上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目上海高一高中数学竞赛一直是广大学生们备受关注的盛事。

每年都有无数的学生为了参加这场盛会而日夜苦学，奋发拼搏。

在竞赛中，学生们需要解答一系列高难度的数学题目，考验他们的数学思维能力和解题技巧。

今年的竞赛题目也不例外，以下是其中几道代表性的题目。

题目一：概率论某班级的学生进行了一次数学竞赛，共有60人参赛，其中45人擅长代数，30人擅长几何，18人既擅长代数又擅长几何。

随机选择一名参赛学生，请计算以下概率：a) 该学生至少擅长一门学科；b) 该学生只擅长代数或者只擅长几何；c) 该学生既不擅长代数也不擅长几何。

题目二：函数与方程已知函数 f(x) 的定义域为实数集，且满足 f(x+1) + f(x-1) = 3x + 2，其中 x 为实数。

请问：a) 函数 f(x) 的表达式是什么？b) 函数 f(x) 在定义域内的最大值是多少？题目三：三角函数已知正弦函数 f(x)=a*sin(kx+b)，其中 a>0，0<b<π，且 a、k、b 都是常数。

已知f(π/4) = 1 和f(π/6) = 1/2，请计算以下值：a) 常数 a 和 k 的值；b) 常数 b 的取值范围。

题目四：几何问题设 AB 和 CD 是平行线段，E 是 AB 上的一点，F 是 CD 上的一点，且 AE:EB = 2:1，CF:FD = 1:3。

连接 AF 和 BE，交于点 G。

请证明：AG=GB。

题目五：数列与级数已知数列 {an} 的通项公式为 an = n^2 + 3n，n∈N。

请计算以下级数的和：S = a1 + a2 + a3 + ... + a100以上是今年上海高一高中数学竞赛的一些典型题目。

这些题目涵盖了概率论、函数与方程、三角函数、几何问题以及数列与级数等多个数学知识点。

学生们需要在有限的时间内灵活运用各种解题方法，迅速找到解题思路，并给出准确的答案。

这不仅要求学生们有坚实的数学基础，还需要他们具备良好的逻辑思维和分析问题的能力。

上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 旳图象与函数()f x 旳图象有关y 轴对称，函数()2f x 旳图象与函数()1f x 旳图象有关直线1y =对称，则函数()2f x 旳解析式为 ．答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解 在函数()y f x =旳体现式中用x -替代x ，得()21f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =旳体现式中用2y -替代y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2223w z z =-在复平面上相应旳动点W 所示曲线旳一般方程是 ．答案：221.25y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= 3.有关x 旳方程arctan 2arctan 26x xπ--=旳解是 ．答案：2log x = 解 由于()()tan arctan 2tan arctan 2221xx x x --⋅=⋅=，因此arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==，则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子旳六个面上旳数字为1,2,3,4,5,6，则同步掷这四颗骰子使得四颗骰子向上旳数旳乘积等于36，共有 种也许． 答案：48．解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共246C =种也许； （2）两个2，两个3，这种情形共246C =种也许；（3）两个3，一种1，一种4，这种情形共214212C C =种也许； （4），1,2,3,6各一种，这种情形共4424A =种也许．综上，共有66122448+++=种也许． 5.已知函数()()()()1cos ,202xf x xg x a a π==-≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 旳取值范畴为 ．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 旳取值范畴，使得()g x 能取到[]1,1-中旳值．（1）当0a >时，()g x 单调递增，由于()12g x >-，故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，由于()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得10.2a -≤<6.如图，有16间小三角形旳房间，甲、乙两人被随机地分别安顿在不同旳小三角形房间，那么她们在不相邻（指没有公共边）房间旳概率是 （用分数表达）．答案：17.20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻旳房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻旳房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻旳房间恰有三间，从而满足条件旳安顿措施共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为20417.161520=⨯解法二 我们从背面考虑问题，如图2，每一对相邻房间相应着一条黄色旳邻边，故所求概率为18231711.16152020⨯-=-=⨯7.在空间，四个不共线旳向量,,,OA OB OC OD ，它们两两旳夹角都是α，则α旳大小是 ． 