第二章 有理数及其运算(一)

第二章《有理数及其运算》专项练习专题一：正数和负数1、下列各数中，大于－21小于21的负数是（ ） A.－32B.－31C.31D.02、负数是指（ ）A.把某个数的前边加上“－”号B.不大于0的数C.除去正数的其他数D.小于0的数 3、关于零的叙述错误的是（ ）A.零大于所有的负数B.零小于所有的正数C.零是整数D.零既是正数，也是负数 4、非负数是（ ）A.正数B.零C.正数和零D.自然数5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ）A.文具店B.玩具店C.文具店西40米处D.玩具店西60米处 6、大于－5.1的所有负整数为_____.7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____. 8、请写出3个大于－1的负分数_____.9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____.10、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么？专题二：数轴与相反数1、下面正确的是（ ）A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线B.离原点近的点所对应的有理数较小C.数轴可以表示任意有理数D.原点在数轴的正中间 2、关于相反数的叙述错误的是（ ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零3、若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定 4、在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是_____. 5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_____.6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____.7、数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为_____. 8、数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____. 9、在等式3215⨯-⨯=的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。

专题02第二章有理数及其运算【专题过关】类型一、相反数、倒数、绝对值-2023【融会贯通】类型二、最小、大的数，比较大小【解惑】下列各数中，最大的是（ ）【融会贯通】1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式，值最大的是（ ）A ．()12--B ．()12+-C ．()12´-D ．()12¸-【答案】A【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则求解得出结果，再比较大小即可得出答案．【详解】解：A ．()12123--=+=；B 、()121+-=-；C ．()122´-=-；类型三、“0”的意义【解惑】下列结论中正确的是（ ）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【分析】首先知道0这个实数的相关知识，根据0既不是正数，也不是负数作判断即可求解．【详解】解：根据0既不是正数，也不是负数，可以判断A、B、C都错误，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查0这个实数的知识点，解题关键熟练掌握①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界．【融会贯通】1.（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）关于“0”的说法，正确的是（）A．是整数，也是正数B．是整数，但不是正数C．不是整数，是正数D．是整数，但不是有理数【答案】B【分析】根据0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数，据此对各选项逐一判断即可．【详解】解：A．0是整数，不是正数，则A选项错误，故A选项不符合题意；B．0是整数，不是正数，则B选项正确，故B选项符合题意；C．0是整数，不是正数，则C选项错误，故C选项不符合题意；D．0是整数，也是有理数，则D选项错误，故D选项不符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了有理数的概念，0的特殊规定：0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数．熟练记忆是解决本题的关键．2．（2023秋·黑龙江绥化·六年级统考期末）下列说法正确的是（）A．0乘以任何数都等于任何数B．0可以做分母C．0没有倒数D．0不是整数【答案】C【分析】逐个判断各个选项，即可得出结论．【详解】解：A、0乘以任何数都等于0，故A不正确，不符合题意；B、0不可以做分母，故B不正确，不符合题意；C、0没有倒数，故C正确，符合题意；D、0是整数，故D不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了0在计算中的性质，解题的关键是掌握：0乘以任何数都等于0；0不可以做分母；0没有倒数；0是整数．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）A．0既是正数又是负数B．0是最小的正数C．0既不是正数也不是负数D．0是最大的负数【答案】C【分析】根据有理数的分类判断即可．【详解】∵0既不是正数也不是负数，故选C．【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法不正确的是（）A．0是自然数B．0是整数C．0表示没有D．0既不是正数也不是负数【答案】C【分析】根据有理数的基本定义判断即可．【详解】解：0是自然数，也是整数，它既不是正数也不是负数，0不仅可表示没有，也可以表示有，例如温度为0℃，不代表没有温度，故选：C．【点睛】本题考查有理数0的理解，熟记基本定义是解题关键．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）下面关于0的说法：（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．其中正确说法的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果．【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；（3）0既不是正数也不是负数，正确；（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；（5）0是最小的自然数，正确；（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；则正确的说法有3个．故选：D．【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键．类型四、用数轴上的点表示有理数【解惑】已知：A、B、C都在同一条数轴上，点A表示3-，B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，【融会贯通】【答案】见解析，1 41510.3 --<-<-<<由图可知：1 41510.32 --<-<-<<．