7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义基础过关练题组一复数的加、减运算1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=()A.8iB.6C.6+8iD.6-8i2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于()A.-3iB.3iC.±3iD.4i4.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于()D.-1或3A.-1B.3C.125.若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a=,b=,c=.6.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.7.已知i 为虚数单位,计算: (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i); (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b ∈R).深度解析题组二 复数加、减运算的几何意义8.已知复数z 对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是( )9.(2020河南名校联盟高二期末)已知z 为复数z 的共轭复数,z+1=i+2z ,则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z,则z =( ) A.5-i B.3+2i C.-2+3i D.-2-3i11.A,B 分别是复数z 1,z 2在复平面内对应的点,O 是坐标原点,若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则△AOB 一定是( ) A.等腰三角形 B .直角三角形 C.等边三角形 D .等腰直角三角形12.已知z 为复数,若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是 . 13.复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,|z 1+z 2|=√2,则|z 1-z 2|= .深度解析 14.如图所示,平行四边形OABC 的顶点O,A,C 对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数; (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数; (3)OB⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数及OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.能力提升练题组 复数的加、减运算及其几何意义的综合应用 1.()在复平面内,O 是原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( ) A.2+8i B.-6-6i C.4-4i D.-4+2i 2.()△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1,z 2,z 3,若复数z 满足|z-z 1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则z 对应的点Z 为△ABC 的( ) A.内心 B .垂心 C.重心 D .外心 3.()如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(深度解析)A.1 B .12C.2 D .√5 4.()若复数z=x+yi(x,y ∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x +4y 的最小值为( )A.2 B .4 C .4√2 D.16 5.(多选)()已知i 为虚数单位,下列说法中正确的是( )A.若复数z 满足|z|=√5,则复数z 对应的点在以原点为圆心,√5为半径的圆上B.若复数z 满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z 1对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,复数z 2对应的向量为OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.(多选)()已知复数z 0=1+2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为P 0,复数z 满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( ) A.点P 0的坐标为(1,2)B.复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C.复数z 对应的点Z 在一条直线上D.P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为√227.()若复数z 满足z-1=cos θ+isin θ,θ∈R,则|z|的最大值为 . 8.()已知x ∈R,y ∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= . 9.(2020湖南怀化高二期末,)若z ∈C,且z+2z =3+4i,则|z|= .10.()已知复数z 1=-1+2i,z 2=1-i,z 3=3-4i 在复平面内对应的点分别为A,B,C,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ的值是 . 11.(2019安徽合肥八中高二期末,)已知复数z 的模为1,则|z+2|的最大值为 . 12.()在复平面内,A,B,C 三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(1)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (2)判断△ABC 的形状.13.(2020北京通州高一月考,)已知O 为坐标原点,向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1、z 2,且z 1=3a+5+(10-a 2)i,z 2=21−a+(2a-5)i(a ∈R).若z 1+z 2是实数.(1)求实数a 的值;(2)求以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形的面积.答案全解全析 基础过关练1.B z 1+z 2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.2.D z=3-i-(i-3)=6-2i.3.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,∴a=0,b+3≠0,又|z|=3,∴|b|=3,∴b=3,∴z=3i. 4.C z=(2m 2+m-1)+(3-m 2+2m)i.由题意,得{2m 2+m -1=0,3−m 2+2m ≠0,解得m=12.5. 答案 5;-1;2解析 z 1+z 2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z 2-z 1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以{b =−1,3+a =8,a -3=c,解得{b =−1,a =5,c =2. 6.解析z 1-z 2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y )+(-3x+4y)i=5-3i,所以{5x -5y =5,-3x +4y =−3,解得{x =1,y =0,所以z 1=3-2i,z 2=-2+i,则z 1+z 2=1-i, 所以|z 1+z 2|=√2.7.解析 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i. 方法技巧把复数的代数形式看成关于“i ”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”就可以了.8.A 由题图知z=-2+i,则z+1=-1+i,由复数的几何意义可知,A 正确. 9.A 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,代入z+1=i+2z 可得a+1+bi=2a+(1-2b)i,所以{a +1=2a,1−2b =b,解得{a =1,b =13.故z=1+i 3,所以z 在复平面内对应的点为(1,13),位于第一象限.故选A.10.D 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,3),所以z=-2+3i,所以z =-2-3i.11.B 复数z 1对应向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,复数z 2对应向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|z 1+z 2|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|z 1-z 2|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,依题意有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形是矩形,又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定相等, 所以△AOB 一定是直角三角形.