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第二讲 数学规划模型

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数学规划模型

数学规划模型

min
f = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≤ b1 a x + a x + + a x ≤ b 22 2 2n n 2 21 1 (1) a x + a x + + a x ≤ b m2 2 mn n m m1 1 xi ≥ 0 (i = 1,2, , n)
7、8 节/第 2
次课
min f = C T X s.t AX ≤ b X ≥0
2. 线性规划的可行解:满足约束条件的解；
纯形法为主
( 2)
要方法。 对线性规 划模型（1） ， 求解结果有 以下三种情 况出现： ①有最优 解， 即在可行 解中能找到 最优解。 ②有可行 解， 但无最优 解。 ③无可行 解， 即不时 ， （ NLP ）就 变成 LP ） （ 。
min ( NLP ) s.t.
2..可行域:如果令
gi ( x ) ≤ 0, i = 1, , m h j ( x ) = 0, j = 1, , l
f ( x)
为非线性规划的标准（一般）形式。
数
学
建 模 电 子 教 案 第 1 教学周/星期五 /第
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
建模过程： 建模过程： 设 x 表示售价（单位：元） y 表示预期销售量（单位：桶） z 表示广告费（单位： ， ， （单位： 元） k 表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为 s， 获得的利润记为 P ， 元） 。由表 1 易见预期销售量 y 随着售价 x 的增加而单调下降，而销售增长因子 k 在开始 时随着广告费 z 的增加而增加，在广告费 z 等于 50000 元时达到最大值，然后在广告费增 加时反而有所回落，为此可用 Mathematica 画出散点图。 运行之后，可显示图 1，图 2 图-1 图-2

02-整数规划数学模型及其解法-4h

02-整数规划数学模型及其解法-4h
, i = 1,2 ,3 ,4 ,5
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0

第二讲 整数规划与非线性规划

第二讲 整数规划与非线性规划

Slack or Surplus 100.0000 -4.000000 -5.000000
20
0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它 的变量xj仅取值0或1。这时xj称为0-1变量，或 称二进制变量。 xj仅取值0或1这个条件可由下 0 述约束条件： ≤ x j ≤ 1 整数 所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一 致的。
23
例4 指派问题
指派问题的标准形式（以人和事为例）是： 有 n 个人和 n 件事，已知第 i 人做第 j 事的 费用为 Cij（i，j = 1，2，…，n），要求确定 人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这 件事的总费用最少。
24
指派问题的标准形式及其数学模型
xij = 1 当指派第 i 人完成第 j 项任务 0 当不指派第 i 人完成第 j 项任务
27
非线性规划
形如：
max f ( x) ⎧ hi ( x) = 0, i = 1, L , m s.t. ⎨ g j ( x) ≥ 0, j = 1, L , l ⎩
称为非线性规划。
28
例一
某公司经营两种物品，第一种物品每吨售价30 元，第二种物品每吨售价450元，售出每吨第 一种物品时所需的营业时间平均是0.5小时， 第二种物品的时间是（2+0.25x2）小时，其中 x2是第二种物品售出的数量。已知该公司在这 段时间内的总营业时间为800小时，试决定使 其营业额最大的营业计划。
31
Local optimal solution found at iteration: 101 Objective value: 49815.00 Variable X1 X2 Row 1 2 Value 1495.500 11.00000 Slack or Surplus 49815.00 0.000000 Reduced Cost 0.000000 0.5508468E-08 Dual Price 1.000000 60.00000

数学建模培训之数学规划模型

数学建模培训之数学规划模型

线性规划的求解
例1 max z 5 x1 10x2 s.t. 5 x1 4 x2 24, 2 x1 5 x2 15, x1 x2 1 x1 0, x2 0
x2
Q3
Q4 x2-x1 =1
O
Q2
2x1+5x2=15
Q1 x1 5x1+4x2=24
数学建模
Mathematical Modelling
第一讲 数学规划模型
优化问题： 现实世界当中经常遇到的一类问题。
Байду номын сангаас
最优化方法：
解决优化问题的数学方法。 解决优化问题的基本步骤： 1)建立优化模型; 2)利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。
优化模型：
1) 数学规划：线性规划
非线性规划
整数规划 动态规划 多目标规划 生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问 题、运输问题、下料问题，… 经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问 题、市场营销问题， …
2)图与网络的优化模型
运输问题 指派问题 最大匹配问题 最小覆盖问题
最短路问题
最小树问题 行遍性问题(旅行商问题/中国邮递员问题) 网络流问题(最大流/最小费用流) 计划网络图优化问题
3)对策论（博弈论） 4)排队论 5)存贮论 参考书：
▲运筹学(第3版)，《运筹学》教材编写组编，清
华大学出版社,2005
2. 罚函数法：
利用目标函数 f (x)和约束函数 g (x) 构造带参数的“增广” 目标函数 ，将约束NLP 转化为一系列无约束NLP来求解： min F(x) = f (x) + Pk(x) 其中Pk(x)为由g (x)构成的“惩罚”函数。

