五年级奥数讲义 列方程解决问题(二)

五年级奥数之列方程解决问题1、已知连续的5个奇数的和是45，求这5个连续奇数分别是多少？设这5个连续奇数的中间那个数为x，则它们分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4.根据题意可列出方程：(x-4)+(x-2)+x+(x+2)+(x+4)=45，化简得5x=45，解得x=9.因此这5个连续奇数分别为5，7，9，11，13.2、两个城市相距255千米，甲乙两辆汽车，同时从两个城市出发相向而行。

甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是43千米/时，两车几小时后还相距85千米？设两车相遇的时间为t，则根据题意可列出方程：42t+43t=255-85，化简得t=2.因此两车相遇的时间为2小时。

3、两块地一共100公顷，第一块地比第二块地的3倍多20公顷，这两块地各有多少公顷？设第二块地的面积为x公顷，则第一块地的面积为3x+20公顷。

根据题意可列出方程：x+3x+20=100，化简得x=20.因此第一块地的面积为80公顷，第二块地的面积为20公顷。

4、鸡兔同笼，数头有10只，数脚共有24只，鸡兔各有多少只？设鸡的数量为x，兔的数量为y，则根据题意可列出方程：x+y=10，2x+4y=24.化简第二个方程得x+2y=12，两式相减可得y=4，代入第一个方程得x=6.因此鸡有6只，兔有4只。

5、父亲今年的年龄是儿子年龄的4倍，8年后父亲年龄与儿子年龄的和是61，父亲和儿子今年各多少岁？设儿子今年的年龄为x岁，则父亲今年的年龄为4x岁。

根据题意可列出方程：4x+8+x+8=61，化简得x=5.因此儿子今年5岁，父亲今年20岁。

6、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍，如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，XXX只剩下1个，而XXX还剩下18个？设白子的数量为x，黑子的数量为2x，则根据题意可列出方程：2x-18=4n，x-1=3n，其中n为取的次数。

化简得x=7，因此白子的数量为7个，黑子的数量为14个，取了4次。

列方程解应用题（二）专题简析列方程解决问题，主要是看清条件和关系，然后根据数量关系列出方程例1 李大姐养了若干只鸡和兔，已知共有35个头和94只脚，你知道李大姐饲养了多少只鸡和兔吗？分析解答：因为“共有35个头”，说明一共有35只鸡和兔，我们假设一共有x只鸡，那么兔有（35-x）只，因此，鸡一共有2x脚，兔一共有4(35-x)只脚。

所以，我们可以运用这两种动物共有94只脚，列出方程。

解：设一共有x只鸡，（35-x）只兔.2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=23……鸡的只数35-x=35-23=12……兔的只数答：鸡有23只，兔有12只。

随堂练习：鸡兔同笼,共有30个头,88只脚.求笼中鸡兔各有多少只?例2王老师到书店一共买了10本《科普知识》和《艺术欣赏》，共用去77元。

每本《科普知识》8元，每本《艺术欣赏》7元，王老师两种书各买了多少本？分析解答：我们假设买了x本《科普知识》，那么就买了（10-x）本《艺术欣赏》，根据“买《科普知识》的总价+买《艺术欣赏》的总价=一共花去的钱”可以列出方程解：设买了x本《科普知识》，买了（10-x）本《艺术欣赏》8x+7(10-x)=778x+70-7x=77x=710-7=3答：《科普知识》买了7本，《艺术欣赏》买了3本。

随堂练习：三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元,其中11个同学每人捐1元,其他同学每人捐2元或5元,求捐2元和5元的同学各有多少人?例3 远航物流公司的王师傅运送1000只玻璃花瓶，双方商定，每只花瓶的运费是3元，如果打碎一只，不但没有运费，还得倒赔5元，他运完这批玻璃花瓶后得到2960元，你知道王师傅在运输中打碎多少只玻璃花瓶吗？分析解答：假设王师傅在运输中打碎了x只玻璃花瓶，那么有（1000-x）只没有打碎，根据“运输所得的钱-打碎花瓶倒赔的钱=实际所得的钱”，可以列出方程。

