6-4平面曲线弧长
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是 否 一 定 可 求 长 ？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线y ln x上相应于 3 x 8的一段弧长为
____________；
2、渐伸线 x a(cost t sint) ， y a(sint t cost)
上相应于 t 从 0 变到 的一段弧长为______；
x2 2y2 2的周长.
六、在摆线xa( t sint ),ya(1cost )上求分摆 线第一拱成1:3的点的坐标.
ຫໍສະໝຸດ Baidu 谢！
3、曲 线 r 1 自 3 至 4 一 段 弧 长 为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线y2 2(x1)3被抛物线y2 x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线xaco3st，yasin 3t的全长.
四、求心形线r a(1cos )的全长.
五、证明：曲线ysinx(0x2)的弧长等于椭圆
三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t)
,
(t)
(t)
其 中 ( t )( , t ) 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数 .
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])2 (t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
222
例 3 求 星 形 线 x3y3a3(a0)的 全 长 .
解 ra ,
s
r2 () r2 ()d
2
2
0
a22a2da 0
21d
a 2 1 4 2 l2 n ( 1 4 2 ). 2
五、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下
思考题
闭 区 间 [a,b]上 的 连 续 曲 线 yf(x)
0
2 0
1a2co 2xsdx s1,
故原结论成立.
四、极坐标情形
曲线弧为 rr() ()
其 中 () 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s(d)2 x(d)2 yr2()r2()d,
弧长
s
r2()r2()d .
例 5求 极 坐 标 系 下 曲 线 ra si 3n 3的 长 .
解
x acos3 t
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0t2 )
根据对称性 s4s1 第一象限部分的弧长
42 x2y2dt423asin tcotdst
0
0
6a.
例 4证 明 正 弦 线 yasix n(0x2)的 弧 长 xcot s
等 于 椭 圆 y1a2sitn(0t2)的 周 长 .
(a0 ) (03)
解 r3asi3 n2co3s1 3asin32co3s,
s
r2 () r2 ()d
3 0
a2 si3n 6a2 si3n 4 co 3 2 sd
a
3
0
sin
3
2
d
3 a. 2
例 6求 阿 基 米 德 螺 线 ra (a0 )上 相 应 于 从 0到 2 的 弧 长 .
证 设 正 弦 线 的 弧 长 等 于 s 1
2
s10
1y2dx2 0
1a2co2xsdx
2
1a2co 2xd s,x
0
设 椭 圆 的 周 长 为 s 2
2
s20
x2y2d,t
根据椭圆的对称性知
s 2 2 0 st i2 n 1 a 2 ct o 2 ds t
2
1a2co 2td s t
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线y ln x上相应于 3 x 8的一段弧长为
____________；
2、渐伸线 x a(cost t sint) ， y a(sint t cost)
上相应于 t 从 0 变到 的一段弧长为______；
x2 2y2 2的周长.
六、在摆线xa( t sint ),ya(1cost )上求分摆 线第一拱成1:3的点的坐标.
ຫໍສະໝຸດ Baidu 谢！
3、曲 线 r 1 自 3 至 4 一 段 弧 长 为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线y2 2(x1)3被抛物线y2 x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线xaco3st，yasin 3t的全长.
四、求心形线r a(1cos )的全长.
五、证明：曲线ysinx(0x2)的弧长等于椭圆
三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t)
,
(t)
(t)
其 中 ( t )( , t ) 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数 .
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])2 (t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
222
例 3 求 星 形 线 x3y3a3(a0)的 全 长 .
解 ra ,
s
r2 () r2 ()d
2
2
0
a22a2da 0
21d
a 2 1 4 2 l2 n ( 1 4 2 ). 2
五、小结
平面曲线弧长的概念 弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式 参数方程情形下 极坐标系下
思考题
闭 区 间 [a,b]上 的 连 续 曲 线 yf(x)
0
2 0
1a2co 2xsdx s1,
故原结论成立.
四、极坐标情形
曲线弧为 rr() ()
其 中 () 在 [,] 上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s(d)2 x(d)2 yr2()r2()d,
弧长
s
r2()r2()d .
例 5求 极 坐 标 系 下 曲 线 ra si 3n 3的 长 .
解
x acos3 t
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0t2 )
根据对称性 s4s1 第一象限部分的弧长
42 x2y2dt423asin tcotdst
0
0
6a.
例 4证 明 正 弦 线 yasix n(0x2)的 弧 长 xcot s
等 于 椭 圆 y1a2sitn(0t2)的 周 长 .
(a0 ) (03)
解 r3asi3 n2co3s1 3asin32co3s,
s
r2 () r2 ()d
3 0
a2 si3n 6a2 si3n 4 co 3 2 sd
a
3
0
sin
3
2
d
3 a. 2
例 6求 阿 基 米 德 螺 线 ra (a0 )上 相 应 于 从 0到 2 的 弧 长 .
证 设 正 弦 线 的 弧 长 等 于 s 1
2
s10
1y2dx2 0
1a2co2xsdx
2
1a2co 2xd s,x
0
设 椭 圆 的 周 长 为 s 2
2
s20
x2y2d,t
根据椭圆的对称性知
s 2 2 0 st i2 n 1 a 2 ct o 2 ds t
2
1a2co 2td s t