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初中数学握手问题方程教案教学目标：1. 让学生理解握手问题的背景和意义，提高学生解决实际问题的能力。
2. 培养学生运用代数方法解决问题的习惯，提高学生的数学思维能力。
3. 使学生掌握二元一次方程的解法，提高学生的解题技巧。
教学内容：1. 握手问题的引入和分析。
2. 建立二元一次方程。
3. 解二元一次方程。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过讲解实际生活中的握手问题，引起学生的兴趣。
2. 向学生介绍握手问题的背景和意义。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解握手问题的具体情境，引导学生理解问题。
2. 引导学生分析问题，找出问题中的等量关系。
3. 指导学生建立二元一次方程。
三、例题讲解（15分钟）1. 通过具体例题，讲解解二元一次方程的方法。
2. 引导学生运用代数方法解决问题。
四、练习与讨论（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师组织学生进行讨论，分享解题心得。
五、总结与拓展（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2. 向学生提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
教学评价：1. 通过课堂讲解、例题分析和练习，评价学生对握手问题方程的掌握程度。
2. 关注学生在讨论中的表现，评价学生的合作能力和数学思维能力。
教学反思：本节课通过讲解握手问题，引导学生建立二元一次方程，培养学生运用代数方法解决实际问题的能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
同时，要注重培养学生的合作能力和数学思维能力，提高学生的综合素质。
握手问题与一元二次方程
咱来唠唠握手问题和一元二次方程，这俩看起来好像八竿子打不着，其实关系还挺有趣的呢。
就说这握手问题吧，假设有一群人在一个屋子里，每个人都要和其他人握一次手。
比如说有5个人，第一个人得和剩下的4个人握手，第二个人呢，他已经和第一个人握过了，所以只要和剩下的3个人握手就行，第三个人就和剩下的2个人握手，第四个人和最后1个人握手。
那总共握手的次数就是4 + 3+ 2 + 1 = 10次。
要是人多了，这么一个一个算可就麻烦了。
这时候一元二次方程就闪亮登场啦。
咱们设总共有n个人，那第一个人要和(n - 1)个人握手，第二个人要和(n - 2)个人握手（因为和第一个人握过了），以此类推，最后第二个人和1个人握手。
总的握手次数就是从1加到(n - 1)。
这里有个小窍门，根据等差数列求和公式，这个握手次数的总和S就等于n×(n - 1)÷2。
这其实就是一个一元二次方程的变形啊。
比如说，咱们知道总共握手66次，那就可以列方程n×(n - 1)÷2 = 66。
整理一下就得到n² - n - 132 = 0，这就是一个一元二次方程啦。
然后咱们可以用求根公式或者因式分解来解这个方程，得到n的值。
如果解得n = 12或者n = - 11，人个数不能是负数啊，所以就是12个人。
你看，握手问题这么一转化，就和一元二次方程联系起来了，是不是还挺神奇的？。
一元二次方程应用握手问题送卡片问题数论问题专练教师版命题人：潘五洲一、1. 题文某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为A．xx+1=1035 B．xx-1=1035C．xx+1=1035 D．xx-1=1035答案：答案B解析试题分析：如果全班有x名同学,那么每名同学要送出x-1张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是xx-1张,即可列出方程．∵全班有x名同学,∴每名同学要送出x-1张；又∵是互送照片,∴总共送的张数应该是xx-1=1035．故选B考点：由实际问题抽象出一元二次方程．2. 题文摄影兴趣小组的学生,将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张,全组共互赠了182张,若全组有x名学生,则根据题意列出的方程是A．B．C．D．答案：答案B．解析试题分析：设全组有名同学,则每名同学所赠的标本为：件,那么名同学共赠：件,所以, ．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．3. 题文有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中,平均一个人传染的人数为．A．8人B．9人C．10人D．11人答案：答案B解析试题分析：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,第一轮过后有1+x个人感染,第二轮过后有1+x+x1+x个人感染,那么由题意可知1+x+x1+x=100,整理得,,解得x=9或-11, x=-11不符合题意,舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．故选B．考点：一元二次方程的应用．4. 题文要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛,则满足的关系式为A．B．C．D．答案：答案B．解析试题分析：每支球队都需要与其他球队赛场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为：．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．5. 若一个数和它的一半的平方和等于5,则这个数是A.2B.-2C.2或-2D.以上都不对答案：思路解析：依据条件列方程即可求解.设这个数为x,可列方程x 2 + 2 =5.解得x=±2.答案：C6. 若某三个连续偶数的平方和等于56,则这三个数是A.2、4、6B.4、6、8C.-6、-4、-2或2、4、6D.-8、-6、-4或4、6、8答案：思路解析：设中间的偶数为x,然后列方程得x-2 2 +x 2 +x+2 2 =56.