三角形旋转全等常见模型
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全等三角形的基本模型一、平移模型常见的平移模型:例1:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,点E在边AB上,点F在AB的延长线上,且AE =BF.求证:∠ADE=∠BCF.例2:如图,AB∥DE,AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF.二、轴对称模型常见的轴对称类型:例3:如图3-ZT-5,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A.AC=BDB.∠CAB=∠DBAC.∠C=∠DD.BC=AD例4:如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中有______ 对全等三角形.例5:如图,点D,E分别在AB,AC上,AB=AC,BD=CE.求证:BE=CD.例6:如图3-ZT-8,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF. 试证明下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM.三、旋转模型常见的旋转模型例7:如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证:PC=PD.两个特殊的旋转模型:(一)绕点型:(手拉手模型)(1)自旋转(2)共旋转(典型的手拉手模型)例7:在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。
4) △AGB ≌△DFB 5) △EGB ≌△CFB 6) BH 平分∠AHC 7) GF ∥AC练习:1. 如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。
4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2. △ABD和△ACE均为等腰直角三角形,连接CD,BE交于点O①△ACD ≌△ABE;②∠BOC=90°;③OA平分∠BOC3. 已知:△ABE和△ACD为两个的等腰三角形,∠BAE=∠CAD=∠α,连接EC,BD交于点O①△ABD ≌△AEC;②∠α+∠BOC=180°;③OA平分∠BOC模型应用1. (2010·深圳改编)如图,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)判断△CAD是什么形状的三角形,说明理由.2. 如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,连接CD,BE,CD,BE相交于点O,判断CD与BE的位置关系,并说明理由.(二)半角模型:说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
三角形全等模型题型01倍长中线1如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,则BC边上的中线AD的取值范围是.2如图,五边形ABCDE中,AB=BC=7,AE=ED=8,∠ABC+∠AED=180°,M为边CD的中点,BM=9,EM=10,则五边形ABCDE的面积为=.3(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接CE.①证明△ABD≌△ECD;②若AB=5,AC=3,设AD=x,可得x的取值范围是;(2)如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF.4【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是.A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=BF.题型02一线三等角1如图,AC=AB=BD,∠ABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.162如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,对角线BD⊥CD,若BD=14,则△ABD的面积为.3在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,AD=5,BE=2,求线段DE的长.4已知,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,∠BDA=∠AEC=∠BAC.(1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,BD,CE与DE的数量关系为.(2)如图②,当AB不垂直于AC时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,DE=10cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t与x的值;若不存在,请说明理由.题型03手拉手模型1如图所示,AB=AC,AD=AE,点B、D、E在一条直线上,∠BAC=∠DAE,∠1= 25°,∠2=30°,则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°2如图,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,BF与CE相交于点M.(1)求证:EC=BF;(2)求证:EC⊥BF.3(1)如图1,△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:BD=CE;(2)如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.填空:∠AEB的度数为;线段BE与AD之间的数量关系是.(3)拓展探究如图3,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.题型04半角模型1已知四边形ABCD是正方形,M、N分别是边BC,CD上的动点.(1)如图①,设O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求证:BM=CN,(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD的边长为4cm,求四边形MONC的面积;(3)如图②,若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.2已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;题型05对角互补模型1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于点G,以下五个结论:①∠B=∠C=45°;②AP=EF;③∠AFP和∠AEP互补;④△EPF是等腰直角三角形;⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34,其中正确的结论是()A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④2【问题背景】如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是.【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.【学以致用】如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.3(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,若EF=BE+FD.求证:∠EAF=12∠BAD(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=12∠BAD,试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系,证明你的结论.提优练习1如图,△ABC的面积为1cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于P,则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm22如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC =3,则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53如图,已知△ABC中,BD=AD,F是高AD和BE的交点,FD=4,AF=2,则线段BC的长度为()A.6B.8C.10D.124在△ABC中,AB=5,AC=7,则中线AD的取值范围是()A.1<AD<7B.1<AD<8C.1<AD<6D.2<AD<55如图,△ABC是边长为a的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D 为顶点做一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长是()A.aB.2aC.3aD.不能确定6如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=5,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD= 4,BE=3,则DE=.7如图,AC=AB=BD,∠ABD=90°,BC=6,则△BCD的面积为.8如图,△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,E是AB上一点,且∠BDE=90°,DB= DE=AE,若BC=5,则AD的长是.9如图,△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,CD⊥AD,AC-AB=5,若S△BDC的最大值为30,则BC长为 .10如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°.P是BC边上一点,CP=CA,连接AP,以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ.若AB=5,则点Q到边AB的距离为.11如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD,把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE,作DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,若AB=5,EN=2,则DM=.12如图,∠BAC=90°,AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.(1)求证:△ABE≌△CAF;(2)若CF=5,BE=2,求EF的长.13(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的度数为;②线段AD,BE之间的数量关系为.(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.14在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;AB交直线AC于点F,当点F在边AC的延长线上时,如图①易证AF+EF=AB;当点F在边AC上,如图②;当点F在边AC的延长线上,AD是△ABC的外角平分线时,如图③.写出AF、EF与AB的数量关系,并对图②进行证明.16在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合),以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE,且AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE=度.(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.①点D是在线段BC上移动时,如图2,则α、β之间有怎样的数量关系?试说明理由.②点D是在射线CB上移动时,则α、β之间有怎样的数量关系?试直接写出结论.17如图,已知△ABC中,AB=AC,点D,E分别为AB,AC上的点,BE=CD.(1)△ABD与△ACE全等吗?为什么?(2)连接AF,DE,求证:AF垂直平分DE.18如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;拓展延伸如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;∠EAF=12实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°(即∠AON=30°)的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF=70°,请直接写出两舰艇之间的距离为海里.三角形全等模型题型01倍长中线1如图,在△ABC 中,AB =10,AC =6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是.【分析】延长AD 至E ,使DE =AD ,由SAS 证明△ACD ≌△EBD ,得出BE =AC =6,在△ABE 中,由三角形的三边关系求出AE 的取值范围,即可得出AD 的取值范围;【解答】(1)解:延长AD 至E ,使DE =AD ,连接BE ,如图1所示∵AD 是BC 边上的中线,∴BD =CD ,在△BDE 和△CDA 中,BD =CD ∠BDE =∠CDA DE =AE,∴△BDE ≌△CDA (SAS ),∴BE =AC =6,在△ABE 中,由三角形的三边关系得:AB -BE <AE <AB +BE ,∴10-6<AE <10+6,即4<AE <16,∴2<AD <8;故答案为2<AD <8.【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质,通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键.2如图,五边形ABCDE 中,AB =BC =7,AE =ED =8,∠ABC+∠AED =180°,M 为边CD 的中点,BM =9,EM =10,则五边形ABCDE 的面积为=.【分析】延长BM 到F ,使FM =BM ,连接DF 、EF 、BE ,易证△BCM ≌△FDM ,△ABE ≌△DFE ,根据全等三角形的对应边相等,可得△BEF 是等腰三角形,五边形的面积转化成了三角形的面积,利用三角形的面积公式求解即可.【解答】解:如图,延长BM 到F ,使FM =BM ,连接DF 、EF 、BE ,在△BMC 和△FMD 中,BM =FM ∠BMC =∠FMD CM =DM,∴△BMC ≌△FMD 中(SAS ),∴BM =FM ,BC =FD =AB ,∠C =∠FDM ,∵∠A +∠ABC +∠C +∠CDE +∠AED =(5-2)×180°=540°,∵∠ABC +∠AED =180°,∴∠A +∠C +∠CDE =360°,∵∠CDE +∠CDF +∠EDF =360°,∴∠A =∠EDF ,在△ABE 和△DFE 中,AB =DF ∠A =∠EDF AE =DE,∴△ABE ≌△DFE (SAS ),∴BE =EF ,∵BM =FM ,∴EM ⊥BF ,∴S 五边形ABCDE=S △ABE +S △BCM +S 四边形BMDE=S △BEF=12BF •EM =12×9×2×10=90.故答案为:90.【点评】本题考查了多边形的内角和,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键.3(1)如图1,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点E ,使ED=AD ,连接CE .①证明△ABD ≌△ECD ;②若AB =5,AC =3,设AD =x ,可得x 的取值范围是;(2)如图2,在△ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE ⊥DF ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF ,求证:BE +CF >EF.【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD =CD ,再由对顶角相等得出∠ADB =∠CDE ,即可得出结论;②先由△ABD ≌△ECD ,得出CE =5,再由ED =AD ,得出AE =2AD =2x ,最后用三角形的三边关系,即可求出答案;(2)先根据SAS 判断出△DEF ≌△DEH ,得出EH =EF ,再根据SAS 判断出△BDH ≌△CDF ,得出CF =BH ,即可求出答案.【解答】(1)①证明:∵AD 是△ABC 的中线,∴BD =CD ,在△ADB 和△ECD 中,BD =CD ∠ADB =∠CDE (对顶角相等)AD =DE,∴△ABD ≌△ECD (SAS );②解:由①知,△ABD ≌△ECD ,∴CE =AB ,∵AB =5,∴CE =5,∵ED =AD ,AD =x ,∴AE =2AD =2x ,在△ACE 中,AC =3,根据三角形的三边关系得,5-3<2x <5+3,∴1<x <4,故答案为:1<x <4;(2)证明:如图2,延长FD,截取DH=DF,连接BH,EH,∵DH=DF,DE⊥DF,即∠EDF=∠EDH=90°,DE=DE,∴△DEF≌△DEH(SAS),∴EH=EF,∵AD是中线,∴BD=CD,∵DH=DF,∠BDH=∠CDF,∴△BDH≌△CDF(SAS),∴CF=BH,∵BE+BH>EH,∴BE+CF>EF.【点评】此题是三角形综合题,主要考查了三角形中线的定义,全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系,用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键.4【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是.A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于F ,且AE =EF .求证:AC =BF .【分析】(1)根据AD =DE ,∠ADC =∠BDE ,BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可;(2)根据全等得出BE =AC =6,AE =2AD ,由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6,求出即可;(3)延长AD 到M ,使AD =DM ,连接BM ,根据SAS 证△ADC ≌△MDB ,推出BM =AC ,∠CAD =∠M ,根据AE =EF ,推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ,求出∠BFD =∠M ,根据等腰三角形的性质求出即可.【解答】(1)解:∵在△ADC 和△EDB 中, AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD,∴△ADC ≌△EDB (SAS ),故选B ;(2)解:∵由(1)知:△ADC ≌△EDB ,∴BE =AC =6,AE =2AD ,∵在△ABE 中,AB =8,由三角形三边关系定理得:8-6<2AD <8+6,∴1<AD <7,故选C .(3)证明:延长AD 到M ,使AD =DM ,连接BM ,∵AD 是△ABC 中线,∴CD =BD ,∵在△ADC 和△MDB 中,DC =DB ∠ADC =∠MDB DA =DM∴△ADC ≌△MDB ,∴BM =AC ,∠CAD =∠M ,∵AE =EF ,∴∠CAD =∠AFE,∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.【点评】本题考查了三角形的中线,三角形的三边关系定理,等腰三角形性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生运用定理进行推理的能力.题型02一线三等角1如图,AC=AB=BD,∠ABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.16【分析】由等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,即可求解.【解答】解:作AE⊥BC于E,DF⊥CB交CB延长线于F,∵AB=AC,∴BE=CE=4,∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°,∴∠EAB=∠DBF,∵∠AEB=∠BFD=90°,AB=DB,∴△AEB≌△BFD(AAS),∴DF=BE=4,∴S△DCB=1CB•DF,2×8×4=16,∴S△DCB=12故选:D.【点评】本题考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,关键是作辅助线构造全等三角形.2如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,对角线BD⊥CD,若BD=14,则△ABD的面积为.【分析】过点A 作AE ⊥BD ,垂足为E ,根据垂直定义可得∠AEB =∠CDB =90°,从而可得∠BAE +∠ABE =90°,再利用同角的余角相等可得∠BAE =∠DBC ,然后利用AAS 证明△ABE ≌△BCD ,从而利用全等三角形的性质可得AE =BD =14,最后利用三角形的面积公式进行计算,即可解答.【解答】解:过点A 作AE ⊥BD ,垂足为E ,∵AE ⊥BD ,CD ⊥BD ,∴∠AEB =∠CDB =90°,∴∠BAE +∠ABE =90°,∵∠ABC =90°,∴∠ABD +∠DBC =90°,∴∠BAE =∠DBC ,∵AB =BC ,∴△ABE ≌△BCD (AAS ),∴AE =BD =14,∴△ABD 的面积=12BD •AE =12×14×14=98,故答案为:98.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.3在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证:①△ADC ≌△CEB ;②DE =AD +BE ;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,AD =5,BE =2,求线段DE 的长.【分析】(1)①由已知推出∠ADC =∠BEC =90°,因为∠ACD +∠BCE =90°,∠DAC +∠ACD =90°,推出∠DAC =∠BCE ,根据AAS 即可得到答案;②由①得到AD =CE ,CD =BE ,即可求出答案;(2)与(1)证法类似可证出∠ACD =∠EBC ,能推出△ADC ≌△CEB ,得到AD =CE ,CD =BE ,代入已知即可得到答案.【解答】(1)①证明:∵AD ⊥DE ,BE ⊥DE ,∴∠ADC =∠BEC =90°,∵∠ACB =90°,∴∠ACD +∠BCE =90°,∠DAC +∠ACD =90°,∴∠DAC =∠BCE ,在△ADC 和△CEB 中,∠CDA =∠BEC ∠DAC =∠ECB AC =BC,∴△ADC ≌△CEB (AAS );②证明:由(1)知:△ADC ≌△CEB ,∴AD =CE ,CD =BE ,∵DC +CE =DE ,∴AD +BE =DE ;(2)证明:∵BE ⊥EC ,AD ⊥CE ,∴∠ADC =∠BEC =90°,∴∠EBC +∠ECB =90°,∵∠ACB =90°,∴∠ECB +∠ACE =90°,∴∠ACD =∠EBC ,在△ADC 和△CEB 中,∠ACD =∠BEC ∠ADC =∠BEC AC =BC,∴△ADC ≌△CEB (AAS ),∴AD =CE ,CD =BE ,∴DE =EC -CD =AD -BE =5-2=3.【点评】本题主要考查了邻补角的意义,全等三角形的性质和判定等知识点,能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键,题型较好,综合性比较强.4已知,在△ABC 中,AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上,∠BDA =∠AEC =∠BAC .(1)如图①,若AB ⊥AC ,则BD 与AE 的数量关系为,BD ,CE 与DE 的数量关系为.(2)如图②,当AB 不垂直于AC 时,(1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图③,若只保持∠BDA =∠AEC ,BD =EF =7cm ,DE =10cm ,点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动,同时,点C 在线段EF 上以x cm/s 的速度由点E 向点F 运动,它们运动的时间为t (s ).是否存在x ,使得△ABD 与△EAC 全等?若存在,求出相应的t 与x 的值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE =∠ABD ,再由AAS 证明△ABD ≌△CAE ,得BD =AE ,CE =AD ,即可解决问题;(2)同(1)得△ABD ≌△CAE (AAS ),得BD =AE ,CE =AD ,即可得出结论;(3)分△DAB ≌△ECA 或△DAB ≌△EAC 两种情形,分别根据全等三角形的性质求出t 的值,即可解决问题.【解答】解:(1)∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ,∠BAD +∠CAE +∠BAC =∠BAD +∠ABD +∠BDA =180°,∴∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD ,∴∠CAE =∠ABD ,∵∠BDA=∠AEC,AB=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∵AE+AD=DE,∴BD+CE=DE,故答案为:BD=AE,BD+CE=DE;(2)成立,BD=AE,BD+CE=DE,理由如下:同(1)得:△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∵AE+AD=DE,∴BD+CE=DE;(3)存在,理由如下:当△DAB≌△ECA时,AD=CE,BD=AE=7cm,∵AD+AE=DE=10cm,∴CE=AD=DE-AE=3cm,∴t=AD2=32,∴x=3÷32=2;当△DAB≌△EAC时,∴AD=AE=12DE=5cm,DB=EC=7cm,∴t=AD2=52,x=7÷52=145,综上所述,存在x,使得△ABD与△EAC全等,t=32,x=2或t=52,x=145.【点评】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识,本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.题型03手拉手模型1如图所示,AB=AC,AD=AE,点B、D、E在一条直线上,∠BAC=∠DAE,∠1= 25°,∠2=30°,则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°【分析】求出∠BAD =∠EAC ,证△BAD ≌△EAC ,推出∠2=∠ABD =30°,根据三角形的外角性质求出即可.【解答】解:∵∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ,∴∠1=∠EAC ,在△BAD 和△EAC 中,AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE,∴△BAD ≌△EAC (SAS ),∴∠2=∠ABD =30°,∵∠1=25°,∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°,故选:A .【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的外角性质的应用,解此题的关键是推出△BAD ≌△EAC .2如图,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE =AB ,AF =AC ,BF 与CE 相交于点M .(1)求证:EC =BF ;(2)求证:EC ⊥BF.【分析】(1)利用SAS 说明△ABF ≌△AEC 得结论;(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC =∠ABF ,再利用三角形内角和定理说明∠BMD =90°得结论.【解答】证明:(1)∵AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,∴∠BAE =∠CAF =90°.∴∠BAE +∠BAC =∠CAF +∠BAC ,即∠EAC =∠BAF .在△ABF 和△AEC 中,AB =AE ∠EAC =∠BAF AC =AF,∴△ABF ≌△AEC (SAS ).∴EC =BF .(2)由(1)知:△ABF ≌△AEC ,∴∠AEC =∠ABF .∵AE ⊥AB ,∴∠BAE =90°.∴∠AEC +∠ADE =90°.∵∠ADE =∠BDM ,∴∠ABF +∠BDM =90°.在△BDM 中,∠BMD =180°-∠ABF -∠BDM =180°-90°=90°.∴EC ⊥BF .【点评】本题主要考查了全等三角形,掌握三角形内角和定理,全等三角形的性质和判定是解决本题的关键.3(1)如图1,△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形,BC 、DE 分别是底边,求证:BD =CE ;(2)如图2,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连接BE .填空:∠AEB 的度数为;线段BE 与AD 之间的数量关系是.(3)拓展探究如图3,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE =90°,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.【分析】(1)根据全等三角形的判定方法,判断出△BAD ≌△CAE ,即可判断出BD =CE .(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等边三角形,可得AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∠CDE =∠CED =60°,据此判断出∠ACD =∠BCE ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ACD ≌△BCE ,即可判断出BE =AD ,∠BEC =∠ADC ,进而判断出∠AEB 的度数为60°即可.(3)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,可得AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =90°,据此判断出∠ACD =∠BCE ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ACD ≌△BCE ,即可判断出BE =AD ,∠BEC =∠ADC ,进而判断出∠AEB 的度数为90°即可;最后根据DCE =90°,CD =CE ,CM ⊥DE ,可得CM =DM =EM ,所以DE =DM +EM =2CM ,据此判断出AE =BE +2CM 即可.【解答】(1)证明:∵∠BAC =∠DAE =40°,∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ,即∠BAD =∠CAE ,在△BAD 和△CAE 中,AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE∴△BAD ≌△CAE (SAS ),∴BD =CE .