北京初中中考数学习题精选：圆的基本性质

九年级上数学练习题（圆的有关性质）一、选择题1、下列结论正确的是（ )A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径2、下列说法正确的是（ )A ．一个点可以确定一条直线B ．两个点可以确定两条直线C ．三个点可以确定一个圆D ．不在同一直线上的三点确定一个圆3、若⊙P 的半径为13，圆心P 的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O 与⊙P 的位置关系是（ ) A ．在⊙P 内 B ．在⊙P 内上 C ．在⊙P 外 D ．无法确定4、已知⊙O 的直径为10，圆心O 到弦的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A 、4B 、6C 、7D 、85l ，那么它的外接圆的直径是（ )A.1B.2C.3D.46、已知⊙O 的半径长6cm ，P 为线段O A 的中点，若点P 在⊙O 上，则OA 的长是（ )A ．等于6cmB ．等于12cmC ．小于6cmD ．大于12cm7、正方形ABCD 的边长是l ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若以O 为圆心作圆．要使点A 在⊙O 外，则所选取的半径可能是（ )A.128、出下列命题： (l )垂直于弦的直线平分弦； (2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（ )A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块10、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b, NH=C ，则下列各式中正确的是( ) A.a>b>c B.a=b=c C.c>a>b D.b>c>a11、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm , P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数， 则满足条件的点P 有（ ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个二、填空题12、圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 .13、若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm ，其弦心距等于 cm.14、在Rt △ABC 中，∠C=900, CD ⊥AB, AC=2, BC=3，若以C 为圆心，以2为半径作⊙C ，则点 A在⊙C ，点B 在⊙C ，点D在⊙C .15、三角形的外心是三角形的三条的交点。

初三人教版圆的性质练习题圆是初中数学中的一个基本几何图形，对圆的性质的理解和掌握是提高数学能力的关键。

本文将为大家提供一些关于圆的性质的练习题，帮助大家巩固对圆的认识和应用。

练习题一：判断题1. 半径相等的两个圆一定是同心圆。

（）2. 圆的直径等于其半径的两倍。

（）3. 圆的周长是它的直径的两倍。

（）4. 圆的面积与其半径的平方成正比。

（）5. 切线是与圆相切且过圆心的直线。

（）练习题二：填空题1. 圆的一个扇形的弧长是5cm，圆心角为60°，则这个圆的半径为_________。

2. 已知圆的周长为24π cm，则其半径为_________。

3. 圆的直径是10cm，那么它的面积是_________。

4. 圆的周长是8π cm，则它的直径为_________。

练习题三：应用题1. 一个圆的半径为7cm，一只蚂蚁从圆的某一点出发，顺着圆的边界行走，最后回到出发点所经过的距离是多少？2. 一个球的直径为18cm，求该球的表面积和体积。

