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几何应用(平面曲线的弧长-立体体积)

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高等数学(上册)-第5章第6讲(定积分的几何应用)[22页]

高等数学(上册)-第5章第6讲(定积分的几何应用)[22页]

5
二、 平面图形的面积
1. 直角坐标系中的平面图形的面积
在平面直角坐标系中求由曲线y f (x)，y g(x)和直线x a，x b围成图
形的面积A，其中函数f (x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f (x) g(x)，如图所示.
在区间[a,b] 上任取代表区间[x, x dx]，在区间两个端点处做垂直于x 轴的
A 1 r2 ( )d.
2
β
O
α
ρ 10
本讲内容
01 微元法 02 平面图形的面积 03 体积 04 平面曲线的弧长
11
三、 体积
1.旋转体的体积.
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 y 周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴.
如圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体. 设一旋转体由连续曲线 y f (x)，直线x a， O a
直线，由于 dx 非常小，这样介于两条直线之间的图形可以近似看成矩形，因
此面积微元可表示为
[ f (x) g(x)]dx,
于是，所求面积A为
b
A a [ f (x) g(x)]dx.
若f (x) g(x)，则有
A
b
[ f (x) g(x)]dx.
a
综合以上两种情况，由曲线 y f (x)，y g(x)
y x 1(y)
d
c O
x 2(y) x
7
二、 平面图形的面积 例 1 求由两抛物线y x2与x y2 所围成图形的面积A .
解
解方程组
y x
x2，得到两抛物线的交点为(0，0)，(1，1)， y 2，
y
两抛物线围成的图形如图所示.
则所求面积 A 为
A

定积分的应用平面曲线弧长课件

定积分的应用平面曲线弧长课件
参数方程中的x(t)和y(t)表示曲线上某一点在x和y方向上的坐标，t表示该点在曲 线上的位置。
参数方程的转换
参数方程转换为普通方程
将参数方程中的参数t消除，将参数方程转换为普通方程。
参数方程的微分形式
将参数方程转换为微分形式，以便于计算曲线的切线斜率和 弧长。
03 定积分在平面曲线弧长中 的应用
理论完善
随着定积分在平面曲线弧长中的应用越来越广泛，其理论体系也可能会得到进一步完善。例如，可能会发现新的定理 和公式，以更好地描述和解决定积分问题。
应用领域的拓展
随着科技的不断发展，定积分的应用领域也可能会进一步拓展。例如，在人工智能、机器学习等领域中， 定积分可能会被用来解决一些新的问题。
定积分在平面曲线弧长中的实际价值
弧长公式的应用
计算特定曲线的弧长
利用弧长公式，可以计算出给定参数 方程的曲线上任意一段弧的长度。这 迹的长度 等。
比较不同曲线的长度
通过比较不同曲线的弧长，可以得出 它们之间的形状差异。例如，可以利 用弧长公式比较不同函数的图像长度。
弧长公式的拓展
弧长公式的推导
弧长公式的基本概念
弧长公式是定积分的一个重要应用，它用于计算平面曲线上某段弧的长度。在推 导弧长公式之前，需要了解曲线的基本参数方程和弧长的定义。
弧长公式的推导过程
通过将曲线分割成许多小段，并利用定积分计算每小段线段的长度，然后将这些 长度相加，最终得到整个弧的长度。这个过程涉及到极限和定积分的概念。
建立方程
首先需要确定曲线的起点和终点，以 及曲线在起点和终点处的切线方向。
根据起点、终点和参数，建立曲线的 参数方程。
选择参数
选择一个合适的参数，例如时间或角 度，来表示曲线上每一点的位置。

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s


2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12

0

3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2

2011年数学二物理应用

2011年数学二物理应用

2011年数学二物理应用物理应用=几何应用物理定理，几何应用包括：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值；物理应用包括：功、引力、压力和质心。

一压力或浮力问题【物理定理】在水深为h处的压强p=ph，p为液体的比重，如果有一个面积为S的平板水平地放置在深h处，则该平板的一侧受液体的压力为P=pS=phs，一般地，果有一个面积为S的平板垂直地放置某液体中，则该平板的一侧受液体的压力为P=f"x-f（x）-pdx。

对于数学一的考生还会以浮力形式考察三重积分，浮力F=前PasvwdV【题型题法】【例1】一底为8Cm，高为6Cm的等腰三角形片，沿直地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，而顶离水面3Cm，试求它每面所受的压力。

【解】以水面为原点，向右为x正方向，向下为y正方向。

画三角型图：顶点为A（0，3），底左端点为B（-4，9），底右端点为C（4，9）。

AC直线方程为：y-3=2x>x=f（y-3）.则所求压力为：dP=pyds-py-20dy=号oy（y-3）dy=P-Gy（y-3）4=168（g）.【例2】边长为a，b，（a>b）的矩形薄板，与液面成a角，斜沉入液体内，长边平行于液面而位于深h处，液体密度为y，求薄板每面收到的压力。