(2)解:∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,∠CDE =∠CED =60°,∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ,即∠ACD =∠BCE ,在△ACD 和△BCE 中,AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴BE =AD ,∠ADC =∠BEC ,∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC =180°-60°=120°,∴∠BEC =120°,∴∠AEB =∠BEC -∠CED =120°-60°=60°,综上,可得∠AEB 的度数为60°;线段BE 与AD 之间的数量关系是:BE =AD .故答案为:60°、BE =AD .(3)解:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∴AC =BC ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =90°,∠CDE =∠CED =45°,∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ,即∠ACD =∠BCE ,在△ACD 和△BCE 中,AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE,∴△ACD ≌△BCE (SAS ),∴BE =AD ,∠BEC =∠ADC ,∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC =180-45=135°,∴∠BEC =135°,∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135-45=90°;∵∠DCE =90°,CD =CE ,CM ⊥DE ,∴CM =DM =EM ,∴DE =DM +EM =2CM ,∴AE =AD +DE =BE +2CM .【点评】(1)此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.(2)此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.题型04半角模型1已知四边形ABCD 是正方形,M 、N 分别是边BC ,CD 上的动点.(1)如图①,设O 是正方形ABCD 对角线的交点,若OM ⊥ON ,求证:BM =CN ,(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD 的边长为4cm ,求四边形MONC 的面积;(3)如图②,若∠MAN =45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半.【分析】(1)由正方形的性质可以得出△BOM ≌△CON ,由全等三角形的性质就可以得出ON =OM ;(2)由全等可以得出S △BOM =S △CNF ,就可以得出S 四边形MONC =S △BOC ,S △BOC 的面积就可以得出结论;(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ,得出△ABE ≌△ADN ,由全等三角形的性质可以得出△ANM ≌△AEM ,进而有MN =ME =MB +BE ,分别表示出C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC .C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC .从而可以得出结论.【解答】解:(1)证明:∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴∠BOC =90°,∠OBC =∠OCD =45°,OB =OC ,AB =BC =DC =AD .∵∠EOF =90°∵∠BOM +∠MOC =90°,∠NOC +∠MOC =90°∴∠BOM =∠CON .在△OBM 和△OCN 中,∠BOM =∠CON OB =OC ∠OBC =∠OCD,△OBM ≌△OCN (ASA ).∴OM =ON ;(2)∵△OBM ≌△OCN ,∴S △OBM =S △OCN .∴S △OBM +S △MOC =S △OCN +S △MOC ,即S △OBC =S 四边形MONC .∵S △OBC =4×4×14=4,∴S 四边形MONC =4;(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ,∴△ABE ≌△ADN ,∴∠4=∠1.AE =AN ,BE =DN .∵∠2=45°,∴∠1+∠3=45°.∵∠4+∠3=∠MAE =45°.∴∠MAE =∠2.在△ANM 和△AEM 中,AN =AE ∠2=∠MAE AM =AM,∴△ANM ≌△AEM (SAS ),∴MN =ME =MB +BE ,∴MN =DN +MB .∵C △MNC =MN +MC +CN ,∴C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC .∵C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC .∴△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半.【点评】本题考查了正方形的性质的运用,三角形的周长和正方形的周长的运用,全等三角形的判定及性质的运用,旋转的性质的运用,解答时证明三角形全等得出OM =ON 是关键.2已知,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N ,AH ⊥MN 于点H .(1)如图①,当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时,请你直接写出AH 与AB 的数量关系:;(2)如图②,当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时,(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;【分析】(1)由SAS证明△ABM≌△ADN,即可得出AH=AB,(2)延长CB至E,使BE=DN,由SAS证明△AEB≌△AND,得出AE=AN,∠EAB=∠NAD,证出∴∠EAM=∠NAM=45°,再由SAS证明△AEM≌△ANM,得到AH=AB即可;(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN 交于点C,得正方形ABCE,设MH=x,则MC=5-x,NC=2,MN=x+3,在Rt△MCN中,由勾股定理得出方程,解得x即可.【解答】解:(1)AH=AB;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BAD=∠D=90°,AB=AD,在△ABM和△ADN中,AB=AD ∠B=∠D BM=DN,∴△ABM≌△ADN(SAS),∴AM=AN,∠BAM=∠DAN,∴△AMN是等腰三角形,又∵AH⊥MN,∴∠AHM=90°,∠HAM=∠HAN,∵∠MAN=45°,∴∠HAM=12×45°=22.5°,∠BAM+∠DAN=45°,∴∠BAM=22.5°=∠HAM,在△ABM和△AHM中,∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90°AM=AM,∴△ABM≌△AHM(AAS),∴AH=AB;故答案为:AH=AB;(2)数量关系成立,AH=AB.理由如下:如图②,延长CB至E,使BE=DN.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,在Rt△AEB和Rt△AND中,AB=AD∠ABE=∠D BE=DN,∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS),∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,∵∠DAN+∠BAM=45°,∴∠EAB+∠BAM=45°,∴∠EAN=45°,∴∠EAM=∠NAM=45°,在△AEM和△ANM中,AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM,∴△AEM≌△ANM(SAS).∴S△AEM=S△ANM,EM=MN,∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质,构造全等三角形是解题的关键.题型05对角互补模型1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于点G,以下五个结论:①∠B=∠C=45°;②AP=EF;③∠AFP和∠AEP互补;④△EPF是等腰直角三角形;⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34,其中正确的结论是()【分析】利用ASA 证明△AEP ≌△CFP ,得PE =PF ,则△EPF 是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断.【解答】解:∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠B =∠C =45°,故①正确;∵点P 为BC 的中点,∠BAC =90°,AB =AC ,∴AP =CP ,∠APC =90°,∠BAP =∠C =45°,∵∠EPF =∠APC ,∴∠APE =∠FPC ,在△AEP 和△CFP 中,∠EAP =∠C AP =PC ∠APE =∠CPF,∴△AEP ≌△CFP (ASA ),∴PE =PF ,∴△EPF 是等腰直角三角形,∴四边形AEPF 的面积为S △AEP +S △AFP =S △CPF +S △APF =S △APC =12S △ABC,故④正确,⑤不正确;∵∠BAC =∠EPF =90°,∴∠AFP 和∠AEP 互补,故③正确;∵PE 不是定长,故②不正确.∴正确的有:①③④,故选:D .【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等知识,证明△AEP ≌△CFP 是解题的关键.2【问题背景】如图1:在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =120°,∠B =∠ADC =90°,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =60°,试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD 到点G ,使DG =BE ,连接AG ,先证明△ABE ≌△ADG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得出结论,他的结论应是.【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是BC ,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.【学以致用】如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.【分析】(1)延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE= AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;(2)延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;(3)延长DC,截取CG=AE,连接BG,根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB,故可得出BE =BG,∠ABE=∠CBG,再由∠EBF=45°,∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°,故∠CBF+∠CBG=45°,由SAS定理可得△EBF≌△GBF,故EF=GF,故△DEF的周长= EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD,由此可得出结论.【解答】(1)解:如图1,在△ABE和△ADG中,∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;故答案为:EF=BE+DF.(2)解:结论EF=BE+DF仍然成立;理由:如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,在△ABE和△ADG中,∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;(3)解:如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,在△AEB与△CGB中,∵AE=CG∠A=∠BCG AB=BC,∴△AEB≌△CGB(SAS),∴BE=BG,∠ABE=∠CBG.∵∠EBF=45°,∠ABC=90°,∴∠CBF+∠CBG=45°.在△EBF与△GBF中,∵BE=BG∠EBF=∠GBF BF=BF,∴△EBF≌△GBF(SAS),∴EF=GF,∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10.【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.3(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,若EF=BE+FD.求证:∠EAF=12∠BAD(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=12∠BAD,试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系,证明你的结论.【分析】(1)延长CB至M,使得BM=DF,根据全等三角形的判定和性质解答即可;(2)通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.【解答】证明:(1)延长CB至M,使得BM=DF,连接AM,∵∠B=∠D=90°,AB=AD,在△ABM与△ADF中BM=DF∠ABM=∠ADF AB=AD,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AM =AF ,∠DAF =∠BAM ,∵EF =BE +DF =BE +BM =ME ,在△AME 与△AFE 中AE =AEEF =ME AM =AF,∴△AME ≌△AFE (SSS ),∴∠MAE =∠EAF ,∴∠BAE +∠DAF =∠EAF ,即∠EAF =12∠BAD ;(2)线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF +DF =BE ,在BE 上截取BM =DF ,连接AM ,∵AB =AD ,∠B +∠ADC =180°,∠ADC +∠ADF =180°,∴∠ABM =∠ADF ,在△ABM 与△ADF 中, BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD,∴△ABM ≌△ADF (SAS ),∴AM =AF ,∠BAM =∠DAF ,∠EAF =12∠BAD ,∴∠EAF =∠EAM ,在△AEM 与△AEF 中, AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE,∴△AEM ≌△AEF (SAS ),∴EM =EF ,即BE -BM =EF ,即BE -DF =EF .【点评】此题考查三角形全等的判定和性质;本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形.提优练习1如图,△ABC 的面积为1cm 2,BP 平分∠ABC ,AP ⊥BP 于P ,则△PBC 的面积为()A.0.4cm 2B.0.5cm 2C.0.6cm 2D.0.7cm 2【分析】证△ABP ≌△EBP ,推出AP =PE ,得出S △ABP =S △EBP ,S △ACP =S △ECP ,推出S △PBC =12S △ABC,代入求出即可.【解答】解:∵BP 平分∠ABC ,∴∠ABP =∠EBP ,∵AP ⊥BP ,∴∠APB =∠EPB =90°,在△ABP 和△EBP中,∠ABP =∠EBP BP =BP ∠APB =∠EPB,∴△ABP ≌△EBP (ASA ),∴AP =PE ,。
第05讲模型构建专题:全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)目录【模型一平移型模型】 (1)【模型二轴对称型模型】 (3)【模型三四边形中构造全等三角形解题】 (5)【模型四一线三等角模型】 (9)【模型五三垂直模型】 (13)【模型六旋转型模型】 (18)【模型七倍长中线模型】 (24)【模型八截长补短模型】 (30)【模型一平移型模型】例题:(2023上·福建福州·八年级统考期末)如图,点B,E,C,F在同一直线上,A D∠=∠,AB DE∥,=.BE CF求证:AB DE=.【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理,解此题的关键是推出△△,注意全等三角形的对应边相等;根据AB DE≌ABC DEF∠=∠,又根据∠A=∠D,BE=CF∥可知B DEF可以判定ABC DEF ≌△△,即可求证AB DE =.【详解】解:∵AB DE ∥,∴B DEF ∠=∠,∵BE CF =,∴BC EF =,∴在ABC 和DEF 中,A DB DEF BCEF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△,∴AB DE =.【变式训练】1.(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图,在ACD 和CEB 中,点A 、B 、C 在一条直线上,D E AD EC AD EC ∠=∠=,∥,.求证:ACD CBE ≌.【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A ECB ∠=∠,再根据全等三角形的判定定理ASA 证明ACD CBE ≌.【详解】AD EC ∥ ,A ECB ∴∠=∠,在ACD 和CEB 中,A ECB AD ECDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,(ASA)ACD CBE ∴△≌△.【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键.2.(2024上·新疆和田·八年级统考期末)如图,点A 、D 、C 、F 在同一条直线上,AD CF =,AB DE =,BC EF =.(1)求证:ABC DEF ≌△△;(2)若65A ∠=︒,82B ∠=︒,求F ∠的度数.【答案】(1)见解析(2)33︒【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理的应用,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.(1)先证明AC DF =,然后根据SSS 证明ABC DEF ≌△△即可;(2)根据全等三角形的性质得出F ACB ∠=∠,进而根据三角形内角和定理即可求解.【详解】(1)证明:AC AD DC =+∵,DF DC CF =+,且AD CF =,AC DF =∴,在ABC 和DEF 中,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,(SSS)ABC DEF ∴△≌△,(2)解:由(1)可知,ABC DEF ≌△△,F ACB ∠=∠∴,65A ∠=︒ ,82B ∠=︒,180()180(6582)33ACB A B ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒,33F ACB ∴∠=∠=︒.【模型二轴对称型模型】例题:(2024上·云南昆明·八年级统考期末)线段AC 、BD 相交于点E ,D A ∠=∠,DE AE =,求证:C B ∠=∠.【答案】证明见解析.【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,根据ASA 可证ABE ≌DCE △,根据全等三角形的性质即可得证.【详解】证明: 在DEC 和AEB △中D A DE AE DEA AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA DEC AEB ∴△≌△,ABE ∴ ≌()ASA DCE ,C B∴∠=∠【变式训练】1.(2023·湖南益阳·统考一模)如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,AB AC =,BD CE =.求证:ACD ABE ≌.【答案】见解析【分析】根据AB AC =,BD CE =推出AD AE =,即可根据SAS 进行求证.【详解】证明:,,,AB AC BD CE AD AB BD AE AC CE ===-=- ,AD AE ∴=.在ABE 和ACD 中,AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()SAS ACD ABE ∴ ≌.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定,解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法有SSS,SAS,AAS,ASA,HL .2.(2024上·山西阳泉·八年级统考期末)如图1是小宁制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB AE =,AC AD =,BAD EAC ∠=∠,40C ∠=︒,求D ∠的度数.【答案】40︒【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,先证明BAC EAD ∠=∠,再证明BAC EAD ≌,即可得到40D C ∠=∠=︒.【详解】解:∵BAD EAC ∠=∠,BAD DAC EAC DAC ∴∠+∠=∠+∠,即BAC EAD ∠=∠.在BAC 与EAD 中,,,,AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAC EAD ∴V V ≌.C D ∴∠=∠.∵40C ∠=︒,40C D =∠=︒∴∠.【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题:如图,在四边形ABCD 中,CB AB ⊥于点B ,CD AD ⊥于点D ,点E ,F 分别在AB ,AD 上,AE AF =,CE CF =.(1)若8AE =,6CD =,求四边形AECF 的面积;(2)猜想∠DAB ,∠ECF ,∠DFC 三者之间的数量关系,并证明你的猜想.AE ⎧⎪∴∠DFC+∠BEC=∠FCA+∠FAC+∠ECA+∠EAC=∠DAB+∠ECF.∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定,三角形的外角的性质,掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.【变式训练】1.在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.(1)试说明:DE=DF:(2)在图中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论.(3)若题中条件“∠CAB=60°,∠CDB=120°改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为:证明:在ABD ∆和ACD ∆中,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩,ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅,【模型四一线三等角模型】【答案】探究:见解析;应用:61.已知CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线,CA CB =.E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠.(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面问题:①如图1,若90BCA ∠=︒,90α∠=︒,求证:BE CF =;②如图2,若180BCA α∠+∠=︒,探索三条线段EF BE AF ,,的数量关系,并证明你的结论;(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,题(1)②中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确的结论再给予证明.【答案】(1)①见解析;②EF BE AF =-,见解析(2)不成立,EF BE AF =+,见解析【分析】(1)①利用垂直及互余的关系得到ACF CBE ∠=∠,证明BCE ≌CAF V 即可;②利用三等角模型及互补证明ACF CBE ∠=∠,得到BCE ≌CAF V 即可;(2)利用互补的性质得到EBC ACF ∠=∠,证明BCE ≌CAF V 即可.【详解】(1)①证明:∵90EE CD AF CD ACB ⊥⊥∠=︒,,,∴90BEC AFC ∠=∠=︒,∴9090BCE ACF CBE BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒,,∴ACF CBE ∠=∠,在BCE 和CAF V 中,EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BCE ≌CAF V ()AAS ,∴BE CF =;②解:EF BE AF =-.证明:∵180BEC CFA ACB αα∠=∠=∠∠+∠=︒,,∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE αα∠=︒-∠-∠∠=∠-∠=︒-∠-∠,,∴ACF CBE ∠=∠,在BCE 和CAF V 中,EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BCE ≌CAF V ()AAS ,∴BE CF CE AF ==,,∴EF CF CE BE AF =-=-;(2)解:EF BE AF =+.理由:∵BEC CFA BCA αα∠=∠=∠∠=∠,,又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB ∠=∠=∠=︒∠+∠+∠=︒,,∴EBC BCE BCE ACF ∠+∠=∠+∠,∴EBC ACF ∠=∠,在BCE 和CAF V 中,EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BCE ≌CAF V ()AAS ,∴AF CE BE CF ==,,∵EF CE CF =+,∴EF BE AF =+.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质,能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键.2.(2024上·湖南株洲·八年级校联考期末)(1)如图①,已知∶ABC 中,90,BAC AB AC ∠=︒=,直线m 经过点,A BD m ⊥于,D CE m ⊥于E ,求证∶ABD CAE △△≌;(2)拓展∶如图②,将(1)中的条件改为∶ABC 中,,AB AC D A E =、、三点都在直线m 上,并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=,α为任意锐角或钝角,请问结论DE BD CE =+是否成立?如成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)应用∶如图③,在ABC 中,BAC ∠是钝角,,AB AC BAD CAE =∠>∠,BDA AEC BAC ∠=∠=∠,直线m 与BC 的延长线交于点F ,若2,BC CF ABC = 的面积是12,求ABD △与CEF △的面积之和.【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)6【分析】(1)先证明90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒,DBA CAE ∠=∠,然后根据AAS 即可证明ABD CAE ≌ ;(2)先证明DBA CAE ∠=∠,再证明()AAS ABD CAE ≌,再利用全等三角形的性质可得结论;(3)同(2)可证()AAS ABD CAE ≌,得出ABD CEA S S = ,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出ACF S △即可得出结果.【详解】解:(1)∵90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒,∴90BAD CAE ∠+∠=︒,且90DBA BAD ∠+∠=︒,∴DBA CAE ∠=∠,在ABD △和CAE V 中,【模型五三垂直模型】例题:(2023上·辽宁大连·八年级统考期中)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:(1)如图1,点A 在直线l 上,90,BAD AB AD ∠=︒=,过点B 作BC l ⊥于点C ,过点D 作DE l ⊥交于点E .得1D ∠=∠.又90BCA AED ∠=∠=︒,可以推理得到()ABC DAE AAS ≌.进而得到结论:AC =_____,BC =_____.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型;(2)如图2,∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ,DE l ⊥于点E ,ND 与直线l 交于点P ,求证:NP DP =.【答案】(1)DE ,AE(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题,(1)由90CBA AED BAD ∠∠∠===︒,得12290D ∠∠∠∠+=+=︒,则1D ∠∠=,而AB DA =,即可证明ABC DAE ≌,得AC DE =,BC AE =,于是得到问题的答案;(2)作NF l ⊥于点F ,因为BM l ⊥于点C ,DE l ⊥于点E ,所以90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒,由(1)得AC DE =,因为90MAN ∠=︒,所以90CAM FAN FNA FAN ∠∠∠∠+=+=︒,则CAM FNA ∠∠=,而AM NA =,即可证明CAM FNA ≌,得AC NF =,所以NF DE =,再证明PFN PED ≌,则NP DP =.【详解】(1))解:BC l ⊥于点C ,DE l ⊥于点E ,∴90CBA AED ∠∠==︒,∵90BAD ∠=︒,∴12890D ∠∠∠∠+=+=︒,∴1D ∠∠=,在ABC 和DAE 中,1D BCA AED AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴AAS ABC DAE ≌(),∴AC DE =,BC AE =,故答案为:DE ,AE .(2)证明:如图2,作NF l ⊥于点F ,∵BM l ⊥于点C ,DE l ⊥于点E ,∴90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒,由1AC DE=()得,同理(1)得AC NF =,∴NF DE =,在PFN 和PED 中,MFP DEF FPN EPD MF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AAS PFN PED ≌(),∴NP DP =.【变式训练】1.