高考数学二轮复习 闯关导练 大题演练争高分(五)理

大题演练争高分(一)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604122)(2017·大同联考)(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.(Ⅰ)若sin B＝2cos C，求tan C的大小；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积S＝22，且b>c，求b，c.18.(导学号：50604123)(2017·通辽调研)(本小题满分12分)在党的群众教育路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展工作进行打分评价，将获得数据，绘制出如图所示的茎叶图．(Ⅰ)(Ⅱ)6名员工的打分，打分在[75,85)内的人员数X的数学期望．19.(导学号：50604124)(2017·鞍山三模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P A ＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(Ⅰ)求证：AG∥平面PEC；(Ⅱ)求AE的长；(Ⅲ)求二面角E－PC－A的正弦值．“争2题”试题部分20．(导学号：50604125)(2017·四平调研)(本小题满分12分)如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．21.(导学号：50604126)(2017·哈尔滨调研)(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，(其中e 为自然对数的底数)． (Ⅰ)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(Ⅱ)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？ 若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)若实数m ，n 满足m >0，n >0，求证：n n e m ≥m n e n .请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604127)(2017·蚌埠二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧ x ＝22t －2y ＝22t (t 为参数)．(Ⅰ)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(Ⅱ)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．23．(导学号：50604128)(2017·三明调研)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 (Ⅰ) 解不等式|2x －1|<|x|＋1(Ⅱ)集合A 为(Ⅰ) 中不等式的解集，若存在x ∈A ，使不等式||x －1＋||x ≤a 成立，求实数a 的取值范围．选考题题号( )大题演练争高分(一)17．解：(Ⅰ)∵3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc ，∴3(b 2＋c 2－a 2)＝2bc ，由余弦定理可得cos A ＝13，sin A ＝223，3分 又sin B ＝2cos C ，∴sin(A ＋C )＝2cos C ，223cos C ＋13sin C ＝2cos C ∴2cos C ＝sin C ，tan C ＝2，7分 (Ⅱ)由12bc sin A ＝22，又sin A ＝223 ∴bc ＝32，10分 又3(b 2＋c 2)＝12＋2bc ⇒b 2＋c 2＝5，又b >c ，故b ＝322，c ＝22.12分 18．解：(Ⅰ)6分(Ⅱ)根据样本频率分布表，每个员工的打分在[75,85)内的概率为0.6，因打分在[75,85)内的人员数X ～B (n ，p )，故6位员工的打分在[75,85)内的人员数X 的数学期望为E (X )＝6×0.6＝3.6.12分19．解：(Ⅰ)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∴CD ⊥AG .又PD ⊥AG ，∴AG ⊥平面PCD .作EF ⊥PC 于点F ，连接GF ，∵平面PEC ⊥平面PCD ，∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG .又AG ⊄平面PEC ，EF ⊂平面PEC ，∴AG ∥平面PEC .4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A 、E 、F 、G 四点共面， 又AE ∥CD ，AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD ＝GF ，∴AE ∥GF .又由(Ⅰ)知EF ∥AG ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝GF .∵P A ＝3，AD ＝4，∴PD ＝5，AG ＝125. 又P A 2＝PG ·PD ，∴PG ＝95. 又GF CD ＝PG PD ，∴GF ＝95×45＝3625，∴AE ＝3625.8分(Ⅲ)(方法一)由题意得，以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，C (4,4,0)，P (0,0,3)，B (4,0,0)，D (0,4.0)，E ⎝⎛⎭⎫3625，0，0PE →＝(3625，0，－3)，PC →＝()4，4，－3，易求平面P AC 的一个法向量为BD →＝()－4，4，0，平面PEC 的一个法向量为n ＝()25，－16，12，所以设二面角E －PC －A 所成角为θ，则sin θ＝1－cos 2θ＝3210.12分 (方法二)过E 作EO ⊥AC 于点O ，连接OF ，易知EO ⊥平面P AC ，又EF ⊥PC ，∴OF ⊥PC . ∴∠EFO 即为二面角E －PC －A 的平面角．EO ＝AE ·sin45°＝3625×22＝18225，又EF ＝AG ＝125， ∴sin ∠EFO ＝EO EF ＝18225×512＝3210.12分 20．解：(Ⅰ)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y 2.① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.4分 (Ⅱ)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)， 此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t x 2＋y 24＝1， 得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③6分设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.7分 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得||t k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝()x 1－x 22＋()y 1－y 22＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2t 2()4＋k 22－4()t 2－44＋k 2＝43|t |t 2＋3.9分 因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3||t ≤2， 且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.10分依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径， 所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3).12分21．解：(Ⅰ)∵f (x )＝a x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2.1分 ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；2分②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减， 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，3分③若a ≥e ，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减.4分(Ⅱ)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x )′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1，5分 由(Ⅰ)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上有最小值：f (x )min ＝f (1)＝0， 即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.6分 又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.7分 曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解． 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在.8分(Ⅲ)证明：n n e m ≥m n e n ⇔(n m )n ≥e n －m ⇔n ln n m ≥n －m ⇔ln n m ≥1－m n⇔m n ＋ln n m －1≥0，由(Ⅱ)知1x＋ln x －1≥0， 令x ＝n m 得m n ＋ln n m－1≥0.12分 22．解：(Ⅰ)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.5分(Ⅱ)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎝ ⎛ x ＝cos θy ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎝ ⎛ x ＝22t －2y ＝24t (t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同.10分 23．解：(Ⅰ)当x >12时，2x －1<x ＋1，x <2，此时12<x <22分 当0≤x ≤12时，1－2x <x ＋1，x >0，此时0<x ≤124分 当x <0时，1－2x <－x ＋1，x >0，此时无解综上得，{x |0<x <2}6分(Ⅱ)易求||x －1＋||x 在x ∈A 中的最小值为1，故a ≥110分。

小题训练多抢分(三)时间：50分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604089)已知集合A ＝{}x | 2－3x －2x 2>0，B ＝{}x | y ＝ln ()x 2－1，则A ∩B ＝( )A.()－2，－1B.()－∞，－2∪()1，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－1，12D.()－2，－1∪()1，＋∞ 2．(2017·黄山二模)若a ，b 为实数，且(a ＋i)i ＝b ＋2i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝2，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝－13．(导学号：50604090)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为(±1,0)，且过点⎝⎛⎭⎫62，1，则该椭圆长轴长为( )A ．23B ．2 2 C.6D. 3 5．(导学号：50604091)(2017·四平质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝5，a 7＝1，则a 1＝( )A ．－12B ．－1C.12D.146．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4 C.π8D ．1－π87．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]8．(导学号：50604092)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若判断框内是n ≤6，则输出的S 为( )A.34B.2524C.1112D.56 9．(2017·通化调研)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8，3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3，4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．r 2＜0＜r 1C ．0＜r 2＜r 1D ．r 2＝r 110．(2017·朔州质检)如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )11．(导学号：50604093)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为(单位：m 2)( )A ．(11＋42)πB ．(12＋42)πC ．(13＋42)πD ．(14＋42)π12．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以O 为圆心，以||OF 1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y 轴左侧交于A ，B 两点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．2B.2C ．2＋3D.3＋1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(导学号：50604094)(2018·邯郸摸底考试)向量a ＝(1，－2)与b ＝(3，t )的夹角为θ，c ＝(1，－3)，b ⊥c ，则cos θ＝________.14．设n ＝20π⎰10sin x d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n展开式中的常数项为________．(用数字作答) 15．(导学号：50604095)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n(n ∈N＋)，则S 2014＝________.16．(导学号：50604096)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，若x ＞0，f (x )≤k －1x恒成立，则k 的取值范围________．小题训练多抢分(三)1．