7.1.2 复数的几何意义(解析版)

7.1.2 复数的几何意义课标要求素养要求理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.问题 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ→.3.复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z －__表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.教材拓展补遗[微判断]1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)3.复数的模一定是正实数.(×)4.两个共轭复数的和是实数.(√)5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×) 提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0.4.根据共轭复数的定义可知正确.5.应该是充分条件. [微训练]1.向量a ＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2iD.－2＋i解析 因为复数与向量一一对应，所以向量a ＝(1，－2)的复数形式为z ＝1－2i ，所以z －＝1＋2i. 答案 A2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________.解析 由题意可知z ＝－1＋2i ，所以|z |＝ 5. 答案53.在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________.解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案 9 [微思考]复数的模的几何意义是什么？提示 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点【例1】 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎨⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数与复平面内的向量的关系【例2】 (1)向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是()A.－10＋8iB.10－8iC.0D.10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.－5－5i C.5＋5iD.5－5i解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)， 所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以OZ →1＋OZ →2对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，所以BA →对应的复数是5－5i. 答案 (1)C (2)D规律方法 利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.【训练2】 在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB→对应的复数为________.解析 复数2＋i 表示的点A (2，1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i. 答案 2－i题型三 复数模的几何意义复数模的几何意义是复数z ＝a ＋b i 所对应的点Z (a ，b )到原点(0，0)的距离 【例3】 设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.解 (1)法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎨⎧|z |≤2，|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.规律方法 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.【训练3】若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝2时，a＝________；此时Z与点(1，2)的距离是________.解析∵|z|＝a2＋1＝2，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为（1－1）2＋（2－1）2＝1；当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为（－1－1）2＋（1－2）2＝ 5.答案±11或 5一、素养落地1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.2.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.答案 B2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i解析 由题意知点A 的坐标为(6，5)，点B 的坐标为(－2，3).由中点坐标公式，得线段AB 的中点C 的坐标为(2，4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 答案 C3.若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z －|＝________.解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以z －＝－3i ，∴|z －|＝3. 答案 34.已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，求|z －z 1|的最大值.解 如图所示，因为|z |＝1，所以z 的轨迹可看作是圆心为(0，0)，半径为1的圆，而z 1对应坐标系中的点为Z 1(2，－2)，|z －z 1|可看作点(2，－2)到圆上的点的距离.由图可知点(2，－2)到圆心的距离为22，则|z －z 1|max ＝22＋1.三、审题答题示范(一) 复数几何意义的应用【典型示例】 (12分)复数z ＝(1－i)a 2－3a ＋2＋i(a ∈R )①. (1)若z ＝z －②，求|z |的值；(2)若在复平面内复数z 对应的点在第一象限③，求实数a 的取值范围. 联想解题看到①可考虑将z 化为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )的形式. 看到②可知z 的虚部为0.看到③可知z 的实部和虚部均大于0，从而求出a 的范围. 满分示范解 z ＝(1－i)a 2－3a ＋2＋i ＝(a 2－3a ＋2)＋(1－a 2)i2分(1)由z ＝z －知，1－a 2＝0，故a ＝±1.3分 当a ＝1时，z ＝0，|z |＝0； 当a ＝－1时，z ＝6，|z |＝6.5分(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0， 即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2>0，1－a 2>0，8分 即⎩⎨⎧a >2或a <1，－1<a <1，10分 所以－1<a <1.12分 满分心得复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ →一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.基础达标一、选择题1.设z ＝3＋4i ，则复数z 1＝z －|z |－(1－i)在复平面内的对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 ∵z ＝3＋4i ，∴|z |＝32＋42＝5，∴z 1＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 1在复平面内的对应点在第二象限. 答案 B2.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1).由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限.故选D.答案 D3.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i解析 ∵A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i. 答案 B4.设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 因A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ，sin A ＞cos B .cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 答案 B5.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点D.2个圆解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 答案 A 二、填空题6.若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________.解析 z 1＝1－i 对应的点为(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为(3，－5)，由两点间距离公式得（3－1）2＋（－5＋1）2＝2 5.答案 2 57.若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________.解析 ∵复数对应的点位于第三象限， ∴⎩⎨⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 答案 (－6，－2)∪(2，6)8.复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，那么实数a 的取值范围是________. 解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝（－2）2＋12＝ 5. 又因|z 1|<|z 2|，所以a 2＋4<5，解得－1<a <1. 答案 (－1，1) 三、解答题9.设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面内的第二象限. 解 (1)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去). 故当m ＝3时，z 是实数.(2)由题意得⎩⎨⎧lg （m 2＋2m －14）＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0. 即⎩⎨⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎨⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15. 故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限.10.已知z 1＝－3＋4i ，|z |＝2，求|z －z 1|的最大值和最小值.解 如图，|z |＝2表示复数z 对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z 1在坐标系中的对应点的坐标为(－3，4)，∴|z －z 1|可看作是点(－3，4)到圆上的点的距离.由图可知，点(－3，4)到圆心(即原点)的距离为（－3）2＋42＝5，故|z －z 1|max ＝5＋2＝7，|z －z 1|min ＝5－2＝3.能力提升11.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹方程是________________.解析 |z |＝（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，即为所求方程.答案 (x ＋1)2＋(y －2)2＝912.已知f (z )＝|2＋z |－z ，且f (－z )＝3＋5i ，求复数z .解 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).∵f (z )＝|2＋z |－z ，∴f (－z )＝|2－z |＋z .又∵f (－z )＝3＋5i ，∴|2－z |＋z ＝3＋5i ，∴|2－(a ＋b i)|＋a ＋b i ＝3＋5i.即（2－a ）2＋（－b ）2＋a ＋b i ＝3＋5i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧（2－a ）2＋（－b ）2＋a ＝3，b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－10，b ＝5.∴复数z ＝－10＋5i.创新猜想13.(多选题)已知z 1，z 2是复数，以下结论错误的是( )A.若z 1＋z 2＝0，则z 1＝0，且z 2＝0B.若|z 1|＋|z 2|＝0，则z 1＝0，且z 2＝0C.若|z 1|＝|z 2|，则向量OZ →1和OZ →2重合 D.若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2解析 A 中z 1＋z 2＝0只能说明z 1＝－z 2；B 中|z 1|＋|z 2|＝0，说明|z 1|＝|z 2|＝0，即z 1＝z 2＝0；C 中|z 1|＝|z 2|，说明|OZ →1|＝|OZ →2|，但OZ →1与OZ →2方向不一定相同；D 中|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z －1＝z －2；故错误的为A ，C 选项.答案 AC14.(多填题)复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝________，|z |＝________.解析 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1， ∴z ＝2i ，∴|z |＝2.答案 1 2。

