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复数的加、减运算及其几何意义教学设计教学目标(1)复数加减法运算及其几何意义的探索(2)应用运算法则解决数学问题（3）通过课后作业的明辨探究，引导学生严谨的思维能力.教学内容教学重点：1.在探究复数的加减运算及其几何意义中感受数学文化2.了解复数在实际问题中的应用教学难点：1.复数的加减运算的几何意义教学过程（一）教学引入：复数初体验师：给大家提前阅读的数学史料中，大家已经感受到复数与实际生活有着密不可分的联系，虚数不“虚”，实数集扩充到了复数集。
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，也为实际生活提供了重要的理论依据。
因此，我们需要研究复数的表示、运算及其几何意义，让我们一起在“数”与“形”的融合中，感受人类理性思维在数系扩充中的作用.『设计意图』从学生们阅读的数学史料中的内容进行引入，符合学生的最近发展区，显得自然且有代入感。
接着通过提出复数学习的必要性马上把学生从“欣赏数学家的已有成果”切换到“期待发现未知”。
本环节的实施将激发学生的好奇心与学习动力.（二）回顾旧知（1）复数的概念师：在进入今天的学习之前，我们一起来回顾学过的复数相关内容吧。
首先是复数的概念（阐述），也即是复数一个二维数。
在历史上著名的卡丹问题后，法国数学家笛卡尔在《几何学》首次给出“虚数”这一名称。
从此，虚数流传开来。
（2）复数的几何意义师：由于复数是一个二维数，因此，复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点(,)Z a b 以及复平面内以原点O 为起点，Z 为终点的向量OZ 一一对应。
（3）复数的模师：由其一一对应性，我们学习了复数模长的定义22||||z a bi a b =+=+。
师：以上的学习，体现了我们数学中的集合对应思想。
『设计意图』用著名数学家的数学发现带领学生回顾所学知识，这不仅体现出数学家运用他们的特殊知识与专业的方法解决在科学领域的显著问题，让学生感受科学没有平坦大路，需要坚持不懈与积累，还为之后学生的探究搭建了脚手架，复数加减法的探究也就变得自然。
课时作业18 复数的加、减运算及其几何意义知识点一 复数的加减运算1.已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，∴z 1－z 2＝－2＋2i ，故z 1－z 2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．2．设z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2a i(a ∈R )，其中i 是虚数单位，若复数z 1＋z 2是纯虚数，则有( ) A ．a ＝1 B ．a ＝12C ．a ＝0D ．a ＝－1答案 D解析 ∵复数z 1＋z 2＝1－i ＋a ＋2a i ＝1＋a ＋(2a －1)i 是纯虚数，∴a ＋1＝0,2a －1≠0，∴a ＝－1.知识点二 复数加减运算的几何意义3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案 B解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ， ∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴BD 的长为13.4．已知复数z 1对应的向量的终点在第二象限，复数z 2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z 1＋z 2对应的向量的终点在( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝5的点的集合是( )A．正方形B．直线C．线段D．圆答案 C解析|z－2i|＋|z＋1|＝5表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数5，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．答案2 2解析由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2 2.知识点三复数加减运算几何意义的应用7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z －z3|，则z对应的点是△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心答案 A解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案 A解析|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋3i＋z|的取值范围是( )A．[1,3] B．[1,4]C．[0,3] D．[0,4]答案 D解析 复数z 对应的点Z (a ，b )的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋3i ＋z |表示点Z (a ，b )到点M (－1，－3)的距离．因为(－1，－3)在|z |＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．10．设z ∈C ，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足|z －i|2－5|z －i|＋6<0的点Z 的集合是什么图形？解 ∵|z －i|2－5|z －i|＋6<0，∴(|z －i|－2)(|z －i|－3)<0，∴2<|z －i|<3.不等式|z －i|<3的解集是圆|z －i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z －i|>2的解集是圆|z －i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z －i|<3的点Z 的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．一、选择题1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i ＝( ) A ．－8i B ．13＋8i C ．8＋13i D ．13－12i答案 D解析 原式＝10－4i ＋3－3i －5i ＝13－12i.故选D.2．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1－z 2＝( )A ．－1＋2iB ．－2－2iC ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由题意，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1－z 2＝－2－2i.故选B. 3．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( ) A ．1－5i B ．－2＋9i C ．－2－i D ．5＋3i答案 D解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝(3＋4i)－(－2－i)－2i ＝(3＋2)＋(4＋1－2)i ＝5＋3i.4．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17 答案 B解析 依据复数加法、减法的几何意义可得BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)，所以BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，所以|BD |＝|BD →|＝22＋32＝13.5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.二、填空题6．设a 为非零实数，则(1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 是________；(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 是________． 答案 (1)纯虚数也可能是零 (2)实数解析 (1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在虚轴上，这样的复数z 可能是纯虚数也可能是零．(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a )与点(0，a )连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在实轴上，复数z 一定是实数．7．已知f (z ＋i)＝3z －2i(z ∈C )，则f (i)＝________. 答案 －2i解析 解法一：∵f (z ＋i)＝3z －2i ＝3z ＋3i －5i ＝3(z ＋i)－5i ，则f (x )＝3x －5i ， ∴f (i)＝3i －5i ＝－2i.解法二：令z ＝0可得f (i)＝－2i.8．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的集合是________．答案 直线解析 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，得 (x －3)2＋(y ＋4)2＝(x ＋3)2＋(y －4)2， 化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的集合是一条直线． 三、解答题9．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，由|z ＋2－2i|＝1，得|z －(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.10．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.(1)求B C →对应的复数； (2)求B D →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，所以cos ∠DAB ＝AB →·AD→|AB →||AD →|＝25×5＝2525. 因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。
