有理数及其运算

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

有理数及其运算要点整理1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。

有理数包括整数、分数和小数。

2. 有理数的运算2.1 加法与减法有理数的加法和减法遵循以下规则：- 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

- 异号相减：一个正数减去一个负数，相当于两个正数相加；一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加。

- 异号相减取相反数：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.2 乘法与除法有理数的乘法和除法遵循以下规则：- 同号相乘：两个正数相乘，结果仍为正数；两个负数相乘，结果仍为正数。

- 异号相乘：两个不相等的有理数相乘，结果为负数。

- 除法是乘法的逆运算：一个数除以另一个数，等于将被除数乘以除数的倒数。

3. 有理数运算的要点3.1 加法与减法的要点- 将有理数按照同号、异号分类进行计算，遵循同号相加、留号不变；异号相减，取相反数相加的原则。

- 确保有理数的运算过程中，将同种类型的数进行运算，如整数与整数相加，分数与分数相加，小数与小数相加。

3.2 乘法与除法的要点- 乘法的结果符号由乘数和被乘数决定，同号得正，异号得负。

- 除法的结果符号由被除数和除数决定，同号得正，异号得负。

- 乘法和除法都要注意化简分数，使结果尽量简化。

4. 示例4.1 加法与减法示例例1：计算 -5 + (-3)。

解：两个负数相加，结果仍为负数，所以 -5 + (-3) = -8。

例2：计算 -4 - 2。

解：一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加，所以 -4 -2 = -6。

4.2 乘法与除法示例例3：计算 -2 × 3。

解：两个不相等的有理数相乘，结果为负数，所以-2 ×3 = -6。

例4：计算 12 ÷ (-4)。

解：一个正数除以一个负数，结果为负数，所以 12 ÷ (-4) = -3。

以上是有理数及其运算的要点整理，希望对你理解有理数的运算有所帮助。

有理数的运算与应用有理数是指可以表示成分数形式的数，包括整数、分数和小数。

有理数的运算是数学中的基础知识之一，它涉及到加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

本文将就有理数的运算及其应用进行探讨。

一、加法运算加法是最基本的运算之一，用来表示两个数的和。

对于有理数的加法，我们可以将其分为同号数相加和异号数相加两种情况。

1. 同号数相加当两个有理数同为正数或同为负数时，它们的和的绝对值等于这两个数绝对值的和，符号由原来的数共同决定。

例如，将3和7相加，由于它们同为正数，所以和为10。

可以表示为：3 + 7 = 10。

同样地，若将-5和-2相加，由于它们都是负数，所以和为-7。

可以表示为：-5 + (-2) = -7。

2. 异号数相加当两个有理数异号相加时，它们的和的绝对值为它们绝对值的差，符号由绝对值较大的数决定。

例如，将-4和2相加，由于-4的绝对值大于2，所以和为-2。

可以表示为：-4 + 2 = -2。

同样地，若将5和-3相加，由于5的绝对值大于-3，所以和为2。

可以表示为：5 + (-3) = 2。

二、减法运算减法是表示两个数相减的运算，可以看作是加法的逆运算。

对于有理数的减法，可以通过加法的方式来处理。

例如，将8减去3，可以转化为8加上-3，即8 + (-3)，所以差为5。

可以表示为：8 - 3 = 5。

同样地，将-4减去-2，可以转化为-4加上2，即-4 + 2，所以差为-6。

可以表示为：-4 - (-2) = -6。

三、乘法运算乘法是表示两个数相乘的运算，包括正数、负数和0的乘积。

对于有理数的乘法，可以根据乘法的性质进行计算。

1. 同号数相乘当两个有理数同为正数或同为负数时，它们的乘积为正，乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。

例如，将2和3相乘，由于它们同为正数，所以乘积为6。

可以表示为：2 × 3 = 6。

同样地，将-4和-5相乘，由于它们都是负数，所以乘积为20。

可以表示为：-4 × (-5) = 20。

《有理数》有理数及其运算汇报人：日期:contents •有理数的定义与分类•有理数的运算•有理数的混合运算•有理数的应用•有理数的数学史•有理数的实际应用案例目录01有理数的定义与分类有理数是一个数学术语，它表示为分数或整数。

有理数是由两个整数的商所得到的数，其中分子和分母都是整数。

有理数包括有限小数和无限循环小数，它们都可以表示为分数形式。

定义分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零。

负有理数包括负整数和负分数。

正有理数包括正整数和正分数。

零是整数，它在有理数中起着特殊的作用，它是正有理数和负有理数的分界点。

02有理数的运算从低位到高位依次相加进位时，横线下面写几，下面用0顶替借位时，横线上面写几，同时下面减去一个相同数位的数相同数位对齐，是减法时，从高位到低位依次相减相同数位对齐进位时，横线下面写几，上面用0顶替相同数位对齐，是加法时，从低位到高位依次相加退位时，横线上面写几，同时下面加一个相同数位的数相同数位对齐从高位到低位依次相减乘法第一个数有几位数，积就有几位小数进位时，将进位点写在横线的上面，向高位进位从右向左，依次用第二个数的每一位去乘第一个数的每一位小数部分末尾有0，根据小数的基本性质，应该点上小数点除法商的小数点要和被除数的小数点对齐从高位除起，按照整数除法的法则进行计算如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除整数部分有余数，要在后面添0继续除03有理数的混合运算先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。