【解】dP=Y8（h+sina）adx>P=fy8?（h+sina）-ad=fabg（2h+bsina）.【例3】一横放着的圆柱形水桶，内盛半桶水，设水桶的半径为R，水的相对密度为y，求桶的一个端面所受压力。

g解】dP=2yxVR-Fsdx，P=fK2yx-JRP-Fgdr=号yRg.或由物理知识可求P=r号aR.4C2yR'。

定积分在几何学上的应用

定积分在几何学上的应用

成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

弧线的特点和几何应用

弧线的特点和几何应用弧线是指平面上的一段曲线，其特点是它是由一段圆弧所构成的，并且具有以下的特点和几何应用：一、特点1. 弧长：弧长指圆的一部分的弧长。

其长度可以通过弧的角度和圆的半径来计算。

如果将整个圆所对应的弧长定义为2π，则圆弧所对应的弧长则为圆周的一部分，即弧长等于2πrθ/360（其中，r为圆的半径，θ为圆心角的度数）。

2. 切线：弧线上的任何点都有唯一的一条切线，它和该点在弧线上的切点构成了一条切线。

切线的斜率等于该点切线的导数，可以用来求该点切线的斜率和方程。

3. 弧度制：弧度制是以圆的半径作为单位的角度制，表示的是圆弧所包含的弧长与圆的半径的比值。

弧度和角度的转换公式为：θ（角度）=θ（弧度）×180°/π。

二、几何应用1. 弧长定理：弧长定理是指圆周角和所对的弧长成比例，即：角度越大，所对应的弧长越长。

这个定理在计算圆柱或者球体的周长和面积时非常常用。

2. 弧度定理：弧度定理指如果一个半径为1个单位的圆上圆弧所对应的弧长等于1个单位，则这个圆弧所对应的圆心角的度数就是1弧度。

3. 弓形定理：弓形定理是指两条相交的弧线所夹的中心角度数等于这两条弧线所夹的弓形中心角度数的一半。

4. 弧面积定理：弧面积定理是指一个任意长度的弧线绕着圆心旋转一周所生成的形体表面积等于该弧线所对应圆形的面积。

结论弧线是圆的一部分，它具有一些独特的特点和几何应用。

了解它的特点和应用可以为数学、物理等领域的相关问题提供帮助。

同时，在实际生活和工作中，弧线的知识也会被广泛地应用，如建筑、机械、航空等领域。

微积分思想在几何问题应用

微积分思想在几何问题应用
微积分思想在几何中的应用主要分为一元函数微分学、二元函数微分学、定积分和二重积分分别在几何中的应用．一元函数微分学可以求平面曲线的切线和法线方程；二元函数微分学可以求空间曲面的切线、法平面、法线、切平面；定积分可以求平面曲线的弧长，平面图形的面积，空间立体的体积；二重积分可以求曲顶柱体的体积和平面区域的面积．微分学在几何中的应用
微分学在几何中的应用主要包括一元函数微分学在几何中的应用和二元函数微分学在几何中的应用。

一元函数微分学主要包括导数与微分两个基本概念，下面主要介绍导数在几何中的应用.
1.导数的定义及其几何意义
设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处取得一增量（且仍在该邻域内）时，相应的函数也有增量，导数的几何意义：函数在处的导数是曲线在点处切线的斜率。

2.一元函数微分学在几何中的应用：主要介绍利用导数几何意义求平面曲线切线和法线方程，主要分为用隐函数、用显函数和用参数方程表示平面曲线的切线与法线方程。

文中以用显函数表示的平面曲线的切线与法线方程为例。

结论：微积分在几何中的应用主要分为一元函数微分学、二元函数微分学、定积分、二重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求平面曲线的切线方程和法线方程;求空间曲面的切线和法平面方程，法线和切平面方程;求平面曲线的弧长，平面图形的面积，空间立体的体积;求曲顶柱体的体积：求平面区域的面积等等。

