2019-2020学年度新人教A版必修第二册7.1.2、复数的几何意义分层作业

第七章复数7.1 复数的概念7.1.2 复数的几何意义教学设计一、教学目标1.了解复数的几何意义。

2.了解共轭复数的概念。

二、教学重难点1.教学重点复数的向量表示。

2.教学难点复数的几何意义。

三、教学过程1.新课导入我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。

复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。

由此你能想到复数的几何表示方法吗？2.探索新知因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。

而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。

由图可知，显然向量由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量唯一确定。

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。

我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。

图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。

即==，其中a,b∈R。

如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

7.1.2 复数的几何意义学 习目 标核 心 素 养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2．掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点) 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养． 2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养.1．复平面思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝a 2＋b 2. 4．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.1．已知复数z ＝－i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(0,0)D ．(－1，－1)A [复数z ＝－i 的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z 的坐标为(0，－1)．]2．向量a ＝(－2,1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋iD [向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.] 3．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝ . 5 [∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝12＋22＝ 5.]复数与复平面内的点的关系【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．思路探究：确定z 的实部、虚部→列方程(不等式组) [解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0， 解得a ＞5或a ＜－3.1．本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值． [解] 点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，所以a ＝5. 故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． [解] 因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15. 所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上.利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．复数与复平面内向量的对应【例3i,2，O 为复平面的坐标原点．(1)求向量OA →＋OB →和AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．[解] (1)由已知得OA →，OB →，OC →所对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2， 则OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)， 因此OA →＋OB →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(1，－4)， 故OA →＋OB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为1－4i.(2)法一：由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由平行四边形的性质知BD 的中点也是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，若设D (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧0＋x 02＝32，－3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝7，故D (3,7)．法二：由已知得OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)，所以BA →＝(1,7)，BC →＝(2,3)，由平行四边形的性质得BD →＝BA →＋BC →＝(3,10)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3,7)，于是D (3,7)．复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．1．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； (2)判定△ABC 的形状． [解] (1)由复数的几何意义知： OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.(2)因为|AB →|＝2，|AC →|＝22，|BC →|＝10， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数的模及其应用[探究问题]1．设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |等于多少？其几何意义是什么？ [提示] |z |＝x 2＋y 2，其表示复平面内的点(x ，y )到原点(0,0)的距离．2．复数z 满足|z －i|＝1，其几何意义是什么？ [提示] 由|z －i|＝1可知点z 到点(0,1)的距离为1.【例3】 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .(1)B [因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.1．复数z ＝a ＋b i 模的计算：|z |＝a 2＋b 2.2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．2．若复数z＝2a－1a＋2＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为．29[∵z为实数，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3.∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，∴z1＝2－5i，∴|z1|＝29.]3．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．[解]法一：∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7)．法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知：－7<a<7.1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即：特别提醒：相等向量对应同一个复数．2．|z|＝1表示复平面上的单位圆.1．判断正误(1)复平面内的点与复数是一一对应的．( ) (2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) (4)复数与向量一一对应．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5iD [由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D.]3．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2 A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.]4．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解] 因为z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i 对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.。