A 集合A ＝{}x | 2－3x －2x 2>0＝{}x | 2x 2＋3x －2<0＝{}x | ()2x －1()x ＋2<0 ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <12； 又B ＝{}x | y ＝ln ()x 2－1＝{}x | x <－1或x >1，故A ∩B ＝()－2，－1. 2．D －1＋a i ＝b ＋2i ，a ＝2，b ＝－1，选D.3．A 若直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则圆心到直线距离d ＝11＋k 2，|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2， 若k ＝1，则|AB |＝212＝2，d ＝11＋1＝22，则△OAB 的面积为12×2×22＝12成立，即充分性成立．若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝12×2×|k |1＋k 2＝|k |1＋k 2＝12，即k 2＋1＝2|k |，即k 2－2|k |＋1＝0， 则(|k |－1)2＝0，即|k |＝1，解得k ＝±1，则k ＝1不成立，即必要性不成立．故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．4．A2a ＝⎝⎛⎭⎫62＋12＋(1－0)2＋⎝⎛⎭⎫62－12＋(1－0)2＝72＋6＋72－6， 4a 2＝72＋6＋2494－6＋72－6＝12，2a ＝2 3.5．B ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝1，10a 1＋10×92d ＝5，⇒a 1＝－1.6．D 以菱形的4个顶点为圆心，以1为半径作圆，则在菱形ABCD 内，到菱形的四个顶点的距离大于1的点在菱形内且在4个圆弧外的区域内．根据题意，菱形的面积为S 1＝2×12×4×4×sin30°＝8,4个圆弧的面积和为S 2＝π，所以所求的概率为P ＝S 2S 1＝8－π8＝1－π8.7．C 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，的平面区域如图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0，当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1，当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2， 故OA →·OM →和取值范围为[0,2]．8．C 输出结果是12＋14＋16＝1112.9．B ∵变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，X ＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋135＝11.72，Y ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，∴这组数据的相关系数是r 1＝7.219.172＝0.3755，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U ＝5＋4＋3＋2＋15＝3，∴这组数据的相关系数是r 2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零．10．C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．11．B 由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体， 圆柱的底面直径为2，故底面周长为2π 圆柱的高为4，故圆柱的侧面积为8π，圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，底面面积S ＝4π， 圆锥的高h ＝2，故母线长为22， 故圆锥的侧面积为：42π，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和， 故组合体的表面积S ＝(12＋42)π.12．A 直线OA 方程为y ＝－3x ，∴ba＝3，b ＝3a ，c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝4a 2，∴c＝2a ，∴e ＝ca＝2.13.210∵b ⊥c ，∴t ＝1，∴cos θ＝3－25×10＝210. 14．210∵n ＝2π⎰10sin x d x ＝－10cos x ＝－10⎝⎛⎭⎫cos π2－cos 0＝10，∴⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10展开式中，通项T r ＋1＝C r 10·(x)10－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r10·x 55-6r， 令5－5r6＝0，解得r ＝6.∴展开式中的常数项为T 6＋1＝(－1)6·C 10－610＝C 410＝210.15．2·31007－2由a n a n ＋1＝3n ，得a n ＋1a n ＋2＝3n ＋1，两式作商得：a n ＋2a n＝3，又a 1＝1，∴a 2＝3，则数列{a n }的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列， ∴S 2014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014) ＝1×(1－31007)1－3＋3×(1－31007)1－3＝31007－12＋31008－32＝2·31007－2.16.⎣⎡⎭⎫52，＋∞作出函数f(x)的图象如图，则f(1)＝1， f(3)＝12f(1)＝12，f(5)＝12f(3)＝14f(1)＝14， f(7)＝12f(5)＝12×14＝18，要使x ＞0时，f(x)≤k －1x恒成立，则f(1)≤k －1，且f(3)≤k －13，f(5)≤k －15，f(7)≤k －17，…，即1≤k －1，且12≤k －13，14≤k －15，18≤k －17，…，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥1，k －1≥32，k －1≥54，k －1≥78，解得k ≥52.即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫52，＋∞.。

大题演练争高分(二)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604129)(2017·萍乡调研)(本小题满分12分)已知函数g ()x ＝34－12sin x cos x －32sin 2x ，将其图象向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f ()x ＝a cos 2()x ＋φ＋b ⎝⎛⎭⎫a >0，b ∈R ，||φSymbolcB @ π2的图象． (Ⅰ)求实数a ，b ，φ的值；(Ⅱ)设函数φ()x ＝g ()x －3f ()x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数φ()x 的单调递增区间和最值．18.(导学号：50604130)(2017·新余摸底考试)(本小题满分12分) 已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ，AB ＝2AD ，M 是PB 的中点．(Ⅰ)证明：平面P AD ⊥平面PCD ； (Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值；(Ⅲ)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值．19.(导学号：50604131)(2017·商丘质检)(本小题满分12分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(Ⅱ)若从袋中任意抽取2个球，记下编号，放回袋中，再任意抽取2个球，这样抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列及期望．“争2题”试题部分 20．(导学号：50604132)(2017·随州联考)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，且离心率e ＝12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D ，且满足DA →·DB →＝0，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21.(导学号：50604133)(2017·保定调研)(本小题满分12分)已知f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0.(Ⅰ)若x ＝3是函数f (x )的极值点，求a 的值； (Ⅱ)求f (x )的单调区间；(Ⅲ)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604134)(2017·甘南二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρ＝2sin θ与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝2－t . (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)求与直线l 平行，且与圆相切的直线l ′的方程．23．(导学号：50604135)(2017·海西三模)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数f (x )＝||x －a ＋|x |. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2；(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得f (x )<2恒成立，求a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(二)17．解：(Ⅰ)依题意化简得g ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，平移g (x )得 f ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋12 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＋12 ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋12＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∴a ＝1，b ＝0，φ＝π36分(Ⅱ)φ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－32由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π()k ∈Z得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，因为x ∈[0，π2]，所以当k ＝0时，在⎣⎡⎦⎤0，π12上单调增，∴φ(x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12， 值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.故φ()x 的最小值为－3，最大值为1－32.12分18．(Ⅰ)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥CD .∵AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，∴AD ⊥CD .又AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥平面P AD . 又DC 在平面PCD 内，故平面P AD ⊥平面PCD .3分(Ⅱ)以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1，12)因AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，5分 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.所以AC 与PB 所成角的余弦值为105.8分(Ⅲ)解：AM →＝(0,1，12)，AC →＝(1,1,0)设平面AMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AM →＝0n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋12z 1＝0x 1＋y 1＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝－2y 1x 1＝－y 1，令y 1＝1，则n 1＝(－1,1，－2) 同理：平面BMC 的法向量为n 2＝(1,1,2)，10分∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23∴所求二面角的余弦值为－23.12分19．解：(Ⅰ)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m ，n )有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.3分(Ⅱ)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C 23p 2(1－p )＝3×(13)2×(23)＝29.8分(Ⅲ)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝214.12分20．解：(Ⅰ)由题意椭圆的离心率e ＝12.∴c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝12分又点(1，32)在椭圆上，∴14c 2＋(32)23c 2＝1，∴c 2＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0.x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.6分y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵DA →·DB →＝0，所以k AD ·k BD ＝－1，又椭圆的右顶点D (2,0)，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，8分 3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0，7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且满足3＋4k 2－m 2>0.10分当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0).12分21．