解：设王师傅打碎了x只玻璃花瓶，有（1000-x）只没有打碎，可列方程3(1000-x）-5x=29603000-3x-5x=29608x=40x=5答：王师傅在运输中打碎了5只玻璃花瓶。

第二讲列方程解应用题【专题精析】列方程解应用题是运用方程来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。

列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出未知数，用x表示（直接设），也可以把一种量用x表示，待求出x的数值后再求出未知数（间接设）（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列出方程，对于所设的未知数要当作已知数来用，通过已知与未知的有关数组成两个表示同一个数量的式子，构成一个方程（3）解方程；（4）检验，写出答案。

（也可以用算术解法检验）【我的心得】列方程解应用题通常有两个等量关系，我们可以用第一个等量关系设未知数，用第二个等量关系列方程。

列方程的方法通常可以这样做：1、提炼出题中的等式，抄在纸上。

2、将文字语言转化为数学语言。

3、代入数字解方程。

如这道题：修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米？（1）提炼：未修长度是已修长度的3倍。

（解：设已修长度为x米，则未修长度是3x米。

）未修的长度就是已修的2倍。

（2）转化：未修的长度=已修×2 (小窍门：将文中的关键字如：是、等于、比、相当于等用“=”代替。

)（3）带入求值。

3x-300=(x+300)×2基础提炼例1一种香梨的价格比橘子的2倍还多0.3元，已知4千克与9千克的价格一样多，每千克香梨和橘子各多少元？例2修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米，未修的长度就是已修的2倍，这条公路长多少米？例37年前爸爸的岁数是小华的3倍，7年后是小华的2倍，小华今年多少岁？例4甲、乙两人原来身上的钱分别是丙身上钱的6倍和5倍，后来甲又收入180元，乙又收入30元，甲身上的钱就是乙的1.5倍，原来甲、乙、丙三人钱数之和是多少？例5今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄和？例6被除数和除数的和是80，如果被除数和除数都减去13，那么被除数除以除数的商是5，求原来的被除数和除数。

方程与实际问题（二）知识引入：一、形如a(x±b)=c的方程的解法和应用例题1：小红买了面值1.2元的邮票8张和几张面值60分的邮票准备送给朋友，一共花了12.6元。

她买了几张面值60分的邮票？二、知识精讲1：形如a(x±b)=c的方程的解法和应用1.形如a（x±b）=c的方程有两种解法：（1）把小括号里的x±b看作一个整体，先求出x±b的值，再求出x的值。

（2）根据乘法分配律，把a（x±b）=c转化成ax±ab=c的方程，求出ax的值，再求出x的值。

2.形如a（x±b）=c的方程的应用：（1）把要求的未知数设成x，再列方程；（2）求出的解的后面不写单位名称；（3）检验作答。

二、形如ax±bx=c的方程的解法和应用（和/差倍问题）：例题2：应用题。

（1）超市购进两种牛奶共880箱，A种牛奶的箱数是B种牛奶箱数的3倍。

A、B两种牛奶各有多少箱？（2）某山地林区的阔叶类植物的种类比针叶类植物的种类多420种，已知阔叶类植物的种类是针叶类植物种类的5倍。

阔叶类植物和针叶类植物各有多少种？知识精讲2：形如ax±bx=c的方程的解法和应用：1.形如ax±bx=c的方程的解法：可以先将方程转化为（a±b）x=c的形式，再求解。

具体解法如下：ax±bx = c解：（a±b）x = c（a±b）x÷（a±b）= c ÷（a±b）x = c ÷（a±b）2.形如ax±bx=c的方程的应用（和/差倍问题）：用方程解和倍问题时，先设其中一个未知量为x（通常设一倍数为x），再根据两个数的倍数关系，用含有x的式子表示另一个未知量，然后根据这两个数量的和或差列出形如ax±bx=c的方程解答。