在△ABC 中,∠BAC =90°,AC=AB ,直线MN 经过点A ,且CD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时,EAB DAC ∠+∠=度;(2)求证:DE=CD +BE ;(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时,试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE +DE ,证明见解析【解析】【分析】(1)由∠BAC =90°可直接得到EAB DAC ∠+∠=90°;(2)由CD ⊥MN ,BE ⊥MN ,得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°,根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ,根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ,所以AD =CE ,DC =BE ,即可得到DE =EA +AD =DC +BE .(3)同(2)易证△DCA ≌△EAB ,得到AD =CE ,DC =BE ,由图可知AE =AD +DE ,所以CD =BE +DE .(1)∵∠BAC =90°∴∠EAB +∠DAC =180°-∠BAC =180°-90°=90°故答案为:90°.(2)证明:∵CD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且EA =DC由图可知:DE =EA +AD =DC +BE .(3)∵CD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且AE =CD由图可知:AE =AD +DE∴CD =BE +DE .【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角,也考查了三角形全等的判定与性质.2.(2024上·吉林辽源·九年级统考期末)如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时,求证:①ADC CEB △△≌;②DE AD BE =+;(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时,求证:DE AD BE =-;(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时,试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系,不需要证明.【答案】(1)①见解析;②见解析(2)见解析(3)DE BE AD =-(或AD BE DE =-,BE AD DE =+).【分析】本题考查了几何变换综合题,需要掌握全等三角形的性质和判定,垂线的定义等知识点的应用,解此题的关键是推出证明ADC △和CEB 全等的三个条件.题型较好.(1)①已知已有两直角相等和AC BC =,再由同角的余角相等证明DAC BCE =∠∠即可证明()AAS ADC BEC ≌;②由全等三角形的对应边相等得到AD CE =,BE CD =,从而得证;(2)根据垂直定义求出BEC ACB ADC ∠=∠=∠,根据等式性质求出ACD CBE ∠=,根据AAS 证出ADC △和CEB 全等,再由全等三角形的对应边相等得到AD CE =,BE CD =,从而得证;(3)同样由三角形全等寻找边的关系,根据位置寻找和差的关系.【详解】(1)①证明:∵90ACB ∠=︒,90ADC ∠=︒,90BEC ∠=︒∴90ACD DAC ∠+∠=︒,90ACD BCE ∠+∠=︒,∴DAC BCE =∠∠,在ADC △与BEC 中,90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS ADC BEC ≌;②由①知,ADC BEC △△≌,∴AD CE =,BE CD =,∵DE CE CD =+,∴DE AD BE =+;(2)证明:∵AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E ,∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒,∴90CAD ACD ∠+∠=︒,90ACD BCE ∠+∠=︒,∴CAD BCE ∠=∠,在ADC △与BEC 中,90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS ADC CEB ≌.∴AD CE =,BE CD =,∴DE CE CD AD BE =-=-.(3)解:同(2)理可证()AAS ADC CEB ≌.∴AD CE =,BE CD =,∵CE CD DE=-∴AD BE DE =-,即DE BE AD =-;当MN 旋转到图3的位置时,AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-(或AD BE DE =-,BE AD DE =+).【模型六旋转型模型】例题:如图,AB AC =,AE AD =,CAB EAD α∠=∠=.(1)求证:AEC ADB ≅△△1.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,点D在边AC上,且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合,点F是ED与AB的交点.(1)求证:AE=CD;(2)若∠DBC=45°,求∠BFE的度数.【答案】(1)AB⊥BE,AB=BD+BE;(2)图2中BE=AB+BD,图∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠CBE=∠A,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠CBA=45°,∴∠CBE=∠A=45°,∴ABE=90°,∴AB⊥BE,∵AB=AD+BD,AD=BE,∴AB=BD+BE,故答案为AB⊥BE,AB=BD+BE.(2)①如图2中,结论:BE=AB+BD.理由:∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∵AD=AB+BD,AD=BE,∴BE=AB+BD.②如图3中,结论:BD=AB+BE.理由:∵∠ACB =∠DCE =∴∠ACD =∠BCE ,【模型七倍长中线模型】例题:(2023秋·山东滨州·八年级统考期末)如图,BD 是ABC 的中线,10AB =,6BC =,求中线BD 的取值范围.【答案】28BD <<【分析】延长BD 到E ,使DE BD =,证明两边之和大于2BE BD =,两边之差小于2BE BD =,证明三角形全等,得到线段相等,等量代换得28BD <<.【详解】解:如图,延长BD 至E ,使DE BD =,连接CE ,∵D 为AC 中点,∴AD DC =,在ABD △和CED △中,BD DE ADB CDE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD CED ≌△△,∴10EC AB ==,在BCE 中,CE BC BE CE BC -<<+,即106106BE -<<+,∴416BE <<,∴4216BD <<,∴28BD <<.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形三边之间的关系,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形.【变式训练】1.如图,在ABC 中,AD 是BC 边上的中线.延长AD 到点E ,使DE AD =,连接BE .(1)求证:ACD EBD △△≌;(2)AC 与BE 的数量关系是:____________,位置关系是:____________;(3)若90BAC ∠=︒,猜想AD 与BC 的数量关系,并加以证明.【答案】(1)见解析(2)AC BE =,AC BE∥(3)2AD BC =,证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ,即可证得;(2)由ACD EBD △△≌,可得AC BE =,C EBC ∠=∠,据此即可解答;(3)根据三角形全等的判定定理SAS ,可证得BAC ABE ≌,据此即可解答.【详解】(1)证明:AD 是BC 边上的中线,BD CD ∴=,在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()SAS ACD EBD ∴ ≌;(2)解:ACD EBD ≌,AC BE ∴=,C EBC ∠=∠,∴∥AC BE ,故答案为:AC BE =,AC BE ∥;(3)解:2AD BC=证明:ACD EBD ≌,AC BE ∴=,C EBC ∠=∠,∴∥AC BE ,90BAC ∠=︒90BAC ABE ∴∠=∠=︒在BAC △和ABE △中,90AB BA BAC ABE AC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BAC ABE ∴ ≌,2BC AE AD ∴==.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键.2.(2023上·江苏南通·八年级统考期中)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,ABC 中,若6AB =,4AC =,求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD 到E ,使DE AD =,连接BE .请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌,得到BE AD =,在ABE 中求得2AD 的取值范围,从而求得取值范围是.方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.(2)如图2,AD 是ABC 的中线,AB AE =,AC AF =,180BAE CAF ∠+∠=︒,试判断线段关系,并加以证明;(3)如图3,在ABC 中,D ,E 在边BC 上,且BD CE =.求证:AB AC AD AE +>+【答案】(1)15AD <<CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ADC EDB ≌,∴4BE AC ==,∵在ABE 中,AB BE AE AB BE -<<+,即64264AD -<<+,∴15AD <<.故答案为:15AD <<(2)2EF AD =,理由:如图,延长AD 到M ,使得DM AD =,连接BM ,∴2AM AD DM AD =+=,∵AD 是ABC 的中线,∴BD CD =,在BDM 和CDA 中BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BDM CDA ≌,∴BM AC =,∵AC AF =,∴BM AF =,∵BDM CAD ≌,∴∠=∠MBD ACD ,∴BM AC ∥,∴180ABM BAC ︒∠+∠=,∵180BAE CAF ∠+∠=︒,∴()360360180180BAC FAE BAE CAF ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒,∴ABM FAE ∠=∠,在ABM 和EAF △中AB AE ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABM EAF ≌,∴AM EF =,∵2AM AD =,∴2EF AD =;(3)取BC 的中点为M ,连接AM 并延长至N ,使AM MN =,连接BN 、DN ,∵点M 是BC 的中点,∴CM BM =,在ACM △和NBM 中,CM BM AMC NMB AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACM NBM ≌,∴AC NB=∵BD CE =,∴BM BD CM CE -=-,即=DM EM ,在AEM △和NDM 中,EM DM AME NMD AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AEM NDM ≌,∴AE ND =,延长AD 交BN 于F ,+>,则AB BF AD DF+>+,且FN DF DN+++>++,∴AB BF FN DF AD DF DN+>+,∴AB BN AD DN+>+.即AB AC AD AE【模型八截长补短模型】【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定及性质的运用,等边三角形的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.【变式训练】(1)求证:CD BC DE =+;(2)若75B ∠=︒,求E ∠的度数.【答案】(1)见解析(2)105︒∵CA 平分BCD ∠,∴BCA FCA ∠=∠.在BCA V 和FCA △中,⎧⎪∠⎨⎪⎩【答案】(1)①见解析;②14x <<;(2)见解析【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD CD =,再由对顶角相等得出②先由ABD ECD ≌,得出5CE =,再由ED AD =,得出可求出答案;(2)先根据SAS 判断出DEF DEH △≌△,得出EH EF =,BD CD ∴=,在ADB 和ECD 中,BD CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()SAS ABD ECD ∴△≌△;②解:由①知,ABD ECD ≌,CE AB ∴=,5AB = ,5CE ∴=,ED AD = ,AD x =,22AE AD x ∴==,在ACE △中,3AC =,根据三角形的三边关系得,53253x -<<+,14x ∴<<,故答案为:14x <<;(2)证明:如图2,延长FD ,截取DH DF =,连接BH ,EH ,DH DF = ,DE DF ⊥,即90EDF EDH ∠=∠=︒,DE DE =,∴()SAS DEF DEH ≌,EH EF ∴=,AD 是中线,BD CD ∴=,DH DF = ,BDH CDF ∠=∠,∴()SAS BDH CDF ≌,CF BH ∴=,∵BE BH EH +>,BE CF EF ∴+>.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了三角形中线的定义,全等三角形的判定和性质,三角形的三边【答案】(1)正确;(2)成立,见解析;(3)正确,见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,正确做辅助线构造全等三角形是解题关键.(1)延长FD 到点G ,使DG BE =,连接AG ,先证明ADG ABE △△≌AEF AGF △△≌,可得EF GF =,进而得出EF BE DF =+,即可解题;(2)证明方法同(1):延长FD 到点G ,使DG BE =,连接AG ,先证明再证明AEF AGF △△≌,可得EF GF =,进而得出EF BE DF =+即可解题;∵90B ADF ∠=∠=︒,∴ADG ADF ∠=∠=∠在ABE 和ADG △中,DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABE ADG ≌,∴AE AG =,BAE DAG ∠=∠,∵120BAD ∠=︒,60EAF ∠=︒,∴2BAD EAF ∠∠=,∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠,在AEF △和AGF 中,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS AEF AGF ≌,∴EF GF =,∵GF DG DF BE DF =+=+,∴EF BE DF =+,故答案为:正确;(2)解:上题中的结论依然成立;如图2,延长FD 到点G ,使DG BE =,连接AG ,∵110ADF ∠=︒,70B ∠=︒,∴18011070ADG B ∠=︒-︒=︒=∠,在ABE 和ADG △中,DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABE ADG ≌,∴AE AG =,BAE DAG ∠=∠,∵180B ADF ∠+∠=︒,∴ADG B ∠=∠,在ABE 和ADG △中,DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABE ADG ≌,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AEF AGF SAS ≌,∴EF GF =,∵GF DG DF BE DF =+=+,∴EF BE DF =+.。
全等三角形八大基本模型
(原创实用版)
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时,我们需要了解全等三角形的定义和性质,以及掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型,希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型:两个三角形通过一个公共边,并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。
2.一线三垂直模型:两个三角形的一组对应边互相平行,且另外两组对应边互相垂直。
3.一线三等角模型:两个三角形的一组对应边互相平行,且另外两组对应角相等。
4.等腰三角形中边边角模型:两个等腰三角形,其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等,且两个等腰三角形的底角相等。
5.背对背模型:两个三角形的一组对应边互相垂直,且另外一组对应边互相平行。
6.半角旋转模型:一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。
7.角分线模型:两个三角形的一组对应角相等,且另一组对应边的延长线相交于一点,这个点将延长线分成的两段长度相等。
8.正方形手拉手模型:两个正方形,其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连,另外两个正方形的边也分别相连。
以上就是全等三角形的八大基本模型,这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。
全等三角形的九大经典模型【题型1平移模型】【题型2轴对称模型】【题型3旋转模型】【题型4一线三等角模型】【题型5倍长中线模型】【题型6截长补短模型】【题型7手拉手模型】【题型8角平分线模型】【题型9半角全等模型】【知识点1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形,图①,图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1平移模型】1(2023春·陕西咸阳·八年级统考期末)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上,点C的对应点F在BC的延长线上,连接AD,AC、DE交于点O.下列结论一定正确的是()A.∠B=∠FB.AC⊥DEC.BC=DFD.AC、DE互相平分1.(2023·浙江·八年级假期作业)如图,△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上,且点C为AE的中点,AB=CD,BC=DE.(1)求证:△ABC≌△CDE;(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△A B C ,边B C 与边CD的交点为F,连接EF,若EF将CDE 分为面积相等的两部分,且AB=4,则CF=2.(2023春·重庆·八年级校考期中)如图,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE,连接BD交AC于点F.(1)求证:△AFB≌△CFD;(2)若AB=9,BC=7,求BF的取值范围.3.(2023春·八年级课时练习)已知△ABC,AB=AC,∠ABC=∠ACB,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.如图,连接BD、AF,则BD AF(填“>”“<”或“=”),并证明.【知识点2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称之为轴对称型全等三角形,此类图形中要注意期隐含条件,即公共边或公共角相等.【常见模型】【题型2轴对称模型】1(2023春·河北邯郸·八年级校考期末)如图,在长方形ABCD中,点M为CD中点,将△MBC沿BM翻折至△MBE,若∠AME=α,∠ABE=β,则α与β之间的数量关系为()A.α+3β=180°B.β-α=20°C.α+β=80°D.3β-2α=90°1.(2023·全国·八年级专题练习)如图,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.BC边上的点,且∠EAF=122.(2023春·山东青岛·八年级统考期中)如图,在RtΔABC中,∠C=90°,将ΔABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针旋转α度(α<∠ABC).得到RtΔADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE 分别AB、BC于点G,H1 请根据题意用实线补全图形;(不得用铅笔作图).2 求证:ΔAFB≅ΔAGE3.(2023春·山西临汾·八年级统考期末)阅读材料,并回答下列问题如图1,以AB为轴,把△ABC翻折180°,可以变换到△ABD的位置;如图2,把△ABC沿射线AC平移,可以变换到△DEF的位置.像这样,其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫三角形的全等变换.班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论(1)请你写出一种全等变换的方法(除翻折、平移外),.(2)如图2,前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF,若平移的距离为2,且AC=5,则DC=.(3)如图3,圆梦小组展开了探索活动,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置,且得出一个结论:2∠A′=∠1+∠2.请你对这个结论给出证明.(4)如图4,奋进小组则提出,如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE外部点A′的位置,此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,写出正确结论并证明.【知识点3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形,识别旋转型三角形时,涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.【常见模型】【题型3旋转模型】1(2023春·全国·八年级期末)(1)问题引入:如图1,点F是正方形ABCD边CD上一点,连接AF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合,F与G重合,此时点G,B,C在一条直线上),∠GAF的平分线交BC于点E,连接EF,判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系,并说明理由.(2)知识迁移:如图2,在四边形ABCD中,∠ADC+∠B=180°,AB=AD,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,连接AE,AF,且∠BAD=2∠EAF,试写出线段BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.(3)实践创新:如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC平分∠DAB,点E在AB上,连接DE,CE,且∠DAB=∠DCE=60°,若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的长.(用含a,b,c的式子表示)1.(2023春·八年级课时练习)如图,等边△ABC中,∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角的度数分别为.2.(2023春·全国·八年级专题练习)已知,如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°.(1)在图1中,连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF ”,小亮将ΔADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思路写出证明过程;(2)如图2,当∠EAF绕点A旋转到图2位置时,试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?3.(2023春·江苏·八年级专题练习)如图,在锐角ΔABC中,∠A=60°,点D,E分别是边AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F.(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数;(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN.在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想.【知识点4一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下:此类图形通常告诉BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,那么一定有∠B=∠CAE.【题型4一线三等角模型】1(2023春·山东菏泽·八年级校联考阶段练习)(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:△ABD≌△CAE;(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论△ABD≌△CAE是否成立?如成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF是等边三角形.1.(2023·浙江·八年级假期作业)如图,在△ABC中,AB=AC=9,点E在边AC上,AE的中垂线交BC于点D,若∠ADE=∠B,CD=3BD,则CE等于()A.3B.2C.94D.922.(2023春·上海·八年级专题练习)通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习,解决下列问题:[模型呈现]如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.求证:BC=AE.[模型应用]如图2,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积为.[深入探究]如图3,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=12,则△ADG的面积为.3.(2023春·八年级课时练习)(1)课本习题回放:“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”,请直接写出此题答案:BE的长为.(2)探索证明:如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD 上,且∠BED=∠CFD=∠BAC.求证:ΔABE≌ΔCAF.(3)拓展应用:如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC.若ΔABC的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为.(直接填写结果,不需要写解答过程)【知识点5倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.【常见模型】【题型5倍长中线模型】1(2023春·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,AB=7,AC=5,点D 为BC的中点,求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≅△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小明证明△BED ≅△CAD 用到的判定定理是:(用字母表示);(2)AD 的取值范围是;(3)小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且AD 平分∠BAC ,求证:AB =AC .1.(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中)如图,△ABC 中,点D 在AC 上,AD =3,AB +AC =10,点E 是BD 的中点,连接CE ,∠ACB =∠ABC +2∠BCE ,则CD =.2.(2023春·全国·八年级阶段练习)如图,AB =AE ,AB ⊥AE ,AD =AC ,AD ⊥AC ,点M 为BC 的中点,AM =3,DE =.3.(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①,△ABC 中,AB =7,AC =5,点D 为BC 的中点,求AD 的取值范围.小明的解法如下:延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接CE .在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =.又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ,而AB =EC =7,AC =5,∴<AE <.又∵AE =2AD .∴<AD <.【探索应用】如图②,AB∥CD,AB=25,CD=8,点E为BC的中点,∠DFE=∠BAE,求DF的长为.(直接写答案)【应用拓展】如图③,∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点,求证:AP⊥DP.【知识点6截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中数学全等三角形旋转模型知识归纳总结含答案一、全等三角形旋转模型1.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.解析:(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=492. 【分析】(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =,12PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;(2)先判断出ABD ACE ∆≅∆,得出BD CE =,同(1)的方法得出12PM BD =,12PN BD =,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ∆的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论.【详解】解:(1)点P ,N 是BC ,CD 的中点,//PN BD ∴,12PN BD =, 点P ,M 是CD ,DE 的中点, //PM CE ∴,12PM CE =,AB AC =,AD AE =,BD CE ∴=,PM PN ∴=,//PN BD ,DPN ADC ∴∠=∠,//PM CE ,DPM DCA ∴∠=∠,90BAC ∠=︒,90ADC ACD ∴∠+∠=︒,90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,PM PN ∴⊥,故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;(2)PMN ∆是等腰直角三角形.