解答：练习题一：判断题1. 正确。

同心圆是指有同一个圆心的两个或多个圆。

2. 错误。

直径等于半径的两倍，即直径=2×半径。

3. 错误。

圆的周长是其直径的π倍，即周长=π×直径。

4. 正确。

圆的面积等于半径的平方乘以π，即面积=π×半径²。

5. 错误。

切线与圆只有一个交点，并且与圆相切。

练习题二：填空题1. 该圆的半径为5cm。

由圆心角的定义可知，弧长的长度等于圆心角的弧度数（单位为弧度）乘以圆的半径。

2. 该圆的半径为6cm。

已知圆的周长为2πr，其中r为半径。

3. 该圆的面积为75π cm²。

圆的面积等于半径的平方乘以π。

4. 该圆的直径为8cm。

圆的周长等于直径的π倍。

练习题三：应用题1. 蚂蚁行走的距离等于圆的周长，即2π×半径=2π×7=14π cm。

2. 该球的表面积为4π×半径²=4π×9²=36π cm²，体积为(4/3)π×半径³=(4/3)π×9³=972π cm³。

2023北京初三（上）期末数学汇编圆的性质 一、单选题1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒， 则O 的半径为（ ）A ．2.5B ．5C ．7.5D ．102．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，40CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒3．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，弦10AB =寸，则O 的半径为多少寸 （ ）A ．5B ．12C ．13D ．265．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在⊙O 中，C 、D 为⊙O 上两点，ABA．75°7．（2023秋·北京海淀·内接于O，若四边形8．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在O中，A，B，C是O上三点，如果30∠=，弦ACB 5AB=，那么O的半径长为___．9．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章10．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，O的弦AB是O的直径，ADB ADC∠=︒∠=︒．30,15①O的半径长为P是CD上的动点，则．（2023秋点上，则∠AED12．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，ABC内接于O，AE是O的直径，AE BC⊥，垂足为D．∠=∠；(1)求证：ABO CAE(2)已知O的半径为5，2DE=，求BC长．13．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知劣弧AB，如何等分AB？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．是O的直径，弦15．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）下面是小玟同学设计的角”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，AB=BC求作：∠BPC，使∠BPC=(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB= ．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（）（填推理的依据）．16．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC．∥．求作：直线BD，使得BD AC作法：如图，在O上，AD______）（填推理的依据）参考答案 1．B【分析】连接BC ,由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，在Rt ACB 中解三角形求解．【详解】连接BC ,30ABC ADC ∴∠=∠=︒在O 中，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，5AC =210AB AC ==5OA =故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30︒直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．2．C【分析】首先根据AB 是直径得出90ACB ∠=︒，然后利用圆周角定理的推论得出40CAB CDB ∠=∠=︒，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒．∵CAB ∠和CDB ∠都是BC 所对的圆周角，40CAB CDB ∴∠=∠=︒，9050ABC CAB ∴∠=︒−∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．3．A【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对④进行判断．【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；CD 为O 的直径，弦12AE BE AB ∴==而OA OC x ==，根据勾股定理得x 解得13x =，即O 的半径为13故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．．D【分析】先求出∠【详解】解：∵∠【详解】解：ACB ∠=，由菱形的性质与圆周角定理可得18012 ，求出 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，90ABD，可得AD 30︒，90ABD ，∵5AB =，∴210AD AB ==，∴O 的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含120AOB ∠=︒，AB CD ⊥，OA OB =30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒，AD 122OD OA ∴==（米） ，易证AOB 是等边三角形，弦90=︒，延长交O 于点E PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出∴AOB是等边三角形，∵弦AB长为==OA OB即O的半径长为故答案为：2∠=②∵ADC2∠=AOC∠=∠BOC延长BO交O于点E的长，Rt BOD 中，由勾股定理可得是O 的直径，∴ABO 是等腰三角形，ABO ∠=∠ABO ∠=∠2）∵AE 是O 的直径，12BD CD BC =，BDO ∠Rt BOD 中，OD OE =22BD OB OD =−=28BC BD ==．【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内容是解题的关键．．方法一：画图见解析，∵AB 是O 的直径，弦∴CE DE =．又∵2CD OE =，∴CE OE =．4，2．【详解】（1）如图所示（2）证明：连接OA 、OC ．∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC 且AD =CD ．∴OA =OC ．∵EF 是线段BC 的垂直平分线，∴OB =OC ．∴OB =OA ．∴⊙O 为△ABC 的外接圆．∵点P 在⊙O 上，∴∠BPC =∠BAC （同弧所对的圆周角相等）．【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． 16．（1）作图见解析；（2）,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得AD BC =，证明AD BC =，利用圆周角定理可得DBA CAB ∠=∠，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD 就是所求作的直线（2）证明：连接AD ，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD BC=．∠=∠（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．∴DBA CAB∥．∴BD AC故答案为：,BC在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.。

课时训练(二十八) 圆的有关概念与性质(限时:30分钟)|夯实基础|1.[海淀一模]如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为()图K28-1A.60°B.50°C.40°D.30°2.[石景山期末]如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为()图K28-2A.100°B.120°C.130°D.150°3.[西城一模]在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为()图K28-3A.17B.14C.12D.104.[朝阳一模]如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是()图K28-4A.70°B.110°C.140°D.160°5.[朝阳二模]如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为 ()图K28-5A.2B.4C.2√2D.4√26.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于()图K28-6A.-4和-3之间B.3和4之间C.-5和-4之间D.4和5之间7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为()图K28-7A.2B.-1C.√2D.48.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是()图K28-8图K28-99.如图K28-10,点D,E分别是☉O的内接正三角形ABC的AB,AC边上的中点,若☉O的半径为2,则DE的长等于 ()图K28-10A.√3B.√2C.1D.√3210.如图K28-11,半圆O的直径AB=10 cm,弦AC=6 cm,AD平分∠BAC,则AD的长为()图K28-11A.4√5 cmB.3√5 cmC.5√5 cmD.4 cm11.[朝阳一模]如图K28-12,☉O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为.图K28-1212.[昌平二模]如图K28-13,四边形ABCD的顶点均在☉O上,∠A=70°,则∠C= .图K28-1313.[东城二模]如图K28-14,在△ABC中,AB=AC,BC=8.☉O是△ABC的外接圆,其半径为5.若点A在优弧BC上,则tan∠ABC的值为.图K28-14⏜的中点.若∠DAB=40°,则∠ABC= °. 14.如图K28-15,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,点C为BB图K28-1515.如图K28-16,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.图K28-1616.[昌平期末]如图K28-17,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC.图K28-17(1)求证:∠A=∠BCD;(2)若AB=10,CD=8,求BE的长.17.[房山二模]如图K28-18,△ABC内接于☉O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分∠BAC;,求AC和CD的长.(2)若BC=6,sin∠BAC=35|拓展提升|18.[丰台期末]如图K28-19,等边三角形ABC的外接圆☉O的半径OA的长为2,则其内切圆半径的长为.图K28-1919.[通州期末]☉O的半径为1,其内接△ABC的边AB=√2,则∠C的度数为.1.C2.C3.C4.C5.B6.A[解析] ∵点P的坐标为(-2,3),∴OP=√2+3=√13.∵点A,P均在以点O为圆心,以OP的长为半径的圆上,∴OA=OP=√13.∵9<13<16,∴3<√13<4.又∵点A在x轴的负半轴上,∴点A的横坐标介于-4和-3之间.7.A[解析] ∵∠A=15°,∴∠BOC=2∠A=30°,∵☉O的直径AB垂直于弦CD,OC=1,∴CD=2CE=2.∴CE=DE=128.D[解析] 根据函数图象可知,张老师离家先逐渐远去,有一段时间离家距离不变,之后离家越来越近直至回家,分析四个选项只有D符合题意.9.A[解析] 连接OB,OC,作OG⊥BC于点G,则∠BOC=120°,∠BOG=60°,由OB=2,则BG=√3,BC=2√3,由中位线定理可得DE=√3.10.A11.45°12.110°13.2⏜的中点,∴∠CAB=114.70[解析] 连接AC,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵点C为BB∠DAB=20°,2∴∠ABC=70°.15.√5[解析] 如图,作AB,AC的垂直平分线,交于点O,则点O为△ABC外接圆圆心,AO为外接圆半径.在Rt△AOD中,AO=√BB2+BB2=√22+12=√5,所以能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是√5.16.解:(1)证明:∵直径AB⊥弦CD,∴BB⏜.∴∠A=∠BCD.⏜=BB(2)连接OC.∵直径AB⊥弦CD,CD=8,∴CE=ED=4.∵直径AB=10,∴CO=OB=5.在Rt△COE中,OE=√BB2-BB2=3,∴BE=2.17.解:(1)证明:如图,延长AO交BC于H,连接BO.∵AB=AC,OB=OC,∴A,O在线段BC的垂直平分线上,∴AO⊥BC,∴AO 平分∠BAC.(2)如图,过点D 作DK ⊥AO 于K. 由(1)知AO ⊥BC ,OB=OC.又∵BC=6,∴BH=CH=12BC=3,∠COH=12∠BOC. ∵∠BAC=12∠BOC , ∴∠COH=∠BAC.在Rt△COH 中,∠OHC=90°,sin∠COH=BBBB. ∵CH=3,∴sin∠COH=3BB =35, ∴CO=AO=5,∴OH=√BB 2-BB 2=4,∴AH=AO+OH=9,tan∠COH=tan∠DOK=34.在Rt△ACH 中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan∠CAH=BB BB =13,AC=√BB 2+BB 2=3√10.由(1)知∠COH=∠BOH ,tan∠BAH=tan∠CAH=13.设DK=3a ,在Rt△ADK 中,tan∠BAH=13, 在Rt△DOK 中,tan∠DOK=34,∴AK=9a ,OK=4a ,DO=5a ,∴a=513,DO=2513,CD=OC+OD=9013. ∴AC=3√10,CD=9013.18.119.45°或135°。

