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平面向量公式

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第1页，－共2页 设a=（x

【2 】,y）,b=(x',y'). 1.向量的加法 向量的加法知足平行四边形轨则和三角形轨则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交流律：a+b=b+a; 联合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法 假如a.b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.

0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“配合起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同偏向; 当λ＜0时,λa与a反偏向; 当λ=0时,λa=0,偏向随意率性. 当a=0时,对于随意率性实数λ,都有λa=0. 注：按界说知,假如λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或紧缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原偏向（λ＞0）或反偏向（λ＜0）上伸长为本来的∣λ∣倍; 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原偏向（λ＞0）或反偏向（λ＜0）上缩短为本来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法知足下面的运算律 联合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb). 向量对于数的分派律（第一分派律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分派律（第二分派律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 假如实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②

假如a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3.向量的的数目积 界说：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并划定0≤〈a,b〉≤π 界说：两个向量的数目积（内积.点积）是一个数目,记作a•b.若a.b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a.b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数目积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'. 向量的数目积的运算律 a•b=b•a（交流律）; (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的联合律); （a+b)•c=a•c+b•c（分派律）; 向量的数目积的性质 a•a=|a|的平方. a⊥b

〈=〉a•b=0. |a•b|≤|a|•|b|. 向量的数目积与实数运算的重要不同点 1.向量的数目积不知足联合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2. 2.向量的数目积不知足消去律,即：由

a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c. 3.|a•b|≠|a|•|b| 4.由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b. 4.向量的向量积 界说：两个向量a和b的向量积（外积.叉积）是一个向量,记作a×b.若a.b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的偏向是：垂直于a和b,且a.b和a×b按这个次序组成右手系.若a.b共线,则a×b=0. 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0. a‖b〈=〉a×b=0. 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）; （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 向量的三角形不等式 1.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a.b反向时,左边取等号; ② 当且仅当a.b同向时,右边取等号. 2.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣. ① 当且仅当a.b同向时,左边取等号; ②

当且仅当a.b反向时,右边取等号. 定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2） 设P1.P2是直线上的两点,P是l上不同于P1.P2的随意率性一点.则消失一个实数 λ,使

向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比. 若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A.B.C三点共线 三角形重心断定式 在△ABC中,若GA

+GB +GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要前提 若b≠0,则a//b的重要前提是消失独一实数λ,使a=λb. a//b的 第2页，－共2页 重要前提是 xy'-x'y=0. 零向量0平行于任何向量. [编辑本段]向量垂直的充要前提 a⊥b的充要前提是 a•b=0. a⊥b的充要前提是 xx'+yy'=0. 零向量0垂直于任何向量.

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初中数学平面向量常用公式归纳

初中数学平面向量常用公式归纳

初中数学平面向量常用公式归纳

数学中的向量是表示大小和方向的物理量，常用于解决空间几何和物理问题。平面向量是指在平面上的向量，它由两个有序的数或字母组成。在初中数学中，掌握平面向量的常用公式是非常重要的基础知识。本文将对初中数学中平面向量的常用公式进行归纳总结。

1. 向量的加法和减法公式

向量 $\overrightarrow{AB}$ 的加法和减法公式可以直接应用于平面向量的加法和减法。

加法公式：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

减法公式：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

2. 向量的数量积公式

向量的数量积（也称为点积或内积）是指两个向量相乘得到的一个数。在平面向量中，计算数量积有以下两种常用公式：

（1）坐标法公式：设向量 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}(x_1,

y_1)$，向量 $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{a}(x_2, y_2)$，则数量积

