平面曲线弧长极坐标公式探讨[1]

弧长公式是什么怎么计算弧长数学知识也是比较广泛的，几何也是其中一个知识面，那么几何中的弧长公式到底是怎么推导出来的，今天就让给大家详细的讲解一下关于弧长公式的计算方法。

弧长公式是什么弧长公式是平面几何的基本公式之一。

弧长公式叙述了弧长，即在圆上过两点的一段弧的长度，与半径和圆心角的关系。

在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式l=Rθ。

弧长计算公式是一个数学公式，为L=n(圆心角度数)× π(1)× r(半径)/180(角度制)，L=α(弧度)× r(半径) (弧度制)。

其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。

弧长计算公式是什么l = n(圆心角)× π(圆周率)× r(半径)/180=α(圆心角弧度数)× r(半径)，在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°(l=n°x2πr/360°)。

如果已知它的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。

它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

一般指半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长为nπR/180°，广义上指光滑曲线的弧长。

在数学和物理中，弧度是角的度量单位。

它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。

定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。

(即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。

当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)。

弧长公式是什么?通过上面文章所给出的解答之后，大家都应该清楚的知道了弧长计算公式，想要学习到更多数学知识的朋友，不如关注一下。

平面曲线弧长公式推导过程
平面曲线弧长公式推导过程是一个严密且复杂的数学过程。

首先，我们需要明确弧长的定义。

在平面上，弧长是由一条直线段连接两个端点所形成的，而这条直线段沿着曲线弧行走。

我们可以将弧长看作是曲线弧上无限细小的线段长度之和。

接下来，我们通过运用微积分学中的积分概念来推导弧长公式。

我们选取弧长上的一个微小片段，将其看作直线段，并计算该片段的长度。

然后，我们将所有这些微小片段的长度相加，得到弧长。

利用积分，我们可以表示这个总长度为曲线弧的函数在给定区间上的定积分。

通过计算这个定积分，我们得到了弧长的公式。

这个公式可以用于计算任何平面曲线弧的长度。

需要注意的是，这个推导过程是基于欧几里得几何中的一些基本假设，例如平行线的存在性和唯一性、直线段是直的等等。

此外，我们还假设曲线弧是光滑的，也就是说在弧长上任意一点处都有切线。

如果曲线弧不满足这些条件，那么我们需要采用不同的方法来计算弧长。

总之，平面曲线弧长公式推导过程是一个将微积分学与欧几里得几何相结合的过程。

通过这个过程，我们可以得到任何平面曲线弧的长度公式，这为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。