解得x=±4,所以这三个数分别为-6、-4、-2或2、4、6,由于此题为选择题也可以直接验证选项. 答案：C7. 两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是A.2和4B.6和8C.4和6D.8和10答案：思路解析：常规题型可直接列方程求解.设较小的正数为x,较大的为x+2,则x 2 +x+2 2 =52,x 1 =4,x 2 =-6舍去.故所求的两个正数为4,6.答案：C8. 如果两个连续偶数的积为288,那么这两个数的和等于A.34B.-34C.35或-35D.34或-34答案：思路解析：两个连续偶数差2,设较小的数为x,较大的为x+2,则x+2x=288.解方程即可.答案：D二、填空题9. 题文要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个各队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛若设应邀请x各队参赛,可列出的方程为_________．答案：答案xx-1=28．解析试题分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7,把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛x-1场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为：xx-1=28．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．10. 题文若两数和为-7,积为12,则这两个数是 .答案：答案3和4解析试题分析：设其中的一个数为x,则另一个是7x,根据“积为12”可得x7x=12,解方程即可求解．设其中的一个数为x,则另一个是7x,根据题意得x7x=12,解得x=3或x=4,那么这两个数就应该是3和4．考点：一元二次方程的应用．11. 题文在一次同学聚会时,大家一见面就相互握手;有人统计了一下,大家一共握了45次手,参加这次聚会的同学共有多少人若参加聚会有名同学,可列方程 ;答案：答案解析试题分析：设参加聚会的同学共有x人,根据大家一见面就互相握手,有人统计了一下,大家一共握了45次手,从而可列出方程．考点：由实际问题抽象出一元二次方程12. 题文某班师生十年后再次聚会,见面时相互握手一次,共握手820次,问原来班级师生人.答案：答案41．解析试题分析：设这次参加聚会的同学有人,则每人应握次手,由题意得：,即：,解得：, 不符合题意舍去,所以,这次参加同学聚会的有41人．故答案为：41．考点：一元二次方程的应用．13. 题文网民小李的群里共有若干个好友,每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息,这样共有90条消息,设小李的群里共有好友个,可列方程为: ．答案：答案解析试题分析：设有x个好友,依题意,xx1=90,故答案为：xx1=90考点:由实际问题抽象出一元二次方程14. 某两位数的十位数字是方程x 2 －8x=0的解,则其十位数字是 .答案：思路解析：不要忽视对所求方程解的分析.解方程x 2 －8x=0,得x 1 =0,x 2 =8,由于两位数的十位数字不能为0,∴x=0舍去.∴十位数字为8.答案：815. 某次足球赛中,每两个足球队之间要进行一场主场和一场客场比赛,共有20场比赛,则这次足球比赛共有_________支足球队参加.答案：5点拨：设共有x 支足球队参加.依题意可列方程: x x －1＝20.解得x ＝5.16. 有一两位数,其个位和十位数字之和是14,交换数字位置后,得到的新的两位数比原两位数大18,则原两位数为____________.答案：思路解析：这类与多位数有关的问题,不可直接设“元”,间接设数位上的数字为宜.设个位上的数字为x,则十位上的数字为14-x,于是有10x+14-x=1014-x+x+18.解得x=8.故该两位数为68.答案：68三、解答题17. 题文为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月答案：答案甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月．解析试题分析：设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要x5个月,根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可．试题解析：设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要x5个月,由题意,得xx5=6x+x5,解得：x 1 =2舍去,x 2 =15．∴乙队单独完成这项工程需要155=10个月答：甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月．考点：一元二次方程的应用．18. 题文要组织一场篮球赛,每两队之间都赛一场单循环赛计划安排15场比赛求应邀请多少个球队参赛 6分答案：答案6．解析试题分析：设邀请x个球队参加比赛,那么第一个球队和其他球队打x1场球,第二个球队和其他球队打x2场,以此类推可以知道共打1+2+3+…+x1场球,然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．试题解析：设邀请x个球队参加比赛,依题意得：,∴, ∴x=6或x=5不合题意,舍去．答：应邀请6个球队参加比赛．考点：1．一元二次方程的应用；2．比赛问题．19. 象棋比赛中,每个选手与其他选手将比赛一场,每局胜者记2分,败者记0分,如果平局,每人各记1分,今有4 位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025,2070,2080,2085分,经核实,其中只有一位同学是正确的,试求这次比赛中共有多少名选手参加答案：46名本题考查了一元二次方程的应用；得到局数是解决本题的难点；判断出相应的分数是解决本题的易错点．