在没有括号的不同级运算中，先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。

顺序结合律与分配律结合律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$结合律与分配律是运算的基本性质，它们可以用于简化运算过程，提高运算效率。

《有理数及其运算》一、有理数的基本概念1、负数：在正数前面加上“–”号的数叫做负数注：0既不是正数，也不是负数。

2、有理数的分类：3、有理数：整数和分数统称为有理数4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

注：①、数轴上，两个点表示的数，右边的总比左边的大。

②、正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。

③、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

5、相反数：只有符号不同的两个数，称一个为另一个的相反数，注：①、a 的相反数是-a.②、0的相反数是0.（相反数等于本身的数）③、如果a 与b 互为相反数，那么a+b=0.6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

注：①、a 的倒数是1a（其中0a ≠） ②、0没有倒数 ③、若a 与b 互为倒数，则ab=1 ④、倒数等于本身的数有：1和-17、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值。

注：①、a 的绝对值是|a|②、正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 ③、对任何有理数a ，总有│a │≥0.④、绝对值等于本身的数有：正数和08、有理数的大小比较：总则：在数轴上，右边的数总是大于左边的数①、正数都大于零，负数都小于零， 正数大于一切负数；②、两个负数，绝对值大的反而小．即：0 , b 0a << ，且 ,a b > 则a b < 。

有理数 整数 0 分数 正整数 负整数正分数 负分数 有理数 正数 零 负数正整数： 正分数： 负整数 负分数二、有理数的运算1、加法运算法则：①、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②、异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用大的绝对值减去小的绝对值； ③、互为相反数两数相加等于0； ④、一个数同0相加仍得这个数。

2、减法运算法则：减去一个数等于加上它的相反数。

即：(b)a b a -=+-利用减法法则时要注意“两变”：即减号变为加号，同时减数变为它的相反数。

有理数及其运算
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。

有理数可以用分数形式表示为p/q，其中p和q都是整数，且q不等于0。

有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面是有理数的四则运算规则：
1. 加法：将两个有理数的分子相加，分母保持不变。

例如：a/b + c/d = (ad + bc)/bd
2. 减法：将两个有理数的分子相减，分母保持不变。

例如：a/b - c/d = (ad - bc)/bd
3. 乘法：将两个有理数的分子相乘，分母相乘。

例如：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
4. 除法：将第一个有理数的分子乘以第二个有理数的分母，分母乘以第二个有理数的分子。

例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
在进行有理数运算时，有时需要进行分数的约分和通分。

约分是将分子和分母的公因子约去，使分数最简形式。

通分是将两个分数的分母化为相同的公分母，以便进行加法和减法运算。

此外，有理数的比较大小也是常见的运算。

对于两个有理数a/b和c/d，可以比较它们的大小关系：
- 如果ad > bc，则a/b > c/d；
- 如果ad < bc，则a/b < c/d；
- 如果ad = bc，则a/b = c/d。

有理数的运算符合运算律和分配律，可以利用这些性质进行计算和简化。

有理数的运算在数学和实际生活中都具有广泛的应用，例如在金融、物流、测量等领域。

有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。

它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。

从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。

有理数的定义是非常明确的。

一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。

比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。

而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。

在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。

还需掌握它们的性质和运算。

有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。

在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。

有理数自身具备几个重要的性质。

有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。

例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。

这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。

在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。

加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。

对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。

而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。

乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。

值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。

运算过程中的简化同样重要。

比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。

1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。

类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。

当面对负数时，计算的过程同样适用。

有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。

有理数及其运算知识点总结
1. 有理数是可以表达为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及可以用分数表示的数。

2. 有理数的加法和减法运算：
- 相同符号的有理数相加减，绝对值相加减，结果带相同符号。

- 不同符号的有理数相加减，绝对值相减，结果带绝对值大的符号。

3. 有理数的乘法和除法运算：
- 相同符号的有理数相乘、相除，结果为正数。

- 不同符号的有理数相乘、相除，结果为负数。

4. 有理数的乘法：
- 非零有理数相乘，绝对值相乘，符号由乘法规则决定。

- 0乘以任何数等于0。

5. 有理数的除法：
- 非零有理数相除，绝对值相除，符号由除法规则决定。

- 0不能作为除数。

6. 有理数的乘方：
- 正数的乘方：底数不变，指数相乘。

- 零的非负整数次幂为0，零的负整数次幂没有定义。

- 1的任何整数次幂仍为1。

- 负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数。

7. 有理数的相反数是指与其绝对值相等，但符号相反的数。

8. 有理数的倒数是指其倒数等于它的分子和分母互换位置后的比值。

9. 有理数的绝对值是指其去掉符号的值。

10. 有理数的大小比较：
- 两个有理数绝对值相等，但符号相反时，负数较大。

- 两个正数比较大小，绝对值大的数较大。

- 两个负数比较大小，绝对值小的数较大。

这些是有理数及其运算的基本知识点总结，能够帮助理解有理数的概念和规则。