解：(Ⅰ)由题意得f ′(x )＝－ax 2－(a －1)xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)由f ′(3)＝0⇒a ＝14，经检验符合题意.2分(Ⅱ)令f ′(x )＝0⇒x 1＝0，x 2＝1a－1①当0<a <1时，x 1<x 2∴f (x )的单调递增区间是(0，1a－1)，f (x )的单调递增减区间是(－1,0)，(1a－1，＋∞)，5分②当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞) ③当a >1时，－1<x 2<0f (x )的单调递增区间是(1a－1,0)，f (x )的单调递增减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞)，8分综上，当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是(0，1a－1)，f (x )的单调递增减区间是(－1,0)，(1a－1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1，f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)，f (x )的单调递增减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞).9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a－1)但f (1a－1)>f (0)＝0，所以0<a <1不合题意当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减f (x )≤f (0)可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值为f (0)＝0，符合题意 ∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值为0时，a 的取值范围是a ≥1.12分22．解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，而直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0.4分(Ⅱ)设所求直线l ′方程为x ＋y ＋m ＝0，由题知圆心(0,1)到直线l ′的距离为||0＋1＋m 2＝1，∴m ＝－1±2，∴直线l ′的方程为x ＋y －1±2＝0.10分 23．解：(Ⅰ)当a ＝1，f (x )＝||x －1＋|x |.当x ≥1，得f (x )＝2x －1，由f (x )≥2得x ≥32，此时x ≥32；当0<x <1，得f (x )＝1，此时显然f (x )≥2无解； 当x ≤0，得f (x )＝1－2x ，由f (x )≥2得x ≤－12，此时x ≤－12.综上，不等式f (x )≥2的解集为(－∞，－12]∪[32，＋∞).5分(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得f (x )<2恒成立，则f (x )在R 上的最小值应小于2. 由绝对值不等式得||x －a ＋|x |≥|x －a －x |＝|a |，则|a |<2，解得－2<a <2， 从而a 的取值范围为(－2,2).10分。

小题训练多抢分(五)时间：50分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·西安二模)设复数z ＝1＋i ，i 是虚数单位，则2z＋()z 2＝()A ．1－3iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i2．(2019·吕梁质检)tan π81－tan 2π8等于()A ．－12B.12C ．－32D.323．已知双曲线C ：x 2a －y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 212＝1有相同的离心率，则实数a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．44．为了有效降低工业废气对大气的污染，某厂通过节能降耗技术改造来降低单位产量的能耗，通过统计得到了节能降耗技术改造后生产某产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为y ＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.7，则产量为8吨时相应的生产能耗(吨标准煤)为()A ．4.35B ．5.05C ．5.65D ．6.45 5．(2019·宁德联考)已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是() A ．②③B ．②④ C ．③④D ．①④6．(2019·烟台调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y －1≥0，x ＋y －3≥0，3x ＋2y －12≤0，则z ＝－12x ＋y 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4 7．(2019·阳泉摸底考试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋3x ，则满足f (x )>－4的实数x 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－1,1)C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)8．(2019·丽水二模)执行如图所示的程序框图，如果输入的x 的值为2019，则输出的i 的值为()A ．7B ．6C ．5D ．39．(2019·榆林调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π8的值为()A.6＋24B.6－24C.3＋24D.3－2410．(2019·河北联考)如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的外接球的体积为32π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为()A.92＋32B ．3＋3或92＋32C ．3＋3D.92＋32或2＋ 311．(2019·珠海二模)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x轴的下方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q (－1，－32)，与C 交于点P ，则点P的横坐标为()A ．2B ．3C ．4D ．512．(2019·洛阳联考)若函数f (x )＝ln x x 2－x －ax＋2e 有零点，则实数a 的最大值为()A ．e 3＋1eB ．e ＋1eC ．e ＋1e 2D ．e 2＋1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(4,4)，b ＝(5,1)，c ＝(m,3)，若(a －2b )⊥c ，则实数m 的值为________．14．设随机变量X ～(2，σ2)，若P (4－a <X <a )＝0.8(a >2)，则P (X >a )的值为________．15．(2019·苏州调研)已知实数a >0，b >0，且a ＋b ＝1，若1a ＋1b的最小值为n ，则(x ＋3)(x＋1)n 的展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为________．16．如图，已知O 为△ABC 的重心，∠BOC ＝90°，若4BC 2＝AB ·AC ，则A 的大小为________．小题训练多抢分(五)1．A ∵z ＝1＋i ，∴2z ＋()z 2＝21＋i ＋(1－i)2＝1－i －2i ＝1－3i.2．B 依题意，tan π81－tan 2π8＝12·2tan π81－tan 2π8＝12tan π4＝12. 3．C 由题意得a ＋9a ＝2，解得a ＝3.4．C 由题意得x －＝3.5，y －＝2.5，因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x －，y －)，且b ^＝0.7，所以2.5＝0.7×3.5＋a ^，解得a ^＝0.05，所以y ^＝0.7x ＋0.05，所以当x ＝8时，y ^＝5.65.即产量为8吨时相应的生产能耗为5.65(吨标准煤)．5．D ∵f (－x )＝f (x )，∴1＋|a ＋1|＝1＋|a －1|，∴a ＝0，故命题p 为真命题．∵Δ＝4－4m ≥0，m ≤1时，方程有解，∴q 为假命题，∴p ∨q 与(綈p )∨(綈q )为真命题．6．B 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．观察可知，当直线z ＝－12x ＋y 过点B (2,3)时，z 有最大值，最大值为2.7．C 显然f (x )为R 上的增函数，令f (x )＝4，则x ＝1(x ＞0)，∴f (x )在x ＜0时，令f (x )＝－4，则x ＝－1，∴x ＞－1.8．D x ＝2019，a ＝x ＝2019，i ＝1，b ＝11－a ＝11－2016＝－12015，b ≠x ；i ＝2，a ＝b ＝－12015，b ＝11＋12015＝20152016，b ≠x ；i ＝3，a ＝b ＝20152016，b ＝11－20152016＝2019，b ＝x ，退出循环，输出i ＝3.9．A 由图可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin 712π＝6＋24. 10．B 设正方体的边长为a ，依题意，43π×33a 38＝32π，解得a ＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图(1)对应的几何体的表面积为92＋32，图(2)对应的几何体的表面积为3＋ 3.11．C 由题意，E (－1，y )，因为PQ 为EF的垂直平分线，所以|EQ |＝|FQ |，即－y －32＝(－1－1)2＋(－32)2，解得y ＝－4，所以k EF ＝－4－0－1－1＝2，所以k PQ ＝－12，所以直线PQ 的方程为y ＋32＝－12(x ＋1)，即x＋2y ＋4＝0.联立⎩⎨⎧x ＋2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得x ＝4，所以点P 的横坐标为4.12．D 由f (x )＝0得a ＝2e x －x 2＋ln x x ，记g (x )＝2e x －x 2＋ln xx ，则g ′(x )＝2e －2x ＋1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e]上是增函数，在[e ，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (e)＝2e 2－e 2＋1e ＝e 2＋1e.13．1依题意a －2b ＝(－6,2)，因为(a －2b )·c ＝0，故－6m ＋2×3＝0，解得m ＝1.14．0.1因为P (X <4－a )＝P (X >a )，所以P (X >a )＝12[1－P (4－a <X <a )]＝0.1.15．32因为1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)，所以n ＝4.所以(x ＋1)n ＝(x ＋1)4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r (r ＝0,1，…，4)，所以(x ＋3)·C r 4x4－r的展开式中的x 的偶数次幂项分别为3C 44，C 34x 2＋3C 24x 2，C 14x 4＋3C 04x 4，所以展开式中x 的偶数次幂项的系数之和为3C 44＋C 34＋3C 24＋C 14＋3C 04＝32.16.π3分别延长BO ，CO 交AC ，AB 于D ，E ，设DO ＝x ，EO ＝y ，故BO ＝2x ，CO ＝2y .在Rt △BOC 中，BC 2＝BO 2＋CO 2＝4x 2＋4y 2；在Rt △BOE 中，BE 2＝BO 2＋EO 2＝4x 2＋y 2，故AB 2＝4(4x 2＋y 2)；在Rt △DOC 中，DC 2＝DO 2＋CO 2＝x 2＋4y 2，故AC 2＝4(x 2＋4y 2)．令BC ＝a ，AB ＝c ，AC ＝b ，可知5a 2＝b 2＋c 2①，又4BC 2＝AB ·AC ，即4a 2＝cb ，代入①式可知，bc ＝b 2＋c 2－a 2，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.。

大题演练争高分(三)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604136)(2017·昆明调研)(本小题满分12分)已知正项等比数列{}a n满足a4＝2a2＋a3，a23＝a6.(Ⅰ)求{}a n的通项公式；(Ⅱ)求a n·log2()a n的前n项和T n.18.(导学号：50604137)(2017·黄石二模)(本小题满分12分)某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数．(Ⅱ)在样本数据中，有20位女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时．①请画出每周课外阅读时间与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)②若从样本的女生中随机抽取2人调查，其中每周课外阅读时间超过4小时的人数为X，求X的分布列与期望．19.(导学号：50604138)(2017·铜川联考)(本小题满分12分)已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上不同两点，且CD ∩AB ＝H ，AC ＝AD ，P A ⊥圆O 所在平面．(Ⅰ)求证：PB ⊥CD ； (Ⅱ)若PB 与圆O 所在平面所成角为π4，且∠CAD ＝2π3，求二面角C －PB －D 的余弦值．“争2题”试题部分20．(导学号：50604139)(2017·遵义调研)(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限)．(Ⅰ)求椭圆G 的方程；(Ⅱ)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．21.(导学号：50604140)(2017·北海质检)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋b 图象上的点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q 在函数g (x )＝ln(－x )＋a 上．(Ⅰ)设h (x )＝g (x )－f (x )，求h (x )的最大值；(Ⅱ)对任意x 1∈[－e ，－1]，x 2∈[e ，e 2]，不等式2k []g (x 1)＋2＋f (x 1)－6<ln []f (x 2)＋3恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604141)(2017·文山调研)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(Ⅰ)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(Ⅱ)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(导学号：50604142)(2017·临夏质检)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲已知函数f ()x ＝||2x －1＋||x －2a .