答案：1arccos .3π-解 如图，ABCD 为正四周体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 旳中点，则,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 旳垂心，11sin sin cos .33EH ODE EAH DOH AE ∠=∠==⇒∠= 因此，1arccos .3απ=-8.已知330,0,1b a b α>>+=，则a b +旳取值范畴为 ．答案：(．解 注意到()204a b ab +<≤，及()()()()2332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦我们有()()33114a b a b +≤<+，因此1a b <+≤ 二、解答题（本题满分60分，每题15分）9.如图，已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1旳正五边形ABCDE ．求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边旳长度不不不小于cos .5π证 设1111111111,,,,,,,,,E A AA A B BB B C CC C D DD D E EE 旳长分别为12121,,,,,a ab bc 21212,,,,,cd de e 则()()()()()()()()()()12121212121221212121 5.a ab bc cd de e a e a b b c c d d e +++++++++=+++++++++=由平均数原理，1212121212,,,,a a b b c c d d e e +++++中必有一种不小于1，不妨设121a a +≥，则2110.a a ≥-≥此时()()22222111212111122111212322cos121cos 5522221cos 21cos 21cos 1555211221cos 1cos 5225121cos cos .255A E a a a a a a a a a a a a πππππππππ=+-≥+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭因此，11cos.5A E π≥命题得证．10.设,p q 和r 是素数，且|1,|1,|1p qr q rp r pq ---，求pqr 旳所有也许旳值． 解 由题设可得()()()|111pqr qr rp pq ---，由于()()()()2221111,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-因此，| 1.pqr pq qr rp ++-于是11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数．记1111k p q r pqr =++-，注意到,,2p q r ≥，则32k <从而 1.k = 由对称性，不妨设.p q r ≤≤ 若3p ≥，则1111k p q r<++≤，矛盾，故 2.p = 若3q >，则5q ≥，12125k =+<，矛盾． 若2q =，则11111224k r r ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，也矛盾．故 3.q = 最后，由11111236r r=++-，得 5.r = 综上，30.pqr =11.已知数列{}n a 满足递推关系()*11123n n n a a n N +=-+∈，求所有1a 旳值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列．解 由11123n n n a a +=-+得，1113332n n n n a a +++=-+，令3n n n b a =，则1136363,2525n n n n b b b b ++⎛⎫=-+⇒-=-- ⎪⎝⎭从而，11663,552n n b b -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1111111116633335522121535212221.25352n n n n n n n n n nb a a a a T -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+--⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 若125a ≠，注意到213-<，则当2/31521log 25n a ⎛⎫>+-⎪⎝⎭时，T 与125a -同号，但112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭正负交替，从而n a 正负交替，{}n a 不为单调数列．当125a =时，12153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减数列．综上，当且仅当125a =时，{}n a 为单调数列． 12.已知等边三角形ABC 旳边长为5，延长BA 至点P ，使得9AP =，D 是线段BC 上一点（涉及端点）．直线AD 与△BPC 旳外接圆交于,E F 两点，其中.EA ED < （1）设BD x =，试将EA DF -表达为有关x 旳函数()f x ； （2）求()f x 旳最小值．解 （1）设,,u EA v AD w DF ===，则().f x u w =- 在△ABD 中，由余弦定理，得v == 在△PBC 旳外接圆中运用相交弦定理，得()()()5945,5.u v w u v w x x +=⨯=+=-两式相减，得()2545,v u w x x -=-+故())2254505.x x f x u w x v -+=-==≤≤（2）设0t =≥，则()222020t f x t t t +===+≥=当且仅当20t t=时等号成立，此时t ==解得52x ±=因此，当52x =()f x 取到最小值。