每局的得分均为2分,2人的比赛只有一局；局数= ×选手数×选手数-1；等量关系为：2×局数=所得分数,根据所得分数应是2的倍数可舍去2025,2085,把剩下的分数代入看哪个有整数解即可．解：设这次比赛中共有x名选手参加．易得分数一定不是2025,2085,2××xx-1=2070,解得x1=46,x2=-45不合题意,舍去∵只有一位同学是正确的,∴正确的分数是2070,共有46名选手参加比赛．20. 在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗若能,请你用配方法求出这个方程的根.答案：x2-10x+9=0；x1=9,x2=1 本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程. 先设这个方程的两根是α、β,由于乙把一次项系数看错了,而解得方程的两根为-9和-1,则有αβ= =9,甲把常数项看错了,解得两根为8和2,则有α+β=- =10,令a=1,那么关于α、β的一元二次方程即为所求．解：设此方程的两个根是α、β,根据题意得：α+β=-=10,αβ==9,令a=1,那么关于α、β的一元二次方程是x2-10x+9=0．x2-10x+9=x-52-25+9=0,故x-52=16,解得：x=9或x=1,故方程两根为：9,1．21. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台答案：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意,得1＋x＋1＋xx＝81.1＋x 2 ＝81.x＋1＝9或x＋1＝－9.x 1 ＝8,x 2 ＝－10舍去．1＋x 3 ＝1＋8 3 ＝729＞700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台．22. 解方程x 2 +bx+c=0时,甲看错了b,解得两根为－1与6；乙看错了c,解得两根为－3与4,求原来的两根.答案：略23. 三个连续整数两两相乘后相加得431,求这三个数.答案：思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式,再列方程求解.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1,依题意,得xx-1+xx+1+x+1x-1=431.解这个方程得x 1 =12,x 2 =-12.x=12时,x-1=11,x+1=13.x=-12时,x-1=-13,x+1=-11.所以三个连续整数为11,12,13或-13,-12,-11.24. 一个两位数,等于它的个位上数的2倍的平方,且个位上的数比十位上的数小2,求这个两位数.答案：思路分析：涉及到多位数问题,要注意通过数位上的元写出该多位数的正确形式. 解：设个位上的数为x,则十位上的数为x＋2,∴10x+2+x=2x 2 .∴4x 2 -11x-20=0.∴x 1 =4,x=- 舍. ∴这个两位数为64.。
握手问题常常可以用一元二次方程来解决。
以下是一个常见的握手问题的例子：
在一个聚会上，每个人与其他每个人只握手一次，如果总共发生了56次握手，那么聚会中有多少人？
解题步骤：
设聚会中有x个人。
每个人都会与其他(x-1)个人握手（因为自己不会与自己握手）。
因此，总的握手次数可以表示为x个人每人与(x-1)个人握手的总和，但这样每个握手都被计算了两次（一次从握手的发起者角度，一次从握手的接收者角度），所以需要除以2。
所以，我们可以建立以下一元二次方程：
握手次数 = (x * (x-1)) / 2
根据题目，我们知道握手次数为56，所以我们可以将这个数值代入方程：
56 = (x * (x-1)) / 2
接下来，我们解这个一元二次方程：
112 = x * (x-1)
展开：
112 = x^2 - x
移项，得到一元二次方程的标准形式：
x^2 - x - 112 = 0
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解等方式来解。
在这个例子中，我们可以尝试因式分解：
x^2 - x - 112 = (x-16)(x+7) = 0
所以，x = 16 或 x = -7。
由于人数不能为负数，所以聚会中有16人。
1. 握手问题思维方法：将每一个握手的人看做一个点，2个点的连线表示握手一次。
2. 解一元一次方程的5个步骤：第一步：去分母 第二步：去括号 第三步：移项 第四步：合并同类型 第五步：系数化为1
3. 解二元一次方程组的方法：通过消元，转化成解一元一次方程。
1.咱班共有18个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 17 次.
2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 17 次.
3.18个学生,每两个学生握手一次,一共要握手 306 次. ★ 握手次数问题及变式的一般性结论
1.咱班共有x 个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 X-1 次.
2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 X-1 次.
3.现有x 个学生,每两个学生握手一次,一共要握手
2
1
X*(X-1) 次. 例1.如果在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780 次，那么请算出老师所教的班级共有多少名学生？ 解：
2
1
X*(X-1)=780, X=40,-39(舍去).
练习1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排15场比
赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：
2
1
X*(X-1)=15，X=6,-5(舍去). 迁移新知
例2.平面上有n 条直线，两两相交于不同的点； （1）交点个数总共有多少个？
（2）交点个数可以是100个吗，若可以,求出n 的值;若不可以，请说明理由. 解：（1）21n*(n-1) （2）2
1
n*(n-1) =100，n=11，-10（舍去）.