(Ⅰ)当a ＝1时，求f ()x ≤3的解集；(Ⅱ)当x ∈[]1，2时，f ()x ≤3恒成立，求实数a 的取值范围．选考题题号( )大题演练争高分(三)17．解：(Ⅰ)设数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q ＋a 1q 2()a 1q 22＝a 1q 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1q ＝－1， ∵q >0，∴a n ＝2n .5分(Ⅱ)log 2(a n )·a n ＝log 2(2n )·2n ＝n ·2n ，∵T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2 ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.12分18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图得 x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8.2分(Ⅱ)①由(Ⅰ)知，100位学生中有100×0.75＝75(位)的每周课外阅读时间超过4小时，255分结合列联表可算得K 2的观测值k ＝100×(15×20－55×10)270×30×25×75＝10063 ≈1.59<3.841.7分所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”．②X 的可能取值为0,1,2.8分其概率分别为P (X ＝0)＝C 210C 230＝987，P (X ＝1)＝C 110C 120C 230＝4087，P (X ＝2)＝C 220C 230＝3887.10分 故X 的分布列为：11分X 的期望值为E (X )＝0×987＋1×4087＋2×3887＝11687.12分 19．(Ⅰ)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2， ∵AC ＝AD ，∴Rt △ACB ≌Rt △ADB ，∴AB ⊥CD ，又∵P A ⊥圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内，∴P A ⊥CD ，∵P A ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面P AB ，∴PB ⊥CD .5分(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标A －xyz 系：设P A ＝2， ∵∠PBA 是直线PB 与圆O 所在平面所成的平面角，且∠PBA ＝π4，∴AB ＝2， ∵∠CAB ＝∠DAB ＝π3，∴AC ＝1，CD ＝3， ∴D (32，12，0)，C (－32，12，0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)， BD →＝(32，－32，0)，BC →＝(－32，－32，0)，BP →＝(0，－2,2)， 设平面PBD 的法向量为v ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ v ·BD →＝0v ·BP →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＝0－2y ＋2z ＝0，令x ＝3，则v ＝(3，1,1)， 同理解得平面PBC 的法向量为u ＝(3，－1，－1)，设二面角C －PB －D 的大小为θ， ∴cos θ＝v ·u ||u ·||u ＝3×3＋1×(－1)＋1×(－1)5×5＝15. 即二面角C －PB －D 的余弦值为15.12分 20．解：(Ⅰ)由题意得c ＝1, 1分由c a ＝12可得a ＝2，2分 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 3分所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分 (Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，32)，6分 所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n ≠1.7分 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋n 得x 2＋nx ＋n 2－3＝0. 由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1.8分x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－110分 ＝12x 1＋n －32x 1－1＋12x 2＋n －32x 2－1＝1＋n －1x 1－1＋n －1x 2－1＝1＋(n －1)(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－(n －1)(n ＋2)n 2＋n －2＝0， 所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.12分21．解：(Ⅰ)点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝22＋b －2＝ln1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3a ＝－2， ∴h (x )＝g (x )－f (x )＝ln(－x )－x 2＋1，h ′(x )＝1x －2x ＝－2(x 2－12)x＝ －2(x －22)(x ＋22)x， ∵x ∈(－∞，0)，∴当x ∈(－∞，－22)时，h ′(x )>0； 当x ∈(－22，0)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(－∞，－22)上单调递增；在(－22，0)上单调递减， ∴h ()x max ＝h ⎝⎛⎭⎫－22＝12()1－ln2.6分 (Ⅱ)设T ()x ＝ln []f ()x ＋3＝2ln x ，∵T ′(x )＝2x，当x ∈[e ，e 2]时，T ′(x )>0，即单调递增， ∴在[e ，e 2]上T (x )min ＝T (e)＝lne ＝1，设G (x )＝2k []g (x )＋2＋f (x )－6＝2k ln(－x )＋x 2－9，G ′(x )＝2k x ＋2x ＝2(x 2＋k )x，①当k ≥0时，在[－e ，－1]上G ′(x )<0，即单调递减，即G (x )max ＝G (－e)＝2k ＋e 2－9，依题得2k ＋e 2－9<1，∴k <10－e 22， 又∵k ≥0，∴0≤k <10－e 22； ②当k <0时，∵x ∈[－e ，－1]，∴ln(－x )≥0，x 2≤e 2<9∴G (x )＝2k ln(－x )＋x 2－9<0<1综上，实数k 的取值范围为k ∈(－∞，10－e 22).12分 22．解：(Ⅰ)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，化为普通方程：x 2＋y 2－2x －3＝0即：(x －1)2＋y 2＝4.4分(Ⅱ)P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，平面直角坐标为(1,1)，在直线C 1上， 将C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数) 代入x 2＋y 2－2x －3＝0中得：⎝⎛⎭⎫1－22t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎫1－22t －3＝0 化简得：t 2＋2t －3＝0设两根分别为t 1，t 2， 由韦达定理知：⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3， 所以AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2＋12＝14，8分定点P 到A ，B 两点的距离之积|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.10分23．解：(Ⅰ)原不等式可化为||2x －1＋||x －2≤3，依题意，当x >2时，3x －3≤3，则x ≤2，无解，当12≤x ≤2时，x ＋1≤3， 则x ≤2，所以12≤x ≤2， 当x <12时，3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12， 综上所述：原不等式的解集为[]0，25分(Ⅱ)原不等式可化为||x －2a ≤3－||2x －1，因为x ∈[]1，2，所以||x －2a ≤4－2x ，即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x对x ∈[]1，2恒成立，当1≤x ≤2时，3x －4的最大值2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为{}110分。

大题演练争高分(三)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604136)(2017·昆明调研)(本小题满分12分)已知正项等比数列{}a n满足a4＝2a2＋a3，a23＝a6.(Ⅰ)求{}a n的通项公式；(Ⅱ)求a n·log2()a n的前n项和T n.18.(导学号：50604137)(2017·黄石二模)(本小题满分12分)某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数．(Ⅱ)在样本数据中，有20位女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时．①请画出每周课外阅读时间与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)②若从样本的女生中随机抽取2人调查，其中每周课外阅读时间超过4小时的人数为X，求X的分布列与期望．19.(导学号：50604138)(2017·铜川联考)(本小题满分12分)已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上不同两点，且CD ∩AB ＝H ，AC ＝AD ，P A ⊥圆O 所在平面．(Ⅰ)求证：PB ⊥CD ；(Ⅱ)若PB 与圆O 所在平面所成角为π4，且∠CAD ＝2π3，求二面角C －PB －D 的余弦值．“争2题”试题部分 20．(导学号：50604139)(2017·遵义调研)(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限)．(Ⅰ)求椭圆G 的方程；(Ⅱ)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．21.(导学号：50604140)(2017·北海质检)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋b 图象上的点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q 在函数g (x )＝ln(－x )＋a 上．(Ⅰ)设h (x )＝g (x )－f (x )，求h (x )的最大值；(Ⅱ)对任意x 1∈[－e ，－1]，x 2∈[e ，e 2]，不等式2k []g (x 1)＋2＋f (x 1)－6<ln []f (x 2)＋3恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604141)(2017·文山调研)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(Ⅰ)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(Ⅱ)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(导学号：50604142)(2017·临夏质检)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲已知函数f ()x ＝||2x －1＋||x －2a . (Ⅰ)当a ＝1时，求f ()x ≤3的解集；(Ⅱ)当x ∈[]1，2时，f ()x ≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(三)17．解：(Ⅰ)设数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q ＋a 1q 2()a 1q 22＝a 1q 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1q ＝－1， ∵q >0，∴a n ＝2n .5分 (Ⅱ)log 2(a n )·a n ＝log 2(2n )·2n ＝n ·2n ， ∵T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.12分18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图得x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8.2分(Ⅱ)①由(Ⅰ)知，100位学生中有100×0.75＝75(位)的每周课外阅读时间超过4小时， 255分结合列联表可算得K 2的观测值 k ＝100×(15×20－55×10)270×30×25×75＝10063≈1.59<3.841.7分所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”．②X 的可能取值为0,1,2.8分其概率分别为P (X ＝0)＝C 210C 230＝987，P (X ＝1)＝C 110C 120C 230＝4087，P (X ＝2)＝C 220C 230＝3887.10分故X 的分布列为：11分X 的期望值为E (X )＝0×987＋1×4087＋2×3887＝11687.12分19．(Ⅰ)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2，∵AC ＝AD ，∴Rt △ACB ≌Rt △ADB ， ∴AB ⊥CD ，又∵P A ⊥圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内，∴P A ⊥CD ， ∵P A ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面P AB ，∴PB ⊥CD .5分(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标A －xyz 系：设P A ＝2，∵∠PBA 是直线PB 与圆O 所在平面所成的平面角，且∠PBA ＝π4，∴AB ＝2，∵∠CAB ＝∠DAB ＝π3，∴AC ＝1，CD ＝3，∴D (32，12，0)，C (－32，12，0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)，BD →＝(32，－32，0)，BC →＝(－32，－32，0)，BP →＝(0，－2,2)，设平面PBD 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ v ·BD →＝0v ·BP →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＝0－2y ＋2z ＝0，令x ＝3，则v ＝(3，1,1)，同理解得平面PBC 的法向量为u ＝(3，－1，－1)， 设二面角C －PB －D 的大小为θ，∴cos θ＝v ·u||u ·||u＝3×3＋1×(－1)＋1×(－1)5×5＝15.