三、列方程解决路程问题（画线段图法）例题3：应用题。

行程问题（一）邹玉芳例1：甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇。

东西两地相距多少千米？思路导航：两车在距中点32千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多32千米，乙车行了全程的一半少32千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了32×2＝64（千米）。

两车同时出发，又相遇了，两车所行的时间是一样的，为什么甲车会比乙车多行64千米？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。

64÷8＝8（时），所以两车各行了8小时，求东西两地的路程只要用（56+48）×8＝832（千米）练习：1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。

甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米相遇。

求两地之间的路程是多少千米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米，求A、B两城之间的距离？3、下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈发也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米？例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？思路导航：快车3小时行驶40×3＝120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲乙两地间路程的一半是120－25＝95（千米）。

此时，慢车行了95－25－7＝63（千米），因此慢车每小时行63÷3＝21（千米）练习：1、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

弟弟每分钟行多少米？2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？3、学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。

第29讲行程问题（二）一、专题简析：1、追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。

追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程2、解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。

抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。

二、精讲精练例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。

两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。

几小时后小轿车追上中巴车？练习一（1）一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。

摩托车多长时间能够追上？（2）兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。

几分钟后哥哥追上弟弟？例2一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。

开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。

因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。

汽车是在离甲地多远处修车的？练习二（1）小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。

有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。

小王是在离工厂多远处遇到熟人的？（2）一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。

这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟。

为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。

加油站离乙地多少千米？例3甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。

走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。

甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。

甲骑车多少分钟才能追上乙？练习三（1）兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走80米，弟弟每分钟走60米。

第五课列方程解应用题概念方程（equation）是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，（通常设未知数为x），通常在两者之间有一个等号“=”。

方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。

它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。

例题例1 已知鸡比兔多13只，鸡脚比兔脚多16只，问：鸡兔各有多少只？例2五（2）班同学去公园划船，如果每条船坐4人，则有7人不能上船；如果每条船坐5人，则多一条船。

五（2班）租了多少条船？共有多少人？例3 教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。

问：最初有多少个女生？例4一群公猴、母猴和小猴子共38只，每分钟共摘桃子266个。

已知一只公猴每分钟摘桃10个，一只母猴每分钟摘桃子8个，一只小猴子每分钟摘桃子5个，已知公猴子比母猴子少4只，那么这群猴中公猴子、母猴子、小猴子各多少只？例5 盒子里装有白球的个数是红球的3倍，每次取出3个红球和4个白球，取了若干次以后，红球正好取完，白球还有20个，盒子里白球和红球各有多少个？例6 乐乐期末考试语文得了90分，数学考了93分，英语的得分比三门的平均分多5分，乐乐的英语考了多少分？例7 一个两位数，十位数上的数字是个位数上的数字的2倍，如果把十位数上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数小27，原两位数是多少？例8 有四堆苹果共102个，如果给一堆加2个，第二堆减少5个，第三堆增加一倍，第四堆减少一半，每堆的苹果就一样多，这四堆苹果原来各有几个？随堂练习：1、100本图书分给甲、乙两班，甲班分得本数的2倍比乙班分得本数的5倍少10本。

甲、乙两班各分得图书多少本？2、一种香梨的价格比橘子价格的2倍多0.3元，已知4千克香梨与9千克橘子的价钱一样多，每千克香梨和橘子各多少元？3、小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒，若每人分5粒则少6粒。

第二讲列方程解应用题知识导航★方程：含有未知数的等式叫方程列方程解应用题是一种不同于算术解法的一种解题方法，它通过设未知数，将未知条件当成已知条件，根据题中的等量关系列出含有未知数的等式，再解答。