上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。

2024年上海市高三数学竞赛参考答案与评分标准【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上．一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1. 9.2. 1781.3. 20242.5. 5.6. 827π.7. 1,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.8. 14.二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：2214x y +=，A B 、是椭圆Γ的左、右顶点．点C 是椭圆Γ内（包括边界）的一个动点，若动点P 使得0PB PC ⋅=，求OP 的最大值．解：设动点()()00,,,C x y P x y ．因为0PB PC ⋅=，所以PB PC ⊥．设BC 的中点为M ．因为点()()002,0,,B C x y ，所以点002,22x y M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，于是BC =，2AC OM ===． 所以 12OP OM MP OM BC ≤+=+()12AC BC =+． ┄┄┄ 5分记()12AC BC a +=，则当000,1x y==时，a = ┄┄┄ 7分 若a >，因为2AC BC a +=表示点C 在椭圆222214x y a a +=-上．┄┄┄ 10分则222222000000221454x x x y y y a a +≥+>+=-，这与点()00,C x y 在椭圆Γ内矛盾！故a ≤，即OP ≤，当点C 为()0,1C 时等号成立．综上所述，OP的最大值为 ┄┄┄ 15分 10. 在平面直角坐标系xOy 中，求所有的正整数()3n n ≥，使得正n 边形能内接于椭圆()222210x y a b a b+=>>（即正n 边形的所有顶点都在椭圆上）．解：当3,4n =时，正三角形、正方形能内接于椭圆．如图，由椭圆的对称性可知，椭圆的内接正三角形、正方形存在． ┄┄┄ 4分()222210x y a b a b +=>>， ① 正n 边形()5n ≥的外接圆方程为()()()2220x c y d r r -+-=>． ②若0d =，由①，②消去y 可得()222221x x c b r a ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪⎝⎭， 这是关于x 的二次方程，它至多有两个实数根，再由y =±得方程组①，②至多有4组实数解． ┄┄┄ 8分若0d ≠，则方程②为22222()dy r x c y d -=----，所以 2222222()1x dy r x c b d a ⎛⎫ ⎪-=----- ⎪⎝⎭， ③ 两边平方 2222222224()1x d y r x c b d a ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=----- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故 2222222222241()1x x d b r x c b d a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ④ ④是关于x 的4次方程，至多4个实数解．对每个x 的实数解，再由③，即2222221()12x y r x c b d da ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=------ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可对应得到一个y 的解，所以方程组①，②也至多有4组实数解．综上，椭圆与正n 边形()5n ≥的外接圆至多有4个公共点，也就是说正n 边形()5n ≥至少有一个顶点不在椭圆上．故5n ≥时，正n 边形不可能内接于椭圆． ┄┄┄ 15分 11. 数列{}n a 满足：()12211,1,2,n n n a a a a a n ++===+= ，M 是大于1的正整数．求证：在数列345,,,a a a 中存在相邻的两项，它们除以M 的余数相等．解：设n a 除以M 所得的余数为n x ，1,2,n = ．构造有序数对的序列： ()()()34451,,,,,,,n n x x x x x x + ． （*） ┄┄┄ 3分 由于{}0,1,2,,1i x M ∈- ，故序列（*）中至多有2M 个不同的项，根据抽屉原理，（*）的前21M +项中必有相同的两项，设为()()11,,k k l l x x x x ++=，3k l ≤<． ┄┄┄ 5分因为 1111k k k k k k x a a a x x --++≡=-≡-()1111mod l l l l l l x x a a a x M ++--=-≡-=≡，所以11k l x x --=，故()()11,,k k l l x x x x --=． ┄┄┄ 10分继续上述过程，可以得到()()()1212,,1,1l k l k x x x x -+-+==，即()12mod l k l k a a M -+-+≡． ┄┄┄ 13分注意到1231,2a a a ===，所以()()1223,,x x x x ≠，从而13l k -+≥．从而命题得证． ┄┄┄ 15分12. 将正整数1,2,,100 填入1010⨯方格表中，每个小方格恰填一个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第i 行的10个数之和为()1,2,,10i S i = ．设{}1,2,,10n ∈ 满足：存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于第n 列上的10个数之和，求n 的最小值．解：将第j 列10个数之和记为()1,2,,10j T j = ．考虑下述填法（易验证其符合要求），此时有10915330S S S T >>>>= ，这表明5n =满足条件．100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 96 95 94 93 12 11 10 9 8 7 92 91 90 89 18 17 16 15 14 13 88 87 86 85 24 23 22 21 20 19 84 83 82 81 30 29 28 27 26 25 80 79 78 77 36 35 34 33 32 31 76 75 74 73 42 41 40 39 38 37 72 71 70 69 48 47 46 45 44 43 68 67 66 65 54 53 52 51 50 49 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55┄┄┄ 5分以下假设存在一种填法，使得1210,,,S S S 均大于4T ，我们来导出矛盾． 对{},1,2,,10i j ∈ ，记,i j a 为第i 行第j 列所填的数．不失一般性，设1,42,410,4a a a <<< ． ①对1,2,,10k = ，记k A 为表格前k 行与前3列相交所构成的3k ⨯方格表，kB 为前k 行与后7列相交所构成的7k ⨯方格表．考虑到每行的数从左到右依次递减，且①成立，故对每个{}1,2,,10k ∈ ，k B 中7k 个数的最大者是位于左下角的数,4k a ，于是,47k a k ≥． ②┄┄┄ 8分对1,2,,10k = ，记k A 与k B 中的数之和分别为()k S A 与()k S B ，则3(2013)()10099(1013)2k k k S A k， ,4,4,4,47(71)()(1)(71)72k k k k k k k S B a a a k ka， 又{}41210min ,,,T S S S < ，因此有412,43(2013)7(71)()()722k k k k k k k k kT S S S S A S B ka， 化简得4,4730529k T a k <+-，即4,4305297k T ka -+>． ③┄┄┄ 12分 利用②、③，可得()()41,42,47,48,49,410,4T a a a a a a =++++++()7413052978797107k T k=-+>+⨯+⨯+⨯∑44189189T T =-+=，矛盾！故假设不成立，结合1234T T T T >>>知1,2,3,4n =均不满足条件．综上，n 的最小值为5． ┄┄┄ 15分。