㊀㊀㊀㊀㊀利用定积分求平面曲线弧长的极坐标公式探讨利用定积分求平面曲线弧长的极坐标公式探讨Һ杨㊀梅㊀王泽军㊀杨立敏㊀高㊀洁㊀［中国石油大学（北京）克拉玛依校区文理学院，新疆㊀克拉玛依㊀８３４０００］㊀㊀ʌ摘要ɔ用定积分求平面曲线的弧长是定积分在几何上的一个典型应用．在用微元法推导极坐标下平面图形面积公式过程中，用小扇形面积近似代替小曲边扇形面积，受此启发，本文先提出猜想：极坐标下弧长的计算公式是否可由ｓ＝ʏβαｒ（θ）ｄθ给出？接着用例题及严格的证明指出极坐标下弧长公式一般只能是ｓ＝ʏβαｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ，而不能为ｓ＝ʏβαｒ（θ）ｄθ．但在特殊情形下，即当ｒᶄ（θ）＝０时，ｓ＝ʏβαｒ（θ）ｄθ与ｓ＝ʏβαｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ两公式都适用．ʌ关键词ɔ微元法；极坐标；定积分；平面曲线弧长ʌ基金项目ɔ中国石油大学（北京）克拉玛依校区教学改革项目（ＪＧ２０２００４２）一㊁基本概念１．光滑曲线：若ｘᶄ（ｔ），ｙᶄ（ｔ）在［ａ，ｂ］上连续，且［ｘᶄ（ｔ）］２＋［ｙᶄ（ｔ）］２ʂ０，则由参数方程ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）{ｔɪ［ａ，ｂ］确定的曲线称为光滑曲线．２．极坐标形式下的弧长定义：设平面曲线弧Ｃ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），θɪ［α，β］，则由直角坐标与极坐标关系可得ｘ（θ）＝ｒ（θ）ｃｏｓθ，ｙ（θ）＝ｒ（θ）ｓｉｎθ{θɪ［α，β］．设Ｐ＝｛θ０，θ１， ，θｎ｝是［α，β］的一个划分，即α＝θ０＜θ１＜ ＜θｎ＝β，它们在曲线弧Ｃ上对应的点为Ｍ０＝（ｘ（θ０），ｙ（θ０）），Ｍ１＝（ｘ（θ１），ｙ（θ１））， ，Ｍｎ＝（ｘ（θｎ），ｙ（θｎ））．从端点Ｍ０开始用线段依次连接分点Ｍ０，Ｍ１， ，Ｍｎ，得到曲线的一条内接折线，用｜Ｍｉ－１Ｍｉ｜（ｉ＝１，２， ，ｎ）来表示折线Ｍｉ－１Ｍｉ的长度，则内接折线总长度为Ｌｎ＝ðｎｉ＝１Ｍｉ－１Ｍｉ＝ðｎｉ＝１［ｘ（θｉ）－ｘ（θｉ－１）］２＋［ｙ（θｉ）－ｙ（θｉ－１）］２．令λ＝ｍａｘ｛Δθｉ｝（ｉ＝１，２， ，ｎ），若极限ｌｉｍλң０ðｎｉ＝１Ｍｉ－１Ｍｉ＝ｌｉｍλң０ðｎｉ＝１［ｘ（θｉ）－ｘ（θｉ－１）］２＋［ｙ（θｉ）－ｙ（θｉ－１）］２存在，那么称此极限为曲线弧Ｃ的弧长，并称此曲线弧Ｃ是可求长的．３．极坐标形式下的弧长公式：设平面曲线弧由极坐标方程ｒ＝ｒ（θ），θɪ［α，β］给出，ｒ（θ）在［α，β］上具有连续导数，则弧长元素为ｄｓ＝ｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ，从而所求弧长为ｓ＝ʏβαｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ．（１－１）４．利用微元法求分布在区间［ａ，ｂ］上不均匀的量Ｑ总量的步骤：（１）在区间［ａ，ｂ］中任取小区间［ｘ，ｘ＋ｄｘ］，将［ｘ，ｘ＋ｄｘ］上分布的量ΔＱ用ｆ（ｘ）ｄｘ近似表达；（２）检验ｆ（ｘ）ｄｘ是否满足ｆ（ｘ）ɪＣ［ａ，ｂ］且ΔＱ－ｆ（ｘ）ｄｘ＝ο（ｄｘ），（ｄｘң０）；（３）若ΔＱ－ｆ（ｘ）ｄｘ＝ο（ｄｘ），（ｄｘң０）成立，则Ｑ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．上述步骤中，最为关键的是第二步．对于实际应用中的大部分问题，我们都容易找到满足条件的ｆ（ｘ）ｄｘ，比如：在直角坐标形式下计算平面图形的面积时，可用小矩形的面积近似代替小曲边图形的面积；在极坐标形式下计算平面图形的面积时，可用小扇形的面积近似代替小曲边扇形的面积．但在与曲线弧长有关的计算中，如在极坐标形式下计算平面曲线的弧长时，则不可用小扇形的弧长近似代替小曲边扇形的弧长．二㊁关于极坐标形式下弧长公式的一点疑问设有极坐标方程ｒ＝ｒ（θ），θɪ［α，β］所确定的一段光滑曲线弧（见图３）．现任取一小区间［θ，θ＋ｄθ］⊂［α，β］，若有圆弧ＭＭᵡ(近似ＭＭᶄ(，则弧长元素ｄｓ＝ｒ（θ）ｄθ，于是得弧长公式ｓ＝ʏβαｒ（θ）ｄθ．（２－１）这个公式形式更简单，但是否正确呢？接下来先举例说明．