7.1.2 复数的几何意义-高一数学同步教学课件(人教A版2019必修第二册)

下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
(1)|z|=1;
(2)1<|z|<2.
y
解：(1)由 z 1得，向量OZ的模等于1， 所以满足条件 z 1的点Z的集合是 以原点O为圆心，以1为半径的圆.
O
x 1
第七章 7.1.2 复数的几何意义
大预习
准探究
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精点拨
例 2 设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z，那么满足
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精点拨
巧巩固
在几何上，
实数可以用数轴上的点来表示.
我们用什么
来表示实数?
一一对应
实数
数轴上的点
想
(数)
(形)
一
想
实数的几何模型:
0. 1
x
a bi (a,b∈R)
实部 虚部
一个复数又该 怎样表示呢？
第七章 7.1.2 复数的几何意义
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探究点1 复数的几何表示
0
ax
如果b 0, 那么z a bi是一个实数a, 它的模就等于 a (a的绝对值)
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探究点3 复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi的模就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原
点的距离.
y
z=a+bi
|z|=|OZ| a2 b2
z2 4 3i 42 (3)2 5,
所以 z1 z2
【注意】在复数集中如果不全是实数，则不能比较 大小，即虚数不能比较大小，但模可以比较大小.

２
(3)2－4i；
５
O
(4)－3－5i；
(5)5；
(6)－3i；
６
４
３
x
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量
y
OZ
z=a+bi
b
0
Z(a,b)
a
x
这是复数的又一种几何意义.
为方便起见，常把复数Z=a+bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，
相等的向量表示同一个复数。
( a R, b R )
虚数
实数
z bi (a 0,且b 0）
z a bi （b 0)
纯虚数
虚数
实数R
纯虚数
复数集C
复数相等
z1 a b i
规定：
z2 c d i
a b i = c d i a c, 且b d
7.1.2
复数的几何意义
复数z对应的点在复
平面上将构成怎样
的图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x y 5
2
2
5
–5
5
O
–5
x
(4)满足2≤|z|≤3(z∈C)的z值有几个？
这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做
-
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z 表示。即当z a bi时，
(1) 求向量AB，AC，BC对应的复数；(2)判断ΔABC的形状
作业
1.练习册（分层要求）+活页7.1.2；

b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做

7.1.2 复数的几何意义
课前回顾
两个复数相等的条件
+ i= + i
⟺
= ， =
复数的分类
实数(b 0)
复数

z= + i 虚数(b 0)纯虚数(a 0，b 0)


非纯虚数(a 0，b 0)

教学目标
1、理解复数的几何意义；
2、掌握复平面的实轴、虚轴的概念;
3、理解复数的模，共轭复数的概念，并会用与求解相关问题.
自学指导
阅读教科书第70-71页内容，完成《优化设计》自主预习部分.
思考:
实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 复
数有什么几何意义呢？
一一对应
z＝a＋bi(a,b∈R)
有序实数对(a,b)
z＝a＋bi(a,b∈R)
一一对应
一一对应
有序实数对(a,b)
平面直角坐标系中的点
平面直角坐标系中的点
用复平面内的点表示复数
如图, 点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴
叫做实轴，y轴叫做虚轴.
y
b
O
Z:a+bi
a
x
例如：
0在复平面内表示的原点(0, 0) ，
一一对应
平面向量 OZ
y
b
Z:a+bi
图中向量OZ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，
记作|Z|或|a+bi|. 即
| Z || a bi | a b (a,b R).
2
2
O

例题巩固
5．设O为原点，向量OA，OB对应的复数分别为2＋3i，－3
－2i，那么向量BA对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
答案：D
例题巩固
6．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值 为( ) A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案：A
综合应用
答案：D
例题巩固：
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝ .
答案： 5
例题巩固（教材69页例题）：
4．判断正误 (1)复平面内的点与复数是一一对应的．( ) (2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) (4)复数与向量一一对应．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
课堂小结 本节课我们学习了哪些知识点？
1.复平面内的点和复数的一一对应关系． 2．实轴、虚轴、模，共轭复数的概念． 3．复数的综合应用
作业布置
（1）教材七十三页：练习2,3 （2）对应课时作业
即解实得数mm＜的取1值2 范5围或是mm＞＜231 2
，
5 或m＞
3 2
.
综合应用
8、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判定△ABC的形状．
综合应用
8、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判定△ABC的形状．
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对应
复数z＝a＋bi
复平面内的点Z（a，b）
3．复数的模 (1)定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. a2 b2

18
课堂精讲
角度2 复数模的几何意义 【例 4】 设 z∈C，且 z 在复平面内对应点 Z，试说明满足下列条件的点 Z 的
集合是什么图形.
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
(2)不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组|z|≤2， |z|≥1.
不等式|z|≤2 的解集是圆|z|＝2 及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1 的解集是圆|z|＝1 及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件 1≤|z|≤2 的点的集合， 如图中的阴影部分， 故所求点的集合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的
A.－10＋8i
B.10－8i
C.0
D.10＋8i
解析 (1)由复数的几何意义，可得O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5，4)， 所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以O→Z1＋O→Z2 对应的复数为 0.
10
课堂精讲
【例 2】(2)设 O 是原点，向量O→A，O→B对应的复数分别为 2－3i， －3＋2i，那么向量B→A对应的复数是( )
1.通过复数的代数形式及几何意义的理解，提升数学抽象素养.通过复数模 的学习及应用，培养数学运算素养.
2.复数的几何意义：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点 为起点的向量一一对应.
3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想，转化为复数的实部、虚部的 问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.
【例 1】 在复平面内，若复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 对应的点： (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y＝x 上，分别求 实数 m 的取值范围. (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， ∴2<m<4 或－5<m<－2， 即 m 的取值范围为(2，4)∪(－5，－2). (4)由已知得 m2－2m－8＝m2＋3m－10， 故 m＝25.