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。

第七章 7.1 7.1.2A 级——基础过关练1．(2019年北京海淀区二模)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则( ) A ．z ＝－1＋i B ．z ＝1＋i C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数【答案】C 【解析】∵复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z ＝1－i.∴z ＋i ＝1－i ＋i ＝1，即z ＋i 是实数．故选C ．2．已知0<a <2，复数z ＝a －i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)【答案】B 【解析】|z |2＝a 2＋1，∵0<a <2,0<a 2<4⇒1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.故选B ． 3．(2019年陕西三模)在复平面内，表示复数z ＝5a ＋(6－a 2)i 的点在第二象限，则实数a 满足( )A ．－6<a <0B ．a <－6C ．0<a <6D ．－6<a <6【答案】A【解析】∵z ＝5a ＋(6－a 2)i对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a <0，6－a 2>0，解得－6<a <0.故选A ．4．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i【答案】C 【解析】向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A ′对应复数2＋i.又O ′A ′→＝OA →，∴O ′A ′→对应复数为1＋i.故选C ．5．(2020年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ． 6．(2020年重庆月考)已知实数m ，n 满足m －2i ＝n (2＋i)，则在复平面内，复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵m －2i ＝n (2＋i)，∴m －2i ＝2n ＋n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ，n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴复数z ＝m ＋n i ＝－4－2i.∴复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于第三象限．故选C ．7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2的共轭复数为________．【答案】－2－3i 【解析】∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.z 2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－32，32 【解析】|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 满足下列条件？ (1)对应点在x 轴上方； (2)对应点在直线y ＝－x －5上．解：(1)由m 2－2m －15>0，得当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得当m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线y ＝－x －5＝0上．10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以－3×1－4×2a ＝0，解得a ＝－38，即a 的值为－38.B 级——能力提升练11．(2020年合肥月考)设复数z 满足|z －1|＝|z －i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．y ＝－xB ．y ＝xC ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1【答案】B 【解析】由z 在复平面内对应的点为(x ，y )，且|z －1|＝|z －i|，得|x －1＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，∴(x －1)2＋y 2＝x 2＋(y －1)2，整理得y ＝x .故选B ．12．已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3【答案】D 【解析】|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为(－3)2＋42－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|【答案】ABC 【解析】①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 错．14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A <cos B －sin A <0.又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限．故选B ．15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．【答案】5 【解析】由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y＝5.16．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值．解：因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，m .又a ，b 的夹角为60°， 所以cos 60°＝(－3，0)·⎝⎛⎭⎫－12，m (－3)2＋02·⎝⎛⎭⎫－122＋m 2，即12＝32314＋m 2，解得m ＝±32.17．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z 的模为2，求复数z .解：根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)．∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.C 级——探索创新练18．已知t 为实数，复数z ＝(t 2＋t －2)＋(t 2＋3t ＋2)i. (1)当t 为何值时，复数z 为纯虚数？(2)当t ＝0时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，其中mn ＞0，求1m ＋1n的最小值及取得最值时的m 和n 值． 解：(1)复数z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －2＝0，t 2＋3t ＋2≠0，解得t ＝1.(2)当t ＝0时，点Z (－2,2)，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，∴2m ＋n ＝2，∵mn ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2＝32＋m n ＋n 2m ≥32＋2，当且仅当n 2＝2m 2等号成立． 又2m ＋n ＝2，∴m ＝2－2，n ＝22－2.。