【点睛】本题考查用数轴表示数，以及用数轴比较有理数的大小．正确的在数轴上表示各数，是解题的关类型五、有理数的加减法运算【解惑】计算：【融会贯通】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算题(1)()()43772743+-++-；(2)()()()340328-++-+-；(3)()()()72372217------；(4)()()237636105-----．【答案】(1)50-；(2)3-；(3)30-；(4)168．【分析】（1）根据有理数的加法运算法则，加上一个负数等于减去它的相反数，按式子给出的数字运算即可得到答案；（2）根据有理数的加法运算法则，按式子给出的数字运算即可得到答案；（3）根据有理数的减法运算法则，减去一个非零的数等于加上它的相反数，按式子给出的数字运算即可得到答案；（4）根据有理数的减法运算法则，按式子给出的数字运算即可得到答案．类型六、有理数的乘除法运算【解惑】计算题：【融会贯通】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：类型七、有理数的乘方混合运算【解惑】计算：【融会贯通】类型八、科学记数法【解惑】国家统计局1月17日发布数据显示，2022年末全国人口（包括31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口，不包括居住在31个省、自治区、直辖市的港澳台居民和外籍人员）141175万人，比上年末减少85万人．数据“141175万人”用科学记数法表示为（ ）A ．51.4117510´人B ．【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为变成a 时，小数点移动了多少位，【融会贯通】1．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加127%，数据2520000用科学记数法可以表示为（ ）A ．52.5210´B ．62.5210´C ．525.210´D ．425.210´【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中1||10a £<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：62520000 2.5210=´．故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为10n a ´，其中1||10a £<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．2．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实现地区生产总值约63910000万元，数据63910000用科学记数法表示为（ ）A ．86.39110´B ．763.9110´C ．76.39110´D ．80.639110´类型九、正负数的实际应用【解惑】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．￿某天自A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：10-，3-，4+，7+，8-，13+，2-，12-，8+，5+．【融会贯通】(2)若9月30日的游客人数为3万人，求这7天每天平均人数是多少万人？【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差1.8万人(2)这7天平均人数4.9万人【分析】（1）求出10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况，即可得出结果；（2）用总人数除以总天数，进行求解即可．【详解】（1）10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：+（万人），1日： 1.7+=（万人），2日：1.70.6 2.3+=（万人），3日：2.30.3 2.64日：2.60.3 2.3-=（万人），-=（万人），5日：2.30.6 1.76日：1.70.2 1.9+=（万人），-=（万人），7日：1.9 1.10.8-=（万人）．所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差 2.60.8 1.8（2）这七天的游客人数分别为：+=（万人），1日：3 1.7 4.7+=（万人），2日：4.70.6 5.3+=（万人），3日：5.30.3 5.64日：5.60.3 5.3-=（万人），5日：5.30.6 4.7-=（万人），6日：4.70.2 4.9+=（万人），-=（万人），7日：4.9 1.1 3.8++++++=（万人），总人数：4.7 5.3 5.6 5.3 4.7 4.9 3.834.3¸=（万人）．7天平均人数：34.37 4.9答：这7天平均人数：4.9（万人）．【点睛】本题考查有理数加法的实际应用．掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．5．（2022秋·陕西宝鸡·七年级校考期中）某邮局检修队在东西走向的公路检修线路，规定向东为正，向西为负，某天自A点出发到收工时所走路程为（单位：千米）：类型十、算“24”点【解惑】将2，5，10，11这四个数（每个数必须用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使运算结果等于24．【融会贯通】（f ）请将演算步骤写仔细，对1个算式得5分，写对2个得7分，写对3个得9分，写对4个或以上得10分．【答案】见解析【分析】根据要求写出式子，然后写出计算过程即可．【详解】解：（1）6230.5430.5120.524-´¸=´¸=¸=（）（）；（2）3260.5860.524´´=´´=；（3）60.5323238324´´=´=´=；（4）()()60.52360.5236424´´+=´´+=´=；（5）2630.53630.524¸¸=¸¸=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确列出式子是关键．3．（2023春·上海·六年级专题练习）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．(1)计算：1269+--；(2)若126¸´□96=-，请推算□内的符号；(3)将1，2，6，9这4个数字进行+，-，×，÷混合运算，每个数字只能用一次，使结果为24，写出一个运算式子．【答案】(1)12-(2)-(3)()629124¸´-=（答案不唯一）【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）根据有理数运算法则列式计算即可．【详解】（1）解：1269+--369=--39=--12=-；（2）解：126¸´Q □96=-，(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是∴()34106´+-，()10634´--¸+éùëû，()63104--´+-éùëû三种不同方法的运算式子满足要求；（2）∵()()[]135********-´-+¸=+¸=éùëû，∴()()13573-´-+¸éùëû满足要求；（3）∵()6245622024--´-=-+=，∴()6245--´-满足要求．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，读懂规则，找到正确的算式是解题的关键．。