【人教A版】高中数学必修第二册第七章7．1.2 复数的几何意义教学设计(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [跟踪训练1] 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线y＝－x上．题型二复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数． [跟踪训练2] (1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是( )A．0 B．1C．2 D．33．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.4．已知复数z＝3＋a i，且|z|<5，则实数a的取值范围是____.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>04．(多选)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则( )A．x＝3 B．y＝4C．x＋y i＝－3＋4i D．|x＋y i|＝55．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z－2＝____.7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是____.8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是____.三、解答题9．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．(1)若m＝1，且|z－|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；(2)当m为何值时，|z－|最小？并求|z－|的最小值．1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．2．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值对，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．7．1.2 复数的几何意义(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.答案(1)－3i (2)四(3) 3 (4)5－6i题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．[跟踪训练1] 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线y ＝－x 上． 解 (1)由题意得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由题意，得m 2－2m －15＝－(m 2＋5m ＋6)，整理，得2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或m ＝－3.所以当m ＝32或m ＝－3时，复数z 对应的点在直线y ＝－x 上.题型二 复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)点B 对应的复数．[解] 由题意得O 为原点，OA →＝(3,2)，OC →＝(－2,4)． (1)∵AO →＝－OA →＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO →表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)， ∴CA →表示的复数为5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋OC →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)， ∴OB →表示的复数为1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．[跟踪训练2] (1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．答案 (1)－6－8i (2)见解析解析 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.(2)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)． 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)． 由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎨⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 题型三 复数的模例3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的模的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＜1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.2．(多选)若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点Z 在虚轴上，则a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 AC解析 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选AC.3．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝____，b ＝____. 答案 2 4解析 因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4.4．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<5，则实数a 的取值范围是____. 答案 －4<a <4解析 |z |＝32＋a 2<5，解得－4<a <4.5．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.一、选择题1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)，复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)，点Z 1与Z 2关于实轴对称．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵23<m <1，∴2<3m <3，∴0<3m －2<1且－13<m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0 D ．a <－1或a >0答案 A解析 依题意有a 2＋22<－22＋12，解得－1<a <1.4．(多选)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则( )A ．x ＝3B ．y ＝4C ．x ＋y i ＝－3＋4iD ．|x ＋y i|＝5答案 BCD解析 由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ， 所以⎩⎨⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选BCD.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z －2＝____.答案 －2－3i解析 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2，3)．所以z 2＝－2＋3i ，z －2＝－2－3i.7．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是____.答案 －12<k <0或1<k <2解析 根据题意，有⎩⎨⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎨⎧－12<k <2，k <0或k >1，所以实数k 的取值范围是－12<k <0或1<k <2.8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是____.答案 5解析 由已知，得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由OC →＝xOA→＋yOB →， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题9．已知复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )．(1)若m ＝1，且|z －|＝|x ＋(x －1)i|，求实数x 的值；(2)当m 为何值时，|z －|最小？并求|z －|的最小值． 解 (1)由m ＝1，得z ＝3＋4i ，z －＝3－4i ， 则由|z －|＝|x ＋(x －1)i|， 得32＋－42＝x 2＋x －12，整理得x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3. (2)|z －|＝1＋2m2＋[－3＋m]2＝5m 2＋10m ＋10＝5m ＋12＋5≥ 5，当且仅当m ＝－1时，|z －|取得最小值，最小值为 5.1．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形的ABCD 的点D 对应的复数．解 解法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即D (3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i.解法二：由已知得向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，其中O 为坐标原点．∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)，即点D 对应的复数为3＋3i. 2．已知x 为实数，复数z ＝x －2＋(x ＋2)i. (1)当x 为何值对，复数z 的模最小？(2)当复数z 的模最小时，复数z 在复平面内对应的点Z 位于函数y ＝－mx ＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．解(1)|z|＝x－22＋x＋22＝2x2＋8≥22，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2 2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以1m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2，当且仅当n2＝2m2,2m＋n＝2时等号成立．所以m＝2－2，n＝22－2.所以1m＋1n的最小值为32＋2，此时m＝2－2，n＝22－2.。

2
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.