第1讲 握手问题及方程铺垫
例3.一个QQ 群里共有若干个好友，每个好友都给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，那么这个QQ 群里有多少个好友？ 解：x*(x-1)=870，x=30，-29（舍去）.
练习2.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件,求生物兴趣小组有多少个人? 解：x*(x-1)=182，x=14，-13（舍去）.
例4.计算：
（1） 12－(－18 )＋(－7 )－15 （2）111.5(4) 2.755
42
---+- 解：原式=30-22 解：原式=-1.5+4.25+2.75-5.5 =8 =1
（3）(－61＋43－121)×（－48） （4）2
2
112(10.5)()2133⎡⎤⎛⎫---÷-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式=8-36+4 解：原式=-4+21*3*92
=-24 =-33
2
运算法则总结：
例5.化简： （1）2
22213344a b ab ab a b +
-+ （2）22111()4222x xy x xy xy ⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦ 解：原式=4a ²b-2
1
ab ² 解：原式=x ²-5xy
（3）先化简，再求值: ()()
22
228x y xy x y xy +--+1,1x y ==-其中
解：原式=4xy+8，代入x=1，y=-1，原式=4.
整式运算法则总结：
例6.解方程：
（1）385x x -= （2）2455x x -=+ 解：x=-1 解：x=-3
（3）12)2(3)1(+=+--x x x （4）14
2
312-+=-y y 解：x=-2 解：y=-0.4
例7.解方程组：（1）⎩⎨
⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15
2349
32y x y x
解：x=5，y=10 解：x=11，y=9
1.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有 8 人参加聚会.
2. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 解：10家.
3. 25﹣9+（﹣12）﹣（﹣7）；
4. —22
—2×（﹣2）3
÷（）2
；
解：原式=11 解：原式=34
5.解方程：5（x ﹣6）=﹣4x ﹣3；
6. 解方程：=1－．
解：9x=27 解：-6x=3
x=3
x=-2
1
7. 3x 2﹣（2x 2﹣xy +y 2）+（﹣x 2+3xy +2y 2
）；8. 8x 2-[-3x-(2x 2
-7x-5)+3]+4x
解：原式=y ²+4xy 解：原式=10x ²-8
9.先化简，再求值：2（m 2n +5mn 3）﹣5（2mn 3﹣m 2n ），其中m=2，n=﹣． 解：原式=7m ²n ，代入m=2、n=-7
1
，得原式=-4.
10．解方程组： ①
； ②
．
解：x=4，y=3 解：x=3，y=4
11
1. 如果在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生可以共握手500次吗？如果可以，算出全班的人数；如果不能，说明理由. 解：
2
1
X*(X-1)=500,X 不能取整，不符合题意，所以不能.
2. 八年级（2）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是 X*(X-1)=240 .
3.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？ 解：X*(X-1)=72,X=9,-8(舍去），这组共9人。
4. （﹣12）+（+30）﹣（+65）﹣（﹣47）；解：原式=0 解：原式=-6+4-3 =-5
6.整式的加减运算：
（1）7ab -8ac + 5ab + 10ac -12ab （2）x 2
－2（x 2
－y ）＋（2x 2
－3y ）； 解：原式=2ac 解：原式=x ²-y
7.解方程：
（1）3（x ﹣2）=x ﹣（7﹣8x ） （2
解：
解：x= 2
8．1323334
m n
m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 9．()()344126x y x y x y x y
⎧+--=⎪
⎨+-+=⎪
⎩ 解：m=18，n=12. 解：x=1517，y=15
11
10.拓展思考题：这道题的背景是一段关于“世界末日”的传说。
在印度北部的一个佛教
的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。
据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了六十四片金片。
每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。
当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。
我们现在想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少次？如果每次1秒钟，需要多久？
解：①金片只有一片。
显然，只要移动1次即可。
②金片只有二片。
可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。
③金片有三片。
可先将上面两片金片移到乙上。
按2可知，共需移动3次。
再把第三片移至丙，又移一次。
下面把乙上两片移至丙同2，还需三次。
以上共需2x3+1=7（次）。
④金片有四片。
先把上面三片移至乙，按3需7次。
再把第四片从甲移到丙上，又移一次。
最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。
以上共需移动2x7+1=15（次）。
依此递推下去。
设有k 片金片，先将k-1片移至乙，需移动K S -1次。
然后再把第k 片移至丙，又移一次。
最后把k-1片从丙移至乙，又需K S -1次。
以上共需移动(2·K S -1+1）次。
这样，我们可以得到如下的递推式： Sk=2·Sk-1+1。
根据这个递推公式，可得：K S +1=2(1-K S +1) 即 K S =K
2-1 令k=64，得 S64=264-1=18446744073709551615.约5845亿年，按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的，太阳系的整个寿命要短于二百亿年，远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。
6
1=x。