七年级上册第二章《有理数及其运算》第四节：有理数的加法（一）一、备课标（一）内容标准：课标要求：理解有理数的加法运算律，能运用运算律简化运算。

能运用有理数的加法运算解决简单的问题（二）十大核心概念：本节课初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，探索具体问题中的数量关系并能根据数量关系进行有理数加法运算，加深学生对运算本身意义的理解。

发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。

十大核心概念在本节课中突出培养的是符号意识数感运算能力二、备重点、难点（一）教材分析：本节课是七年级上册第二章《有理数及其运算》第四节第一课时的内容。

本节对于有理数的运算，首先在于运算的意义的理解，即首先要回答为什么要进行运算。

为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身意义的理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。

教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务：探索有理数的加法运算法则，进行有理数的加法运算。

（二）教学重点、难点内容：重点：有理数加法法则的探索过程，利用有理数的加法法则进行计算难点：探索异号两数相加的法则三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的，不同的是有理数运算多了一个符号问题。

符号法则是有理数运算法则的重要组成部分，也是学生学习本章知识和今后学习其他与计算有关的内容时容易出错的知识点之一。

（2）支持性条件：教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务，本节课渗透探索、归纳等思想方法。

数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定数学交流的能力。

2.起点能力分析：学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，而七年级的学生，对异号两数相加从未接触过，与小学加法比较，思维强度增大。