7.1.2 复数的几何意义问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →.■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( )(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( )(4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z －＝________． 答案：－2－5i复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：(1)若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2， 所以z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即点D的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i.法二：由已知得OA →＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA →＝(－1，1)，BC →＝(3，2)，所以BD →＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．1．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i解析：选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.2．在复平面内，O 为原点，向量OA →表示的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →表示的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.由题意得A (－1，2)，则B (－2，1)，所以向量OB →表示的复数为－2＋i.复数的模(1)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．a<－1或a>1C．a>1 D．a>0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆【解析】(1)由题意得a2＋22<（－2）2＋12，即a2＋4<5(a∈R)，所以－1<a<1.(2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，因为|z|≥0，所以|z|＝3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．【答案】(1)A(2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．1．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是()A．z1>z2B．z1<z2C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|解析：选D.|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z1|<|z2|.2．已知复数z＝3＋a i(a∈R)，且|z|<4，求实数a的取值范围．解：法一：因为z＝3＋a i(a∈R)，所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－7，7)．法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，由图可知－7<a<7.1．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D.由题意可知，点A 的坐标为(－1，－2)，则点B 的坐标为(－1，2)，故向量OB →对应的复数为－1＋2i.3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________． 解析：依题意，可知z ＝a ＋i(a ∈R )，则|z |2＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈(1，5)，即|z |∈(1，5)．答案：(1，5)4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为z 1与z 2互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝4. 答案：2 4[A 基础达标]1．已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限．2．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i 和1－3i 对应的点之间的距离是( )A. 5B.10 C ．5D ．25解析：选C.由于复数－2＋i 和1－3i 对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.3．在复平面内，复数z 对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z ＝( )A ．3－5i B.5－3i C ．2－5iD.5－2i解析：选D.由题意可设复数z ＝5＋y i(y ∈R ，y <0)，则（5）2＋y 2＝3，所以y ＝－2，复数z ＝5－2i.故选D.4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．5 B.13 C ．2 2D ．2解析：选A.由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选A. 5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z ＝12＋32i 对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90°后得到点Z ′，则Z ′对应的复数是( )A ．－12＋32iB.12－32i C ．－32＋12i D.32－12i 解析：选C.|OZ |＝|z |＝1，故Z 点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z ′，所以Z ′(cos 150°，sin 150°)＝⎝⎛⎭⎫－32，12，则Z ′对应的复数是－32＋12i. 6．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是____________． 解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝____________．解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________．解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，解得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧m －3<0，m 2－5m －14<0.所以m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3， 所以m 2－6m －11＝0， 所以m ＝3±25，此时复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．10．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．解：(1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1， 故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．解析：因为z 1＝2－3i 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i14．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋7π6或2k π＋11π6或k π＋π2，(k ∈Z )，所以θ＝2k π＋7π6(k ∈Z )．(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2 θ<2， 即3sin 2 θ＋cos 2 θ<2， 所以sin 2θ<12，所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．[C拓展探究]15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解：设z＝x＋y i(x，y∈R)，(1)|z|＝2，所以x2＋y2＝2，所以点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9.所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。

则实数m的值是 ( )
A.-1
B.4
C.-1或4
D.-1或6
【解析】选C.因为复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i对应的 点在虚轴上，所以m2-3m-4=0，解得m=-1或4.
3.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第 三象限，则实数x的取值范围是______________.
【内化·悟】 1.复平面内的点与复数是怎样对应的？ 提示：复平面内点的坐标与复数的实部虚部是分别对 应的，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z=a+bi(a ，b为实数)可用点Z(a，b)表示.
2.实轴、虚轴与复数是怎样对应的？ 提示：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除了原点 外都表示实数.
【类题·通】 利用复数与点的对应解题的步骤
OA OB
OA OB
2.因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量 与 ， 所以 =(4，3)， =(-2，-5). OA OB 又因为 = - =(-2，-5)-(4，3)=(-6，-8)， 所以向OA量 表示的OB复数是-6-8i. 答案：-A6B-8iOB OA
AB
3.记O为复平面的原点，由题意得 =(2，3)， =(3，2)， =(-2，-3). OA
OB
类型一 复数与复平面内点的位置关系
【典例】1.复数z=cos +isin 在复平面内对
应的点在 ( ) 2

A.第一象限
B.第二3象限 3
C.第三象限
D.第四象限
2.(2019·武汉高二检测)若复数z=a2-3+2ai对应的点 在直线y=-x上，则实数a的值为________. 3.(2019·四平高二检测)若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的取值集合 为________.