2019年北京中考数学习题精选：圆的基本性质一、选择题1.（2018北京朝阳区二模）5.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6答案:D2．（2018北京市朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠AOC的度数是（A）70°（B）110°（C）140°（D）160°答案C3．（2018北京顺义区初三练习）如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径．．是A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm答案：C4.（2018北京海淀区二模）如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是A . GH B. EFC.CDD. AB答案：A5.（2018北京房山区一模）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 直径，B 为圆上一点，若∠OBC =26°，则∠AOB 的度数为A ．26°B ．52°C ．54°D ．56° 答案B6．（2018北京市大兴区检测）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ， ∠A=22.5°，OC=6，则CD 的长为 Ａ．3Ｂ．Ｃ．6Ｄ．答案D7.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC 的大小为 A ．40° B ．30° C ．80° D ．100°答案：D8.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D为⊙O 上的两点，若AB =14，BC =7.则∠BDC 的度数是 (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°答案：B9.（2018北京大兴第一学期期末）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB∠的度数为AA. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 答案：C10.（2018北京东城第一学期期末）边长为2的正方形内接于M ，则M 的半径是A ．1B ．2CD．答案：C11.（2018北京房山区第一学期检测）7．如图，在⊙O 中，AB AC =，∠AOB=50°，则∠ADC 的度数是A ．50°B ．45°C ．30°D ．25°答案：D12.（2018北京丰台区第一学期期末）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°答案：D13.（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒答案：B14.（2018北京怀柔区第一学期期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为 A ．22 分米 B ． 23分米 C ．32 分米 D ．33分米答案：B15.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷） 如图，DCE ∠是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果75DCE ∠=︒，那么BAD ∠的度数是 A ．65︒ B ．75︒ C ．85︒ D ．105︒ 答案：B16.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则AC B ∠的大小为A. 20︒B. 40︒C. 80︒D. 90︒答案：B 17.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C 的度数是（A ）100° （B ）80° （C ）50° （D ）40°答案：C18.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则BOD ∠的度数为（A ）︒100 （B ）︒120 （C ）︒130 （D ）︒150答案：C19.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（A ）32 （B ）34（C ）52（D ）54答案：B20.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为A B ． C ． D ．10答案：B21.（2018北京通州区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若B︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ）ABA ．︒25B ．︒30C ．︒35D ．︒40 答案：C22.（2018北京通州区第一学期期末）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 34答案：D23.（2018北京西城区第一学期期末）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°答案：C24.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转 n °得到 CD ，则∠ COD 等于A ． 25°B ． 25°+ n °C ． 50°D ． 50°+ n °答案： A.二、填空题25.（2018北京房山区二模）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB为点E ，连结OC ，若OC =5，CD =8，则AE = .答案： 226.（2018北京东城区二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8. O e 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.答案： 227.. （2018北京西城区二模）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒． 答案：5428.（2018北京朝阳区二模）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O的直径，点D 在圆O 上，弧BD =弧CD ，AB=10，AC =6，连接OD 交BC 于点E ，DE = ．答案：229.（2018北京昌平区二模）如图，在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ．答案：3C30.．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，AB 是⊙O 的弦，，那么∠CDB 的度数为____________．答案：21°31.．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=︒，AD OC ∥，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，那么ACD ∠=__________．答案：4032.（2018北京市朝阳区综合练习（一）） 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD = 度. 答案15第13题图33. （2018北京门头沟区初三综合练习）如图，PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，AO交⊙O 于点B ；连接BC ，若∠C =32°，则∠A =_____________ °． 答案26°34．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥弦CD 于点E ，若AB =10，CD =8，则BE = ．ODCBA答案235．（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．答案：236．（2018北京丰台区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB 的长是 ．答案837.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 .答案：3A B38.（2018北京大兴第一学期期末）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．答案： 3.39.（2018北京东城第一学期期末）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交O 于点D .若CD =1，AB =4,则O 的半径是 .答案： 2.540.（2018北京东城第一学期期末）O 是四边形ABCD 的外接圆,AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是 .①AB =AD ; ②BC =CD ; ③AB AD =; ④∠BCA =∠DCA ; ⑤BC CD =答案：②⑤41.（2018北京房山区第一学期检测）如图，⊙O 的半径为5， AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为E ，如果CE=2，那么AB 的长是 ．答案：842.（2018北京丰台区第一学期期末）如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为.答案：143.（2018北京丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .答案：（2，0）44.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC 的外接圆．如果BC=,那么⊙O 的半径为________.答案：245.（2018北京平谷区第一学期期末）13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是（结果不取近似值）．=46.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．答案：3547.（2018北京通州区第一学期期末）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为______________.答案：45°或135°48.（2018北京西城区第一学期期末）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于.答案：249.（2018北京西城区第一学期期末）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为.答案：150.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN=2.5，那么 BC=答案： 551.（2018北京丰台区二模）数学课上，老师提出如下问题：△ABC 是⊙O 的内接三角形，OD ⊥BC 于点D .请借助直尺，画出△ABC 中∠BAC 的平分线.晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长OD 交»BC于点M ； （2）连接AM 交BC 于点N.所以线段AN 为所求△ABC 中∠BAC 的平分线.请回答：晓龙同学画图的依据是 . 答案：垂径定理，等弧所对的圆周角相等。