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

（2）模长法公式：设向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长为

$|\overrightarrow{AB}|$，向量 $\overrightarrow{CD}$ 的模长为

$|\overrightarrow{CD}|$，$\theta$ 为$\overrightarrow{AB}$ 与

$\overrightarrow{CD}$ 的夹角，则有数量积公式 $\overrightarrow{AB} \cdot

平面向量坐标表示公式

平面向量坐标表示公式

平面向量坐标表示公式

1. 介绍

平面向量是二维空间中的有向线段，由模长和方向唯一确定。平面向量可以使用坐标表示，这样可以方便地进行向量运算和表达。

2. 坐标表示公式

平面向量的坐标表示公式如下：

\(\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

其中，\(x\) 和 \(y\) 分别表示平面向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

3. 向量加法

平面向量的加法可以通过分别相加各个分量来实现。设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix}\) 和

\(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，它们的和向量为 \(\vec{w} = \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix}\)，则有：

\(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \\ u_y

+ v_y \end{bmatrix}\)

4. 向量数量乘法

平面向量的数量乘法可以通过分别乘以常数来实现。设有一个平面向量 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，常数为 \(k\)，则数量乘积为 \(k\vec{v} = \begin{bmatrix} kv_x \\ kv_y

\end{bmatrix}\)。

5. 向量点积

平面向量的点积可以用分别相乘各个对应分量再求和的方式来计算。设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y

\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y

平面向量的运算的所有公式

平面向量的运算的所有公式

平面向量的运算的所有公式

平面向量这玩意儿，在数学里可是个挺重要的角色。咱们今儿就来好好聊聊平面向量运算的那些公式。

先来说说向量的加法。两个向量相加，就像是两个力合在一起，产生一个新的合力。比如说，你在操场上往东走了 3 米，记作向量 a，然后又往北走了 4 米，记作向量 b，那你最终从起点到终点的这个位移向量 c ，就是 a 向量和 b 向量的和。向量加法的三角形法则就是“首尾相连，连接首尾，指向终点”。

给你讲个我上学时候的事儿。有一次数学老师在课堂上讲向量加法，为了让我们更明白，他找了两个同学，一个从教室前面走到后面走了 5

步，代表向量 a ，另一个从左边走到右边走了 6 步，代表向量 b 。然后让大家看看这两个同学最终相对起点的位置变化，那场景可有意思了，大家一下子就明白了向量加法是咋回事。

向量加法还有个平行四边形法则。假如有两个向量，以它们为邻边作平行四边形，那从公共起点出发的对角线所表示的向量就是这两个向量的和。这个法则在解决一些几何问题的时候特别好用。

接下来是向量的减法。向量的减法可以看成是加上一个相反向量。比如说向量 a 减去向量 b ，就等于向量 a 加上向量 b 的相反向量 -b 。这就好比你本来往东走，现在要往西走，那方向就得反过来。 再说说向量的数乘。一个实数乘以一个向量，就像是把这个向量伸长或者缩短，方向不变（当实数大于 0 时）或者反向（当实数小于 0

时）。比如 2 乘以向量 a ，就是把向量 a 的长度变为原来的 2 倍。

还有向量的数量积。这可是个重点。向量 a 和向量 b 的数量积等于它们的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。要是两个向量垂直，那它们的数量积就是 0 。

记得有一次做数学作业，有一道关于向量数量积的题目，我一开始怎么都想不明白，急得抓耳挠腮。后来我仔细琢磨教材上的公式和例子，一点点分析，终于做出来了，那种成就感，别提多爽了！

平面向量的运算公式在解决很多实际问题中都能派上用场。比如在物理中，计算力的合成和分解，就会用到向量的运算。

高中数学-公式-平面向量

高中数学-公式-平面向量

平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0)a=b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; （2）坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝122121yxyx；

5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;221221)()(yyxxAB;

（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,22yxa;

十、向量法

1、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线平行：l∥ma∥bakb

（2）线面平行：l∥au0au

（3）面面平行：////uvukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线垂直：lmab0ab

（2）线面垂直：la∥uaku （3）面面垂直：uv0uv

3、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）直线、ml所成的角(0)2，cosabab

（2）直线l与平面所成的角(0)2，sinauau

（3）平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cosuvuv

教学过程：

二、新课讲授