第二章有理数及其运算专题一：有理数1．下列各数中，大于－21小于21的负数是（ B ） A.－32B.－31C.31D.02．大于－5.1的所有负整数为___－1，－2，－3，－4，－5；__.3．珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为__－155米__.专题二：数轴与相反数1．关于相反数的叙述错误的是（ C ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零2．若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ B ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定3．在数轴上距离原点为2的点所对应的数为__±2___，它们互为__相反数___. 4．数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为__ ABC __. 5．写出大于－4.1小于2.5的所有整数，并把它们在数轴上表示出来..－4，－3，－2，－1，0，1，26．下图是一个长方体纸盒的展开图，请把－5,3,5,－1,－3,1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数.专题三：绝对值1．若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ B ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数2．下列说法正确的是（ C ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 3．下列结论正确的是（ B ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |4．绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为__－7，－6，－5，－4，－3___.5．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于本身，请你猜一猜|a-b|= 1专题四：有理数的加减法1．有理数a ,b 在数轴上对应位置如图所示，则a +b 的值为（ B ）A.大于0B.小于0C.等于0D.大于a 2．下列结论不正确的是（ D ）A.若a >0,b >0,则a +b >0B.若a <0,b <0,则a +b <0C.若a >0,b <0,则|a |>|b |,则a +b >0D.若a <0,b >0,且|a |>|b |,则a +b >03．－21与32的相反数的绝对值之和是___61___. 4．已知a 、b 互为相反数，c 是绝对值最小的数，d 是负整数中最大的数，则a +b +c －d =___1__. 5．若|2x －3|+|3y +2|=0，则x －y =___613__. 6．计算： （1）－31+41－65+73 （2）－341－(－265)+352－8441601797．已知a =2，b =－3，c =－1，计算|a －b |+|b －c －a |+|3b －4c |.148．10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,－7.5,－3,5,－8,3.5,4.5,8,－1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？解：2+3+(－7.5)+(－3)+5+(－8)+3.5+4.5+8+(－1.5)=2+3－7.5－3+5－8+3.5+4.5+8－1.5=2+5+3.5+4.5+3－3－8+8－7.5－1.5=6，因此，10名学生的总体重为：50×10+6=506(千克)，10名学生的平均体重为：506÷10=50.6(千克)专题五：有理数的乘除法1．若mn >0,则m ,n （ C ）A.都为正B.都为负C.同号D.异号2．如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ C ）A.两个互为相反数的数B.符号不同的两个数C.不为零的两个互为相反数的数D.不是正数的两个数3．如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ B ）A.正数B.负数C.非正D.非负4．下列运算错误的是（ A ）A.31÷(－3)=3×(－3) B.－5÷(－21)=－5×(－2) C.8－(－2)=8+2D.0÷3=05．计算：(1)121×75－(－75)×221+(－21)×75 (2)492524×(－5) 52－24954.（3）［432×(－145)+(－0.4)÷(－254)］×1511专题六：有理数的乘方1．如果a 2=a ,那么a 的值为（ C ）A.1B.0C.1或0D.－1 2．一个数的平方等于16，则这个数是（ C ）A.+4B.－4C.±4D.±8 3．a 为有理数，则下列说法正确的是（ C ）A.a 2>0B.a 2－1>0C.a 2+1>0D.a 3+1>0 4．下列式子中，正确的是（ C ）A.－102=(－10)×(－10)B.32=3×2C.(－21)3=－21×21×21D.23=325．（－2）3的底数是____－2___，结果是___－8____；－32的底数是___3____，结果是___－9____.6．n 为正整数，则（－1）2n =___1____,(－1) 2n +1=___－1____.7．一个数的平方等于这个数本身，则这个数为___0或1____；一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是____±1或0__.专题七：有理数的混合运算1．下列各数中与（－2－3）5相等的是（ B ）A.55B.－55C.（－2）5+（－3）5D.（－2）5－35 2．某数的平方是41，则这个数的立方是（ C ）A.81 B.－81 C.81或－81 D.+8或－83．下列语句中，错误的是（ C ）A.a 的相反数是－aB.a 的绝对值是|a |C.(－1)99=－99D.－(－22)=44．计算：(－3)2÷51×0－45=___－45____. 5．计算题（1）－7×6×(－2) （2）(－20)×(－1)7－0÷(－4)84 20（3）(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］ （4）23－32－(－4)×(－9)×0－7 －16．当x =－1,y =－2,z =1时，求(x +y )2－(y +z )2－(z +x )2的值.87．计算：(1)－33×(－5)+16÷(－2)3－｜－4×5｜+(85－0.625)2 113(2)(－1)－(－521)×114+(－8)÷［(－3)+5］ (4)25×43－(－25)×21+25×41 －3 2758（单位：元）23×500+［（+1.5)×1000+(－3)×1000］－［(－2)×500］= =请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元？=8×500+［－1.5×1000］－(－1000)=4000－1500+1000=3500(元) 赚了 ， 赚了3500元.。

1减5学习工作室 有理数及其运算回顾与思考一：基本概念1.三个重要的定义：（1）正数：______的数叫做正数；（2）负数：______的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数 注意：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数2．有理数的分类整数和分数统称为有理数按定义分：0,⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数,整数负整数,有理数正分数,分数负分数; 按性质符号分：0,⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数,正有理数正分数,有理数负整数,负有理数负分数. 3．有理数中的“三重锤”（1）数轴 数轴的三要素： _____注意：①有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数_______（2）相反数：如果两个数只有________不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数，0的相反数是0注意： ①除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的，通常用a 与-a 表示一对相反数②若a 与b 互为相反数，则a b +=0③在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等互为相反数的两个数的绝对值相等，即-=a a ④若a b =，则a b =，或a b =-（a 与b 互为相反数） （3）绝对值： ①绝对值的几何意义：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离。

因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即a ≥0②绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是 ，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数，可用字母a 表示如下：(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩③利用绝对值比较大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而 .二：基本运算1．运算法则（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取_____的符号，并把绝对值______；异号两数相加，取 的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 ；一个数同0相加， . （2）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的 . 有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.（3）有理数的乘法法则：两个有理数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；任何数与0相乘都得0. 倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab ＝1，那么a 和b 互为倒数（4）有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的 ，0除以任何一个不等于0的数都等于0. 除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相除， 注意:0不能做除数（5）有理数的乘方①定义：求几个相同因数a 的积的运算叫做乘方，，乘方的结果叫做 .②性质：正数的任何次方都是 ，负数的偶数次方是 ，负数的奇数次方是 .（6）有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。