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度； （2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（ ）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（ ）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（ ）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（ ）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（ ）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（ ）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（ ）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（ ）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是 ．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为 ．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

北京中考复习——圆一、解答题1、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE．（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）152．解答：（1）∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°．∴∠OBE+∠EBD=90°，∠OAE+∠CEA=90°，∴∠CEA=∠EBD．又∵∠CEA=∠BED，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE．（2）过D作DF⊥AB于F，连接OE，∵E是AB的中点，AB=12，∴AE=BE=6，OE⊥AB，∴∠AOE+∠OEC=∠DEF+∠OEC=90°，∴∠AOE=∠DEF，∵DB=DE，DF⊥AB，∴EF=12BE=3．在Rt△EDF中，DE=5，EF=3，∴DF，∴sin∠DEF=DFDE=45，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEAO=45．∵AE=6，∴AO=152．2、如图AB是圆O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO．（2）若PC=6，tan∠PDA= 34，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE解答：（1）∵P A、PC与圆O分别相切于点A、C，∴∠APO=∠EPD且P A⊥AO即∠P AO=90°，∴∠AOP=∠EOD，∠P AO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，即∠EPD=∠EDO．（2）连接OC，∴P A=PC=6．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△PDA中，AD=8，PD=10，∴CD=4．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∴∠EPD=∠EDO，∴△OED∽△DEP，∴PDOD=DEOE=2．在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE3、如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA DC=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE的长为解答：（1）∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴∠ABM=90°，AB⊥BM，∵CD//BM，∴AB⊥CD，∴DA AC=，∵DA DC=，∴DA AC DC==，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形．（2）连接BD，∵△ACD是等边三角形，∴∠DAB=30°，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵∠EBD+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠EBD=30°，在Rt△BDE中，DE=2，∴BD=OB，BE=4，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，OE，即OE的长为．4、如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD．（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．答案：（1）证明见解答．（2）OP=．3解答：（1）连接OC，OD．∵PC，PD为⊙O的两条切线，∴PC=PD．又∵OC=OD，∴OP垂直平分CD，即OP⊥CD．（2）如图，连接AD，BC．∵OD=OA，∠DAB=50°，∴∠ADO=∠DAB=50°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBA=70°，∴∠ADC=180°-∠CBA=110°．∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°．∵OP⊥CD，∴∠ODC+∠DOP=90°，∴∠POD=30°．∵PD为⊙O的切线，OD为半径，∴∠ODP=90°．∵OA=2，∴OD=OA=2．在Rt△ODP中，OP=．35、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD．（2）若OB=2，求BH的长．答案：（1）证明见解答．（2）BH解答：（1）连接OC，∵BD为⊙O的切线，AB为直径，∴∠ABD=90°；∵C点为弧AB中点；∴∠COA=90°∴CO//BD；∵O点为AB中点，∴点C为AD中点，即：AC=CD．（2）∵CO⊥AB；E为OB中点，OB=2，∴OE=BE=1．∵CO//FD，∴△COE≌△FBE，∴BF=CO=2．∵AB为直径，∴∠AHB=∠ABF=90°．∵∠BFH=∠AFB，∴△ABF∽△BHF．∴ABBF=BHFH=2，∴BH:FH:BF．∵BF=2，∴BH6、如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF．（2）若sin C=13，BD=8，求EF的长．答案：（1）证明见解答．（2）2．解答：（1）连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF．（2）设半径为r，在Rt△OCD中，sin C=13，∴ODOC=13，∴OD=r，OC=3r，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴OF//BD，∴OEBD=OAAB=12，∴OE=4，∵OFBD=OCBC=34，∴OF=6，∴EF=OF-OE=2．7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=23，求BF的长．答案：（1）证明见解答．（2）BF．解答：（1）方法一：连结OC．∵EC与⊙O相切，C为切点，∴∠ECO=90°．∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC．∵OD⊥DC，∴DB=DC．∴直线OE是线段BC的垂直平分线．∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，∴∠ECO=∠EBO，∴∠EBO=90°，∴AB是⊙O的直径．∴BE与⊙O相切．方法二：连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵OC OBCOE BOEOE OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，∴△ODH∽△OBD，∴ODOB=OHOH=DHBD，又∵sin∠ABC=23，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=23，即OHOD=23，∴OH=4，∴DH又∵△ADH∽△AFB，∴AHAB=DHFB，1318=FB，∴FB．8、如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB．（2）如果⊙O AC的长．答案：（1）证明见解答．（2．解答：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB=90°，∠ABO=45°．而∠AOC=150°，∴∠BOC=60°．∴△BOC为正三角形，∴CB=CO，∠OBC=60°．∴∠CBD=180°-∠ABO-∠OBC=180°-45°-60°=75°．而在四边形BOCD中，∠COB=60°，∠OCD=90°，∠OBD=∠OBC+∠CBD=135°，∴∠D=360°-∠COB-∠OCD-∠OBD=75°．∴∠D=∠CBD．