数学建模-数学规划模型

数学建模-数学规划模型
建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类

《数学规划模型 》课件

《数学规划模型 》课件
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。

数学规划模型 2

与送水方案无关！ 与送水方案无关！ 450×160=72,000(元)与送水方案无关！ 与送水方案无关！ 与送水方案无关
引水管理费+ 引水管理费+其他费用
其他费用: 元 千吨 其他费用:450元/千吨
确定送水方案使利润最大 确定送水方案使利润最大
使引水管理费最小ห้องสมุดไป่ตู้
模型建立
决策变量
确定3个水库向 个小区的供水量 确定 个水库向4个小区的供水量 个水库向 水库i 水库 向j 区的日供水量为 xij（x34=0） ）
求解
A(100) 100 30 B(120) 40 30 50 C(100) 50 甲(30;50) 乙(70;70) 丙(10;20) 丁(10;40)
Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 Value 0.000000 100.0000 0.000000 0.000000 30.00000 40.00000 0.000000 50.00000 50.00000 0.000000 30.00000
货机装运
模型建立
x11 + x21 + x31 + x41 10 x12 + x22 + x32 + x42 = 16 x13 + x23 + x33 + x43 = 8
xij--第i 种货物装入第 个货舱的重量 --第 种货物装入第j 平衡 要求 约束 条件 货物 供应
10； ； 6800 16； ； 8700 8； ； 5300

数学规划模型2014


j 1
x j 0, j 1,2,,n
LP模型的向量形式
或
min z CX
s.t. AX b 等约束的LP模型的矩阵形式
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm） xj 0, j 1,2,,n 线性规划模型（LP）
n
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2,,m
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2,,m
性 规
mj 1
xij bj , j 1,2,, n
划 模
i 1
型
xij 0, i 1,2,,m; j 1,2,,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2,,m
数学规划模型
I 引言
一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是研究在一 定约束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某 些）指标达到最优的一门学科。
数学规划是最优化中的重要部分。它包括线性规划、 整数规划、目标规划、动态规划、非线性规划等。
数学规划方法在经济、军事、科技等领域内都有广 泛的应用。

第二讲目标规划模型 (高级运筹学课件)


d1+ 0 -1 0 0 -1
d2+ 0 0 -1 0 -2
d3+ 0 0 0 -1 -1
迭代的步骤完全与线性规划的单纯形法一样。
（2）满意解的判定：检验数矩阵的每一列从上至下第一个
非零元为负数，则解为满意解。迭代的最优表如下：
13
XB d3+ x2 d2x1 Z1 Z2 Z3
b 18/5 24/5 2 24/5 0 2 0
例4
用单纯形法求解如下线性目标规划模型
minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d32x1+3x2≤24 加入松驰变量化为标准形 2x1+3x2+ x3=24 s．t． -x1+x2+ d1-- d1+ =0
3x1+2x2+ d2--d2+ =26
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
6
2）各级员工不要超过定编人数 1级有： 10-10 8%+x1+d2--d2+=10 2级有： 20-x1+ x2+d3--d3+=22 30-x3+ x4+d5--d5+=30
3级有： 40-x2+ x3+d4--d4+=52
4级有： 3）各级员工的升级面不少于现有人数的18% 对2级有： x1+d6--d6+=22 18% 对3级有： x2+d7--d7+=40 18%
P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；
8
P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小 总运费的110%，这里的最小总费用利用第三大题中第2小题 求出的结果； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试建立该问题的运筹学模型。

第二讲 模型简介


什么是数学建模？ 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过 程。可以直观的理解为数学建模是让一个纯粹 数学家变成物理学家、生物学家、经济学家甚 至是心理学家等等的过程。

引子——测量上高问题
问题：小明站在一个小山丘上，想要测量这个 山丘的高度。他站在山边，采取了最原始的方 法：从小山丘向下丢一小石子，5s 后他听到了 从小山丘下传来的回音。请各位尝试建立数学 模型估计小山丘的高度 模型一： 运用自由落体公式来计算：
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数


分析：上述模型是最简单最理想的自由落体模 型并没有考虑其他可能影响测量的因素。
引子——测量上高问题
模型二： 在模型一的基础上我们增加了考虑的因 素，增加了人的肉眼反应时间，通过查 阅资料得知人的反应时间约为1秒。


分析：此结果较模型一而言更接近实际 情况，属于修正的自由落体模型。
引子——测量上高问题

建模的一般步骤：





建模其实没有固定的模式，具体问题需要具 体分析，当然建模的过程也有其共性，一般来 说可以分为以下几个步骤： 1. 形成问题 2. 简化和假设 3. 模型构建 4. 模型的求解 5. 检验和评价 6. 模型的改进
模型的分类