由旋转知,BAD CAE ∠=∠,AB AC =,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴∆≅∆,ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =, 利用三角形的中位线得,12PN BD =,12PM CE =, PM PN ∴=,PMN ∴∆是等腰三角形,同(1)的方法得,//PM CE ,DPM DCE ∴∠=∠,同(1)的方法得,//PN BD ,PNC DBC ∴∠=∠,DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠,90BAC ∠=︒,90ACB ABC ∴∠+∠=︒,90MPN ∴∠=︒,PMN ∴∆是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ∆是等腰直角三角形,MN ∴最大时,PMN ∆的面积最大,//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面,MN ∴最大AM AN =+,连接AM ,AN ,在ADE ∆中,4AD AE ==,90DAE ∠=︒,22AM ∴=在Rt ABC ∆中,10AB AC ==,52AN =22522MN ∴=最大,222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大. 方法2:由(2)知,PMN ∆是等腰直角三角形,12PM PN BD ==, PM ∴最大时,PMN ∆面积最大,∴点D 在BA 的延长线上,14BD AB AD ∴=+=,7PM ∴=,2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大. 【点睛】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出12PM CE =,12PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆,解(3)的关键是判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大.2.问题提出:(1)如图1,在ABC 中,AB AC BC =≠,点D 和点A 在直线BC 的同侧,BD BC =,90BAC ∠=︒,30DBC ∠=︒,连接AD ,将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD ',连接BD '(如图2),可求出ADB ∠的度数为______.问题探究:(2)如图3,在(1)的条件下,若BAC α∠=,DBC β∠=,且120αβ+=︒,DBC ABC ∠<∠ ,①求ADB ∠的度数.②过点A 作直线AE BD ⊥,交直线BD 于点E ,7,2BC AD ==.请求出线段BE 的长.答案:A解析:(1)30°;(2)①30︒;②73-【分析】(1)由旋转的性质,得△ABD ≌ACD '∆,则ADB AD C '∠=∠,然后证明BCD '∆是等边三角形,即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒;(2)①将ABD △绕点A 逆时针旋转,使点B 与点C 重合,得到'ACD △,连接'BD .与(1)同理证明D BC '∆为等边三角形,然后利用全等三角形的判定和性质,即可得到答案;②由解直角三角形求出3DE =【详解】解:(1)根据题意,∵AB AC BC =≠,90BAC ∠=︒,∴ABC ∆是等腰直角三角形,∴45ABC ACB ∠=∠=︒,∵30DBC ∠=︒,∴15ABD ∠=︒,由旋转的性质,则△ABD ≌ACD '∆,∴ADB AD C '∠=∠,15ABD ACD '∠=∠=︒,BC CD '=,∴60BCD '∠=︒,∴BCD '∆是等边三角形,∴60BD C '∠=︒,BD CD ''=∵AB AC =,AD AD ''=,∴ABD '∆≌ACD '∆,∴30AD B AD C ''∠=∠=︒,∴30ADB AD C '∠=∠=︒;(2)①DBC ABC ∠<∠,60120α︒︒∴<<.如图1,将ABD △绕点A 逆时针旋转,使点B 与点C 重合,得到'ACD △,连接'BD .AB AC =,ABC ACB ∴∠=∠,BAC α∠=, ()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-, 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--, 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+. 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=.,BD BC BD CD '==,,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形,D B D C ''∴=,AD B AD C ''∴≌,AD B AD C ''∴∠=∠,1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=, 30ADB ︒∴∠=.②如图2,由①知,30ADB ︒∠=,在Rt ADE △中,30,2ADB AD ︒∠==, 3DE ∴=.BCD '是等边三角形,7BD BC '∴==,7BD BD '∴==,73BE BD DE ∴=-=-.【点睛】本题考查了解直角三角形,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,以及三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确利用旋转模型进行解题.3.如图,点B ,C ,D 在同一条直线上,△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形,连接AB ,DF ,延长DF 交AB 于点E .(1)如图1,若AD =BD ,DE 是∠ADB 的平分线,BC =1,求CD 的长度;(2)如图2,连接CE ,求证:DE =2CE +AE ;(3)如图3,改变△BCF 的大小,始终保持点在线段AC 上(点F 与点A ,C 不重合).将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ,取AD 的中点O ,连接OP .当AC =2时,直接写出OP 长度的最大值.解析:(1)21CD =;(2)证明见解析;(3)22+【分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质,求出1FC BC ==,再判断出FA FB =,即可得出结论;(2)先判断出ABC DFC ≅△△,得出BAC CDF ∠=∠,进而判断出ACE DCH ≅△△,得出AE DH =,CE CH =,即可得出结论;(3)先判断出2OE OQ ==,再判断出OED QEP ≅△△,进而求出2PQ OD ==得出结论.【详解】(1)解:BCF 和ACD △都是等腰直角三角形,AC CD ∴=,1FC BC ==,2FB =,AD BD =,DE 是ABD ∆的平分线,DE ∴垂直平分AB ,2FA FB ∴==,21AC FA FC ∴=+=,21CD ∴=;(2)证明:如图2,过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ,BCF 和ACD △都是等腰直角三角形,AC DC ∴=,FC BC =,90ACB DCF ∠=∠=︒;()ABC DFC SAS ∴≅△△,BAC CDF ∴∠=∠,90ECH ∠=︒,90ACE ACH ∴∠+∠=︒,90ACD ∠=︒,90DCH ACH ∴∠+∠=︒,ACE DCH ∴∠=∠.在ACE 和DCH 中,BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ACE DCH ASA ∴≅△△,AE DH ∴=,CE CH =,2EH CE ∴=.2DE EH DH CE AE =+=+;(3)OP 的最大值是22+解:如图3,连接OE ,将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ,连接OQ ,PQ ,则2OQ OE =.由(2)知,90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒,在Rt AED △中,点O 是斜边AD 的中点,122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===,在OED 和QEP △中,OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OED QEP SAS ∴≅△△,2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时,取“=”号,OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题,主要等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,构造出全等三角形是解本题的关键.4.如图1所示,在Rt ABC △中90BAC ∠=︒,AB AC =,2BC =,以BC 所在直线为x 轴,边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转.(1)填空:当点B 旋转到y 轴正半轴时,则旋转后点A 坐标为______;(2)如图2所示,若边AB 与y 轴交点为E ,边AC 与直线1y x =-的交点为F ,求证:AEF 的周长为定值;(3)在(2)的条件下,求AEF 内切圆半径的最大值.解析:(1)2,21;(2)见解析;(3)324【分析】 (1)作出图形,'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转,点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形,连接 BP ,CP ,根据2BC =,y 轴垂直平分BC , AB AC =,()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形,则有 '''2BP B PAB A B ,'0'21B B P PO ,可得点 A 坐标; (2)作BPQ CPF ∠=∠,交AB 延长线于Q 点,根据四边形ABPC 是正方形,得到90QBP FCP ∠=∠=︒,BP CP =,可证BPQ CPF ASA ≌△△,得BQ CF =,QP FP =,利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△,得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=(3)设EF m =,AE n =,Rt AEF 的内切圆半径为r ,由(2)可得22AF m n =-则2AE AF EF r +-=222n m n m +--=2m =,当m 最小时,r 最大.得到22222n m n m 整理得:2224220nm n m ,关于n 的一元二次方程有解,即22244220m m 化简得24280m m +-≥,利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--(不合题意,舍去)可得m 的最小值为42-r 2422324,则有AEF 内切圆半径的最大值为324.【详解】解:(1)如图示,'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转,点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形,连接 BP ,CP ,∵2BC =,y 轴垂直平分BC∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中,AB AC =∴1AO =,2AB AC ==∵()0,1P -∴1PO =∴AO BO CO PO ===∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BPB P AB A B ∴'0'21B B P PO ∴点A 坐标为2,21(2)如图2所示,作BPQ CPF ∠=∠,交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒, BP CP = ∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =,QP FP = ∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE = ∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++ AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=(3)设EF m =,AE n =,Rt AEF 的内切圆半径为 r ,由(2)可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-= 222n m n m +---= 2m =-∴当m 最小时,r 最大.∵在Rt AEF 中,222AE AF EF +=∴22222n m n m 整理得: 2224220n m nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥ 利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--(不合题意,舍去)∴m 的最小值为422-∴r 的最大值为2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324-.【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识,能熟练应用相关性质是解题关键.5.如图1,在△ABC 和△ADE 中,∠DAE=∠BAC ,AD=AE ,AB=AC .(1)求证:△ABD ≌△ACE ;(2)如图2,在△ABC 和△ADE 中,∠DAE=∠BAC ,AD=AE ,AB=AC ,∠ADB=90°,点E 在△ABC 内,延长DE 交BC 于点F ,求证:点F 是BC 中点;(3)△ABC 为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC ,点P 为△ABC 所在平面内一点,∠APB=120°,AP=2,BP=4,请直接写出 CP 的长.答案:D解析:(1)证明见详解;(2)证明见详解;(3)27或213.【分析】(1)因为∠DAE=∠BAC ,可以得到∠DAB=∠EAC ,因为AD=AE ,AB=AC ,即可得到△ABD ≌△ACE ;(2)连接CE ,延长EF 至点H ,取CF=CH ,连接CH ,由(1)可得△ABD ≌△ACE ,所以∠AEC=90°和CE=BD ,可以推出∠BDF=∠CEF ,再证明△DBF ≌△ECH ,所以BF=CH ,等量代换即可得到BF=FC ,即可解决;(3)点P 在△ABC 内部,将△ABP 逆时针旋转120°,得到ACP ∆',连接PP '和PC ,可以得到△PP C '是直角三角形,利用勾股定理即可求出PC 的值;当点P 在△ABC 外部,将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆,连接PP '和PC ,过点P 作PD ⊥'CP 于点D ,连接PD 可以得到△PP D ',△PP D '是直角三角形和,利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值.【详解】解:(1)证明:∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ,AB=AC∴△ABD ≌△ACE(2)证明:连接CE ,延长EF 至点H ,取CF=CH ,连接CH ,如图所示:∵△ADB ≌△AEC∴BD=EC ,∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF ≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F 是BC 的中点(3)当点P 在△ABC 内部,如图所示,将△ABP 逆时针旋转120°,得到ACP ∆',连接PP '和PC∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°,AP='AP =2,BP=CP '=4∴PP '=23,∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°,∴∠PP C '=90°,∴PC=()2223427+=.当点P 在△ABC 外部,如图所示,将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ,过点P 作PD ⊥'CP 于点D ,连接PD , ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°,AP='AP =2,BP=CP '=4,∴PP '3∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°,∴∠PP C '=150°,∴∠PP D '=30°,在Rt 'PDP 中,1'32PD PP ==, 22''3DP PP PD ∴=-=,''347DC DP P C ∴=+=+=,()222237213PC PD DC ∴=+=+=. 综上所述,27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转,合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键.6.如图,直线y=﹣x+c与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,过点B,C的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A.(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;(2)P是直线BC上方抛物线上一动点,PA交BC于D.设t=PDAD,请求出t的最大值和此时点P的坐标;(3)M是x轴上一动点,连接MC,将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME,若点E恰好落在抛物线上,请直接写出此时点M的坐标.答案:A解析:(1)y=﹣x2+2x+3,A(﹣1,0);(2)t的最大值为916,此时P(32,154);(3)M 933-,0933+0).【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可;(2)连接AC,PC,PB,过点A作AE⊥BC于E,过等P作PF⊥BC于F.设P(m,﹣m2+2m+3).利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可;(3)过点E作EH⊥x轴于H.设M(m,0),利用全等三角形的性质求出点E的坐标(用m表示),再利用待定系数法解决问题即可.【详解】解:(1)∵直线y=﹣x+c与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,∴0=﹣3+c,解得c=3,∴C(0,3),∵抛物线经过B,C,∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩,解得23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,令y=0,得到﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或3,∴A(﹣1,0);(2)如图,连接AC,PC,PB,过点A作AE⊥BC于E,过点P作PF⊥BC于F.设P(m,﹣m2+2m+3).∵AE∥PF,∴△PFD∽△AED,∴PDAD =PFAE,∵S△PBC=12•BC•PF,S△ACB=12•BC•AE,∴PDAD =PBCABCSS∆∆,∵S△ABC=12•AB•OC=12×4×3=6,∴t=PDAD =6PBCS∆=211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=﹣14m2+34m=﹣14(m﹣32)2+916,∵﹣14<0,∴m=32时,t有最大值,最大值为916,此时P(32,154);(3)如图,过点E作EH⊥x轴于H,∵∠COM =∠EHM =∠CME =90°,∴∠EMH +∠CMH =90°,∠EMH +∠MEH =90°,∴∠MEH =∠CMO ,∵MC =ME ,∴△COM ≌△MHE (AAS ),∴OC =MH =3,OM =EH ,设M (m ,0),则E (m ﹣3,﹣m ),把E (m ﹣3,﹣m )代入y =﹣x 2+2x +3,可得﹣(m ﹣3)2+2(m ﹣3)+3=﹣m , 整理得,m 2﹣9m +12=0,解得m =9332-或9332+, ∴M (9332-,0)或(9332+,0). 【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,解题的关键是利用数形结合的思想,在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形,利用几何的性质进行点坐标的求解.7.如图,BC ⊥CA ,BC =CA ,DC ⊥CE ,DC =CE ,直线BD 与AE 交于点F ,交AC 于点G ,连接CF .(1)求证:△ACE ≌△BCD ;(2)求证:BF ⊥AE ;(3)请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由.答案:C解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)∠CFE =∠CAB ,见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到∠ACB =∠DCE =90°,由角的和差得到∠BCD =∠ACE ,即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到∠CBD =∠CAE ,根据对顶角的性质得到∠BGC =∠AGE ,由三角形的内角和即可得到结论;(3)过C 作CH ⊥AE 于H ,CI ⊥BF 于I ,根据全等三角形的性质得到AE =BD ,S △ACE =S △BCD ,根据三角形的面积公式得到CH =CI ,于是得到CF 平分∠BFH ,推出△ABC 是等腰直角三角形,即可得到结论.【详解】(1)证明:∵BC ⊥CA ,DC ⊥CE ,∴∠ACB =∠DCE =90°,∴∠BCD =∠ACE ,在△BCD 与△ACE 中,BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△BCD ;(2)∵△BCD ≌△ACE ,∴∠CBD =∠CAE ,∵∠BGC =∠AGE ,∴∠AFB =∠ACB =90°,∴BF ⊥AE ;(3)∠CFE =∠CAB ,过C 作CH ⊥AE 于H ,CI ⊥BF 于I ,∵△BCD ≌△ACE ,∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==,∴CH =CI ,∴CF 平分∠BFH ,∵BF ⊥AE ,∴∠BFH =90°,∠CFE =45°,∵BC ⊥CA ,BC =CA ,∴△ABC 是等腰直角三角形,∴∠CAB =45°,∴∠CFE =∠CAB .【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到,需要掌握。
中考数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及解析一、全等三角形旋转模型1.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.答案:C解析:(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE ,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ,∠NCG=∠DCE-∠DCN ,∴∠MCF=∠NCG ,在△MCF 和△NCG 中,CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG (ASA ),∴CF=CG (全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等 .2.(1)如图1,在OAB 和OCD 中,OA=OB ,OC=OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M .求:①AC BD 的值; ②∠AMB 的度数.(2)如图2,在OAB 和OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断AC BD的值及∠AMB 的度数,并说明理由; (3)在(2)的条件下,将OCD 点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD=2,OB=23,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.答案:A解析:(1)①1,②40°;(2)AC BD3∠AMB=90°,见解析;(3)33【分析】(1)①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ,即可证明AC=BD ;②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ,根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°,然后在△AMB 中,根据等角的转换即可得到答案;(2)根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ,可得∠CAO=∠DBO ,进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ,最后可得∠AMB=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO )=90°;(3)分两种情况讨论,根据题(2),同理可得OAC OBD △△,90AMB ∠=︒,3AC BD=,设BD=x ,则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长,在Rt AMB 中,根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程,求解即可. 【详解】 解:(1)①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB ,∵OC=OD ,OA=OB ,∴△COA ≌△DOB (SAS ),∴AC=BD ,∴AC BD=1, ②∵△COA ≌△DOB ,∴∠CAO=∠DBO ,∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD )=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD )=180°﹣140°=40°,(2)如图2,AC BD3∠AMB=90°,理由是:在Rt △COD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴3tan 303OD OC =︒=, 同理得:3tan 303OB OA =︒=, ∴OD OB OC OA=, ∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD ,∴△AOC ∽△BOD ,∴AC OC BD OD==3,∠CAO=∠DBO , 在△AMB 中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM )=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO )=90°;(3)AC 的长为23或43.①如图,点C 与点M 重合,同理可得:OAC OBD △△,90AMB ∴∠=︒,3AC BD =设BD=x ,则3AC x =,在Rt ODC 中,30OCD ∠=︒,OD=2,4CD ∴=,在Rt AOB 中,30OAB ∠=︒,OB=23,43AB ∴=,在Rt AMB 中,222AM BM AB +=, 即222(3)(4)(43)x x ++=,解得:x=2或-4(舍), AC=323x =;②如图,点C 与点M 重合,同理可得:90AMB ∠=︒,3AC BD =设BD=x ,则3x ,在Rt COD 中, 90OCD ∠=︒,OD=2,4CD ∴=,4BC x =-, 在Rt AOB 中,30OAB ∠=︒,3OB = 243AB OB ∴==,在Rt AMB 中,222AM BM AB +=,即222(3)(4)(43)x x +-=,解得:x=4或-2(舍),343x =综上所述,AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用,涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点,难度较大,第(1)题证明△COA ≌△DOB 是关键,第(2)题证明△AOC ∽△BOD 是关键,第(3)题要特别注意分情况讨论.3.如图1,在等腰Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC =6,过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ,点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点,且BE =BF ,连接AF 交BD 于点Q ,过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ,交AC 于点H .(1)若BF =4,求△ADQ 的面积;(2)求证:CH =2BQ ;(3)如图2,BE =3,连接EF ,将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转,取EF 的中点M ,连接AM ,CM ,将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ,连接MN 、CN ,过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R .当线段NR 的长最小时,直接写出△CMN 的周长.答案:A解析:(1)1.8;(2)证明见解析;(3)3263351022+. 【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ,最后利用三角形面积公式即可求解;(2)如图,先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌,得到AH CG =,再通过转化得到2AH DQ =,最后利用AC ,得到一个相等关系,即()2AH HC BQ QD +=+,利用等式性质即可得到所求;(3)如图,通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ,且N 点位于H 、R 之间时,此时NR 的长最小,接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质,分别求出CM 、MN 、CN 的长,相加即可.【详解】解:6AB BC ==,°90ABC =∠,262AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ,且BD 是∠ABC 的角平分线 ∴1322BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等; ∵4BF =, ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==,∴32AQ FQ =,∵AF ===∴355AQ AF ==,∴5QD ===,∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=, ∴△ADQ 的面积为1.8.