上海高一高中数学竞赛题目为了准确满足标题描述的内容需求，我将按照数学竞赛试题的格式给你写一篇关于上海高一高中数学竞赛的文章。

以下是正文：上海高一高中数学竞赛题目第一题：几何问题已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是线段BC、CD上的点，且满足BE = 3CF。

若四边形AEFD的面积为S，求S的值。

解析：首先，我们可以根据题意得知三角形BEA与三角形CFD是全等三角形，因为它们的两条边相等，所以它们的面积也相等。

又根据正方形的特性可知，三角形BEA和三角形CFD是等腰直角三角形，所以它们的面积可以通过直角边的平方除以2来求得。

设BE = x，则CF = (2 - x) / 3。

根据等腰直角三角形的面积公式，BEA的面积为 x^2 / 2，CFD的面积为 [(2 - x) / 3]^2 / 2。

由于AEFD是正方形ABCD减去三角形BEA和三角形CFD所得到的四边形，所以S = 2 - (x^2 / 2) - {[(2 - x) / 3]^2 / 2}。

将式子进行整理和计算，可得S = (5x^2 - 16x + 8) / 18。

第二题：函数问题已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的图像经过点P(2, 2)，Q(3, 4)，R(4, 8)。

求函数f(x)的解析式。

解析：首先，我们将点P(2, 2)代入函数f(x)，可得 2 = 8 + 4a + 2b + c。

同理，将点Q(3, 4)代入函数f(x)，可得 4 = 27 + 9a + 3b + c。

再将点R(4, 8)代入函数f(x)，可得 8 = 64 + 16a + 4b + c。

通过解这个线性方程组，可以求得函数f(x)的解析式。

解方程组得到 a = -4, b = 2, c = -4，所以函数f(x)的解析式为 f(x) =x^3 - 4x^2 + 2x - 4。

第三题：概率问题若从一副完整的扑克牌中随机抽取两张牌，求这两张牌中至少有一张是红心的概率。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与xx x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是 ．2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是 ．4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是 ．5．如图，已知椭圆C ：12522=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是 ．6．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解),(n m = ．7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1! 中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是 ．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{n a 中最接近2013 的数．10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求||||AM OM 的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ c b a ca bc ab k（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．（1）求顶点n A 2所有可能的位置；（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 的个数, 求n S 2．。

2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。

的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。

— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。

曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

上海高一高中数学竞赛题目第一题：函数的性质及运算1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求函数 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。

解析：为了确定函数 f(x) 的单调性，我们需要求出 f'(x) 的符号。

首先求出 f'(x)，然后我们将 f'(x) = 0 的解代入 f(x)，再根据求出的f'(x) 的符号表，确定 f(x) 的单调性。

计算 f'(x) 得到 f'(x) = 3x^2 - 3。

令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = -1。

将 x = -1 代入 f(x)，得到 f(-1) = -2，将 x = 1 代入 f(x)，得到 f(1) = 0。

因此，我们得到以下符号表：x | -∞ | -1 | 1 | +∞f'(x) | - | + | - | +根据符号表，我们可以得出以下结论：1. 当 x < -1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在 (-∞, -1) 区间是单调递减的。

2. 当 -1 < x < 1 时，f'(x) > 0，即 f(x) 在 (-1, 1) 区间是单调递增的。

3. 当 x > 1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在(1, +∞) 区间是单调递减的。

综上所述，函数 f(x) 的单调递增区间为 ( -1, 1 )，单调递减区间为( -∞, -1 ) 和( 1, +∞ )。

第二题：二次函数与一元二次方程2. 已知二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6)，且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。

求函数 f(x) 的解析式。

解析：由题意可知，点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6) 在二次函数的图像上，并且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。