即二面角C －PB －D 的余弦值为15.12分20．解：(Ⅰ)由题意得c ＝1, 1分 由c a ＝12可得a ＝2，2分 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 3分所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，32)，6分所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n ≠1.7分设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋n 得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. 8分 x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－110分＝12x 1＋n －32x 1－1＋12x 2＋n －32x 2－1＝1＋n －1x 1－1＋n －1x 2－1＝1＋(n －1)(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－(n －1)(n ＋2)n 2＋n －2＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.12分21．解：(Ⅰ)点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝22＋b －2＝ln1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3a ＝－2， ∴h (x )＝g (x )－f (x )＝ln(－x )－x 2＋1，h ′(x )＝1x －2x ＝－2(x 2－12)x ＝－2(x －22)(x ＋22)x ，∵x ∈(－∞，0)，∴当x ∈(－∞，－22)时，h ′(x )>0； 当x ∈(－22，0)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(－∞，－22)上单调递增；在(－22，0)上单调递减，∴h ()x max ＝h ⎝⎛⎭⎫－22＝12()1－ln2.6分(Ⅱ)设T ()x ＝ln []f ()x ＋3＝2ln x ，∵ T ′(x )＝2x，当x ∈[e ，e 2]时，T ′(x )>0，即单调递增，∴在[e ，e 2]上T (x )min ＝T (e)＝lne ＝1，设G (x )＝2k []g (x )＋2＋f (x )－6＝2k ln(－x )＋x 2－9，G ′(x )＝2k x ＋2x ＝2(x 2＋k )x，①当k ≥0时，在[－e ，－1]上G ′(x )<0，即单调递减， 即G (x )max ＝G (－e)＝2k ＋e 2－9，依题得2k ＋e 2－9<1，∴k <10－e 22，又∵k ≥0，∴0≤k <10－e 22；②当k <0时，∵x ∈[－e ，－1]， ∴ln(－x )≥0，x 2≤e 2<9∴G (x )＝2k ln(－x )＋x 2－9<0<1综上，实数k 的取值范围为k ∈(－∞，10－e 22).12分22．解：(Ⅰ)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化为普通方程：x 2＋y 2－2x －3＝0即：(x －1)2＋y 2＝4.4分(Ⅱ)P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，平面直角坐标为(1,1)，在直线C 1上， 将C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0中得：⎝⎛⎭⎫1－22t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎫1－22t －3＝0 化简得：t 2＋2t －3＝0 设两根分别为t 1，t 2， 由韦达定理知：⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3，所以AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2＋12＝14，8分定点P 到A ，B 两点的距离之积 |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.10分 23．解：(Ⅰ)原不等式可化为||2x －1＋||x －2≤3，依题意，当x >2时，3x －3≤3，则x ≤2，无解，当12≤x ≤2时，x ＋1≤3， 则x ≤2，所以12≤x ≤2，当x <12时，3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12，综上所述：原不等式的解集为[]0，25分 (Ⅱ)原不等式可化为||x －2a ≤3－||2x －1， 因为x ∈[]1，2，所以||x －2a ≤4－2x ，即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[]1，2恒成立，当1≤x ≤2时，3x －4的最大值2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为{}110分。

函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.[典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x＋2e x ≤0. [快审题] 求什么 想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断． 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化． 给什么 用什么 已知函数的解析式，利用导数解题．差什么 找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f ′(x )＝ex－a (x >0)，①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0，当x >ea时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减．(2)证明：法一：因为x >0，所以只需证f (x )≤exx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max＝f (1)＝－e.记g (x )＝exx－2e(x >0)，则g ′(x )＝x －1e xx 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤exx－2e ，即xf (x )－e x＋2e x ≤0. 法二：证xf (x )－e x＋2e x ≤0， 即证e x ln x －e x 2－e x＋2e x ≤0， 从而等价于ln x －x ＋2≤exe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2， 则g ′(x )＝1x－1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x，则h ′(x )＝exx －1e x2. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )， 即xf (x )－e x＋2e x ≤0.[题后悟道] 函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝ax 22，直线l ：y ＝(k －3)x －k ＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值； (2)若至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当x >1时，函数f (x )的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值． 解：(1)由已知得，f ′(x )＝ln x ＋1，且y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行， 所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2＝k －3，解得k ＝5.(2)因为至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，所以至少存在一个x 使x ln x <ax 22成立，即至少存在一个x 使a >2ln x x成立．令h (x )＝2ln x x ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝21－ln xx 2≥0恒成立，因此h (x )＝2ln x x在[1，e]上单调递增.故当x ＝1时，h (x )min ＝0，所以实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，x ln x >(k －3)x －k ＋2在x >1时恒成立，即k <x ln x ＋3x －2x －1.令F (x )＝x ln x ＋3x －2x －1，则F ′(x )＝x －ln x －2x －12.令m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0在x >1时恒成立.所以m (x )在(1，＋∞)上单调递增，且m (3)＝1－ln 3<0，m (4)＝2－ln 4>0， 所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x 0(x 0∈(3,4))使m (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0. 当1<x <x 0时，m (x )<0，即F ′(x )<0，当x >x 0时，m (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 故F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋3x 0－2x 0－1＝x 0x 0－2＋3x 0－2x 0－1＝x 0＋2∈(5,6)．故k <x 0＋2(k ∈Z)，所以k 的最大值为5. [总结升华]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[专题过关检测] 1．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a.解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1. 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a－1≥0.令函数g (a )＝ln a ＋1a－1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (a )min ＝g (1)＝0. 所以ln a ＋1a－1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)>0，即a <e24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)<0，即a >e24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e24.3．(2018·西安质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x(k ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)， 则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14恒成立，∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .解：(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x1＋x2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0， 故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0， 且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． 又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． ②若a <0， 设函数h (x )＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同． 又h (0)＝f (0)＝0， 故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x－22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x 2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0， 故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3x －24x ＋1x 2－6x －122，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0； 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点， 从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.。