(2)如图,作CG ⊥AC ,垂足为C ,交AF 的延长线于点G ,∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠,∴°45GCB CAB ==∠∠,∵EH ⊥AF ,∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠,∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =,BA BC =∴AE CF =,在AEH ∆和CFG ∆中,AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =;∵BD ⊥AC ,CG ⊥AC ,∴BD ∥CG ,∵D 点是AC 的中点,且BD ∥CG ,∴DQ 是ACG ∆的中位线,∴12DQ CG =, ∴2DQ CG AH ==; ∵AC =2BD ,∴()2AH HC BQ QD +=+,∵2AH DQ =,∴CH =2BQ .(3)如图①,作AH ⊥AB ,且AH =AB ,∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°,∴∠BAM =∠NAH ,∵AB =AH ,AM =AN ,∴()ABM AHN SAS ∆∆≌,∴HN =BM ,∵BE =BF =3,∠EBF =90°, ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点,可得1322BM EF == ∴32NH =, ∴N 点在以H 点为圆心,322为半径的圆上, 如图②,当HN ⊥AC ,且N 点位于H 、R 之间时,此时NR 的长最小, 为32NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°,∴∠HAC =45°,∴∠AHN =45°,HR =AR ,∵222HR AR AH +=, ∴322HR AR ===, ∴323222NR HR =-=, ∵262AC AB ==∴32CR AC AR =-=, ∴()22333221022CN AN ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭, ∵∠MAN =90°,AM =AN ,∴235MN AN ==,∴∠ABM =45°,∴∠EBM =45°,∴F 点在BA 上,E 点在CB 延长线上,如图,作MP ⊥EC ,垂足为P ,∴1322BP MP EB ===, ∴315622PC PB BC =+=+=, ∴223262MC MP PC =+=, ∴3263351022MC MN CN ++=++, ∴△CMN 的周长为3263351022++.【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识,要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们,本题的综合性较强,难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等,考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力,本题属于压轴题,蕴含了数形结合和转化的思想方法等.4.在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,点B 在x 轴负半轴上,BP 平分∠ABO .(1)如图1,点T在BA延长线上,若AP平分∠TAO,求∠P的度数;(2)如图2,点C为x轴正半轴上一点,∠ABC=2∠ACB,且P在AC的垂直平分线上.①求证:AP//BC;②D是AB上一点,E是x轴正半轴上一点,连接AE交DP于H.当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时,DP=AE.给出结论并说明理由.答案:D解析:(1)45°;(2)①见解析;②∠DHE+∠ABE=180°,理由见解析【分析】(1)由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB=2∠P=90°,可求解;(2)①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E,过点P作PF⊥BC于F,连接PC,由角平分线的性质可得PE=PF,由垂直平分线的性质可得PA=PC,由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF,可得∠EPA=∠CPF,由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF=180°,由角的数量关系可证∠ACB=∠PAC,由平行线的判定可证AP∥BC;②如图3,在OE上截取ON=OB,连接AN,通过证明△ADP≌△NEA,可得DP=AE.【详解】解:(1)∵BP平分∠ABO,AP平分∠TAO,∴∠PBT=12∠ABO,∠TAP=12∠TAO,∵∠TAO=∠ABO+∠AOB,∠TAP=∠P+∠ABP,∴∠AOB=2∠P=90°,∴∠P=45°;(2)①如图2,过点P作PE⊥AB交BA延长线于E,过点P作PF⊥BC于F,连接PC,又∵PB平分∠ABC,∴PE=PF,∵P 在AC 的垂直平分线上, ∴PA =PC , ∴∠PAC =∠PCA , 在Rt △APE 和Rt △CPF 中,AP PCPE PF =⎧⎨=⎩, ∴Rt △APE ≌Rt △CPF (HL ), ∴∠EPA =∠CPF , ∴∠EPF =∠APC ,在四边形BEPF 中,∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB =180°, ∴∠EBF+∠EPF =180°, ∴∠ABC+∠APC =180°, ∵∠APC+∠PAC+∠PCA =180°, ∴∠ABC =∠PAC+∠PCA =2∠PAC , ∵∠ABC =2∠ACB , ∴∠ACB =∠PAC , ∴AP ∥BC ;②当∠DHE+∠ABE =180°时,DP =AE ,理由如下:如图3,在OE 上截取ON =OB ,连接AN ,∵OB =ON ,AO ⊥BE , ∴AB =AN , ∴∠ABN =∠ANB , ∵AP ∥BE ,BP 平分∠ABE ,∴∠APB =∠PBE =∠ABP ,∠ABN+∠BAP =180°, ∴AP =AB , ∴AP =AN ,∵∠ANB+∠ANE =180°, ∴∠BAP =∠ANE ,∵∠DHE+∠ABE =180°,∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH =360°, ∴∠BDH+∠BEH =180°, ∵∠ADP+∠BDP =180°,∴∠ADP =∠AEN , 在△ADP 和△NEA 中,DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADP ≌△NEA (AAS ), ∴DP =AE . 【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,四边形内角和定理等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键. 5.如图,直线y =﹣x +c 与x 轴交于点B (3,0),与y 轴交于点C ,过点B ,C 的抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A .(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标;(2)P 是直线BC 上方抛物线上一动点,PA 交BC 于 D .设t =PDAD,请求出t 的最大值和此时点P 的坐标;(3)M 是x 轴上一动点,连接MC ,将MC 绕点M 逆时针旋转90°得线段ME ,若点E 恰好落在抛物线上,请直接写出此时点M 的坐标.答案:A解析:(1)y =﹣x 2+2x +3,A (﹣1,0);(2)t 的最大值为916,此时P (32,154);(3)M 933-,0933+0). 【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可;(2)连接AC ,PC ,PB ,过点A 作AE ⊥BC 于E ,过等P 作PF ⊥BC 于F .设P (m ,﹣m 2+2m +3).利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可;(3)过点E 作EH ⊥x 轴于H .设M (m ,0),利用全等三角形的性质求出点E 的坐标(用m 表示),再利用待定系数法解决问题即可. 【详解】解:(1)∵直线y =﹣x +c 与x 轴交于点B (3,0),与y 轴交于点C , ∴0=﹣3+c ,解得c =3,∴C(0,3),∵抛物线经过B,C,∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩,解得23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,令y=0,得到﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或3,∴A(﹣1,0);(2)如图,连接AC,PC,PB,过点A作AE⊥BC于E,过点P作PF⊥BC于F.设P(m,﹣m2+2m+3).∵AE∥PF,∴△PFD∽△AED,∴PDAD =PFAE,∵S△PBC=12•BC•PF,S△ACB=12•BC•AE,∴PDAD =PBCABCSS∆∆,∵S△ABC=12•AB•OC=12×4×3=6,∴t=PDAD =6PBCS∆=211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=﹣14m2+34m=﹣14(m﹣32)2+916,∵﹣14<0,∴m=32时,t有最大值,最大值为916,此时P(32,154);(3)如图,过点E作EH⊥x轴于H,∵∠COM =∠EHM =∠CME =90°,∴∠EMH +∠CMH =90°,∠EMH +∠MEH =90°, ∴∠MEH =∠CMO , ∵MC =ME ,∴△COM ≌△MHE (AAS ),∴OC =MH =3,OM =EH ,设M (m ,0),则E (m ﹣3,﹣m ),把E (m ﹣3,﹣m )代入y =﹣x 2+2x +3,可得﹣(m ﹣3)2+2(m ﹣3)+3=﹣m , 整理得,m 2﹣9m +12=0, 解得m =9332-或9332+, ∴M (9332-,0)或(9332+,0). 【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,解题的关键是利用数形结合的思想,在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形,利用几何的性质进行点坐标的求解.6.问题:如图(1),点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,∠MAN =45°,试判断 BM 、MN 、ND 之间的数量关系. (1)研究发现如图1,小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ,从而发现BM 、MN 、DN 之间的数量关系为 (直接写出结果,不用证明) (2)类比引申如图2,在(1)的条件下,AM 、AN 分别交正方形ABCD 的对角线BD 于点E 、F .已知EF=5,DF=4.求BE的长.(3)拓展提升如图3,在(2)的条件下,AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P,连接PQ.请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积.答案:B解析:(1)BM+DN=MN,理由见解析;(2)BE=3;(3)以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36.【分析】(1)结论是:BM+DN=MN,如图1,利用三角形AND旋转90º得三角形ABG,∠DAN=∠BAG,可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN,利用SAS证△AMN≌△AMG即可;(2)如图2,按同样方法△AFD顺时针旋转90º,使AD与AB重合,得△ABF′,连结EF′,△BEF′是直角三角形,用勾股定理求EF′=5,再证△AEF≌△AEF即可;(3)如图3,由(2)可得BD=12,可求正方形边长,构建△P′AQ,P′B=DP,将△ADP顺时针转90º,AD与AB重合,得△BQP′,连OP′,可证△BQP′是直角三角形,可证PQ=P′Q,再证△ABQ∽△PDA,将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求.【详解】(1)如图1,BM+DN=MN,理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90°,小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG,由旋转可得:BG=DN,AN=AG,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABM=90°+90°=180°,因此,点G,B,M在同一条直线上,∵∠MAN=45°,∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠MAN=90°﹣45°=45°,∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°,∴∠GAM=∠MAN,∵AM=AM,∴△AMN≌△AMG(SAS),∴MN=GM,∵GM =BM +BG =BM +DN , ∴BM +DN =MN ; 故答案为:BM +DN =MN ;(2)如图2,把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF ',连接EF ',∴AF ′ =AF ,∠DAF =∠BAF ',∠ABF ′ =∠ADF =45°,BF ′ =DF =4, ∵∠ABE =45°,∴∠EBF ′ =45°+45°=90°, ∵AE =AE ,同理得△EAF ≌△EAF '(SAS ), ∴EF '=EF =5,在Rt △EBF '中,由勾股定理得:BE =()()2222EF +BF =5-4=3''=3;(3)由(2)知:BE =3,EF =5,DF =4, ∴BD =3+4+5=12,由勾股定理得:AB 2+AD 2=BD 2, ∵AB =AD , ∴AB 2=72,如图3,把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP ',连接BP ′,则∠ABP′=∠ADP ,PD =P ′B ,AP =AP ′,∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P , ∴∠ADP =∠ABQ =135°, ∴∠DAP +∠APD =45°, ∵∠DAP +∠BAQ =45°, ∴∠BAQ =∠APD ,∴△ADP ∽△QBA ,∴AD PD=BQ AB, ∴BQ •PD =AD •AB =72, ∵∠ABP '=∠ABQ =135°, ∴∠QBP '=360°﹣135°﹣135°=90°, ∴S △BP 'Q =12BQ•BP′=12BQ•DP =12×72=36, ∵AP =AP ',∠PAQ =∠P 'AQ ,AQ =AQ , ∴△QAP ≌△QAP '(SAS ), ∴PQ =P 'Q ,∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36. 【点睛】本题是感知,探究,创新新题型,主要考查了学生对正方形的性质,旋转变换,勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用.关键是灵活掌握所学知识,同时会从感知中学到方法,结合下一图形,找到解决问题的方法,以及突破口,在创新中,注意把给出的问题进行转化,利用转化思想来解决.7.如图,在四边形ABCD 中,AB AC =,AD 是对角线,60BAC ∠=︒,4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠,(1)求ADC ∠的度数;(2)若AD BD CD =+,求证:AD 平分BDC ∠;(3)在(2)的条件下,E 、F 分别在AC 、AB 上,连接BE 、CF ,交于点P ,使得BPC BDC ∠=∠,若7BD EF ==,15AD =,求EFP ∆的面积答案:A解析:(1)=60∠︒ADC ;(2)证明见详解;(3)4003129. 【分析】(1)先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒,再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案;(2)把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △,由(1)及题意易得D 、C 、E 三点共线,从而得到ADE 是等边三角形,由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒,故得证;(3)过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ,FH ⊥AC ,分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ,连接BC ,由(2)及题意易得DC=8,由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠,进而得到AFC CEB △≌△,设AF=CE=x ,根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长,最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比,进而求解即可. 【详解】(1)解:=60BAC ∠︒,∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒, 又BDC ADB ADC ∠=∠+∠,4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠,∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒; (2)证明:把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △,由(1)得:∴AD=AE ,BD=CE ,=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+,DE=DC+CE ,∴D 、C 、E 三点共线,∴ADE 是等边三角形,∴60ADB E ∠=∠=︒, ∴60ADB ADC ∠=∠=︒,∴AD 平分BDC ∠; (3)解:过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ,FH ⊥AC ,分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ,连接BC ,由题意及(2)可得:ABC 是等边三角形,120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ,60BDG ∠=︒,7BD EF ==,15AD =,∴72DG =,BG =,DC=AD-BD=8, ∴723822GC GD DC =+=+=,在Rt BGC △中,13BC ===, 又=120BPC BDC ∠=∠︒,∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒,60ECP PCB ∠+∠=︒,∴=ECP EBC ∠∠,=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=,∴AFC CEB △≌△,∴CE=AF ,设13,131322CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-,,,,∴在Rt FHE 中,222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭,解得125,8x x ==,①当CE=AF=5时,则AE=8,∴11132224BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====,,,,则有:a cb d FP PC ==∶∶∶,,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+,∴BFEBECSSFP PC =∶∶,∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶,又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=,∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=; ②当CE=AF=8时,AE=5,则有:∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=,1694CBEABCBECSSS =-==∴65325310344BFEABEAFESSS=-=-=由①可得:25325=3=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶26, 又1184316322FECSCE FH =⋅=⨯⨯= ∴25254003163129129129EFPFECSS ==⨯=; 综上所述:4003129EFPS =. 【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题,主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理,熟练掌握各个知识点是解题的关键,尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点. 8.如图,抛物线y =24x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),交y 轴于C 点,D 点是该抛物线的顶点,连接AC 、AD 、CD . (1)求△ACD 的面积;(2)如图,点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点,过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ,交AD 于点F ,过P 作PG ⊥AD 于点G ,求EF+52FG 的最大值,以及此时P 点的坐标; (3)如图,在对称轴左侧抛物线上有一动点M ,在y 轴上有一动点N ,是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ?若存在,求出点M 的横坐标,若不存在,请说明理由.答案:A解析:(1)24;(2)最大值为22,点P (﹣2,﹣1522);(3)存在,点M 的2262﹣6. 【分析】(1)先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标,再用待定系数法求得AC 的解析式,进而求出点N 、D 的坐标,再根据三角形的面积公式求出结果;(2)证明EF+52FG 即为EP 的长度,即可求解; (3)分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角,利用三角形全等即可求解. 【详解】 解:(1)令x =0,得202062624y =⨯+⨯-=-, ∴C (0,﹣62),令y =0,得2226204y x x =+-=, 解得162x =-,222x =,∴A (62-,0),点B (22,0),设直线AC 的解析式为:y =kx+b (k ≠0),则62062k b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩, ∴162k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩, ∴直线AC 的解析式为:62y x =--,∵()2222262228244y x x x =+-=+-,∴D (22-,82-),过D 作DM ⊥x 轴于点M ,交AC 于点N ,如图,令22x =-,(226242y =---=-N (22-,42-∴42DN =∴1142622422ACD S DN AO =⋅=⨯=; (2)如图,过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ,由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:2122y x =--∴tan ∠FDH =2,则sin ∠FDH 2555=, ∵∠HDF+∠HFD =90°,∠FPG+∠PFG =90°,∴∠FDH =∠FPG ,在Rt △PGF 中,PF =FG sin G FP ∠= FG sin FDH ∠255=5FG , 则5FG =EF+PF =EP , 设点P (x ,22224x x +-E (x ,62x -- 则5FG =EF+PF =EP =222262262344x x x x x ⎛--+-=-- ⎝, ∵2<0,故EP 有最大值,此时x =﹣2b a =﹣292 当x =32-2215226242y x x =+-=-, 故点P (32-1522-); (3)存在,理由: 设点M 的坐标为(m ,n ),则222624n m m =+-,点N (0,s ), ①当∠MNB 为直角时,如图,过点N 作x 轴的平行线交过点B 与y 轴的平行线于点H ,交过点M 与y 轴的平行线于点G ,∵∠MNG+∠BNH =90°,∠MNG+∠GMN =90°,∴∠GMN =∠BNH ,∵∠NGM =∠BHN =90°,MN =BN ,∴△NGM ≌△BHN (AAS ),∴GN =BH ,MG =NH , 即22n s -=且m s -=-,联立并解得:226m =-±(舍去正值),故226m =--,则点M (226--,226-); ②当∠NBM 为直角时,如图,过点B 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ,交过点M 与x 轴的平行线于点H ,同理可证:△MHB ≌△BGN (AAS ), 则BH =NG ,即22n =- 当22n =-时,2222224m m +-=-2226m = 故2226m =M (2226,22-);综上,点M 的横坐标为226-2226.【点睛】本题考查二次函数的综合题,涉及三角形面积的求解,用胡不归原理求最值,等腰直角三角形的存在性问题,解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法,熟练运用数形结合的思想去解决问题.9.如图,抛物线y =﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ,B 两点,其中A (3,0),B (﹣1,0),与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,直线y =kx+b 1经过点A ,C ,连接CD . (1)求抛物线和直线AC 的解析式:(2)若抛物线上存在一点P ,使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍,求点P 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ,使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1,且A 1好落在抛物线上?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案:A解析:(1)2y x 2x 3=-++;3y x =-+ ;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3)【分析】(1)将点A ,B 坐标代入抛物线解析式中,求出b ,c 得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A ,C 坐标代入直线AC 的解析式中,即可得出结论;(2)利用抛物线的对称性得出BD =AD ,进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等,即可得出结论;(3)分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方,构造全等三角形即可得出结论.【详解】解:(1)把A (3,0),B (﹣1,0)代入y =﹣x 2+bc+c 中,得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩, ∴23b c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x+3,当x =0时,y =3,∴点C 的坐标是(0,3),把A (3,0)和C (0,3)代入y =kx+b 1中,得11303k b b +=⎧⎨=⎩, ∴113k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y=﹣x+3;(2)如图,连接BC,∵点D是抛物线与x轴的交点,∴AD=BD,∴S△ABC=2S△ACD,∵S△ACP=2S△ACD,∴S△ACP=S△ABC,此时,点P与点B重合,即:P(﹣1,0),过B点作PB∥AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=﹣x﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,联立①②解得,1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩,∴P(4,﹣5),∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)如图,①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,当x=1时,y=2,∴Q'坐标为(1,2),∵Q'D=AD=BD=2,∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,∴∠AQ'B=90°,∴点Q'为所求,②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),过点A1'作A1'E⊥DQ于E,∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,∴∠DAQ+∠AQD=90°,由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,∴∠AQD+∠A1'QE=90°,∴∠DAQ=∠A1'QE,∴△ADQ ≌△QEA 1'(AAS ),∴AD =QE =2,DQ =A 1'E =﹣m ,∴点A 1'的坐标为(﹣m+1,m ﹣2),代入y =﹣x 2+2x+3中,解得,m =﹣3或m =2(舍),∴Q 的坐标为(1,﹣3),∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,﹣3).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.10.回答下列问题:(1)(发现)如图1,点A 为线段BC 外一动点,且4BC =,2AB =.填空:线段AC 的最大值为 .图1(2)(应用)点A 为线段BC 外一动点,且3BC =,2AB =,如图2所示,分别以AB ,AC 为边,作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ,连接CD ,BE .图2①证明:BE DC =.②求线段BE 的最大值.(3)(拓展)如图3,在平面直角坐标系中,直线l ;4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点,点C 为线段AB 外一动点,且2CB =,以AC 为边作等边ACD △,连接BD ,求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标.图3答案:A解析:(1)6(2)①证明见解析. ②322+(3)42226-26+ 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ,可得BE=DC ;②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果,(3)以BC 为边作等边三角形BCE ,可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ,从而得到BD=AE ,BE=BC ,由AE≤AB+BE ,当且仅当A 、B 、E 三点共线时,AE 取得最大值,即BD 取得最大值,当BD 取得最大值时,①当C 在直线AB 的上方时,过C 作CH ⊥y 轴于H ,作BC 的垂直平分线交BH 于N ,求出CH 的长度,即可求出点C 的横坐标,②当C 在直线AB 的下方时,按同①的方法也可以求出点C 的横坐标.