25
12
解得 a= .
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.复数与复平面内点的对应关系的实质:复数的实部
就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2.已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)
时,可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条
的距离,因此轨迹是以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示点Z到两定点(-1,0),(-1,1)的距离之
和等于常数2,满足椭圆的定义,因此轨迹是以点(-1,0)和(-1,1)为焦
点,长轴长为2的椭圆.
反思感悟 1.|z1-z2|表示复平面内,复数z1,z2对应的点Z1,Z2之间的
=(1,7),=(2,3),
由平行四边形的性质得 = + =(3,10),而=(0,-3),于是
D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的
向量 =(a,b).
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上;
(2)Z在第二象限;
(3)Z在抛物线y2=4x上.
分析根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满
足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值
范围).
探究一
探究二

故向量O→A＋O→B对应的复数为－2＋10i.
思维升华
1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的 终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的 指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对 应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
思维升华
复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复 数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.
【训练1】 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i， (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？
解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时， 复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0， 得 m＝1 或 m＝－52， 所以当 m＝1 或 m＝－52时，复数 z 对应的点在直线 x＋y＋4＝0 上.
(2)1≤|z|≤2. 解 不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组||zz||≤ ≥21， . 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合，如图中的阴影部 分，故所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并 且包括圆环的边界.
思维升华
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点 的距离，可根据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模 的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.

平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义

(1)z1= -5i (2)z2= -3+4i
(3)z4=1+mi (m∈R)
思维启发： a bi = a2 b2
- 5i = 02 - 52 = 5 -3 4i = - 32 - 42 = 5
1 mi = 1 m2
【 例题2 】复数z对应的点Z在复平面上将构成怎样的图形？
(1)|z|= 5
2.复数的模是否可以比较大小？
复数的模是实数，可以比较大小
【 例题3 】 下面四个式子中，正确的是 ( C )
A. 3i 2i
B. 2 3i 1 4i
C. 2 -i 2i4
D i2 i
.
解析：
A. 虚数不能比较大小
B. 2 3i = 13 1 4i = 17
C. 2 - i = 5
D. i为虚数
o
z=a+bi
Z
x
一一对应
复数Байду номын сангаас=a+bi
平面向量 OZ
规定：相等的向量表示同一个复数.
【 例题1 】
描出下列复数的点
（１） ２+５i ； （２） －３+２i； （３） ２－４i；
（每个方格边长为1） 红色点所表示的复数为
（４） －３－５i； （５） ５； （６） －３i；
Y
１
２ O ６ ３
４
５X
× 【 例题2 】 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数，对不对？
解： 对复数z=a+bi
实轴上的点， b = 0 ，Z为实数
虚轴上的点，
纯虚数
b=0 实数0
y
o
x
实轴上的点都表示实数， 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

不等式|| > 的解集是圆|| = 的外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件 < || < 的点的集合.容易看出，所求集合是以原点为圆心，
以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
PART.04
课堂小结
课堂小结
2.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小；
3.复数的模的几何意义：复数 = + (, ∈ ) 的模 || 表示复数在平
面内对应的点 (, ) 到原点的距离.类比向量的模可以作推广： |1 − 2|
表示点 1 和点 2 之间的距离
例题剖析
例3.设复数 = + ，�� = − .
(, ) ，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是 .
概念讲解
复数的几何意义——与点对应
由以上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.
由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。
复数 = +
(1)|| = ；
(2) < || < .
解： (1) 由|| = 得，向量的模等于1，
所以满足条件|| = 的点的集合是
以原点为圆心，以为半径的圆.
|| <
(2) 不等式 < || < 可化为不等式
|| >
概念讲解
不等式|| < 的解集是圆|| = 的内部所有的点组成的集合，
一一对应
这是复数的一种几何意义．
复平面内的点(, ).
例题剖析
练习：写出如图所示的复平面内各点所表示的复数(每个正方形的边长均为1)．