∴CD=CB．（2）在三角形AOB中，AB OA=2，DC切⊙O于C，∴∠DCB=∠CAD，∴△DCB∽△CAD．∴CDAD=DBDC．∴DC2=DB×DA=DB×（DB+AB），而DC=CB=OC，AB=2，∴2=DB×（DB+2），∴DB．∴AC=AD=AB+BD．9、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BC中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若EF=4，sin∠F=35，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）158．解答：（1）如图，连接OC，OD，∵点D为BC中点，∴∠1=∠2=12∠BOC，∵OA=OC，∴∠A=∠3=12∠BOC．∴∠1=∠3，∴OD//AE．∵EF⊥AE，∴EF⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，EF =4，sin ∠F =35， ∴AE =3，AF =5．∵OD //AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE =OF AF， 设⊙O 的半径为r ，则OD =r ，OF =AF -AO =5-r ， ∴3r =55r ， 解得r =158， ∴⊙O 的半径为158． 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ．（1）若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线．（2）若⊙O tan ∠BDC =12，求AC 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）4．解答：（1）证明：连接OC ，∵OC =OA ，∴∠OCA =∠OAC ，∴∠COB =2∠OAC ，∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ，∴∠COB=∠ABD，∴OC//DE，∵CE⊥DB，∠CED=90°，∴∠OCE=90°，OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：连接BC，∵∠BDC=∠BAC，∴tan∠BAC=tan∠BDC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴BCAC=12，设BC=x，AC=2x，∴AB，∵⊙O∴x=2，∴AC=2x=4．11、如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5，C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．答案：（1）证明见解答．（2解答：（1）如图，连接OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CP A，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CP A=90°，即∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，故AB是⊙O的切线．（2）∵tan∠ACB=12，∴在Rt△ACP中，设AP=x，AC=2x，∵OA=5，∴OP=5-x，∴OB=5-x，∵AB=AC，∴AB=2x，∵∠ABO=90°，由勾股定理，得OB2+AB2=OA2，即（5-x）2+（2x）2=52，解得x=2，∴AP=2，∴OB=OP=3，∴AB=AC=4，∴CP过O作OD⊥PB于D，在△ODP和△CAP中，∵∠OPD=∠CP A，∠ODP=∠CAP=90°，∴△ODP∽△CAP，∴PDPA=OPCP=ODCA，∴PD=·OP PA CPBP=2PD12、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°，∴∠BOC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB //DC ，∴∠OCD =∠BOC =90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）连接AC ，交BD 于点E ，∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°，∴BC =AC∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CE =12AC∴BE ，∴BD =2BE ．13、如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且CD CB =，连接OC ，BD ，OD ．（1）求证：OC 垂直平分BD ．（2）过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AD ，CD ．①依题意补全图形．②若AD =6，sin ∠AEC =35，求CD 的长．答案：（1）证明见解答．（2）①画图见解答．②解答：（1）∵CD CB =，∴∠DOC =∠COB ，在△OED 与△OEB 中，OD OB DOE EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OED ≌△OEB （SAS ），∴DE =BE ，∠DEO =∠BEO ，∵∠DEO +∠BEO =180°，∴∠DEO =∠BEO =90°，∴OC 垂直平分BD ．（2）①依题意补全图形如下图．②由（1）可知，OC 垂直BD ，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠ECO =∠BEO =90°，∴CE //BD ，∴∠E =∠DBA ，∵sin ∠AEC =35， ∴sin ∠DBA =AD AB =35， ∵AD =6，∴AB =10，则OB =12AB =5， 在△OEB 中，sin ∠EBO =OE OB =35， ∴OE =35·OB =3， 则EC =OC -OE =5-3=2，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD，∴DE=12BD=4，在Rt△DEC中，CD=故答案为：14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB．（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）如图所示，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠EDB=90°，又∵OD=OC，AB=AC，∴∠ODC=∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ODC=∠ABC，∴OD//AB，∵OD⊥DE，∴DE⊥AB．（2）如图所示，∵⊙O直径为5，∴AB=AC=5，连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，故∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，又∵tan B=12，∠B=∠C，∴在Rt△ACD中，tan C=12，AC=5，∴设AD=x，则CD=2x，AC，=5，∴x故BD=CD又∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴在Rt△BDE中，BD tan B=12，设DE=y，则BE=2y，∴BD，解得：y=2，故BE=4，∴AE=AB-BE=5-4=1．15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB 的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．（2）若BC=4，tan B=12，求OB．答案：（1）1个，证明见解答．（2解答：（1）连接OE，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，又∵∠AED=∠B，∴AED=∠OEB，∴AEO=∠AED+∠DEO=∠OEB+∠DEO=∠DEB=90°，∴AE是⊙O的切线，∴图形W与AE所在直线有1个公共点．（2）∵∠C=90°，BC=4，tan B=12，∴AC=2，AB∵∠DEB=90°，∴AC//DE，∴tan∠CAE=tan∠AED=tan B=12，在Rt△ACE中，∠C=90°，AC=2，∴CE=1，∴BE=3，∵AC//DE，∴BEBC=2OBAB，∴34，∴OB16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．答案：（1）DE与⊙O相切，证明见解答．（2）95．解答：（1）如图，连接CD，OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵点E是AC的中点，∴CE=AE，且DE=12 AC，∴CE=DE=AE，∴∠ECD=∠EDC，∠EDA=∠EAD，又∵∠BCA=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵O点是直径BC中点，∴∠CBD=∠ODB，∠BCD=∠ODC，∵∠CBA+∠CAB=90°，∠BCD+∠CBA=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDA=90°，且OD是⊙O半径，∴DE与⊙O相切．