【详解】(1)当A 在选段BC 的延长线上时, max 6AC AB BC =+=.(2)①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ,∴AD AB =,AE AC =,90DAB EAC ∠=∠=︒,∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠,∴DAC EAB ∠=∠,在DAC △和BAE 中,DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS DAC BAE ≌△△, ∴BE CD =.②由①可知,BE DC =,∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值. 在等腰直角ABD △中,222BD AB ==,∵CD BC BD ≤+,∴当点D 在CB 的延长线上时, CD 取得最大值为322+.∴线段BE 的最大值为322+.(3)如图,以BC 为边作等边三角形BCE ,则BC CE =,60BCE ∠=︒.∵60ACD ∠=︒,∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠, ∴ACE DCB ∠=∠.在ACE 与DCB 中,AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ACE DCB ≌△△, ∴BD AE =.对于一次函数4y x =+,令0x =,则4y =, ∴()0,4B ,令0y =,则4x =-,∴()4,0A -.∴224442AB =+=又∵2BE BC ==,∴AE AB BE ≤+,∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时, AE 取得最大值,即BD 取得最大值为422+;当BD 取得最大值时,①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ,∵45ABO HBE ∠=∠=︒,60CBE ∠=︒, ∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒, 作BC 的垂直平分线交BH 于N ,∴CN BN =,15NCB NBC ∠=∠=︒, ∴30CNB ∠=︒,在Rt CHN △中,设CH x =.则3HN x =, 2CN x =,∴2BN x =,∴)32BH HN BN x =+=, 在Rt BHC △中,22222HC BH BC +==, ∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦, 整理得(227434x x ++=, 223x =,)12312x =,)22312x =-(舍), ∴62CH -=∴点C 的横坐标为262-. ②当C 在直线AB 的下方时,过C 作CL ⊥y 轴于L ,∵∠ABO=45°,∠CBE=60°,∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°,∴∠BCL=15°,作BC 的垂直平分线交BL 于M ,∴CM=BM ,∠MCB=∠MBC=15°,∴∠LMB=30°,在Rt △CLB 中,设BL=y .则3,BM=2y , ∴CM=2y ,∴3+2)y ,在Rt △BLC 中,BL 2+CL 2=BC 2=22,∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦, 整理得(227434y y ++=, 223y = )1231y =,)2231y =(舍去), 622BL =∴CL=)32BL 26+所以点C 的横坐标为:262+ 综合以上可得点C 的横坐标为:262-或 262+ 【点睛】 本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判.定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.11.如图,在等边三角形ABC 中,点D 是射线CB 上一动点,连接DA ,将线段DA 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ,过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ,连接CF .(1)如图1,若点D 为线段BC 的中点,则四边形EDCF 是 ;(2)如图2,若点D 为线段CB 延长线上任意一点,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)若点D 为射线CB 上任意一点,当∠DAB =15°,△ABC 的边长为2时,请直接写出线段BD 的长.答案:A解析:(1)平行四边形;(2)成立,见解析;(3)423-或31-.【分析】(1)证明△ADB ≌△DEO (AAS )和四边形EOBF 为平行四边形,进而求解;(2)证明△OED ≌△DAC (SAS ),则∠EOD =∠ACD =60°=∠ABC ,故OE ∥AB ,进而求解;(3)分点D 在线段BC 上、点D (D ′)在BC 的延长线上两种情况,利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可.【详解】解:(1)过点E 作DE 的垂线交CB 的延长线于点O ,设BA 交ED 于点R ,∵点D为线段BC的中点,则AD⊥BC且∠BAD=30°,∵∠ADE=60°,∴∠EDB=∠ADB﹣ADE=90°﹣60°=30°,∵EF∥BC,∴∠EFD=∠ABC=60°,∠FED=∠EDO=30°,∴∠ERF=90°,∴DE⊥AB,∵AD=ED,∠BAD=∠EDO=30°,∠ADB=∠DEO=90°,∴△ADB≌△DEO(AAS),∴OE=BD=12BC=12AB,则OB=OD﹣BD=AB﹣12AB=12AB,∴OB=BD=CD,∵OE⊥DE,DE⊥AB,∴OE∥AB,∵EF∥BC,∴四边形EOBF为平行四边形,∴EF=OB=CD,而EF∥CD,∴四边形EFCD为平行四边形,故答案为:平行四边形;(2)如图2,在CD的延长线上截取DO=AC,连接OE,设∠ADC的度数为α,∵∠EDO=180°﹣∠EDA﹣∠ADC=180°﹣60°﹣α=120°﹣α,∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=120°﹣α=∠EDO,而AC=OD,DE=AD,∴△OED≌△DAC(SAS),∴∠EOD=∠ACD=60°=∠ABC,∴OE∥AB,而EF∥BC,∴四边形EFCD为平行四边形;(3)①当点D在线段BC时,过点A 作AH ⊥BC ,则∠BAH =30°,而∠DAB =15°,BH =12BC =1, 即BD 是∠BAH 的角平分线,过点D 作DG ⊥AB 于点G ,设DH =x ,则DG =DH =x ,BD =BH ﹣DH =1﹣x ,在△BDG 中,∠BDG =30°,则BG =12BD =12x - 由勾股定理得:()21x -=212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭+2x ,解得:x =233-, ∴BD =1﹣x =423-,②当点D (D ′)在BC 的延长线上时,∵∠BAD ′=15°,∴∠D ′AH =30°+15°=45°,则D ′H =AH =2213-=,∴BD ′=D ′H ﹣BH =31-;综上,BD 的长度为423-或31-.【点评】本题是四边形综合题,主要考查了平行四边形性质、三角形全等、等边三角形性质等知识点,综合性强,难度较大.12.如图,△ABC 中,O 是△ABC 内一点,AO 平分∠BAC ,连OB ,OC .(1)如图1,若∠ACB =2∠ABC ,BO 平分∠ABC ,AC =5,OC =3,则AB = ; (2)如图2,若∠CBO +∠ACO =∠BAC =60°,求证:BO 平分∠ABC ;(3)如图3,在(2)的条件下,若BC =3B 绕点O 逆时针旋转60°得点D ,直接写出CD 的最小值为 .答案:A解析:(1)8;(2)见解析;(3)33【分析】(1)先补充证明角平分线的性质定理:如图,△ABC中,AD是角平分线,则:BD DC=AB AC .如图1中,延长CO交AB于E,由OA平分∠EAC,推出AEAC=OEOC,推出AEEO=AC OC =53,设AE=5k,OE=3k,利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题.(2)如图2中,过点O作EF⊥OA交AB于E,交AC于F,作CG∥EF交AB于G,连接OG.证明△AGO≌△ACO(SAS),推出OG=OC,推出∠OGC=∠OCG,证明O,G,B,C 四点共圆,可得结论.(3)如图3中,以BC为边向上作等边△BCH,连接OH,作HM⊥BC于M.证明△HBO≌△CBD(SAS),推出OH=CD,由(2)可知∠BOC=120°,推出当点O落在HM 上时,OH的值最小.【详解】解:(1)先补充证明角平分线的性质定理:如图,△ABC中,AD是角平分线,则:BD DC=AB AC.理由:过C作CE∥DA,交BA的延长线于E,∵CE∥DA,∴∠1=∠E,∠2=∠3,∠1=∠2,∴∠E=∠3,∴AE=AC,∵BDDC =BAAE,∴BDDC =ABAC.如图1中,延长CO交AB于E,∵OA平分∠EAC,∴AEAC=OEOC,∴AEEO =ACOC=53,设AE=5k,OE=3k,∵OB平分∠ABC,∴OC平分∠ACB,∵∠ACB=2∠ABC,∴∠BCE=12∠ACB=∠EBC,∴EB=EC=3k+3,∵∠ACE=∠ABC,∠CAE=∠BAC,∴△ACE∽△ABC,∴ACAB =AEAC,∴5533k k =55k,解得k=58或﹣1(舍弃),∴AB=8k+3=8.故答案为:8.(2)如图2中,过点O作EF⊥OA交AB于E,交AC于F,作CG∥EF交AB于G,连接OG.∵AO平分∠AEF,∴∠OAE=∠OAF,∵AO=AO,∠AOE=∠AOF=90°,∴△AOE≌△AOF(ASA),∴AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠FOC+∠FCO,∵∠OBC+∠FCO=60°,∴∠FOC=∠OBC,∵EF∥CG,∴∠AGC=∠AEF=60°,∠ACG=∠AFE=60°,∴∠AGC=∠ACG,∴AG=AC,∵∠GAO=∠CAO,AO=AO,∴△AGO≌△ACO(SAS),∴OG=OC,∴∠OGC=∠OCG,∵∠FOC=∠OCG,∴∠OBC=∠OGC,∴O,G,B,C四点共圆,∴∠ABO=∠OCG,∴∠ABO=∠OBC,∴OB平分ABC.(3)如图3中,以BC为边向上作等边△BCH,连接OH,作HM⊥BC于M.∵△OBD,△BCH都是等边三角形,∴∠HBC=∠OBD=60°,BH=BC,BO=BD,∴∠HBO=∠CBD,∴△HBO≌△CBD(SAS),∴OH=CD,由(2)可知∠BOC=120°,∴当点O落在HM上时,OH的值最小,此时OH=HM﹣OM=33∴CD的最小值为33.故答案为:33【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点,解题关键在于作出辅助线构造相应图形.13.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.解析:(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=492. 【分析】(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =,12PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;(2)先判断出ABD ACE ∆≅∆,得出BD CE =,同(1)的方法得出12PM BD =,12PN BD =,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ∆的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论.【详解】解:(1)点P ,N 是BC ,CD 的中点,//PN BD ∴,12PN BD =, 点P ,M 是CD ,DE 的中点, //PM CE ∴,12PM CE =,AB AC =,AD AE =,BD CE ∴=,PM PN ∴=,//PN BD ,DPN ADC ∴∠=∠,//PM CE ,DPM DCA ∴∠=∠,90BAC ∠=︒,90ADC ACD ∴∠+∠=︒,90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,PM PN ∴⊥,故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;(2)PMN ∆是等腰直角三角形.由旋转知,BAD CAE ∠=∠,AB AC =,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴∆≅∆,ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =, 利用三角形的中位线得,12PN BD =,12PM CE =, PM PN ∴=,PMN ∴∆是等腰三角形,同(1)的方法得,//PM CE ,DPM DCE ∴∠=∠,同(1)的方法得,//PN BD ,PNC DBC ∴∠=∠,DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠,90BAC ∠=︒,90ACB ABC ∴∠+∠=︒,90MPN ∴∠=︒,PMN ∴∆是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ∆是等腰直角三角形,MN ∴最大时,PMN ∆的面积最大,//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面,MN ∴最大AM AN =+,连接AM ,AN ,在ADE ∆中,4AD AE ==,90DAE ∠=︒,22AM ∴=在Rt ABC ∆中,10AB AC ==,52AN =22522MN ∴=最大,222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大. 方法2:由(2)知,PMN ∆是等腰直角三角形,12PM PN BD ==, PM ∴最大时,PMN ∆面积最大,∴点D 在BA 的延长线上,14BD AB AD ∴=+=,7PM ∴=,2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大. 【点睛】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出12PM CE =,12PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆,解(3)的关键是判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大.14.如图所示,ABC ∆中,1AB BC ==,90ABC ∠=︒,把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DF ,长直角边为DE ),将三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.。
数学复习:全等三角形相关模型一、角平分线模型(1)角平分线+两边垂线→全等三角形:角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边距离相等;已知:AD平分∠BAC,CD⊥AC,垂足为C,过点D作DB⊥AB,垂足为B;辅助线:过点D作DB⊥AB,垂足为B;结论:①△ACD≌△ABD;②CD=DB(角分线垂两边,对称全等必呈现)(2)角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现:遇到垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形;已知:OP平分∠AOB,MP⊥OP,垂足为P,延长MP交OB于点N;结论:①△OPM≌△OPN;②△OMN为等腰三角形;③P是MN的中点(三线合一);(3)在角的两边上截取相等的线段,构造全等三角形:已知:OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点;辅助线:在OA上取一点E,在OB取一点F,使得OE=OF,并连接DE,结论:△OED≌△OFD;(4)作平行线①以角分线上一点作角的另一边的平行线,则△OAB 等腰三角形;②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交,则△ODH 等腰三角形;已知:OP 平分∠MON ,AB ∥ON ,已知:OC 平分∠AOD ,DH ∥OC ,结论:△OAB 等腰三角形结论:△ODH 等腰三角形角平分线+两边垂线→全等三角形辅助线:过点G 作GE ⊥射线AC已知:AD 是∠BAC 的角平分线,CD ⊥AC ,DB ⊥AB ,求证:CD=DB证明:∵AD 是∠BAC 的角平分线,∴∠1=∠2,∵CD ⊥AC ,DB ⊥AB ,∴∠ACD=∠ABD=90°,在△ACD 和△ABD 中,∴△ACD ≌△ABD (AAS )∴CD=BD⎪⎩⎪⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2∠=1∠例1:已知:∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC.例2:如图,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:BE=CF.例4:如图,在△ABC中,M为BC的中点,DM⊥BC,DM与∠BAC的角平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:BE=CF.角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1:如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE交BA的延长于F.求证:BD=2CE例2、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM⊥AD 交AD的延长线于M.求证:2AM=(AB+AC)例3:如图,已知△ABC中,CF平分∠ACB,且AF⊥CF,∠AFE+∠CAF=180°,求证:EF∥BC.截取构造全等:例1:如图,AB>AC ,∠1=∠2,求证:AB -AC>BD -CD 。
旋转中的三类全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)本专题重点分析旋转中的三类全等模型(手拉手、半角、对角互补模型),结合各类模型展示旋转中的变与不变,并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤,同时规范了解题步骤,提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形(或多边形)绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合,则这两个三角形构成手拉手全等,也叫旋转型全等。
其中:公共顶点A记为“头”,每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”,第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路:SAS型全等(核心在于导角,即等角加(减)公共角)。
1)双等边三角形型条件:△ABC和△DCE均为等边三角形,C为公共点;连接BE,AD交于点F。
结论:①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠AFM=∠BCM=60°;④CF平分∠BFD。
2)双等腰直角三角形型条件:△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,C为公共点;连接BE,AD交于点N。
结论:①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ANM=∠BCM=90°;④CN平分∠BFD。
3)双等腰三角形型条件:△ABC和△DCE均为等腰三角形,C为公共点;连接BE,AD交于点F。
结论:①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ACM=∠BFM;④CF平分∠BFD。
4)双正方形形型条件:△ABCFD和△CEFG都是正方形,C为公共点;连接BG,ED交于点N。
结论:①△△BCG≌△DCE;②BG=DE;③∠BCM=∠DNM=90°;④CN平分∠BNE。
【答案】(1)40;(2)60;(3)【分析】(1)证明△COD是等边三角形,得到∠ODC=60°,即可得到答案;∠=∠ADC-∠ODC求出答案;(3)由△BOC≌△ADC,推出∠ADC=∠BOC=150°,AD=OB=8,根据(2)利用ODA△COD 是等边三角形,得到∠ODC=60°,OD=4OC =,证得△AOD 是直角三角形,利用勾股定理求出.【详解】(1)解:∵CO=CD ,∠OCD=60°,∴△COD 是等边三角形;∴∠ODC=60°,∵∠ADC=∠BOC=100α=︒,∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°,故答案为:40;(2)∵∠ADC=∠BOC=120α=︒,∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°,故答案为:60;(3)解:当150α=︒,即∠BOC=150°,∴△AOD 是直角三角形.∵△BOC ≌△ADC ,∴∠ADC=∠BOC=150°,AD=OB=8,又∵△COD 是等边三角形,∴∠ODC=60°,OD=4OC =,∴∠ADO=90°,即△AOD 是直角三角形,∴OA =故答案为:【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体,内容由浅入深,层层递进.试题中几何演绎推理的难度适宜,蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等),能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力. 备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】(1)根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形;(2)由△EBF 是等边三角形,可得FB=EB ,再证明∠FBA=∠EBC ,又因为AB=BC ,所以可证明△FBA ≌△EBC ,进而可得AF=CE ;(3)当点D ,E ,F 在同一直线上时,过B 作BM ⊥EF 于M ,再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可.(1)∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ,∴EB=EF ,60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形(2)∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ,AB=BC ,60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC (SAS )∴AF=CE(3)图形如图所示:过B 作BM ⊥EF 于M ,∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =,BM =∵点D 是AB 的中点,∴142BD AB == 在Rt △BMD 中,222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =(舍去)∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理的运用,旋转的性质,等边三角形的判定和性质,解一元二次方程,利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键.例3.(2022·吉林·九年级期末)如图①,在ABC 中,90C ∠=︒,AC BC ==点D ,E 分别在边AC ,BC 上,且CD CE =AD BE =,AD BE ⊥成立.(1)将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时,在图②中补充图形,并直接写出BE 的长度;(2)当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中,AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立,请你利用图③证明,若不成立请说明理由;(3)将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中,当A ,D ,E 三点在同一条直线上时,请直接写出AD 的长度.【答案】(1)补充图形见解析;BE =(2)AD BE =,AD BE ⊥仍然成立,证明见解析;(3)1AD或1=AD .【分析】(1)根据旋转作图的方法作图,再根据勾股定理求出BE 的长即可;(2)根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ,∠1=∠2,再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°,从而可得出结论;(3)分两种情况,运用勾股定理求解即可.【详解】解:(1)如图所示,根据题意得,点D 在BC 上,∴BCE ∆是直角三角形,且由勾股定理得,BE ==(2)AD BE =,AD BE ⊥仍然成立. 证明:延长AD 交BE 于点H ,∵90ACB DCE ∠=∠=︒,ACD ACB BCD ∠=∠−∠,BCE DCE BCD ∠=∠−∠,∴ACD BCE ∠=∠,又∵CD CE =,AC BC =,∴ACD BCE ≅△△,∴AD BE =,12∠=∠,在Rt ABC 中,13490∠+∠+∠=︒,∴23490∠+∠+∠=︒,∴90AHB ∠=︒,∴AD BE ⊥.(3)①当点D 在AC 上方时,如图1所示,同(2)可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中,CD CE =2=在Rt △ACB 中,AC BC =AB ==设AD=BE=x ,在Rt △ABE 中,222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时,如图2所示,同(2)可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中,CD CE =2=在Rt △ACB 中,AC BC =AB ==设AD=BE=x ,在Rt △ABE 中,222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,熟练解答本题的关键.例4.(2022·黑龙江·虎林市九年级期末)已知Rt △ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,F 为AB 边的中点,且DF =EF ,∠DFE =90°,D 是BC 上一个动点.如图1,当D 与C 重合时,易证:CD 2+DB 2=2DF 2;(1)当D 不与C 、B ,CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.(2)当D 在BC 的延长线上时,如图3,CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系,请写出你的猜想,并加以证明.【答案】(1)CD2+DB2=2DF2 ;(2)CD2+DB2=2DF2,证明见解析【分析】(1)由已知得222DE DF =,连接CF ,BE ,证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ,再证明BDE ∆为直角三角形,由勾股定理可得结论;(2)连接CF ,BE ,证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ,再证明BDE ∆为直角三角形,由勾股定理可得结论.【详解】解:(1)CD2+DB2=2DF2证明:∵DF=EF ,∠DFE =90°,∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ,BE ,如图∵△ABC 是等腰直角三角形,F 为斜边AB 的中点∴CF BF =, CF AB ⊥,即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒,90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =,45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =,222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ;(2)CD2+DB2=2DF2 证明:连接BE∵CF=BF ,DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ,∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF -∠FBD=135°-45°=90° 在Rt △DBE 中,BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.例5.(2022·山西大同·九年级期中)综合与实践:已知ABC 是等腰三角形,AB AC =.(1)特殊情形:如图1,当DE ∥BC 时,DB ______EC .(填“>”“<”或“=”);(2)发现结论:若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α(0180α︒<<︒)到图2所示的位置,则(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)拓展运用:某学习小组在解答问题:“如图3,点P 是等腰直角三角形ABC 内一点,90BAC ∠=︒,且1BP =,2AP =,3CP =,求BPA ∠的度数”时,小明发现可以利用旋转的知识,将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ,连接PE ,构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数.【答案】(1)=;(2)成立,理由见解析;(3)∠BPA=135°.【分析】(1)由DE ∥BC ,得到∠ADE=∠B ,∠AED=∠C ,结合AB=AC ,得到DB=EC ;(2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ,得到DB=CE ;(3)由旋转构造出△APB ≌△AEC ,再用勾股定理计算出PE ,然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形,在简单计算即可.【详解】解:(1)∵DE ∥BC ,∴∠ADE=∠B ,∠AED=∠C ,∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠ADE=∠AED AD=AE ,∴DB=EC ,故答案为:=;(2)成立.证明:由①易知AD=AE ,∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ,在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAB ≌△EAC (SAS ),∴DB=CE ;(3)如图,将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ,连接PE ,∴△APB ≌△AEC ,∴AE=AP=2,EC=BP=1,∠PAE=90°,∴∠AEP=∠APE=45°,在Rt △PAE 中,由勾股定理可得,在△PEC 中,PE2=(2=8,CE2=12=1,PC2=32=9,∵PE2+CE2=PA2,∴△PEC 是直角三角形,∴∠PEC=90°,∴∠AEC=135°,又∵△APB ≌△AEC ,∴∠BPA=∠CEA=135°.【点睛】本题主要考查了旋转的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理及其逆定理,解本题的关键是构造全等三角形,也是本题的难点.【答案】(1)见解析;(2)48;(3)15︒【分析】(1)通过边角边判定三角形全等;(2)连接,BD GE ,设,BG DE 交于点O ,,DE CG 交于点M ,先证明DE BG ⊥,由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+;(3)作CK GE ⊥于点K ,则122CK GE ==,且1452GCK GCE ∠=∠=︒,由含30度角的直角三角形的性质求解.【详解】(1)四边形ABCE 与CEFG 为正方形,CG CE =,90BCG DCE ∠=∠=︒,90BCG α=∠︒+,90DCE α∠=︒+,BCG DCE ∴∠=∠,在BCG 和DCE △中,BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS), (2)连接,BD GE ,设,BG DE 交于点O ,,DE CG 交于点M ,90BCG α=∠︒+,90DCE α∠=︒+,BCG DCE ∴∠=∠, 在△BCG 和DCE △中,BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌,BGC DEC ∠=∠,GMO EMC ∠=∠,18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥,由勾股定理得222DG DO GO =+,222BE OB OE =+,22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+,4,AB CG ==,BD ∴==4GE ==,2222(448DG BE ++∴==,(3)作CK GE ⊥于点K ,如图,△CEG 为等腰直角三角形,122CK GE ==,且1452GCK GCE ∠=∠=︒,在Rt CDK 中,12CK CD =,30CDK ∴∠=︒,903060DCK ∴∠=︒−︒=︒, 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠.∴15α=︒.【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题,解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质,通过添加辅助线求解.模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念:过多边形一个顶点作两条射线,使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法:通过旋转构造全等三角形,实现线段的转化1)正方形半角模型条件:四边形ABCD是正方形,∠ECF=45°;结论:①△BCE≌△DCG;②△CEF≌△CGF;③EF=BE+DF;④∆AEF的周长=2AB;⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