课时分层作业(十六) 复数的几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( )A ．z 1＞z 2B ．z 1＜z 2C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.] 3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB→|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．] 5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )A ．－34＋iB ．34－i C ．－34－i D ．34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.] 二、填空题6．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.12[由条件，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0， 所以m ＝3，因此z ＝12i ，故|z |＝12.]7．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值X 围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0.解得x ＞3.] 8．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________.±i [因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i.]三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点．(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．分别某某数m 的取值X 围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.11．(多选题)设复数z 满足z ＝－1－2i ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是( )A ．|z |＝ 5B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为－1＋2iD ．复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－2x 上AC [|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．]12．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2C ．5D ．3D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．]13．(一题两空)已知复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i(i 为虚数单位)，若复数z 是实数，则实数m ＝______；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数m 的取值X 围为________． 3 (－5，－1－15)[若复数z 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3. 若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，解得－5＜m ＜－1－15.]14．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求y x的最大值． [解]∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3.15．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？[解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2， |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴m=1或m=-2。 ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
课堂小结
你学到了什么？ 你认为易错点是哪些？
作业布置
作业1：报纸31期 第二版 作业2：套卷145 作业3：预习
（２） －３+２i；
（３） ２－４i；
（４） －３－５i；
E
（５） ５；
（６） －３i；
Байду номын сангаас
O
1、在坐标里面，寻找已知点
A
B
X
C
D
F
课 堂 探 究 复数与点的对应。 2、根据坐标显示，写出复数
Y
A
B D
F
C E
X
G
J
例题解析
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内的 第二象限，求使式子满足的m取值范围。
第七章 复 数 7.1.2 复数的几何意义
此处添加副标题内容
温故知新
z a bi (a R,b R)
实数b 0
复数a+bi
虚数b
纯虚数a 0，b 0 0非纯虚数 a 0，b
0
温故知新 两个复数的相等
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：两个复数可以说相等或不相等；不能比较大小。
例题解析
y
例3 满足3<|z|<5(z∈C)的
5
复数z对应的点在复平面上构
3
成的图形是什么样的？

【教学目标】1.明确复数和实数的区别，了解复数平面直角坐标系及其性质；2.掌握复数的几何意义；3.熟练掌握复数的模和幅角的概念及其计算方法，并能应用于解决实际问题。

【教学重点】1.复数的几何意义；2.复数的模和幅角的概念及计算方法。

【教学难点】1.复数的几何意义；2.复数模和幅角的物理意义。

【教学过程设计】【Step 1】导入（5分钟）以一个实数 $a$ 与 $a+b\mathrm{i}$ 的对比来引出复数的概念，从而引出本节课学习的内容。

【Step 2】复数和实数的区别（5分钟）1. 复数：由实数和虚数叠加而成；2. 实数：只包含实部的复数。

【Step 3】复数平面直角坐标系（10分钟）1. 引入复数平面直角坐标系的概念及表示方法；2. 探究复数平面直角坐标系的性质及其几何意义。

【Step 4】复数的模和幅角（20分钟）1. 定义复数的模和幅角；2. 推导计算复数模和幅角的公式；3. 运用示例讲解计算。

【Step 5】应用与实践（10分钟）给出一些实际问题，通过解题来让学生运用所学知识。

如：1. 已知点 $A(2,3)$，求以点 $A$ 为中心，长为 $4$ 的正方形对角线上的点坐标；2. 如图，已知 $\overline{OB}=1$，PO 是单位圆外一点，$\angle BOP=\theta$，求用$B,O,P$ 点组成的三角形面积。

【Step 6】总结与课堂作业（5分钟）1. 总结本节课所学内容；2. 布置课后作业：练习册 P1-1 的 8-15 题。

【板书设计】复数和实数的区别：：由实数和虚数叠加而成。

实数：只包含实部的复数。

复数平面直角坐标系：横坐标为实数部分，纵坐标为虚数部分。

复数的模和幅角：$z=a+b\mathrm{i}=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$【教学反思】本节课通过导入、复数和实数的区别、复数平面直角坐标系、复数的模和幅角以及应用与实践等环节，对学生进行了系统讲解，掌握了复数的相关知识。