小题训练多抢分(一)时间：50分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604075)(·十堰调研)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(·咸宁摸底考试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |4x ＋3>0}，则A ∩∁U B ＝( )A.⎣⎡⎭⎫－34，3B.⎝⎛⎦⎤－1，－34 C.⎝⎛⎦⎤－3，－34 D.⎣⎡⎭⎫34，3 3．(导学号：50604076)(·玉林一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－34．(·江门调研)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) A.433 B ．4 3 C.833D ．835．(·广元质检)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )A ．20B ．25C ．22.5D ．22.756．(导学号：50604077)(·梧州一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．207．已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，则数列{}a n 的前6项和为( )A ．63B ．127 C.6332 D.127648．(·益阳二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线()2＋λx －()3＋λy ＋()1－2λ＝0()λ∈R 过定点A ()x 0，y 0，则z ＝y －y 0x －x的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤15，7B.⎣⎡⎦⎤17，5 C.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[)7，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，17∪[)5，＋∞ 9．(导学号：50604078)(·鹤壁质检)已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB ＝2，AC ＝4，BC ＝25，三棱锥O －ABC 的体积为83， 则球O 的表面积为( )A ．22π B.74π3C ．24πD ．36π10．(·宜昌调研)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1 B.3＋1 C. 3 D ．311．(·滨江联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|>π2的最小正周期为π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 12．(导学号：50604079)设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“Ω函数”．给出下列四个函数：①y ＝sin x ；②y ＝2x ；③y ＝1x －1；④f (x )＝ln x ．则其中“Ω函数”共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(·南昌二模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.14．(导学号：50604080)(·吉安调研)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，则实数a ＝________.15．16．(导学号：50604081)(·济宁联考)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．小题训练多抢分(一)1．A 由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ，故|z|＝1.2．B A ＝(－1,3)，∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－34，A ∩∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－34. 3．B 由题意得f(0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.f(－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f(－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f(f(－3))＝f(9)＝log 39＝2.4．A 该几何体为正四棱锥，高为3，故V ＝13×4×3，选A .5．C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5得，x ＝22.5.6．C ∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6， ∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，即r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.7．C 因为a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴S 6＝1－(12)61－12＝6332.8．B 依题意，直线()2＋λ x －()3＋λ ＋()1－2λ＝0()λ∈R 可以转化为2x －3y ＋1＋λ()x －y －2＝0，联立⎩⎨⎧ 2x －3y ＋1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝7，y 0＝5，故z ＝y －5x －7；作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知z ＝y －5x －7表示阴影区域内的点与A ()7，5两点连线的斜率，故k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5，故z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎡⎦⎤17，5，故选B.9．D ∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的外接圆圆心为BC 中点D ，∴V O －ABC ＝13·S ABC ·OD得OD ＝2，∴OA ＝3，∴球O 的表面积为4π×9＝36π，故选D. 10．C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝a sin A ＝3sin 2π3＝2，∴R ＝1，∴S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B·cos C ＝3cos(B －C )，故S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.11．B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．12．C ∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )，等价于∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＋f (y )＝0成立；①因为y ＝sin x 是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，即当y ＝－x 时，f (x )＝－f (y )成立，故y ＝sin x 是“Ω函数”； ②因为y ＝2x >0，故f (x )＋f (y )＝0不成立，所以y ＝2x 不是“Ω函数”；③y ＝1x －1时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则1x －1＋1y －1＝0，整理可得y ＝2－x ，(x ≠1)即当y ＝2－x (x ≠1)时，f (x )＋f (y )＝0成立，故y ＝1x －1是“Ω函数”；④f (x )＝ln x 时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则ln x ＋ln y ＝0，解得y ＝1x ，即y ＝1x时，f (x )＋f (y )＝0成立，故f (x )＝ln x 是“Ω函数”．13.43 由a ∥b 得sin θ＝－2cos θ，所以tan θ＝－2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－41－4＝43. 14．－1 因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21－x ＝－lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x ⇒a ＋21＋x ＝1a ＋21＋x⇒a ＋21－x ＝1＋x a (1＋x )＋2⇒1－x 2＝(a＋2)2－a 2x 2⇒a ＝－1.15．7 运行该程序，第一次，S ＝270，i ＝3；第二次，S ＝243，i ＝5；第三次，S ＝0，i ＝7.16.52 由双曲线的方程可知，渐近线为y ＝±bax ，分别与x －3y ＋m ＝0(m ≠0)联立，解得A ⎝⎛⎭⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝⎛⎭⎫－am a ＋3b ，bma ＋3b ，由|P A |＝|PB |，设AB 的中点为Q ， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，PQ 与已知直线垂直，故y Q x Q ＝－3，则e ＝c a ＝52.。

大题演练争高分(五)时间：60分钟 满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604150)(·南通联考)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{a n }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，a n ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值．18.(导学号：50604151)(·孝感摸底考试)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，P A ＝1，AB ＝3，AC ＝AD ＝CD ＝2，E 是AD 的中点．(Ⅰ)证明CE ∥平面P AB ；(Ⅱ)求二面角B －PC －E 的正弦值．19.(导学号：50604152)(·汕尾质检)(本小题满分12分) 某公司公关部招聘经理，要求对应聘人员的“交际能力”“组织能力”以及“实践能力”进行测试，已知小明通过“交际能力”“组织能力”以及“实践能力”测试的概率依次为x ，23，y (其中x >y )，且三种测试均通过的概率为14，三种测试至少通过一种的概率为2324. (Ⅰ)求x ，y 的值；(Ⅱ)若通过每种能力测试都能得到3分，且最终得分在6分以上则可被该公司录用，试判断小明是否能被该公司录用，并说明理由．“争2题”试题部分20．(导学号：50604153)(·黄冈二模)(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(Ⅰ)若原点到直线x ＋y －b ＝0的距离为2，求椭圆的方程；(Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A ，B 两点，对于椭圆上任意一点M ，总存在实数λ、μ，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，求λ2＋μ2的值．21.(导学号：50604154)(·岳阳联考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a ∈R )．(Ⅰ)求f (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)若函数f (x )的图象与函数g (x )＝1的图象在区间(0，e 2]上有两个公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)当－2<a <－1时，若函数f (x )在定义区间的子区间(m ，e 2)上恒有一个零点，求实数m 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604155)(·钦州二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22t(其中t 为常数)． (Ⅰ)若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的值；(Ⅱ)当t ＝－1时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离．23．(导学号：50604156)(·广安三模)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|x －1|＋|x －a|，a ∈R .(Ⅰ)当a ＝4时，求不等式f (x )≥7的解集；(Ⅱ)若f (x )≥5对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(五)17．解：(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或32，当q ＝12时，a n ＝25－n ，当q ＝32时，a n ＝16(32)n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，a n ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16[1－(－12)2n ]1－(－12)＝323[1－(－12)2n ]>10，(12)2n <116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分 18．(Ⅰ)证明：∵AC ＝AD ＝CD ，E 是AD 的中点， ∴CE ⊥AD ，又在平面ABCD 内AB ⊥AD ， ∴AB ∥CE ，∵CE ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CE ∥平面P AB .6分(Ⅱ)解：分别以AD ，AB ，AP ，如图， 则P (0,0,1)，E (1,0,0)，B (0，3，0)，C (1，3，0)， PC →＝(1，3，－1)，PB →＝(0，3，－1)，PE →＝(1,0，－1)， 设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则3y －z ＝x ＋3y －z ＝0， 取y ＝1得m ＝(0,1，3)同样求得平面PCE 的一个法向量n ＝(1,0,1)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝322＝64，所以二面角B －PC －E 的正弦值为104.12分 19．解：(Ⅰ)依题意，⎩⎨⎧x ·23·y ＝14，1－()1－x ·13·()1－y ＝2324，解得x ＝34，y ＝12；4分(Ⅱ)依题意，记小明通过的能力测试的种数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3；P ()ξ＝0＝124，P ()ξ＝1＝34×13×12＋14×23×12＋14×13×12＝624＝14；P ()ξ＝2＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124，P ()ξ＝3＝14，故E ()ξ＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312，故E ()3ξ＝6912；因为E ()3ξ<6，故可以估计小明不能被该公司录用.12分20．