（2）∵点O与点E分别是BC与AC的中点，∴OE//AB，且OE=12AB，OC=12BC，CE=12AC，∵CD⊥AB，∴CF⊥OE，∵AB=10，BC=6，在Rt△ACB中，AC=8，∴OE=5，OC=3，CE=4，∵CF⊥OE，∠OCE=90°，∴∠COF+∠OCF=90°，∠CEF+∠COE=90°，∴∠OCF=∠CEO，∴△OCF∽△OEC，∴OCOE=OFOC，∴OF=2OCOE=235=95．17、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形．（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长．答案：（1）画图见解答．（2）直线EF是⊙O的切线；证明见解答．（3）BF=457．解答：（1）如图所示：（2）直线EF是⊙O的切线；理由：如图，连接BC，OD交于点H，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠E=90°，∴BC//EF，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，∵AB=5，BD=3，∴OB=OD=2.5，设OH=x，则DH=52-x，在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2=（52）2-x2，在Rt△BHD中，由勾股定理得：BH2=32-（52-x）2，∴（52）2-x2=32-（52-x）2，解得：x=710，∴OH=710，DH=95，∵O是AB中点，H是BC中点，∴AC =2OH =75， 易证四边形HCED 是矩形，则CE =DH =95， ∴AE =165， ∵BC //EF ， ∴AC AE =AB AF ，即75165=55BF， ∴BF =457． 18、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 切线CD 交BA 的延长线于点D ，过点O 作OE //AC 交切线DC 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：∠B =∠E ．（2）若AB =10，cos B =45，求EF 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）163． 解答：（1）如图，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =∠ACO +∠OCB =90°，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠OCD =∠ACO +∠ACD =90°，∴∠OCB =∠ACD ．∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC，∴∠B=∠OCB．∵OE//AC，∴∠ACD=∠E，∴∠B=∠E．（2）在Rt△ACB中，cos B=CBAB=45，AB=10，∴BC=8，AC=6．∵∠ACB=∠OCE=90°，∠B=∠E，∴△ACB∽△OCE，∴ACOC=ABOE，∴65=10OE，∴OE=253．∵OF//AC，O为AB中点，∴OF=12AC=3，∴EF=OE-OF=163．19、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE//AC．（2）若AB=8，tan E=43，求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）如图，连接OD，∴∠ADC=90°，∵AD=CD，∴∠DOC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE//AC．（2）∵DE//AC，∴∠E=∠ACB，∵AC为⊙O直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=8，tan∠ACB=43，∴AC=10，∴CD．20、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE=∠CAD．（2）若AB=10，AD=6，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）CE=203．解答：（1）连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCB+∠BCE=90°，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CAB=∠BCE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴∠CAD=∠BCE．（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=10，AD=6，∴BD=8，∵AC平分∠DAB，∴CD BC，∴OC⊥BD，DH=BH=4，∴OH=3，∵OC⊥CE，∴BD//CE，∴△OHB∽△OCE，∴OHOC=BHCE，∴35=4CE，∴CE=203．21、如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD=180°．（1）求证：CE是⊙O切线．（2）连接OB，若OB//CE，tan∠CEB=2，OD=4，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）解答：（1）∵D是AB中点，∴OD⊥AB，∴∠ODE=90°，∴∠OCE=360°-∠ODE-（∠CED+∠COD）=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O半径，∴CE是⊙O切线．（2）过B作BH⊥CE于H，由（1）知∠OCE=90°，∵OB//CE，∴∠BOC+∠OCE=180°，∠OBD=∠CEB，∴∠BOC=90°，tan∠OBD=tan∠CEB=2，∵∠ODB=90°，∴在Rt△ODB中，tan∠OBD=ODBD=2，∵OD=4，∴BD=2，∴OB∵BH⊥CE，∴∠BHC=∠BHE=90°=∠BOC=∠OCH，∴四边形OBHC是矩形，∵OB=OC，∴四边形OBHC是正方形，∴BH=CH=OB=OC在Rt△BHE中，tan∠CEB=BHHE=2，∴HE∴CE=BE+HE22、如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD 交AC于点F，且FC=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OD⊥AC，∴∠DGF=90°，∴∠ODB+∠DFG=90°，∵∠DFG=∠BFC，∴∠ODB+∠BFC=90°，∵BC=FC，∴∠BFC=∠FBC，∴∠FBC+∠ODB=90°，∴∠FBC+∠OBD=90°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．（2）∵tan A=OGAG=BCAB=34，又∵⊙O的半径为5，∴OA=OB=5，∴OG=3，AG=4，AB=10，∴BC=152，∴AC 252，∵CF=CB=152，∴AF=AC-CF=5，∴FG=AF-AG=5-4=1．23、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC 的延长线于点D．（1）求证：∠DBC=∠OCA．（2）若∠BAC=30°，AC=2．求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）3．解答：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠OBD =90°，∴∠OBC +∠CBD =90°，∴∠A =∠CBD ，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA ，∴∠OCA =∠DBC ．（2）∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，∴cos ∠BOC =OB OD =12， ∴OD =2OB ，∴CD =OC =OB ，∵cos ∠CAB =AC AB =∴AB =3，∴CD =OB =3，即CD 24、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，AD 平分∠CAB 交BC 于点E ，DF 是⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF ⊥AF ．（2）若⊙O 的半径是5，AD =8，求DF 的长．答案：（1）证明见解答．（2）4.8．解答：（1）如图所示，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，∴∠ODA=∠CAB，∴AF//OD，又∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AF．（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）可知DF⊥AF，∴∠F=∠ADB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠F AD=∠DAB，∴Rt△F AD∽Rt△DAB，∴DFBD=ADAB，在Rt△ABD中，由勾股定理可知：BD ∵⊙O的半径为5，∴AB=10，∴BD=6，即DF=6×8÷10=4.8．。