全等三角形旋转模型知识归纳总结附解析一、全等三角形旋转模型1.(课题研究)旋转图形中对应线段所在直线的夹角(小于等于90°的角)与旋转角的关系.(问题初探)线段AB 绕点O 顺时针旋转得到线段CD ,其中点A 与点C 对应,点B 与点D 对应,旋转角的度数为α,且0°<α<180°.(1)如图①,当α=60°时,线段AB 、CD 所在直线夹角(锐角)为 ;(2)如图②,当90°<α<180°时,直线AB 与直线CD 所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系?请说明理由;(形成结论)旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的夹角与旋转角 .(运用拓广)运用所形成的结论解决问题:(3)如图③,四边形ABCD 中,∠ABC =60°,∠ADC =30°,AB =BC ,CD =3,BD =19,求AD 的长.解析:(1)60°;(2)互补,理由见解析;【形成结论】相等或互补;(310【分析】(1)由旋转的性质可得AB CD =,OA OC =,BO DO =,可证()AOB COD SSS ,可得B D ∠=∠,由三角形内角和定理可求解;(2)由旋转的性质可得AB CD =,OA OC =,BO DO =,可证()AOBCOD SSS ,可得B D ∠=∠,由平角的定义和四边形内角和定理可求解; 【形成结论】由(1)(2)可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角:相等或互补;【运用拓广】(3)将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒,得到BAF ∆,连接FD ,由旋转的性质可得BF BD =,3AF CD ==,由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒,由勾股定理可求解.【详解】解:(1)如图1,延长DC 交AB 于F ,交BO 于E ,α=︒,60∴∠=︒,60BOD线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,=,AB CD=,BO DO∴=,OA OCAOB COD SSS,()B D∴∠=∠,∠=∠,OED BEF,B DBFE EOD,60故答案为:60︒;(2)直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补,理由如下:如图2,延长AB,DC交于点E,线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,=,=,BO DO∴=,OA OCAB CDAOB COD SSS,()ABO D,ABO EBO,180D EBO,180360EBO E D BOD,E BOD,180∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补.形成结论由(1)(2)(3)可知:旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角:相等或互补.故答案为:相等或互补.运用拓广(3)如图3,将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒,得到BAF ∆,连接FD ,延长FA ,DC 交于点E ,∴旋转角60ABC ∠=︒,BCD BAF ,60AED ABC ∴∠=∠=︒,3AF CD ==,BD BF =,30ADC ∠=︒,90FAD AED ADC ,又60FBD ABC ,BF BD =, BFD ∴∆是等边三角形,BF BD DF ,∴在Rt DAF 中,2219910ADDF AF . 【点睛】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,添加辅助线构造全等三角形是本题的关键.2.问题背景如图(1),在四边形ABCD 中,∠B+∠D =180°,AB =AD ,∠BAD =α,以点A 为顶点作一个角,角的两边分别交BC ,CD 于点E ,F ,且∠EAF 12=α,连接EF ,试探究:线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系.(1)特殊情景在上述条件下,小明增加条件“当∠BAD =∠B =∠D =90°时”如图(2),小明很快写出了:BE ,DF ,EF 之间的数量关系为______.(2)类比猜想类比特殊情景,小明猜想:在如图(1)的条件下线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请你帮助小明完成证明;若不成立,请说明理由.(3)解决问题如图(3),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD2=,请直接写出DE的长.答案:B解析:(1)BE+DF=EF;(2)成立;(3)DE523 =【分析】(1)将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,由旋转的性质可得AE=AG,BE=DG,∠BAE=∠DAG,根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF=45°,即可得出∠∠EAF=∠FAG,利用SAS可证明△AFE≌△AFG,可得EF=FG,进而可得EF=BE+FD;(2)将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH,由旋转的性质可得∠ABE=∠ADH,∠BAE=∠DAH,AE=AH,BE=DH,根据∠BAD=α,∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α,进而可证明∠FAH=∠EAF,利用SAS可证明△AEF≌△AHF,可得EF=FH=BE+FD;(3)将△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△AE′B,连接DE′,由旋转的性质可得BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,BC=42,即可求出∠E′BD=90°,利用SAS可证明△AEF≌△AHF,可得DE=DE′,利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】(1)BE+DF=EF,如图1,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,∵∠ADC=∠B=∠ADG=90°,∴∠FDG=180°,即点F,D,G共线.由旋转可得AE=AG,BE=DG,∠BAE=∠DAG.∵∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣12∠BAD=90°-45°=45°,∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠FAG=45°,∴∠EAF=∠FAG,∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG.又∵FG=DG+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF,故答案为BE+DF=EF.(2)成立.如图2,将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH,可得∠ABE=∠ADH,∠BAE=∠DAH,AE=AH,BE=DH.∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADH+∠ADC=180°,∴点C,D,H在同一直线上.∵∠BAD=α,∠EAF12=α,∴∠BAE+∠FAD12=α,∴∠DAH+∠FAD12=α,∴∠FAH=∠EAF,又∵AF=AF,∴△AEF≌△AHF(SAS),∴EF=FH=DF+DH=DF+BE;(3)DE523 =,如图3,将△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△AE′B,连接DE′.可得BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,在Rt△ABC中,∵AB=AC=4,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,BC=2,∴2,∴∠ABC+∠ABE′=90°,即∠E′BD=90°,∴E′B 2+BD 2=E′D 2.易证△AE′D ≌△AED ,∴DE =DE′,∴DE 2=BD 2+EC 2,即DE 222(2)(32)DE =+-,解得523DE =. 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,旋转后不改变图形的大小和形状,并且对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角,熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.3.一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆,ACB ∆做了一个探究活动:将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处,设4AC BC ==.(1)如图1所示,两三角尺的重叠部分为ACM ∆,则重叠部分的面积为______,周长为______.(2)将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒,得到如图2所示,此时重叠部分的面积为______,周长为______.(3)如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形,如图3所示,请你猜想此时重叠部分的面积为______.(4)在如图3所示情况下,若1AD =,求出重叠部分图形的周长.答案:A解析:(1)4,442+;(2)4,8;(3)4;(4)425+【分析】()1根据4AC BC ==,90ACB ∠=,得出AB 的值,再根据M 是AB 的中点,得出AM MC =,求出重叠部分的面积,再根据AM ,MC ,AC 的值即可求出周长;()2易得重叠部分是正方形,边长为12AC ,面积为214AC ,周长为2.AC ()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ,垂足为H 、.E 求得RtMHD ≌Rt MEG ,则阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积. ()4先过点M 作ME BC ⊥于点E ,MH AC ⊥于点H ,根据DMH EMH ∠∠=,MH ME =,得出Rt DHM ≌Rt EMG ,从而得出HD GE =,CE AD =,最后根据AD 和DF的值,算出DM =. 【详解】解:()14AC BC ==,90ACB ∠=,AB ∴== M 是AB 的中点,AM ∴=45ACM ∠=,AM MC ∴=,∴4=, ∴周长为:44AM MC AC ++==+故答案为4,4+;()2重叠部分是正方形,∴边长为1422⨯=,面积为14444⨯⨯=, 周长为248⨯=.故答案为4,8.()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ,垂足为H 、E , M 是ABC 斜边AB 的中点,4AC BC ==,12MH BC ∴=, 12ME AC =, MH ME ∴=,又90NMK HME ∠∠==,90NMH HMK ∠∠∴+=,90EMG HMK ∠∠+=,HMD EMG ∠∠∴=,在MHD 和MEG 中,HMD GME MH MEDHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, MHD ∴≌()MEG ASA ,∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积, 正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=; ∴阴影部分的面积是4;故答案为4.()4如图所示, 过点M 作ME BC ⊥于点E ,MH AC ⊥于点H ,∴四边形MECH 是矩形,MH CE ∴=,45A ∠=,45AMH ∠∴=,AH MH ∴=,AH CE ∴=,在Rt DHM 和Rt GEM 中,DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, Rt DHM ∴≌.Rt GEMGE DH ∴=,AH DH CE GE ∴-=-,CG AD ∴=,1AD =,1.DH ∴=145DM ∴=+=.∴四边形DMGC 的周长为:CE CD DM ME +++2AD CD DM =++425=+【点睛】此题考查了等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质,等腰直角三角形的面积公式,正方形的面积公式,全等三角形的判定和性质求解.4.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.解析:(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=492. 【分析】(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =,12PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;(2)先判断出ABD ACE ∆≅∆,得出BD CE =,同(1)的方法得出12PM BD =,12PN BD =,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ∆的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论.【详解】解:(1)点P ,N 是BC ,CD 的中点,//PN BD ∴,12PN BD =, 点P ,M 是CD ,DE 的中点, //PM CE ∴,12PM CE =, AB AC =,AD AE =,BD CE ∴=,PM PN ∴=,//PN BD ,DPN ADC ∴∠=∠,//PM CE ,DPM DCA ∴∠=∠,90BAC ∠=︒,90ADC ACD ∴∠+∠=︒,90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒, PM PN ∴⊥,故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;(2)PMN ∆是等腰直角三角形.由旋转知,BAD CAE ∠=∠,AB AC =,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴∆≅∆,ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =, 利用三角形的中位线得,12PN BD =,12PM CE =, PM PN ∴=,PMN ∴∆是等腰三角形,同(1)的方法得,//PM CE ,DPM DCE ∴∠=∠,同(1)的方法得,//PN BD ,PNC DBC ∴∠=∠,DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠ BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠,90BAC ∠=︒,90ACB ABC ∴∠+∠=︒,90MPN ∴∠=︒,PMN ∴∆是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ∆是等腰直角三角形,MN ∴最大时,PMN ∆的面积最大,//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面,MN ∴最大AM AN =+,连接AM ,AN ,在ADE ∆中,4AD AE ==,90DAE ∠=︒, 22AM ∴=, 在Rt ABC ∆中,10AB AC ==,52AN =,225272MN ∴=+=最大,222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大. 方法2:由(2)知,PMN ∆是等腰直角三角形,12PM PN BD ==, PM ∴最大时,PMN ∆面积最大,∴点D 在BA 的延长线上,14BD AB AD ∴=+=,7PM ∴=,2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大. 【点睛】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出12PM CE =,12PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆,解(3)的关键是判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大.5.如图,在ABC 中,,AB AC BAC α=∠=,过A 作AD BC ⊥于点D ,点E 为直线AD 上一动点,把线段CE 绕点E 顺时针旋转α,得到线段EF ,连接FC 、FB ,直线AD 与BF 相交于点G .(1)(发现)如图1,当60α=︒时,填空:①AE BF的值为___________; ②AGB ∠的度数为___________;(2)(探究)如图2,当120α=︒时,请写出AE BF的值及AGB ∠的度数,并就图2的情形给出证明;(3)(应用)如图3,当90α=︒时,若15AB ACE =∠=︒,请直接写出DFG 的面积.答案:G解析:(1)1;60°;(2)3AE BF =,∠G =30°,理由见解析;(3) 【分析】(1)①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形,然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ,即BF =AE 从而得出答案;②根据①中的证明∠ABG =90°,∠BAG =30°,从而计算出∠AGB 的度数;(2)根据题目已知条件可以计算出BC =,同理可以证得CF =,再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ,从而得到比值和角的度数;(3)根据第(2)问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可.【详解】解:(1)①∵AB =AC ,CE =EF ,∠BAC =∠FEC =60°∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°,AC =CB ,CE =CF∴∠ACE =∠BCF∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ,即1AE BF= ②∵△ACE ≌△BCF∴∠EAC =∠CBF 由①可知△ABC 是等边三角形∴AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°(2)AE BF = ∵AB =AC ,∠BAC =120°,AD ⊥BC∴∠ABD =30°=∠ACB∴22BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°,EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE=,∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF∴∠CAE =∠CBF∴AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ,∠BAC =120°,∴∠CAE =∠CBF =60°又∵∠BDG =90°∴∠G =30°(3)第一种情况,如图所示,当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°,AD ⊥BC ∴sin 4562BC AD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15° ∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DC DE ==∴AE AD DE =-=BC CF AC CE==,∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ,∠BAC =90°,∴∠CAE =∠CBF =45°∴△ACE ∽△BCF∴BF BC AE AC==∴2BF == ∵∠ADC =∠BDG∴∠G =∠ACB =45°∴BG ==∴2FG BG BF =-=过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ,∵∠G =∠ACB =45°,∠BDG =90°∴=DG BD CD ==∴DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△第二种情况:当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M , 同上可证2BF BC AE AC ==,6BG BD ==,3DM = ∵∠ACE =15°,∠DAC =45°∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ,6CD =∴32tan 30DC DE == ∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=-∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△ 故答案为:3或33.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,旋转的性质,三角函数等知识点,解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点.6.如图,点B ,C ,D 在同一条直线上,△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形,连接AB ,DF ,延长DF 交AB 于点E .(1)如图1,若AD =BD ,DE 是∠ADB 的平分线,BC =1,求CD 的长度;(2)如图2,连接CE ,求证:DE =2CE +AE ;(3)如图3,改变△BCF 的大小,始终保持点在线段AC 上(点F 与点A ,C 不重合).将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ,取AD 的中点O ,连接OP .当AC =2时,直接写出OP 长度的最大值.解析:(1)21CD =;(2)证明见解析;(3)22+【分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质,求出1FC BC ==,再判断出FA FB =,即可得出结论;(2)先判断出ABC DFC ≅△△,得出BAC CDF ∠=∠,进而判断出ACE DCH ≅△△,得出AE DH =,CE CH =,即可得出结论;(3)先判断出2OE OQ ==,再判断出OED QEP ≅△△,进而求出2PQ OD ==得出结论.【详解】(1)解:BCF 和ACD △都是等腰直角三角形,AC CD ∴=,1FC BC ==,2FB =,AD BD =,DE 是ABD ∆的平分线,DE ∴垂直平分AB ,2FA FB ∴==,21AC FA FC ∴=+=,21CD ∴=;(2)证明:如图2,过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ,BCF 和ACD △都是等腰直角三角形,AC DC ∴=,FC BC =,90ACB DCF ∠=∠=︒;()ABC DFC SAS ∴≅△△,BAC CDF ∴∠=∠,90ECH ∠=︒,90ACE ACH ∴∠+∠=︒,90ACD ∠=︒,90DCH ACH ∴∠+∠=︒,ACE DCH ∴∠=∠.在ACE 和DCH 中,BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ACE DCH ASA ∴≅△△,AE DH ∴=,CE CH =,2EH CE ∴=.2DE EH DH CE AE =+=+;(3)OP 的最大值是22+解:如图3,连接OE ,将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ,连接OQ ,PQ ,则2OQ OE =.由(2)知,90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒,在Rt AED △中,点O 是斜边AD 的中点,122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===,在OED 和QEP △中,OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OED QEP SAS ∴≅△△,2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时,取“=”号,OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题,主要等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,构造出全等三角形是解本题的关键.7.如图.四边形ABCD 、BEFG 均为正方形.(1)如图1,连接AG 、CE ,请直接写出.....AG 和CE 的数量和位置关系(不必证明).(2)将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角(0180β︒︒<<),如图2,直线AG 、CE 相交于点M .①AG 和CE 是否仍然满足(1)中的结论?如果是,请说明理由:如果不是,请举出反例:②连结MB ,求证:MB 平分AME ∠.(3)在(2)的条件下,过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ,请直接写出.....线段CM 与BN 的数量关系.答案:A解析:(1)AG=EC ,AG ⊥EC ;(2)①满足,理由见解析;②见解析;(3)2.【分析】(1)由正方形BEFG 与正方形ABCD ,利用正方形的性质得到两对边相等,一对直角相等,利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等,利用全等三角形的对应边相等,对应角相等得到CE=AG ,∠BCE=∠BAG ,再利用同角的余角相等即可得证;(2)①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题;②过B 作BP ⊥EC ,BH ⊥AM ,由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等,而AG=EC ,可得出BP=BH ,利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线;(3)在AN 上截取NQ=NB ,可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到2BN ,接下来证明BQ=CM ,即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ,利用等式的性质得到AQ=BM ,利用SAS 可得出全等,根据全等三角形的对应边相等即可得证.【详解】解:(1)AG=EC ,AG ⊥EC ,理由为:∵正方形BEFG ,正方形ABCD ,∴GB=BE ,∠ABG=90°,AB=BC ,∠ABC=90°,在△ABG 和△BEC 中,BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABG ≌△BEC (SAS ),∴CE=AG ,∠BCE=∠BAG ,延长CE 交AG 于点M ,∴∠BEC=∠AEM ,∴∠ABC=∠AME=90°,∴AG=EC ,AG ⊥EC ;(2)①满足,理由是:如图2中,设AM 交BC 于O .∵∠EBG=∠ABC=90°,∴∠ABG=∠EBC ,在△ABG 和△CEB 中,AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABG ≌△CEB (SAS ),∴AG=EC ,∠BAG=∠BCE ,∵∠BAG+∠AOB=90°,∠AOB=∠COM ,∴∠BCE+∠COM=90°,∴∠OMC=90°,∴AG ⊥EC .②过B 作BP ⊥EC ,BH ⊥AM ,∵△ABG ≌△CEB ,∴S △ABG =S △EBC ,AG=EC , ∴12EC•BP=12AG•BH , ∴BP=BH ,∴MB 平分∠AME ;(3)CM=2BN ,理由为:在NA 上截取NQ=NB ,连接BQ ,∴△BNQ 为等腰直角三角形,即BQ=2BN ,∵∠AMN=45°,∠N=90°,∴△AMN 为等腰直角三角形,即AN=MN ,∴MN-BN=AN-NQ ,即AQ=BM ,∵∠MBC+∠ABN=90°,∠BAN+∠ABN=90°,∴∠MBC=∠BAN ,在△ABQ 和△BCM 中,AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABQ ≌△BCM (SAS ),∴CM=BQ ,则CM=2BN .