这里尝试用两种弧长公式计算弧长，以下将公式（１－１）求出的弧长记为ｓ１，将公式（２－１）求出的弧长记为ｓ２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀例１㊀求曲线弧ｒ（θ）＝ｃ０ɤθɤπ２()的长度（见图１）．其中ｃ为正常数．图１解㊀ｓ１＝ʏπ２０ｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ＝ʏπ２０ｃｄθ＝ｃ㊃π２，ｓ２＝ʏπ２０ｒ（θ）ｄθ＝ʏπ２０ｃｄθ＝ｃ㊃π２．显然有ｓ１＝ｓ２．例２㊀求曲线弧ｒ（θ）＝ｃｓｉｎθ＋ｃｏｓθ０ɤθɤπ２()的长度（见图２）．其中ｃ为正常数．图２解㊀ｓ１＝ｃ㊃ʏπ２０ｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ＝２ｃ㊃ʏπ２０１（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２ｄθ＝２ｃ㊃ʏπ２０１（１＋ｔａｎθ）２ｄ（ｔａｎθ）＝２ｃ．ｓ２＝ʏπ２０ｃｓｉｎθ＋ｃｏｓθｄθ，令ｕ＝ｔａｎθ２，则ｓ２＝ｃ㊃ʏ１０１２ｕ１＋ｕ２＋１－ｕ２１＋ｕ２㊃２１＋ｕ２ｄｕ＝２ｃ㊃ʏ１０１２－（ｕ－１）２ｄｕ＝２ｌｎ（２＋１）ｃ，显然ｓ１＜ｓ２．由上述两个例题可知，用公式（２－１）计算弧长有时会得出错误结论．下面给出严格的推导，说明公式（２－１）的局限性．三㊁极坐标下弧长公式的证明定理㊀设光滑曲线弧ＭＭᶄ(（见图３）：ｒ＝ｒ（θ），θɪ［α，β］，其中ＭＭᶄ为连接Ｍ，Ｍᶄ的弦，ＭＭᵡ(是圆心角为Δθ，半径为ｒ（α）的圆弧，则有：ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２＝ｒᶄ（θ）ｒ（θ）[]２＋１；ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ㊃（ｒᶄ（θ）＋ｒ（θ））＝ｒᶄ２（θ）．图３证明㊀ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２＝ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(ＭＭᶄ㊃ＭＭᶄＭＭᵡ(æèçöø÷２＝ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄＭＭᵡ(æèçöø÷２＝ｌｉｍΔθң０ｒ２（θ＋Δθ）＋ｒ２（θ）－２ｒ（θ＋Δθ）㊃ｒ（θ）㊃ｃｏｓΔθ（ｒ（θ）㊃Δθ）２＝ｌｉｍΔθң０ｒ（θ＋Δθ）－ｒ（θ）[]２＋２ｒ（θ＋Δθ）㊃ｒ（θ）㊃１－ｃｏｓΔθ[]ｒ（θ）㊃Δθ()２＝ｌｉｍΔθң０１ｒ２（θ）㊃ｒ（θ＋Δθ）－ｒ（θ）Δθ[]２＋ｌｉｍΔθң０２ｒ（θ＋Δθ）㊃１２（Δθ）２ｒ（θ）㊃（Δθ）２＝ｒᶄ（θ）ｒ（θ）[]２＋１．另外，ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ㊃ＭＭᶄ(＋ＭＭᵡ(Δθ＝ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(()２－ＭＭᵡ(()２（Δθ）２＝ｌｉｍΔθң０ＭＭᵡ(()２㊃ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２－１éëêêùûúú（Δθ）２㊀㊀㊀㊀㊀＝ｌｉｍΔθң０ｒ（θ）㊃Δθ()２㊃ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２－１éëêêùûúú（Δθ）２，则ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ㊃ＭＭᶄ(＋ＭＭᵡ(Δθ＝ｌｉｍΔθң０ｒ２（θ）㊃ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２－１éëêêùûúú＝ｌｉｍΔθң０ｒ２（θ）㊃ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(ＭＭᵡ(æèçöø÷２－１éëêêùûúú＝ｒᶄ２（θ）．又ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(＋ＭＭᵡ(Δθ＝ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(Δθ＋ｌｉｍΔθң０ＭＭᵡ(Δθ＝ｒᶄ（θ）＋ｒ（θ），即ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ㊃（ｒᶄ（θ）＋ｒ（θ））＝ｒᶄ２（θ）．因此，（１）当ｒᶄ（θ）＝０时，ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ＝０；（２）当ｒᶄ（θ）ʂ０时，ｌｉｍΔθң０ＭＭᶄ(－ＭＭᵡ(Δθ＝ｌｉｍΔθң０ｒᶄ２（θ）ｒᶄ（θ）＋ｒ（θ）ʂ０．结合以上证明过程可知，若计算一般曲线弧的弧长，只能采用公式（１－１），而不能用公式（２－１），因为公式（２－１）不满足微元法的使用条件．但当曲线弧的极坐标方程是ｒ（θ）＝ｃ（其中ｃ为正常数）时，两公式都适用．下面再从误差和的角度说明公式ｓ＝ʏβαｒ（θ）ｄθ，ｓ＝ʏβαｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ的适用性．设Ｐ＝θ０，θ１， ，θｎ{}是［α，β］的一个划分，即α＝θ０＜θ１＜ ＜θｎ＝β，任取小区间θｉ－１，θｉ[]（ｉ＝１，２， ，ｎ），记λ＝ｍａｘ｛Δθｉ｝（ｉ＝１，２， ，ｎ）．考虑小区间［θｉ－１，θｉ］上两种算法的微元误差Δｒｉ：Δｒｉ＝ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）Δθｉ－ｒ（θｉ）Δθｉ＝ｒᶄ２（θｉ）ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）＋ｒ（θｉ）Δθｉ．则区间［α，β］上的误差和Δｒ为：Δｒ＝ｌｉｍλң０ðｎｉ＝１ｒᶄ２（θｉ）ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）＋ｒ（θｉ）Δθｉ＝ʏβαｒᶄ２（θｉ）ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）＋ｒ（θｉ）ｄθ．注意：（１）当ｒᶄ（θ）＝０，即曲线弧为圆弧时，Δｒ＝０；（２）当ｒᶄ（θ）ʂ０时，有ｒᶄ２（θｉ）ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）＋ｒ（θｉ）＞０．根据定积分的性质可知：ʏβαｒᶄ２（θｉ）ｒ２（θｉ）＋ｒᶄ２（θｉ）＋ｒ（θｉ）ｄθ＞０，即误差和Δｒ＞０．从误差和的角度分析可知，公式（２－１）依然不能用于计算一般曲线弧的弧长．最后，我们利用公式ｓ＝ʏβαｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ求心脏线的全长．例３㊀求心脏线ｒ（θ）＝２ａ（１＋ｃｏｓθ）的全长．其中ａ为正常数．解㊀ｓ＝２ʏπ０ｒ２（θ）＋ｒᶄ２（θ）ｄθ＝２ʏπ０４ａ２（１＋ｃｏｓθ）２＋４ａ２ｓｉｎ２θｄθ＝２㊃２ａʏπ０２（１＋ｃｏｓθ）ｄθ＝８ａʏπ０ｃｏｓθ２ｄθ＝１６ａｓｉｎθ２π０＝１６ａ．四㊁结束语利用微元法求解问题的关键步骤是选取适当的微元表达式．验证微元是否符合要求的关键在于近似代替所产生的误差是不是自变量改变量的高阶无穷小．本文利用高阶无穷小的定义及误差和来分析微元是否满足条件，严格论证了两种计算弧长的公式的适用范围．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［２］杨小远，孙玉泉，薛玉梅，等．工科数学分析教程（上册）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１１．［３］常庚哲，史济怀．数学分析教程（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［４］同济大学数学系．高等数学：第７版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［５］张新建，朱健民．关于 高等数学 教材对定积分元素法处理的几点注记［Ｊ］．大学数学，２００８（２）：１６３－１６６．［６］上海交通大学数学科学学院微积分课程组．大学数学微积分：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．。