初中数学《圆的基本性质》好题集锦一、圆的有关线段和角1．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BOC ＝120°，延长BO 交⊙O 于D 点．(1)试求∠BAD 的度数； (2)求证：△ABC 为等边三角形．2．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD ． (1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝24，ON ＝1，求⊙O 的半径．3．已知,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,点C ．、P 在AB 的两侧,AC =21AB ,连接CP ,BP ． (Ⅰ)如图①,若CP 经过圆心,求∠P 的大小；(Ⅱ)如图②,点D 是PB 上一点,CD ⊥PB ,若CP ⊥AB ,求∠BCD 的大小．4．如图，⊙P 的圆心的坐标为(2，0)，⊙P 经过点)25,4(B ．(1)求⊙P 的半径r ；(2)⊙P 与坐标轴的交点A ，E ，C ，F 的坐标；(3)点B 关于x 轴的对称点D 是否在⊙P 上，请说明理由．5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6，AC =8，求CE 的长．6．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）连接CD ，若CD ＝3，BD ＝4，求⊙O 的半径和DE 的长．7．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD ＝60°，DC＝DE．求证：（1）AB＝AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．二、圆与四边形8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC 的外接圆O于点E，连结A E.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连结CO，求证：CO平分∠BCE.9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．10.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．11．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．三、圆的综合运用12．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD┴OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．13．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD（1）求证：∠C=∠D；（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围(用含r的代数式表示)．14．如图，有两条公路OM、ON相交成 30°角，沿公路OM方向离O点 80 米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为 18 千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．15．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F．（1）求证：∠BFC=∠ABC．（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长．《圆的基本知识好题》参考答案1.解：(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°(直径所对的圆周角是直角)．(2)证明：∵∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝21∠BOC ＝60°.又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形． 2.(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BAM ＝∠BCD ， ∴∠BAM ＝∠BAD ，，∴△ANE ≌△ADE (A S A )，∴AN ＝AD ；(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ,∴AE ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第2题解图3.解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =21AB ,∴∠ABC =30°,∴∠A =90°－∠ABC =60°, ∴∠P =∠A =60°;(Ⅱ) ∵AB 是⊙O 的直径,AC =21AB , ∴∠A =60°,∴∠BPC =∠A =60°, ∵CD ⊥PB ∴∠PCD =90°－BPC =30°,∵CP ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径, ∴BC =BP ,∴∠P =∠BCP =60°,∴∠BCD =∠BCP －∠PCD =60°－30°=30°.4..解：(1)过点B 作x 轴的垂线，交x 轴于点G ，连接BP . 则点G 坐标为(4，0)．在Rt △PBG 中，PG ＝4－2＝2，BG ＝25，斜边PB ＝241∴⊙P 的半径r ＝241.(2)点E 坐标为(2－241，0)，点F 坐标为(2＋241，0)∵点A 坐标的y 值＝25，∴点A 坐标为(0，25)．点C 坐标为(0，－25)． (3)∵⊙P 关于x 轴对称，又∵B 与D 关于x 轴对称，∴D 在⊙P 上．5.证明：如图．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE ＝∠A . 又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1＝∠A .∴∠1＝∠2，∴ CF ＝BF .（2）此时，CE =5246.（1）证明：∵BD 平分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA ，∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ， ∴∠DAC ＝∠DBA ；（2）证明：∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°，∵DE ⊥AB 于E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，∴∠1＝∠5＝∠2， ∴PD ＝P A ，∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠3＝∠4， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点；（3）解：连接CD ， ∵∠CBD ＝∠DBA ，∴CD ＝AD ，∵CD ＝3，∴AD ＝3， ∵∠ADB ＝90°，AB ＝5，⊙O 的半径为2.5，∵DE ×AB ＝AD ×BD ，∴5DE ＝3×4， ∴DE ＝2.4．即DE 的长为2.4．7.（1）证明：∠ABF ＝∠ADC ＝120°﹣∠ACD ＝120°﹣∠DEC ＝120°﹣（60°+∠ADE ）＝60°﹣∠ADE ， 而∠F ＝60°﹣∠ACF ， 因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF ．（2）证明：四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABD ＝∠ACD ， 又DE ＝DC ，所以∠DCE ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ， 所以AB ＝AE ． ∵AB ＝AF ，∴AB ＝AF ＝AE ，即A 是三角形BEF 的外心．8.(1)根据圆周角定理知∠E ＝∠B ， 又∵∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D .∵AD ∥CE ，∴∠D ＋∠DCE ＝180°， ∴∠E ＋∠DCE ＝180°，∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形． (2)如图，连结OE ，OB ，由(1)得四边形AECD 为平行四边形， ∴AD ＝EC .又∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC . ∵OC ＝OC ，OB ＝OE ， ∴△OCE ≌△OCB (SSS )，∴∠ECO ＝∠BCO ，即OC 平分∠BCE .9.11.解：连接OB ，OC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC =90°，∴∠BPC =21∠BOC =45°；（2）解：过点O 作OE ⊥BC 于点E ， ∵OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2 ， ∴BE = 24 ∴BC =2BE =2810.解析：（1）∵A B 是直径， ∴∠AEB =90°，∴AE ⊥BC ， ∵AB =AC ，∴BE =CE ，∵AE =EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AC =AB ，∴四边形ABFC 是菱形．（2）设CD =x ．连接BD ． ∵AB 是直径，∴∠ADB =∠BDC =90°， ∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2， ∴（7+x ）2﹣72=42﹣x 2， 解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD=157822=-， ∴S 菱形ABF C=158． ∴S 半圆=ππ84212=⨯11.15. （1）菱形，正方形（2）解：①如图1，连接AC ，BD∵AB ＝AD ，且CB ＝CD∴AC 是BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是“十字形”②如图，设AC 与BD 交于点O∵AB =AD ，AC ⊥BD∴∠BAO =∠BAD =30°同理可证∠BCO =45°在Rt △ABO 中，OB =1AO =AB ×cos30°=3OB =OC =1∴AC =AO +CO =1+3， BD =2∴ 四边形ABCD 的面积=21×AB ×BD =21×2×（1+3）=1+3（3）解：如图2∵∠ADB +∠CBD ＝∠ABD +∠CDB ，∠CBD ＝∠CDB ＝∠CAB ，∴∠ADB +∠CAD ＝∠ABD +∠CAB ，∴180°﹣∠AED ＝180°﹣∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴AC ⊥BD ，过点O 作OM ⊥AC 于M ，ON ⊥BD 于N ，连接OA ，OD ，∴OA ＝OD ＝1，OM 2＝OA 2﹣AM 2 ， ON 2＝OD 2﹣DN 2 ， AM ＝21AC ，DN ＝ 21BD ，四边形OMEN 是矩形，∴ON ＝ME ，OE 2＝OM 2+ME 2 ，∴OE 2＝OM 2+ON 2＝2﹣41（AC 2+BD 2） 设AC ＝m ，则BD ＝3﹣m ，∵⊙O 的半径为1，AC +BD ＝3，∴1≤m≤2，∴41423≤≤OE由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD =CD =21BC ，OA =80m ， ∵在 Rt △AOD 中，∠AOB =30°，AD = 21OA = 21×80=40m ， 在 Rt △ABD 中，AB =50，AD =40，由勾股定理得：BD =30m ， 故BC =2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BC 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即300 米/分钟，∴重型运输卡车经过 BC 时需要 60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒．15.（1）连接PA ，如图1所示．∵PO ⊥AD ，∴AO =DO ．∵AD =2，∴OA =．点P 坐标为（﹣1，0），∴OP =1．∴PA ==2．∴BP =CP =2． ∴B （﹣3，0），C （1，0）． （2）连接AP ，延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC ．如图2所示，线段MB 、MC 即为所求作． 四边形AC MB 是矩形．理由如下∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB =90°．∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为H ，如图2所示．在△MHP 和△AOP 中，∵∠MHP =∠AOP ，∠HPM =∠OPA ，MP =AP ，∴△MHP ≌△AOP ．∴MH =OA =，PH =PO =1．∴OH =2．∴点M 的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG 的大小不变．∵四边形ACMB 是矩形，BMC =90°．EG ⊥BO ，∴∠BGE =90°．∴∠BMC =∠BGE =90°．∵点Q 是BE 的中点，∴QM =QE =QB =QG ．∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG =2∠MBG ．∵∠COA =90°，OC =1，OA =，∴tan ∠OCA =．∴∠OCA =60°．∴∠MBC =∠BCA =60°．MQG =120°．∴在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°．16.（1）证明：连结AD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∵CF ⊥BD ，∴∠BEF =90°，∵∠ABD +∠ADB =90°，∠ABD +∠BFE =90°，∴∠BFC =∠ADB ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠ACB =∠ADB ，∴∠BFC =∠ABC .（2）解：连结CD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD =90°，∵∠BFC =∠ABC ，∴BC =CF =6，∵BD =10，∴CD =8在Rt △BCE 中，BE=518，CE =524，56 EF ， ,∴AF =AB -BF =1059。