第二章有理数及其运算（压轴题专练）一．选择题（共6小题）1．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ）米．A．B．C．D．2．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（ ）A．﹣3B．5C．6D．73．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母a b c d e f g h i j k l m序号0123456789101112字母n o p q r s t u v w x y z序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc4．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）A．B．99!C．9900D．2！5．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示A×B＝（ ）A．6E B．72C．5F D．B06．点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且ab＜0，a+b＞0，a+c＞b+c，那么表示数b的点为（ ）A．点M B．点N C．点P D．无法确定二．填空题（共9小题）7．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位．8．已知+＝0，则的值为 ．9．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 ．10．已知|x|＝4，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值等于 ．11．观察下面的几个算式：1+2+1＝4，1+2+3+2+1＝9，1+2+3+4+3+2+1＝16，1+2+3+4+5+4+3+2+1＝25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝ ．12．若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是 ．13．一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，则运动1小时时这只昆虫与A 点相距 米．14．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是　．15．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝ ．三．解答题（共17小题）16．某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？17．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求的值．18．某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣4，﹣8，+1，0，+10；（1）这10名同学中的最高分是多少？最低分是多少？（2）10名同学中，低于80分的占的百分比是多少？（3）10名同学的平均成绩是多少？19．若“*”是一种新的运算符号，并且规定a*b＝．例如：3*5＝，求[2*（﹣2）]*（﹣3）的值．20．自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆；（3）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？21．2015年国庆节日，学校放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于西南的珠江源头风景区，在9月30日的游客人数为1000人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（人）+31+178﹣58﹣8﹣1﹣16﹣115（1）10月3日的人数为 人．（2）假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 人．游客人数最少的是10月 日，达到 人．（3）请问珠江源头风景区在这八天内一共接待了多少游客？22．已知：|a﹣2|+（b+1）2＝0，求2ab2﹣a2b的值．23．如图所示，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题；（1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？（2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？（3）若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号，使得结果为24，请写出运算式．（只需写出1种）24．观察下列各式，回答问题1﹣＝×，1﹣＝×，1﹣＝×…．按上述规律填空：（1）1﹣＝ × ．（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝ ．25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．26．2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.5km+4.5km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.4km﹣1.4km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？27．已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且AM＝BM，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m．（1）当a＝﹣1，b＝3时，直接写出m的值；（2）当m＝2时，计算a+b的值；（3）若b＝6，BM＝2OM，求a的值．28．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：（1）当a＝5时，求的值．（2）当a＝﹣2时，求的值．（3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求+的值．（3）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求+++的值．29．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时．（1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）30．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．31．点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．（1）求x、y的值．（2）数轴上有一点M，使得|AM|+|BM|＝|AB|，求点M所对应的数．（3）点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，直接写出|PA|+|PB|的最小值是 ；|PD|﹣|PO|的最小值是 ；|PA|+|PB|+|PD|﹣|PO|取最小时，点P对应的数a的取值范围是 ．32．姗姗在学习绝对值的时候发现：|2﹣1|可表示数轴上表示3和表示1的两点间的距离；而|2+1|即|2﹣（﹣1）|则数轴上表示2和表示﹣1的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将|x﹣3|看成数轴上表示x与表示3这的两点在数轴上的距离；那么|x+4|可看成表示x的点与表示﹣4的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：x取不同的值时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，请你借助数轴解决下列问题（1）当|x﹣3|+|x+4|＝7时，x的最小整数解是 ；（2）若A＝|x+2|+|x﹣7|，那么A的最小值是 ；（3）若B＝|x+5|+|x|+|x+2|，那么B的最小值是 ，此时x为　；（4）|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|+|x+5|的最小值是 ，此时x的取值范围是 ；（5）|x﹣10|+|x﹣9|+|x﹣8|+…+|x﹣1|+|x|+|x+1|+…+|x+8|+|x+9|+|x+10|的最小值是 ．。