大大小小的模型总计可达三十多种以上，如果再 加上算法的话可能有成百上千种，因此我们需要在 自己的脑子里对数学模型有一定的分类，以便自己 在以后的问题中遇到了能够很好地找到并利用。
模型分析与假设
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程序实现
Model: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; end
LINGO结果
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.00( x) hi ( x) 0, i 1,..., m g j ( x) 0, j 1,..., l xD
n
约 束 条 件
• 无约束优化(没有约束)与约束优化(有约束) • 可行解（只满足约束）与最优解(取到最优值)
局部最优解与整体最优解
f(x) x1 * x2 o x • 局部最优解 (Local Optimal Solution, 如 x1 ) • 整体最优解 (Global Optimal Solution, 如 x2 )
约束条件不变
A1获利增加到 30元/kg应否改变生产计划?不变！
影子价格不变时约束右端的允许变化范围
Ranges in which the basis is unchanged Objective Coefficient Ranges 目标函数不变 Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges 原料最多增加10 Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 原料 时间最多增加53 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000
Max z 72 x1 64 x2
x1 x2 50
线性 12 x1 8 x2 480 规划 模型 3x1 100 (LP) x1 , x2 0
模型分析与假设
线性规划模型
比 xi对目标函数的 A1,A2每千克的获利是 例 “贡献”与x 取值 与各自产量无关的常数 i 性 成正比 xi对约束条件的 每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 “贡献”与xi取值 间是与各自产量无关的常数 成正比 可 xi对目标函数的 A1,A2每千克的获利是 加 “贡献”与x 取值 与相互产量无关的常数 j 性 无关 xi对约束条件的 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 “贡献”与xj取值 间是与相互产量无关的常数 无关 x 取值连续 连续性 i 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
数学建模协会课件
东华理工大学理学院
卢丰海
2011年10月15日
第二讲
数学规划模型
2.1 奶制品的生产与销售 2.2 自来水输送与货机装运
2.3 汽车生产与原油采购
2.4 接力队的选拔和选课策略
2.5 饮料厂的生产与检修
2.6 钢管和易拉罐下料
数学规划模型
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件 目标函数
优化模型的 简单分类
连续优化
min s.t.
f ( x) hi ( x) 0, i 1,..., m g j ( x) 0, j 1,..., l x D n
•线性规划(LP，Linear Program) 目标和约束均 为线性函数，决策变量无整数限制 •非线性规划(NLP，Nonlinear Program) 目标或 约束中至少存在一个非线性函数 二次规划(QP，Quadratic Program) 目标为 二次函数、约束为线性，决策变量无整数限制
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约 束）
结果解释
结果解释
Global optimal solution found. 最优解下“资源”增 Objective value: 3360.000 加1单位时“效益”的 Total solver iterations: 2 增量 Variable Value Reduced Cost 影子价格 X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料增加1单位,利润增长48 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 4 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利
模型求解
x1 x2 50
12 x1 8 x2 480
图解法 l1 : x1 x2 50
l2 : 12 x1 8x2 480
x2 A
l1 B l2 C z=3600 l
3
3x1 100 x1 , x2 0
l3 : 3x1 100 l4 : x1 0, l5 : x2 0
基本模型 1桶 牛奶 或 12小时 3kgA1 获利24元/kg
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100kgA1 决策变量 目标函数 x1桶牛奶生产A1 获利 24×3x1 x2桶牛奶生产A2 获利 16×4 x2
4kgA2
获利16元/kg
每天获利 约 束 条 件 原料供应 劳动时间 加工能力 非负约束
选择
最优解不变(目标函 Ranges in which the basis is unchanged数值会变)时目标函 Objective Coefficient Ranges 数系数允许变化范围 Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease x1系数范围: X1 72.00000 24.00000 8.000000 (72-8, 72+24) X2 64.00000 8.000000 16.00000 = (64, 96) Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable x 系数范围:(48,72) RHS Increase Decrease 2 2 50.00000 10.00000 6.666667 x1系数由24 3=72 3 480.0000 53.33333 80.00000 增至303=90<96, 4 100.0000 INFINITY 40.00000 在允许范围内
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Model: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; end
LINGO
三 种 资 源
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 原料无剩余 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 时间无剩余 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 加工能力剩余40
l4 c
0
l5
目标 Max z 72 x1 64 x2 z=0 函数 z =c (常数) ~等值线 在B(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 最优解一定在 可行域为直线段围成的凸多边形 凸多边形的某 个顶点取得。 目标函数的等值线为直线
x1 D z=2400
LP的约束和目标函数均为线性函数 2维 n维
4 合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
5 模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103).
2.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料 等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划. 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变 化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶 段生产计划.
本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
问题
1桶 牛奶 或 12小时 3kgA1 4kgA2 获利24元/kg 获利16元/kg
8小时 每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100kgA1
制订生产计划，使每天获利最大
• 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？ • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买 多少?
50桶牛奶, 480小时
至多100kgA1 制订生产计划，使每天净利润最大 • 30元可增加1桶牛奶, 3元可增加1小时时间, 应 否投资?现投资150元，可赚回多少？ • B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无 影响？
基本模型
1桶 牛奶 或
12小时
3kgA1 1kg 2h,3元 4kgA2 1kg