定积分求极坐标曲线弧长公式在数学和物理学中，极坐标系是一种常用的坐标系。

以原点为中心，x轴为极轴，逆时针为正方向。

极坐标系可以很方便地描述平面上的点，特别适合描述圆、椭圆、螺线等曲线。

而极坐标曲线的弧长是极坐标系中一个重要的概念，它表示曲线的长度。

要求极坐标曲线的弧长，首先需要了解极坐标系中的几何关系。

在极坐标系中，一个点的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示与极轴的夹角。

为了求极坐标曲线的弧长，我们可以使用定积分的方法。

假设我们有一个极坐标曲线的方程为r = f(θ)，其中f(θ)表示曲线方程。

要求该曲线的弧长，可以将曲线分成无数个小弧段，每个小弧段的长度可以用rΔθ来近似表示，其中Δθ表示小弧段的角度增量。

那么曲线的弧长就可以表示为曲线上所有小弧段长度的累加。

使用定积分的思想，我们可以将其表示为：L = ∫[a,b] sqrt[(r^2) + (dr/dθ)^2] dθ其中，a和b表示曲线上的起始和终止角度。

上述积分式中的(r^2)表示每个小弧段的长度，而(dr/dθ)^2表示弧段的角度变化率。

利用平面直角坐标系中的距离公式，可以得到(sqrt[(r^2) +(dr/dθ)^2])，即每个小弧段的长度。

通过求解上述定积分式，我们就可以得到极坐标曲线的弧长L。

这样的公式在计算曲线长度时极为有用，无论是在数学研究中还是在物理学和工程学的实际应用中。

举个例子来说明这个公式的用途。

假设我们想要求解极坐标曲线r = θ的弧长。

根据上述弧长公式，我们可以进行如下计算：L = ∫[0,θ] sqrt[(θ^2) + (1)^2] dθ将该积分式求解出来，就可以得到曲线的弧长L。

通过这个例子，我们可以看到，使用极坐标曲线弧长公式可以有效地计算各种不同的极坐标曲线的长度。

总结起来，极坐标曲线的弧长公式是一个能够根据曲线方程求解曲线长度的重要工具。

它的推导基于定积分的思想，通过不断将曲线分割成小弧段，再进行累加求和的方式得到曲线的总长度。

极坐标弧长
极坐标，又称极径坐标系，是一种应用广泛的直角坐标系，其中，极径表示点
到原点的距离，极角表示点到横轴的角度，也称为弧长。

极坐标经常用来表示物理量、函数等，如三维平面坐标的向量形式，就使用极
坐标的形式表示。

极坐标的极径也表示了坐标系统中物体的位置和大小，因此，极坐标的弧长也可以表示物体的空间位置。

极坐标的弧长通常表示为弧度，弧度的定义是：360°为完整的圆，因此，圆
的弧长l=arcos（r），其中r为极径，cos r为弧度的值，此时弧长单位叫做弧度。

弧度可以用来衡量视角的大小或夹角的大小，如果想得到较精确的数值，就必
须要计算极坐标系中物体的弧长。

极坐标系中的弧长也可以用来求解相关的问题，例如求解三角形某个角度对应的弧长即可。

总之，极坐标系中弧长是一个非常重要的概念，它可以用来表示一些重要的物
理量和函数，也可以用来衡量方位、夹角等，为我们解决一些复杂的问题提供了相当的帮助。

极坐标中的弧长积分公式
积分公式：
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公
式，或者；这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

扩展资料：
在各种保守力的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。

在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。

如：
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。

积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。

带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。

物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。

曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。