列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。

其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

精典例题例1：小强从家到学校，如果每分钟走40分钟，上课就要迟到2分钟；如果每分钟走50米，就可以比上课时间提前4分钟到校。

小强从家到学校的路程是多少米？思路点拨根据题意得：要求路程，就必须知道速度和时间，速度已知，只须求时间，那么就设原时间为x分钟，利用路程相等建立等量关系。

模仿练习小明从家到学校，如果每分钟走50米，则要迟到3分钟；如果每分钟走60米，则早到2分钟。

小明家到学校有多远？例2：羊村储备了一些草，其中青草是黄草的3倍多2千克。

每天吃15千克青草，6千克黄草；吃了若干天后，青草还剩下74千克，黄草剩下4千克。

羊村的青草和黄草共多少千克？思路点拨根据题意得：可以设吃的天数为x天，利用青草和黄草的倍数关系建立等量关系即可。

模仿练习学校图书室里的故事书的本数是科技书的2倍。

每班借14本故事书和10本科技书，科技书借完时，故事书还有144本，求图书室原有故事书、科技书各多少本？例3：一个两位数，十位数字是个位数字的3倍。

如果把这个两位数减少36，所得到的数等于原数的十位数字和个位数字对调后的数。

原数是多少？[第四届《小学生数学报》邀请赛试题]思路点拨设个位数字（较小数）为x，则十位数字为3x，利用原数减去36等于原数的十位数字和个位数字对调后的数建立等量关系。

模仿练习一个两位数，个位和十位上的数字之和是8。

如果把这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到的新数比原数小18。

原数是多少？铜牌练习1. 15x+5=8x+40 9x－0.9×7=2x+2.1 3x－0.2×10=2x2（48+3x）=90+8x 0.5x+0.3（100－x）=420 4x－2=3（3x－2）2.父子的年龄和是64岁，儿子年龄的3倍比父亲多8岁，求父子俩年龄各有多少岁？3. 两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商与余数的和是866，被除数是多少？4.甲仓库有粮44吨。

第11讲列方程解决问题2知识装备在列方程解应用题中，设未知数时，有时可直接设，即求什么设什么，有时直接设难以解决问题，这时就需要间接设。

间接设时，一定要找准所设未知量，这样才能简化问题，列出方程。

初级挑战1爸爸现在50岁，儿子现在14岁，问几年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍？思路引领：根据题意，设年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍，找出等量关系式为： ,再列方程求解。

答案：解：设x年前爸爸的年龄是儿子的5倍。

5×（14－x）＝50－x70－5x＝50－x70－5x＋5x＝50－x＋5x4x＋50＝704x＝20x＝5答：5年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。

能力探索1女儿今年6岁，母亲今年38岁。

几年后母亲的年龄是女儿的3倍？答案：解：设x年后母亲的年龄是女儿的3倍。

3（6＋x）＝38＋x18＋3x＝38＋x18＋3x－18＝38＋x－183x＝20＋x3x－x＝20＋x－x2x＝20x＝10答：10年后母亲的年龄是女儿的3倍。

初级挑战2王冬有存款500元，张华有存款300元。

王冬每月存50元，张华每月存90元。

张华要赶上王冬，需要几个月的时间？思路引领：本题难点在于找等量关系式。

根据“张华要赶上王东”可知，若干个月之后，张华的存款要等于王东的存款，这就是我们要找的等量关系式。

答案：解：设需要x个月，张华的存款能赶上王东的存款。

500＋50x＝300＋90x500＋50x－50x＝300＋90x－50x40x＋300＝50040x＝200x＝5答：需要5个月时间。

能力探索2有两堆煤，甲堆煤有4.5吨，乙堆煤有6吨，每天从甲堆煤中运0.2吨给乙堆煤，问几天后乙堆煤的吨数是甲堆煤吨数的2倍？答案：解：设x天后乙堆煤的吨数是甲堆煤吨数的2倍。

6＋0.2x＝2×（4.5－0.2x）6＋0.2x＝9－0.4x6＋0.2x＋0.4x＝9－0.4x＋0.4x6＋0.6x＝90.6x＝3x＝5答：5天后乙堆煤的吨数是甲堆煤吨数的2倍。