【点睛】此题考查了正方形,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线的判定,熟练掌握正方形的性质是解本题的关键.8.问题解决一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图①,点P 是等边ABC 内的一点,6PA =,8PB = ,10PC =.你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°,得到BPA △,连接PP ',可得BPP '是等边三角形,根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形,从而使问题得到解决.(1)结合小明的思路完成填空:PP '=_____________,APP '∠=_______________,APB ∠=_____________ ,ABCS= ______________.(2)类比探究Ⅰ如图②,若点P 是正方形ABCD 内一点,1PA = ,2PB =,3PC =,求APB ∠的度数和正方形的面积.Ⅱ如图③,若点P 是正方形ABCD 外一点,3PA = ,1PB =, 11PC =,求APB ∠的度数和正方形的面积.答案:B解析:(1)8,90˚,150˚,25336;(2)Ⅰ135APB ∠=︒, 722ABCD S =+正方形;Ⅱ45APB ∠=︒, 1032ABCD S =-正方形【分析】(1)根据小明的思路,然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可;(2)Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△BP′A ,连接PP′,求出∠APB 的度数;先利用旋转求出∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,利用勾股定理求出PP',进而判断出△APP'是直角三角形,得出∠APP'=90°,即可得出结论;过B 作BE ⊥AP 于点E ,然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积;Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△BP′A ,连接PP′,求出∠APB 的度数;先利用旋转求出∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,利用勾股定理求出PP',进而判断出△APP'是直角三角形,得出∠APP'=90°,即可得出结论;过B 作BF ⊥AP 于点F ,然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积; 【详解】解:(1)由题易有P BP '∆是等边三角形,AP P '∆是直角三角形 ∴PP '=BP=8,90?APP '=∠,60?P PB '=∠,∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚, 如图1,过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150° ∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中,30?BPD =∠,BP=8 ∴BD=4,PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483 ∴ABCS=234AB =25336+ (2)Ⅰ.如图2,将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△BP′A ,连接PP′, ∴△ABP'≌△CBP ,∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3, 在Rt △PBP'中,BP=BP'=2,∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=2BP=22, ∵AP=1,∴AP 2+PP'2=1+8=9, ∵AP'2=32=9, ∴AP 2+PP'2=AP'2,∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°, ∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;过B 作BE ⊥AP 于点E , ∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形 ∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ.如图3,将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△BP′A ,连接PP′, ∴△ABP'≌△CBP ,∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=11, 在Rt △PBP'中,BP=BP'=1,∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=2BP=2, ∵AP=3,∴AP 2+PP'2=9+2=11, ∵AP'2=(11)2=11, ∴AP 2+PP'2=AP'2,∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°, ∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°.过B 作BF ⊥AP 于点F ∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形 ∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质,直角三角形的性质和判定,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键.9.问题:如图(1),点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠MAN=45°,试判断BM、MN、ND之间的数量关系.(1)研究发现如图1,小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG,从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为(直接写出结果,不用证明)(2)类比引申如图2,在(1)的条件下,AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F.已知EF =5,DF=4.求BE的长.(3)拓展提升如图3,在(2)的条件下,AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P,连接PQ.请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积.答案:B解析:(1)BM+DN=MN,理由见解析;(2)BE=3;(3)以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36.【分析】(1)结论是:BM+DN=MN,如图1,利用三角形AND旋转90º得三角形ABG,∠DAN=∠BAG,可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN,利用SAS证△AMN≌△AMG即可;(2)如图2,按同样方法△AFD顺时针旋转90º,使AD与AB重合,得△ABF′,连结EF′,△BEF′是直角三角形,用勾股定理求EF′=5,再证△AEF≌△AEF即可;(3)如图3,由(2)可得BD=12,可求正方形边长,构建△P′AQ,P′B=DP,将△ADP顺时针转90º,AD与AB重合,得△BQP′,连OP′,可证△BQP′是直角三角形,可证PQ=P′Q,再证△ABQ∽△PDA,将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求.【详解】(1)如图1,BM+DN=MN,理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD ,∠D =∠ABC =∠BAD =90°, 小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ,由旋转可得:BG =DN ,AN =AG ,∠1=∠2,∠ABG =∠D =90°, ∴∠ABG +∠ABM =90°+90°=180°, 因此,点G ,B ,M 在同一条直线上, ∵∠MAN =45°,∴∠2+∠3=∠BAD ﹣∠MAN =90°﹣45°=45°, ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°, ∴∠GAM =∠MAN , ∵AM =AM ,∴△AMN ≌△AMG (SAS ), ∴MN =GM ,∵GM =BM +BG =BM +DN , ∴BM +DN =MN ; 故答案为:BM +DN =MN ;(2)如图2,把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF ',连接EF ',∴AF ′ =AF ,∠DAF =∠BAF ',∠ABF ′ =∠ADF =45°,BF ′ =DF =4, ∵∠ABE =45°,∴∠EBF ′ =45°+45°=90°, ∵AE =AE ,同理得△EAF ≌△EAF '(SAS ), ∴EF '=EF =5,在Rt △EBF '中,由勾股定理得:BE ()()2222EF +BF 5-4=3''=3;(3)由(2)知:BE =3,EF =5,DF =4, ∴BD =3+4+5=12,由勾股定理得:AB 2+AD 2=BD 2, ∵AB =AD , ∴AB 2=72,如图3,把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP ',连接BP ′,则∠ABP′=∠ADP ,PD =P ′B ,AP =AP ′,∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P , ∴∠ADP =∠ABQ =135°, ∴∠DAP +∠APD =45°, ∵∠DAP +∠BAQ =45°, ∴∠BAQ =∠APD , ∴△ADP ∽△QBA , ∴AD PD=BQ AB, ∴BQ •PD =AD •AB =72, ∵∠ABP '=∠ABQ =135°, ∴∠QBP '=360°﹣135°﹣135°=90°, ∴S △BP 'Q =12BQ•BP′=12BQ•DP =12×72=36, ∵AP =AP ',∠PAQ =∠P 'AQ ,AQ =AQ , ∴△QAP ≌△QAP '(SAS ), ∴PQ =P 'Q ,∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36. 【点睛】本题是感知,探究,创新新题型,主要考查了学生对正方形的性质,旋转变换,勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用.关键是灵活掌握所学知识,同时会从感知中学到方法,结合下一图形,找到解决问题的方法,以及突破口,在创新中,注意把给出的问题进行转化,利用转化思想来解决.10.如图,在四边形ABCD 中,AB AC =,AD 是对角线,60BAC ∠=︒,4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠,(1)求ADC ∠的度数;(2)若AD BD CD =+,求证:AD 平分BDC ∠;(3)在(2)的条件下,E 、F 分别在AC 、AB 上,连接BE 、CF ,交于点P ,使得BPC BDC ∠=∠,若7BD EF ==,15AD =,求EFP ∆的面积答案:A解析:(1)=60∠︒ADC ;(2)证明见详解;(3)4003129. 【分析】(1)先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒,再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案;(2)把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △,由(1)及题意易得D 、C 、E 三点共线,从而得到ADE 是等边三角形,由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒,故得证;(3)过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ,FH ⊥AC ,分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ,连接BC ,由(2)及题意易得DC=8,由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠,进而得到AFC CEB △≌△,设AF=CE=x ,根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长,最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比,进而求解即可. 【详解】(1)解:=60BAC ∠︒,∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒, 又BDC ADB ADC ∠=∠+∠,4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠,∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒; (2)证明:把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △,由(1)得:∴AD=AE ,BD=CE ,=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+,DE=DC+CE ,∴D 、C 、E 三点共线,∴ADE 是等边三角形,∴60ADB E ∠=∠=︒, ∴60ADB ADC ∠=∠=︒,∴AD 平分BDC ∠; (3)解:过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ,FH ⊥AC ,分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ,连接BC ,由题意及(2)可得:ABC 是等边三角形,120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ,60BDG ∠=︒,7BD EF ==,15AD =,∴72DG =,32BG =,DC=AD-BD=8, ∴723822GC GD DC =+=+=, 在Rt BGC △中,222273231322BC BG GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又=120BPC BDC ∠=∠︒,∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒,60ECP PCB ∠+∠=︒,∴=ECP EBC ∠∠,=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=,∴AFC CEB △≌△,∴CE=AF ,设133,1313222CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-,,,,∴在Rt FHE 中,222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭,解得125,8x x ==,①当CE=AF=5时,则AE=8,∴111322BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====,,,,则有:a cb d FP PC ==∶∶∶,,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+,∴BFEBECSSFP PC =∶∶,∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶,又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=,∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=; ②当CE=AF=8时,AE=5,则有:∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=,1694CBEABCBECSSS =-==∴654BFEABEAFESSS=-=-=由①可得:25=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶,又11822FECSCE FH =⋅=⨯⨯=∴2525129129EFPFECSS ==⨯=综上所述:129EFPS =. 【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题,主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理,熟练掌握各个知识点是解题的关键,尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点.11.探究:如图①和②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.(1)如图①,若∠B、∠ADC都是直角,把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能得EF=BE+DF,请写出推理过程;(2)如图②,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系时,仍有EF=BE+DF;(3)拓展:如图③,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长.答案:B解析:(1)见解析;(2)∠B+∠D=180°;(3)5 3【分析】(1)根据已知条件证明△EAF≌△GAF,进而得到EF=FG,即可得到答案;(2)先作辅助线,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,根据(1),要使EF=BE+DF,需证明△EAF≌△GAF,因此需证明F、D、G在一条直线上,即180ADG ADF∠+∠=︒,即180B D∠+∠=︒;(3)先作辅助线,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,根据已知条件证明△FAD≌△EAD,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值,即DE的长.【详解】(1)解:如图,∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°, 即∠EAF=∠GAF=45°, 在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF (SAS ), ∴EF=GF , ∵BE=DG , ∴EF=GF=BE+DF ; (2)解:∠B+∠D=180°, 理由是:如图,把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ,使AB 和AD 重合, 则AE=AG ,∠B=∠ADG ,∠BAE=∠DAG , ∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴F 、D 、G 在一条直线上, 和(1)类似,∠EAF=∠GAF=45°, 在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF (SAS ), ∴EF=GF , ∵BE=DG , ∴EF=GF=BE+DF ; 故答案为:∠B+∠D=180°;(3)解:∵△ABC 中,2∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:22AB AC +,如图,把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ,使AB 和AC 重合,连接DF . 则AF=AE ,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE , ∵∠DAE=45°,∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°, ∴∠FAD=∠DAE=45°, 在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD , ∴DF=DE , 设DE=x ,则DF=x , ∵BD=1,∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x , ∵∠FBA=45°,∠ABC=45°, ∴∠FBD=90°,由勾股定理得:222DF BF BD =+,22(3)1x x =-+,解得:x=53, 即DE=53. 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形.12.如图,抛物线y =﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ,B 两点,其中A (3,0),B (﹣1,0),与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,直线y =kx+b 1经过点A ,C ,连接CD . (1)求抛物线和直线AC 的解析式:(2)若抛物线上存在一点P ,使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍,求点P 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ,使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1,且A 1好落在抛物线上?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案:A解析:(1)2y x 2x 3=-++;3y x =-+ ;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3) 【分析】(1)将点A ,B 坐标代入抛物线解析式中,求出b ,c 得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A ,C 坐标代入直线AC 的解析式中,即可得出结论;(2)利用抛物线的对称性得出BD =AD ,进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等,即可得出结论;(3)分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方,构造全等三角形即可得出结论. 【详解】解:(1)把A (3,0),B (﹣1,0)代入y =﹣x 2+bc+c 中,得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,∴23b c =⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x+3, 当x =0时,y =3, ∴点C 的坐标是(0,3),把A (3,0)和C (0,3)代入y =kx+b 1中,得11303k b b +=⎧⎨=⎩,∴113k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为y =﹣x+3; (2)如图,连接BC , ∵点D 是抛物线与x 轴的交点, ∴AD =BD , ∴S △ABC =2S △ACD , ∵S △ACP =2S △ACD ,∴S △ACP =S △ABC ,此时,点P 与点B 重合, 即:P (﹣1,0),过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ,则直线BP 的解析式为y =﹣x ﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,联立①②解得,1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩,∴P(4,﹣5),∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)如图,①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,当x=1时,y=2,∴Q'坐标为(1,2),∵Q'D=AD=BD=2,∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,∴∠AQ'B=90°,∴点Q'为所求,②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),过点A1'作A1'E⊥DQ于E,∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,∴∠DAQ+∠AQD=90°,由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,∴∠AQD+∠A1'QE=90°,∴∠DAQ=∠A1'QE,∴△ADQ≌△QEA1'(AAS),∴AD=QE=2,DQ=A1'E=﹣m,∴点A1'的坐标为(﹣m+1,m﹣2),代入y=﹣x2+2x+3中,解得,m=﹣3或m=2(舍),∴Q的坐标为(1,﹣3),∴点Q的坐标为(1,2)和(1,﹣3).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.13.如图1,ABC ∆中,CA CB =,ACB α∠=,D 为ABC ∆内一点,将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆,点,AD 的对应点分别为点,BE ,且,,A D E 三点在同一直线上.(1)填空:CDE ∠=______(用含α的代数式表示);(2)如图2,若60α=︒,请补全图形,再过点C 作CF AE ⊥于点F ,然后探究线段CF ,AE ,BE 之间的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,若90α=︒,52AC =ABEC 面积的最大值______. 解析:(1)1802α-;(2)33AE BE =+;证明见解析;(3)21)2. 【分析】(1)由旋转的性质可得CD CE =,DCE α∠=,即可求解;(2)由旋转的性质可得AD BE =,CD CE =,60DCE ∠=︒,可证CDE ∆是等边三角形,由等边三角形的性质可得33DF EF CF ==,即可求解; (3)如图3中,过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ,设AE 交BC 于J .证明90ACJ BEJ,推出点E 在以AB 为直径的圆上运动,即图中BC 上运动,当CEEB 时,四边形ABEC 的面积最大,此时EC EB =,分别求出ABC ∆,BCE ∆的面积即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆,DCE α∠= CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=. 故答案为:1802α︒-. (2)233AE BE CF =+理由如下:如图2中,将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=,CD CE =,60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形,且CF DE ⊥33DF EF ∴==AE AD DF EF =++23AE BE ∴=+. (3)如图3中,过点C 作CWBE 交BE 的延长线于W ,设AE 交BC 于J .。
1、绕点型(手拉手模型)
(1)自旋转:⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧,造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角,造旋转
,造等腰直角
旋遇,造等边三角形旋遇自旋转构造方法00
00018090906060
(2)共旋转(典型的手拉手模型)
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明:
(1) △ABE ≌△DBC
(2) AE=DC
(3) AE 与DC 的夹角为60。
(4) △AGB ≌△DFB (5) △EGB ≌△CFB (6) BH 平分∠AHC (7) GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明:
(1) △ABE ≌△DBC
(2) AE=DC
(3) AE 与DC 的夹角为60。
(4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC
(3)AE 与DC 的夹角为60。
(4)AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
(1)如图1,点
C 是线段AB 上一点,分别以AC ,BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△C BN ,连接AN ,BM .分别取BM ,AN 的中点E ,F ,连接CE ,CF ,EF .观察并猜想△CEF 的形状,并说明理由.
(2)若将(1)中的“以AC ,BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ,BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ,”如图2,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
例4、例题讲解:
H
B
1. 已知△ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B,C 重合),以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)?如图1,当点D 在边BC 上时,求证:①?BD=CF???②AC=CF+CD.
(2)如图2,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD 是否成立?若不成立,请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由; ?
(3)如图3,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
2、半角模型
说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
例1、如图,正方形ABCD 的边长为1,AB,AD 上各存在一点P 、Q ,若△APQ 的周长为2,求
PCQ ∠的度数。
例2、在正方形ABCD 中,若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动,且满足MN=BM +DN ,求证:①∠MAN=45°;②
△CMN 的周长=2AB ;③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。
例3、在正方形ABCD 中,已知∠MAN=45°,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动:①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系;②求证:AB=AH.
例4、在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,AB=AD ,若E 、F 分别在边BC 、CD 且上,满足EF=BE+DF.求证:BAD EAF ∠=
∠2
1。