7.1.2 复数的几何意义（练习）(60分钟120分)知识点1复数与复平面内点的关系1．(5分)复数z＝－1＋2i所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B解析：由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.2．(5分)复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于() A．实轴对称B．一、三象限的平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的平分线对称A解析：复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为Z1(1，3)，复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为Z2(1，－3)，点Z1与Z2关于实轴对称，故选A.3．(5分)已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0D解析：由题意，得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.故选D.4．(5分)已知复数z＝12i2，则复数z在复平面上对应的点在()A．直线y＝－12x上B．直线y＝12x上C ．直线x ＝－12上 D ．直线y ＝－12上C 解析：∵z ＝12i 2＝－12，∴z 对应的点在直线x ＝－12上，C 正确． 知识点2 复数与复平面内向量的关系5．(5分)在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB 解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB →对应的复数为－2＋i.6．(5分)与x 轴同方向的单位向量e 1，与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－iA 解析：e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．因此e 1对应实数1，e 2对应虚数i. 7.(5分)在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为 ．－1－5i 解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.知识点3 复数的模及应用8．(5分)下列四个式子中，正确的是( ) A ．z ＝|z | B ．|2＋3i|>|1－4i|C ．|2－i|>2i 2D ．i 2>|－i|C 解析：A 中z 是复数，|z |是实数，二者不一定相等，错误；B 中|2＋3i|＝13<|1－4i|＝17，错误；C 中|2－i|＝5>2i 2＝－2，正确；D 中i 2＝－1<|－i|＝1，错误．9．(5分)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．3i C ．±3iD ．±3D 解析：设复数z 的虚部为b (b ∈R ，b ≠0)，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.10.(5分)已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是 ．(x －2)2＋y 2＝8 解析：由题意得(x －2)2＋y 2＝2 2，即(x －2)2＋y 2＝8. 11.(5分)复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 ． 13 解析：复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)．所以点Z 与原点O 的距离为|OZ →|＝(－5)2＋(－12)2＝13.12.(5分)已知复数z ＝x ＋1＋(y －1)i(x ，y ∈R )在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x ，y )所构成的平面区域是( )A 解析：由题意，得⎩⎨⎧ x ＋1<0，y －1>0，即⎩⎨⎧x <－1，y >1，故点(x ，y )所构成的平面区域为A 项中的阴影部分．13．(5分)在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限提升篇C ．第三象限D ．第四象限D 解析：∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.14．(5分)如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－iD ．34＋iD 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.15．(5分)已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1，3)D ．－1＋3iD 解析：设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.16.(5分)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝ .－2＋3i 解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i.17.(5分)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是 ．－6－8i 解析：因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)．又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.18.(5分)已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为 ．|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i| 解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 19.(5分)若z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则z ＝ .±i 解析：设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，∴|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.∵|－1＋i|＝2，∴a 2＋1＝2，∴a ＝±1，∴z ＝±i.20.(12分)实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限？ (2)第四象限？(3)直线 x －y －3＝0上？解：(1)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．21.(13分)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a,1)＝k (－3，4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.。

复数的⼏何意义是什么
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是⼀⼀对应关系。

这是因为对于任何⼀个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由⼀个有序实数对(a，b)惟⼀确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，⼜如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定。

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是⼀⼀对应关系这是因为对于任何⼀个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由⼀个有序实数对(a，b)惟⼀确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，⼜如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；⼜因为有序实数对(a，b)与平⾯直⾓坐标系中的点是⼀⼀对应的。

由此可知，复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应的关系。

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可⽤点Z(a，b)表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，也叫⾼斯平⾯，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表⽰实数。

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表⽰是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数。

在复平⾯内的原点(0，0)表⽰实数0，实轴上的点(2，0)表⽰实数2，虚轴上的点(0，－1)表⽰纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表⽰纯虚数5i。

⾮纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表⽰的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。

复数集C和复平⾯内所有的点所成的集合是⼀⼀对应关系。

7.1.2 复数的几何意义基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i 【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1B 7C 13D ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-()22345+-=.故选:D . 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)【答案】B 【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.【答案】±2 【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析【解析】(1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →.(1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|；(2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4. 【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1.所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1. (2)⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.。

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。