故选B.12.答案 1解析 由|z-2|=|z+2|,即|z-2|=|z-(-2)|,知z 对应的点在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,即虚轴上.|z-1|表示z 对应的点与(1,0)的距离, ∴|z-1|min =1. 13.答案 √2解析 解法一:由|z 1|=|z 2|=1,|z 1+z 2|=√2,知z 1,z 2,z 1+z 2对应的点是边长为1的正方形的三个顶点,所以|z 1-z 2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z 1-z 2|=√2.解法二:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i,z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i,由题意可得a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,即(a+c)2+(b+d)2=a 2+c 2+2ac+b 2+d 2+2bd=2,所以2ac+2bd=0,所以(a-c)2+(b-d)2=a 2+c 2+b 2+d 2-2ac-2bd=2,所以|z 1-z 2|=√(a -c)2+(b -d)2=√2. 解法三:易知|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2), 将已知数值代入,可得|z 1-z 2|2=2, 所以|z 1-z 2|=√2.深度剖析设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2=2(a 2+c 2+b 2+d 2)=2(|z 1|2+|z 2|2). 14.解析 (1)∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数为-3-2i.∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数为-3-2i. (2)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)OB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OB⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, |OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2+62=√37. 能力提升练1.C ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+2i -(-2+i+1+5i)=4-4i.2.D 由题意知,点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等,故z 对应的点Z 是△ABC 的外心.3.A 设复数-i,i,-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数z 在复平面内对应的点为Z,则Z 1(0,-1),Z 2(0,1),Z 3(-1,-1).根据|z-z 0|的几何意义,可知|z+i|+|z-i|=2表示点Z 到点Z 1(0,-1)和Z 2(0,1)的距离之和为2,又因为|Z 1Z 2|=2,所以点Z 在线段Z 1Z 2上.问题转化为动点Z 在线段Z 1Z 2上移动,求|ZZ 3|的最小值, 因为Z 3Z 1⊥Z 1Z 2,且|Z 3Z 1|=1, 所以|z+i+1|min =1. 知识拓展设复数z,z 0在复平面内对应的点分别为A,B,则|z-z 0|(z,z 0∈C)的几何意义是点A 到点B 的距离.4.C 由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x 2+(y-4)2=(x+2)2+y 2,即x+2y=3,所以2x +4y =2x +22y ≥2x+2y 3=4√2,当且仅当x=2y=32时,2x +4y 取得最小值4√2. 5.ACD 满足|z|=√5的复数z 对应的点在以原点为圆心,√5为半径的圆上,A 正确;设z=a+bi(a,b ∈R),则|z|=√a 2+b 2,由z+|z|=2+8i,得a+bi+√a 2+b 2=2+8i,∴{a +√a 2+b 2=2,b =8,解得{a =−15,b =8,∴z=-15+8i,B 错误;由复数的模的定义知C 正确;由|z 1+z 2|=|z 1-z 2|的几何意义知,以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D 正确.故选ACD.6.ACD 复数z 0=1+2i 在复平面内对应的点为P 0(1,2),A 正确;复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称,B 错误;设z=x+yi(x,y ∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即√(x 2+y 2√x 2+(y -1)2整理得y=x,即点Z 在直线y=x 上,C 正确;易知点P 0到直线y=x 的垂线段的长度即为P 0、Z 之间距离的最小值,结合平面几何知识知D 正确.故选ACD.7.答案 2解析 因为z-1=cos θ+isin θ, 所以z=(1+cos θ)+isin θ,故|z|=√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2(1+cosθ)≤2,即|z|的最大值为2. 8.答案 6;11解析 原式整理得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i, ∴{x +4=y -1,x +y =3x -1,解得{x =6,y =11.9.答案 √17解析 设z=x+yi(x,y ∈R),则z =x-yi,z+2z =3x-yi=3+4i,所以x=1,y=-4,所以z=1-4i,所以|z|=√12+(−4)2=√17. 10.答案 1解析 由题意得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1).由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以{-λ+μ=3,2λ-μ=−4,解得{λ=−1,μ=2,所以λ+μ=1.11.答案 3解析 设复数z 对应的点为Z(x,y),因为复数z 的模为1,所以点Z 的轨迹是以原点O 为圆心,1为半径的圆,由于|z+2|的几何意义是圆上的点(x,y)到点P(-2,0)的距离, 因此|z+2|的最大值为|OP|+1=2+1=3.12.解析 (1)因为A,B,C 三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i, 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O 为坐标原点), 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2). 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,1), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-2+2i,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-3+i. (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1=√2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-2)2+22=2√2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-3)2+12=√10, 所以|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=10=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, 又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. 13.解析 (1)由题意可得z 1=3a+5-(10-a 2)i, 又因为z 2=21−a +(2a-5)i,所以z 1+z 2=3a+5-(10-a 2)i+21−a +(2a-5)i =(3a+5+21−a )+(a 2+2a-15)i. 因为z 1+z 2是实数,所以{a 2+2a -15=0,a +5≠0,1−≠0,解得a=3.(2)由(1)可得z 1=38+i,z 2=-1+i, 则点Z 1(38,1),Z 2(-1,1),因此,以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形的面积为|Z 1Z 2|×1=118.。