解：(Ⅰ)∵d ＝b2＝2，∴b ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝13a 2＝4，得a 2＝12，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.4分(Ⅱ)∵e ＝c a ＝63，∴c 2＝23a 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3b 2， ∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b2⇒4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2，显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →得⎩⎨⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 2＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，∴λ2＋μ2＝1.12分21．解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a －ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x ∈(0，e 1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(e 1－a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(0，e 1－a )；单调减区间为(e 1－a ，＋∞)，f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a－1，无极小值.4分(Ⅱ)(ⅰ)当e 1－a <e 2，即a >－1时，由(Ⅰ)知f (x )在区间(0，e 1－a )上是增函数，在区间(e 1－a，e 2]上是减函数，f (x )max ＝f (e 1－a )＝e a －1.又f (e －a )＝0，f (e 2)＝a ＋2e2，所以函数f (x )的图象与g (x )＝1的图象在(0，e 2]上有两个公共点，等价于a ＋2e2≤1＜e a －1，解得1＜a ≤e 2－2(满足a >－1)．(ⅱ)当e 1－a ≥e 2，即a ≤－1时，f (x )在(0，e 2]上是增函数，所以函数f (x )的图象与函数g (x )的图象至多有一个公共点，故不满足题意．综上，实数a 的取值范围是(1，e 2－2]. 8分 (Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当－2<a <－1时，函数f (x )在区间(0，e 2]上单调递增，即在区间(m ，e 2)上单调递增．又f (e 2)＝ln e 2＋a e 2＝2＋a e2>0，所以要使函数f (x )在区间(m ，e 2)上有且只有一个零点，必须使f (m )＝ln m ＋ae<0，即lnm <－a 对一切满足－2<a <－1的一切实数a 都成立．由－2<a <－1，得1<－a <2，所以ln m ≤1，解得m ≤e.又m ≥0，所以0≤m ≤e ，即实数m 的取值范围为[0，e].12分22．解：(Ⅰ)M 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，N 可化为x ＋y ＝t . 由|1＋2－t |2＝1得t ＝3± 2.5分(Ⅱ)当t ＝－1时，直线N ：x ＋y ＝－1，圆M 的圆心到直线N 距离d ＝42＝22>1，∴曲线M 上的点到曲线N 上的点的最小距离为22－1.10分 23．解：(Ⅰ)|x －1|＋|x －4|≥7等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1－2x ＋5≥7或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤43≥7或⎩⎪⎨⎪⎧x >42x －5≥7，解得x ≤－1或x ≥6.故不等式f (x )≥7的解集为{x |x ≤－1或x ≥6}.5分 (Ⅱ)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a | ≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|. 所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥5，解得a ≤－4或a ≥6.10分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}20,1,2,0A B xx x ==+=∣，则A B ⋃为（）A.∅B.{}0C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2.已知复数2i1iz +=+，则复数z 的实部与虚部之和为（）A.0B.1D.23.某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x 与骑行用时y （单位：小时）如下表：身体综合指标评分()x 12345用时(/y 小时）9.58.87.876.1由上表数据得到的正确结论是（）参考数据：()()()()5552211110,7.06,8.4,8.402.ii i i i i i x x y y x xy y ===-=-=--=-∑∑∑.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑.A.身体综合指标评分x 与骑行用时y 正相关B.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较弱C.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较强D.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的关系不适合用线性回归模型拟合4.已知二项式(12)n x +（其中*n ∈N 且5n ）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（）A.5B.6C.7D.85.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意实数()(),2x f x f x -=.当[]1,2x ∈时.()21log f x x =-.则()21f 的值为（）A.0B.1C.21log 21- D.210log 21+6.已知点()4,1M ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F P 为抛物线上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，则PM PF +的最小值为（）A.6B.5C.4D.37.湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，A ，C ，D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（）（ 1.732≈，精确到0.1m ）A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m8.已知圆22:(4)4C x y -+=，点M 在线段()04y x x = 上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（）A.πB.2πC.5π2D.3π二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.π3ϕ=-C.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减10.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()2xf xg x e +=.函数()()()22F x f x mf x =-在[)0,∞+上的最小值为-2.则下列结论正确的是（）A.()e exxf x -=+ B.()g x 在实数集R 单调递减C.3m =D. 3.3m =-或13411.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别是侧棱11BB CC ､的中点，P 是侧面11BCC B （含边界）内一点，则下列结论正确的是（）A.若点P 与顶点1C 重合，则异面直线1AA 与DP 所成角的大小为60B.若点P 在线段MN 上运动，则三棱锥11C PDB -的体积为定值C.若点P 在线段1B C 上，则1AP BD ⊥ D.若点P 为1BC 的中点，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为82π3三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在ABC 中，,AB c AC b == ，点M 满足(01)BM BC λλ=<<，若1233AM b c =+ ，则λ的值为__________.13.已知π1sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于__________.14.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且()121260,23F PF PF m PF m ∠==，则椭圆C 的离心率取值范围为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且497,81a S ==.等比数列{}n b 是正项递增数列，且1231238,7b b b b b b =++=.（1）求数列{}n a 的通项n a 和数列{}n b 的通项n b ；（2）若1,,,,n n n n n a b n c a b n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.16.（本小题满分15分）如图1，在五边形ABCDP 中，连接对角线,AD AD∥,,224BC AD DC PA PD AD BC DC ⊥=====，将三角形PAD 沿AD 折起，连接,PC PB ，得四棱锥P ABCD -（如图2），且PB E =为AD 的中点，M 为BC 的中点，点N 在线段PE 上.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若平面AMN 和平面PAB的夹角的余弦值为29，求线段EN 的长.17.（本小题满分15分）三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版，球场为1511⨯米，比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神，丰富学生业余生活､组织“挑战擂王”三人篮球赛，为了增强趣味性和观赏性，比赛赛制为三局二胜制，即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利，若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”公牛队，李明是公牛队的主力球员，据以往数据分析统计，若李明比赛没有被罚出场，公牛队每局比赛获胜的概率都为34，若李明被罚出场或李明没有上场比赛，公牛队每局比赛获胜的概率都为12，设李明每局比赛被罚出场的概率为p 且11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）若李明参加了每局的比赛，且13p =（i ）求公牛队每局比赛获胜的概率；（ii ）设比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）为了增强比赛的娱乐性，勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛，但若李明被罚出场，则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A 为公牛队2：0获得挑战赛胜利，求事件A 的概率的最小值.18.（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点为12F F ､，点()0P y 在双曲线E 的右支上.且124PF PF -=，三角形12PF F 的面积为（1）求双曲线E 的方程；（2）已知直线:1l x =与x 轴交于点M ，过M 作斜率不为0的直线12l l ､，直线1l 交双曲线E 于,A B 两点，直线2l 交双曲线E 于,C D 两点.直线AC 交直线l 于点G ，直线BD 交直线l 于点H .试证明：MG MH为定值，并求出该定值.19.（本小题满分17分）已知函数()2e 3(,0,e xf x a ax a a =-∈≠R 是自然对数的底数，e 2.71828)= .（1）当1a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）当1a =时，证明：()cos 2f x x x - ；（3）证明：若[)1,,a x ∞∈+∈R ，则()12sin f x x - .2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学参考答案一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.D 【解析】由{}20B xx x =+=∣，得{}0,1B =-，又集合{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选D.2.B 【解析】因为()()()()2i 1i 2i 31i1i 1i 1i22z +-+===-++-，所以复数z 的实部与虚部之和31122⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故选B .3.C 【解析】因为相关系数()()51iix x y y r --=-∑.即相关系数近似为1,y -与x 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.所以选项ABD 错误，C 正确.故选C.4.A【解析】因为*n ∈N 且5n ，由题意知33442C 2C n n =，得()()()()()3412123223!4!n n n n n n n -----⋅=⋅，求得5n =，故选A .5.B 【解析】由已知()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()2f x f x -=，所以()()2f x f x -=-，所以()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，()()()221210111log 11f f f =⨯+==-=.故选B.6.A 【解析】由抛物线的定义可知，422pPF ==+，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，垂足为P '，则426PM PF PM PP MP ''+=++= ，当且仅当P P '､和M 三点共线时等号成立，故选A.7.B 【解析】过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ，在Rt ECD 中，因为30ECD ∠=，所以tan 18tan30DE CD DCE ∠==⨯= ，在Rt BEF 中，因为60BEF ∠= ，所以tan 15tan60BF EF FEB ∠==⨯= 则()36.4m AB BF AF BF ED =+=+=+=≈.