到直线AC 距离最大时，ABC ∆的面积S 最大.(1,1)A ，(4,2)C ，∴直线AC 方程为：242141y x --=⇒--320x y -+=. 点(,)B m m 到直线AC 距离231|()||32|241010m m m d ---+==.14m <<，∴(1,2)m ∈，因此2131()0424m -≤--<，即23110()244m <--≤，当32m =时， 即94m =时，d 取最大值1040，ABC ∆的面积S 取最大值1101102408⨯⨯=，当B 点点坐标为93(,)42时，ABC ∆的面积S 取最大值18. 4.在直线l 上任取不同的两点A ，B ，称AB 为直线l 的方向向量与直线l 的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线1l 是函数24y x =-的图象，直线2l 是函数43x y =-+的图象. （1）求直线1l 和直线2l 所夹成的锐角的余弦值；（2）已知直线3l 平分直线1l 与直线2l 所夹成的锐角，求直线3l 的一个方向向量的坐标；（3）已知点(3,4)P ，A 是1l 与y 轴的交点，n 是1l 的法向量.求AP 在n 上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P 到直线1l 的距离.【答案】（1）270；（2）(12,1)-+；（3）42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 255 【分析】（1）求得1l 和2l 相交点的坐标，以及1l 和2l 与y 轴相交点的坐标，再根据直线方向向量的定义，向量的余弦公式求解，并判断夹角是否为锐角即可.（2）3l 平分直线1l 与直线2l 所夹成的锐角，所以3l 和1l 所夹的锐角等于3l 和2l 所夹的锐角，根据直线的夹角公式求出3k ，写出一个方向向量的坐标即可.（3）求点P 到直线1l 的距离，写出过A 点垂直于1l 的直线方程（方向向量为n ），并根据这两点联合解出点P 在该直线上的投影，则 AP 的投影向量得出.【详解】（1）设1l 和2l 相交点的坐标为M ，1l 和y 轴相交点的坐标为A ，2l 和y 轴相交点的坐标为B ，则(0,4)A -，(0,4)B ， 由直线1l 和2l 的方程式联立2443y x x y =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2420,77M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 则2448,77MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭、248,77MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分别为直线1l 和2l 的方向向量. 由向量的余弦公式2cos ,10MA MBMA MB MA MB ⋅<>==. 由(0,)AMB π∠∈，而2cos ,010MA MB <>=>，所以向量,MA MB 形成的角AMB ∠为锐角. 所以直线1l 和直线2l 所夹成的锐角的余弦值为210. （2）直线3l 平分直线1l 与直线2l 所夹成的锐角，所以直线1l 和直线3l 所夹成的锐角与直线2l 和直线3l 所夹成的锐角相等，根据直线的夹角公式，则33313123233331()213,,21111231()3k k k k k k k k k k k k k -⎛⎫=⇒=∈- ⎪+++⎝-----⎭+， 333311(2)(1)(12)()33k k k k -=++-，23351050333k k -+=， 323210k k -+=.又∵31,23k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴312k =-+. ∴直线3l 的一个方向向量的坐标为(12,1)-+.（3）∵(3,4)P ，1l 为24y x =-，则点P 到1l 的距离为2223442552(1)d ⨯--==+-. 过A 点做直线AN 交x 轴于N ，则AN 为直线AN 的方向向量. 又∵1l 的法向量n 垂直于1l ，则//n AN .因为12k =，则12AN k =- ∵(0,4)A -，则AN l 为142y x =--. 设点P 在AN 上的投影坐标为()00,Q x y ，则001402y x ++=①， 易知点Q 到1l 的距离为()00222425521x y d --==+-②，由①②解得Q 为422,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或418,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由2420,77M ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(3,4)P 点，2437<可知，点P 在1l 的左边，点P 在AN 上的投影坐标Q 为418,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴AP 在n 上的其中一个投影向量为42,55AQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 5．已知ABC ∆中，()()1,1,1,3,90,A B A C ∠--=在x 轴上，点P 是BC 边上一动点，点A 关于P 的对称点为D .（1）求BC 边所在直线的方程；（2）当P 与,B C 不重合时，求四边形ABDC 的面积； （3）直接写出CB CD ⋅的取值范围.【答案】（1）3490x y +-=；（2）10；（3）[]5,45-.【分析】（1）设出C 点坐标，根据0AB AC ⋅=求解出C 点坐标，根据直线的点斜式方程可求BC 边所在直线的方程；（2）根据对称关系分析得到ABC BDC S S =，由此可求四边形ABDC 的面积；（3）设出P 点坐标，表示出D 点坐标，根据坐标形式下向量的数量积运算求解出CB CD ⋅的取值范围.【详解】（1）设(),0C m ，因为90A ∠=，所以0AB AC ⋅=， 又()()2,4,1,1AB AC m =-=-，所以2240AB AC m ⋅=-+=， 所以3m =，所以()3,0C ，所以303134BC k -==---， 所以BC 边所在直线的方程为：()334y x =--，即3490x y +-=； （2）因为点A 关于P 的对称点为D ，且P 在BC 上，所以A 到BC 所在直线的距离等于D 到BC 所在直线的距离， 又因为,ABC DBC S S 有公共底边BC ，所以四边形2ABC ABDC S S =四边形，又因为A 到BC 所在直线的距离为3492916--=+，()()()2231035BC =--+-=， 所以2522102ABC ABDC S S ⨯==⨯=四边形； （3）CB CD ⋅的取值范围是[]5,45-.(理由供参考：设[]93,,1,34m P m m -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 因为A 关于P 的对称点为D ，所以11321,2m D m -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()1134,3,24,2CB C m m D -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以3396525168222CB CD m m m -=-⋅+=-， 又因为13m -≤≤，所以[]65255,4522m ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以[]5,45CB CD ⋅∈-.。