[跟踪训练 2]
1、在复平面内,A,B,三点对应的复数分别为1,2＋i,－1＋2i. （1）求向量 ―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形,求D对应的复数．
解析（1）设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： ―O→A ＝(1,0)，―O→B ＝(2,1)，―O→C ＝(－1,2)， 所以―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(1,1)， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝(－2,2)，―B→C ＝―O→C －―O→B ＝(－3,1)， 所以―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－
[跟踪训练 1]
1、实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－6 ＋(x2－2x－15)i 的点 Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线 x－y－3＝0 上．
解析 因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15 也是实数．
x2＋x－6<0，
(1)当实数 x 满足
即－3<x<2 时，点 Z 位于第
自主预习,回答问题
阅读课本70-72页,思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实 数还是虚数？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问 题。
知识清单
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 2复数 z＝a＋bia，b∈R
x2－2x－15<0，
三象限．
(2)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即 3x＋6＝0，
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上．

当b 0时，z z.即任一实数的共轭复数是它本身.
探究点 1 复数与复平面内的点 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z 在复平面内对应
的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有2aa2－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，
位于第三象限，故选 C. 【答案】 C
4．若复数 z1＝2＋bi 与复数 z2＝a－4i 互为共轭复数，则 a＝________，b＝ ________． 解析：因为 z1 与 z2 互为共轭复数，所以 a＝2，b＝4. 答案：2 4
这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
课堂典例
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
课堂典例
思考：
(1)复数的模能否比较大小？模相等的两个复数相等吗？ (2)满足|z|=2(z∈R)的z值有几个？
（2）虚轴上的点除原点外都表示纯虚数；
（3）各象限内的点表示实部和虚部都不为零的虚数.
引入新知
1.复数的几何意义
这是复数的一种几何意义.
课堂典例 概念1.复数的几何意义 y

由此你能想到复数的几何表示方法吗？
因为任何一个复数 = + 都可以由一个有序数对(, )唯一确定，
并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，
所以复数 = + 与有序数对(, )是一一对应的.
而有序数对(, )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，
所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
− < <
∴ ∈ −, − ∪ ,
03
复 数 的 模
学习新知
思考3：你能类比平面向量中模的定义归纳出复数的模的定义和计算方式吗？
复数的模
I. 定义：向量的模叫做复数 = + 的模或绝对值。
II. 写法： 或 +
III. 算法： = + = 2 + 2 ,其中, ∈
§7.1 复数的概念
§7.1.2 复数的几何意义
复平面
复数的几何意义
复数的模
小结及随堂练习
情景导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，
因此实数可以用数轴上的点来表示．
复数有什么几何意义呢？
01
复
平
面
探索新知
思考1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + 都可以由一个有序实数
对 , 唯一确定；反之也对．
不等式|| > ��的解集是圆|| = 的外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件 < || < 的点的集合.容易看出，所求集合是以原点为圆心，
以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
04
小结及随堂练习
随堂练习

复数 a bi 可用点 Z (a,b) 来表示.
y
b
Z : a bi
O
a
x
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴.
在复平面内，描出表示下列复数的点：
y
(1) z1 2 3i
Z1(2, 3)
(2) z2 3 i
Z2 (3,1)
(3) z3 4
Z3 (4, 0)
Z2 (3,1)
Z1(2, 3)
O
Z3(4, 0)x
Z4 (0, 3)
(4) z4 3i
Z4 (0, 3)
找出复平面内的点所表示的复数：
Z1(2, 3) Z2 (2, 0) Z3 (0, 4) Z4 (0, 0)
z1 2 3i z2 2 z3 4i z4 0
y
Z3 (0, 4)
O
Z1(2, 3)
b
反过来，点 Z 也可以由向量 OZ 唯一确定.
一一对应
复数 z a bi
平面向量 OZ
OLeabharlann Z : a bia
x
复数的模 y b
向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模或绝对值
记做 | z | 或 | a bi |
| z | | a bi | a2 b2
O
Z : a bi
a
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝__2___， b＝__4___.
C x 2 or 1 y 2
四、复数的模
向量a＝(3,4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数 z＝_3_－__4_i_， | z |＝____5____.

相等.
3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.
变式训练3若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|= 5 ,则复数
z= 1+2i或-1-2i .
解析 依题意可设复数 z=a+2ai(a∈R),由|z|= 5得 2 + 42 = 5,
解得 a=±1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i.
(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上?
解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点
在x轴上方.
(2)由(m +5m+6)+(m -2m-15)+4=0,得 m=1 或
2
所以当 m=1 或
2
5
m=- 时,复数
2
5
m=-2,
z 对应的点在直线 x+y+4=0 上.
探究点四
共轭复数及其应用
【例4】 [2023四川成都月考]若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单
位),其中m∈R,则| |=
3
.
解析 ∵复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数,所以m-2=0,且m+1≠0,解得m=2,所以

z=3i,所以 =-3i,
∴| |=3.
规律方法 共轭复数的关注点
限?
提示 第三象限,因为复数和其共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称.
3.在复平面内,点(1,-2)所对应的复数的共轭复数是( A )
A.1+2i
B.1-2i