AN=BN AM=BM圆的复习及中考试题一、基本概念圆、弦、弦心距、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形高、割线、切线、切点、两圆的圆心距、两圆的连心线、圆锥、圆锥的母线、圆锥的高、三角形的外接圆、外心、三角形的内切圆、内心。

二、1点和圆的位置关系，2直线和圆的位置关系，3圆和圆的位置关系性质和判定1·d>r⇔⇔⇔在点圆外点在圆上d=r点在圆内d<r2·d>r⇔⇔⇔直线和圆相离直线和圆相切d=r直线和圆相交d<r3·drd r d<rd=rd<rR r⇔>+⇔⇔-<⇔⇔两圆外离两圆外切d=R+两圆相交R+两圆内切R-两圆内含R+三·与圆有关的性质、定理1、圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

过圆新的任意一条直线都是是它的对称轴。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。

拓广：（1）经过圆心(2)垂直于，(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧。

五元素知二可证三【注意问题：平分弦为已知条件时该弦非直径】MN经过圆心 MN⊥AB AC=BC〖五元素知二可求三〗圆柱的侧面积和全面积性质判定内心的作法和性质外心的作法和性质垂径定理旋转不变性轴对称性切线三角形外接圆圆锥的侧面积和全面积扇形面积弧长等分圆周圆和圆的位置关系直线和圆的位置关系点和圆的位置关系同弧上的圆周角与圆心角的关系及推论圆心角、弧、弦之间的关系圆的对称性有关圆的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的基本性质圆NB'CBAAA OBC CA B3、 圆心角、弧、弦 相等关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦有一组量相等，那么其余各组量也分别相等。

（即一等可证二等） 4、 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。