本文以微分学在几何中的应用中一元函数微分学为例进行剖析，当然，微积分还有其他应用，这就需要我们不断地去探索，去研究。

一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)

n
此 折 线 的 长|M i 1M i|的 极 限 存 在 ， 则 称 此 极 限 为
i 1
曲 线 弧 A的 B 弧 长 .
1. 直角坐标情形
y
设曲线弧为y f(x)
(a xb)，其中f(x)
dy
在[a,b]上有一阶连续导数
取 积 分 变 量 为 x， 在 [a,b]
o a x xdxb x
上 任 取 小 区 间 [x,xd]x ，
w02Rdw4 3gR3[(1)HR].
例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解
设木板对铁钉的阻力为
f(x)kx ,
dw f(x)d xkx, dx
第一次锤击时所作的功为
三、变力沿直线所作的功
变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等.
由 物 理 学 知 道 ， 如 果 物 体 在 作 直 线 运 动 的 过 程
中 有 一 个 不 变 的 力 F作 用 在 这 物 体 上 ， 且 这 力 的 方
向 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致 ， 那 么 ， 在 物 体 移 动 了 距
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])( 2t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
3. 极坐标情形
曲线弧为
rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,

定积分的应用（论文）

定积分的应用中文摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。

数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。

此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用；本文在阐述定积分的应用时，充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。

关键词：微元法 定积分 电场强度 数列极限Abstract: This paper discussed the definite integral in mathematics, physics of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph, Physical aspects including application of definite integral to change to the object force and the work done for electric field. Besides definite integral in the beg sequence limit, proof, inequality summation factoring decomposition and has a wide application in, Based on the expatiation of the definite integral of application, make full use of the "micro element method" the basic idea, it is we solve many practical problems at the core.Key W ords: Micro element method definite integral electric intensity sequence limit引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。

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x 且垂直于x 轴
dV A( x )dx ,
A( x ) 表示过点 o
a
x x dx
b
x
的截面面积， A( x ) 为x 的已知连续函数
立体体积 V

b
a
A( x )dx.
例 12 求以半径为 R 的圆为底、 平行且等于底圆
h 的正劈锥体的体积. 直径的线段为顶、高为
解 取坐标系如图 底圆方程为
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
所求弧长为
a
3 2 3 2
1 2
b
s a
b
2 1 xdx [(1 b) (1 a ) ]. 3
例 8 计算曲线 y

x n
0
n sin d 的弧长( 0 x n ) .
2 2 ( t ) ( t )dt
弧长 s


2 ( t ) 2 ( t )dt .
例 9 求星形线 x y a (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
y
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t (0 t 2) 3 y a sin t
解
3a sin cos a sin cos , 3 3 3 3 3
2
3

2
1

s


2 ( ) 2 ( )d
6 4

3
0
3
2 a2 sin a sin 3 3
y
o x 2 y 2 R2 , 垂直于x 轴的截面为等腰三角形
s2 2
2


0
sin t
2
1 a cos t dt
2 2
0
1 a 2 cos 2 tdt 1 a 2 cos 2 xdx s1 ,
2
0
故原结论成立.
4、极坐标情形
曲线弧为 ( )
( )
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
根据对称性
a
o
a x
s 4s1
4
2 0
第一象限部分的弧长
x y dt
2 2
4 3a sin t cos tdt
2 0
6a .
例 10 证明正弦线 y a sin x ( 0 x 2 ) 的弧长
x cos t 等于椭圆 2 y 1 a sin t
x ( ) cos y ( ) sin
2
( )
2
ds (dx ) (dy )

2 ( ) 2 ( )d ,
2 2 s ( ) ( )d . 弧长
a sin 例 10 求极坐标系下曲线 3 的长. ( 0 3) ( a 0)
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
弧长元素 ds 1 y dx 弧长 s a
2
b 2 1 y dx.
2 3 例 7 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 3 b 的一段弧的长度.
证 设正弦线的弧长等于 s1
( 0 t 2 ) 的周长.
s1
2
0
1 y dx
2
2
0
1 a 2 cos 2 xdx
2
0
1 a 2 cos 2 xdx,
s2 设椭圆的周长为
s2
2
0
2 2 x y dt,
根据椭圆的对称性知
二、 平面曲线弧长
1、平面曲线弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端 M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
A M 0
B Mn
x
o
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
2
cos d 3
2
3 a sin d a . 0 3 2
例 11
求阿基米德螺线 a (a 0) 上相应
于 从 0 到 2 的弧长.
解
a,
s


2 ( ) 2 ( )d

2
0
a a d a 0
2 2 2
2
2 1d
a 2 1 4 2 ln( 2 1 4 2 ) . 2


三、立体的体积
1、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
解
x 1 x y n sin sin , n n n
s a 1 y dx
2
b
n
0
x nt
0

x 1 sin dx n
2
1 sin t ndt
2
n

0
sin t cos t 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
n i 1
此折线的长 | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长.
2、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a , b ] 上任取小区间[ x , x dx ]，
t t n sin cos dt 4n. 0 2 2

3、参数方程情形
x (t ) , 曲线弧为 y (t )
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
ds (dx )2 (dy )2 [ 2 ( t ) 2 ( t )](dt )2