故选B.8.D【解析】依题意圆C '是以AB 为直径的圆，当AB 最大时，圆C '的面积最大，因为11222AMC AB S MC AM AC =⋅⋅=⋅⋅ ，得2224||4441||MA AC MC AB MCMC MC -===-，又24MC ，当4MC =时，此时()0,0M 或(4,4)M ，AB 取最大值3C '的面积最大值为2π3)3π⋅=，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）9.ABD 【解析】依题意函数()f x 的周期为2ππ2T ==，所以选项A 正确；因为()102f =，即1cos 2ϕ=，又π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以选项B 正确；因为()πcos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又()5π5ππcos 2cos 2π1663f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 错误；因为ππ62x <<，所以π2π02π33x <-<<，所以函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以选项D 正确，故选ABD.10.AC 【解析】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，又()g x 为奇函数，()()g x g x ∴-=-，()()2e x f x g x += ，①()()2e x f x g x -∴-+-=，即()()2e x f x g x --=，②由2+①②得：()e e x xf x -=+，所以选项A 正确；因为函数e ,e x x y y -==-在R 上均为增函数，故()e exxg x -=-在R 上单调递增，所以选项B 错误；因为()()2222e e e e 2x x x xf x --=+=+-，所以()()()2e e 2e e 2x xx x F x m --=+-+-，又()e e 2x x f x -=+ ，当e e x x -=，即0x =时等号成立，令[)e e 2,xxt ∞-=+∈+，设()22222()2h t t mt t m m =--=---，对称轴t m =，（1）当2m >时，函数()h t 在[)2,m 上为减函数，在(),m ∞+上为增函数，则()2min ()211h t h m m ==--=-，解得3m =或3m =-（舍）；（2）当2m 时，()h t 在[)2,∞+上单调递增，()min ()22411h t h m ==-=-，解得：1324m =>，不符合题意.综上3m =，所以选项C 正确，D 错误.故选AC .11.BCD【解析】对于选项A ，因为1AA ∥1CC ，又点P 与顶点1C 重合，所以1DC C ∠是异面直线1AA 与DP 所成角，其大小为45 ，故选项A 错误；对于选项B ，因为,M N 是侧棱11,BB CC 的中点，所以MN ∥11B C ，又点P 在线段MN 上，所以三棱锥11C PDB -的体积1111112221323C PDBD PC B V V --==⨯⨯⨯⨯=（定值），故B 正确；对于选项C ，因为点P 在线段1B C 上，连接111,,,AC AB BD B D ，因为1BB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，又因为ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，且11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面11BB D D ，则AC ⊥平面11BB D D ，且1BD ⊂平面11BB D D ，可得1AC BD ⊥，同理可得11AB BD ⊥，且11,,AC AB A AC AB ⋂=⊂平面1AB C ，则1BD ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP BD ⊥，故C 正确；对于选项D ，因为点P 为1BC 的中点，连接BD ，记AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点为F ，连接,PF OF ，则222OP OF PF =+=，又2OA OB OC ===，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的圆心，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2，所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为342ππ2)33⨯=，故D 正确.故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.13【解析】由题意可得：()()()121133AM AB BM AB BC AB AC AB AC AB b c b c λλλλλλ=+=+=+-=+-=+-=+.所以13λ=.13.2325【解析】22ππππ123cos 2cos 2cos212sin 123366525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.14.37,34⎣⎦【解析】因为12PF m PF =，由椭圆的定义可得()12212PF PF m PF a +=+=，所以2122,11a ma PF PF m m ==++.又因为1260F PF ∠=，由余弦定理可得：22222222cos6041111a ma a ma c m m m m ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.化简得22233111(1)2c m a m m m=-=-+++，又因为函数()12f m m m =++在区间[]2,3上单调递增，所以9116223m m ++ ，所以2217316c a .可得3734e ，所以椭圆C 的离心率取值范围为37,34⎣⎦.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又497,81a S ==，所以1137,98981,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩故()1121n a a n d n =+-=-.因为数列{}n b 为各项为正的递增数列，设公比为q ，且1q >，因为1238b b b =，所以3318b q =，得122b q b ==，又1237b b b ++=，所以2227q q++=，即()()2120q q --=，解得2q =，从而11b =，所以1112n n n b a q --==.（2）由（1）得()()1212,,212,,nn n n n c n n -⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数所以()()212122124324122n n n n n c c n n ---+=--+-=，所以数列{}n c 的前2n 项和21234212n n nS c c c c c c -=++++++ ()()()2421234212222n n n c c c c c c -=++++++=+++ ()22221424143nn +--==-（或1443n +-）.16.【解析】（1）连接BE ，则12BC AD DE ==，因为AD ∥,BC AD DC ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以2BE CD ==，因为PA PD ==，且E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥，且2PE ==，所以22222228PE BE PB +=+==，即,PE BE ⊥又因为AD BE E ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B M P -，设EN t =，则()0,0,N t ，所以()()2,2,0,2,0,2AB AP =-=- ，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，则0,0,m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩取()1,1,1,m = 又()()3,2,0,2,0,AM AN t =-=- ，设平面AMN 的法向量为()222,,n x y z = ，则0,0,n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222320,20,x y x tz -+=⎧⎨-+=⎩取3,,22t n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以323872|cos ,|||||29t t m n m n m n ++⋅〈〉==⋅ ，所以1t =，或10441t =（舍），线段EN 的长为1.17.【解析】（1）（i ）记i A 表示事件“第i 局公牛队获胜”，i B 表示事件“球员李明第i 局没有被罚出场”，1,2,3i =.由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为()()()()023********i i i i i i P P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.（ii ）由已知随机变量X 的可能取值为2，3.()2222521339P X ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112222222243C 1C 113333339P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅+⋅⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表：X23P 5949()542223999E X =⨯+⨯=.（2）依题意事件A 擂王公牛队2:0获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚出场；第一局李明没有被罚出场，第二局被罚出场；第一局李明被罚出场，第二局不能参加比赛.所以()()()2331111144222P A p p p p ⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦2141131633p ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当12p =时()min 2364P A =.即事件A 的概率的最小值为2364.18.【解析】（1）因为124PF PF -=，所以24a =，得2a =，又三角形12PF F120012F F y ⋅==0y =，得P ⎛⎫ ⎝代入双曲线方程得2225414b b +-=，得221,5b b ==-（舍），所以双曲线E 的方程为：2214x y -=.（2）由题意，()1,0M ，且12,l l 斜率存在且不为0，设()()()()112233441122,,,,,,,,:1,:1A x y B x y C x y D x y l x m y l x m y =+=+，由几何性质可知122,2m m >>，联立方程221440,1,x y x m y ⎧--=⎨=+⎩得()22114230m y m y -+-=，Δ0>恒成立，11212221123,44m y y y y m m --+==--，同理可得：23434222223,44m y y y y m m --+==--，直线AC 方程：()311131y y y y x x x x --=--，令1x =，得()()211331311111131231123111G m m y y y y y y y y x y m y x x m y m y m y m y ---=+-=-=---，同理：()21242412H m m y y y m y m y -=-，因为()()2113212423112412G H m m y y m m y y y y m y m y m y m y --+=+--()()()()()1324122423112123112412y y m y m y y y m y m y m m m y m y m y m y -+-=---()()()()()23412112342123112412m y y y y m y y y y m m m y m y m y m y +-+=---()()()2112222221122123112412323244440m m m m m m m m m m m y m y m y m y ----⋅-⋅----=-=--，所以G H y y =-，所以1GHMGy MH y ==.19.【解析】（1）因为()e 3x f x x =-，所以()e 3x f x '=-，当ln3x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()()()ln3min ln3e3ln331ln30f x f ==-=-<，又()()020e 10,2e 60f f ==>=->，所以()f x 有两个不同零点.（2）当1a =时，()e 3xf x x =-，由()cos 2f x x x - ，得e cos x x x - ，令()e x h x x =-，则()e 1xh x '=-，当0x <时，()()0,h x h x '<在(),0∞-上为减函数，当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上为增函数，所以()()01h x h = ，而cos 1x ，且()0cos0h =，所以e cos x x x - ，即()cos 2f x x x - .（3）由已知()12sin f x x - ，即2e 32sin 10x a ax x -+- ，因为[)1,a ∞∈+，令()2e 32sin 1x g a a xa x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xx a =，令()32e x x x ϕ=，所以()()312ex x x ϕ-='，当1x <时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，所以()()max 3112e x ϕϕ==<，即3312e 2ex x a =< ，故()g a 在区间[)1,∞+上单调递增，所以()()1e 32sin 1x g a g x x =-+- ，从而只需证明e 32sin 10x x x -+- 即可，即证32sin 110e xx x -+- ，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos e x x x x F x '-+-=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x '⎛⎫=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F = ，即32sin 110e x x x -+- ，。