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同济大学《数学建模》数学规划模型

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数学建模案例分析第四章 数学规划模型

数学建模案例分析第四章 数学规划模型
x2 x6 4 50
原料 供应
劳动 时间
x1 x 5 3
加工能力 附加约束 非负约束
x 1 x 5 100
x 3 0 .8 x 5
4 ( x1 x 5 ) 2 ( x 2 x 6 ) 2 x 5 2 x 6 480
x 4 0 . 75 x 6
x1 , x 6 0
LINDO 6.1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 3360.000
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
T
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
约 束 12 x 1 8 x 2 条 3 x 1 100 件
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000

数学规划模型

数学规划模型

数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。

数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。

首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。

目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。

例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。

接下来，数学规划模型需要定义决策变量。

决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。

例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。

然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。

例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。

同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。

接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。

常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。

具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。

最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。

这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。

总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。

通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。

这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。

数学建模-数学规划模型

数学建模-数学规划模型

• 因为x1,x2当前均为非整数，故不满足整数要求，
任选一个进行分枝。设选x1进行分枝，把可行
集分成2个子集：
x1 [4.8] 4 x1 [4.8] 1 5
• ，因为4与5之间无整数，故这两个子集内的整
数解s.t. 必与原可行集合整数解一致。这一步称为
分枝。这两个子集的规划及求解如下：问题B1：
Max z 40x1 90x2
• 最优解为：
9 7
x1 x1
7x2 56 20x2 70
0 x1 4, x2 0
x1 4.0, x2 2.1, z1 349
• 问题B2
Max z 40x1 90x2
s.t.
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
x1 5, x2 0
由于xi只取值0或1
xi (1 xi ) 0, i 1,L , n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最 大的方案，所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取0或1）的限 制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为
n
bi xi
max Q
i 1 n
ai xi
i 1
非线性规划的Matlab解法 Matlab中非线性规划的数学模型形式
minf(x)
Ax B Aeq x Beq C(x) 0 Ceq(x) 0
其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量， 是非线性向量函数。Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB, NONLCON,OPTIONS)
• x j [bj ] xj [bj ] 1 进行迭代。
• 第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符 合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小 于bj的最大整数。构造两个约束条件

数学建模培训之数学规划模型

数学建模培训之数学规划模型

线性规划的求解
例1 max z 5 x1 10x2 s.t. 5 x1 4 x2 24, 2 x1 5 x2 15, x1 x2 1 x1 0, x2 0
x2
Q3
Q4 x2-x1 =1
O
Q2
2x1+5x2=15
Q1 x1 5x1+4x2=24
数学建模
Mathematical Modelling
第一讲 数学规划模型
优化问题： 现实世界当中经常遇到的一类问题。
Байду номын сангаас
最优化方法：
解决优化问题的数学方法。 解决优化问题的基本步骤： 1)建立优化模型; 2)利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。
优化模型：
1) 数学规划：线性规划
非线性规划
整数规划 动态规划 多目标规划 生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问 题、运输问题、下料问题，… 经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问 题、市场营销问题， …
2)图与网络的优化模型
运输问题 指派问题 最大匹配问题 最小覆盖问题
最短路问题
最小树问题 行遍性问题(旅行商问题/中国邮递员问题) 网络流问题(最大流/最小费用流) 计划网络图优化问题
3)对策论（博弈论） 4)排队论 5)存贮论 参考书：
▲运筹学(第3版)，《运筹学》教材编写组编，清
华大学出版社,2005
2. 罚函数法：
利用目标函数 f (x)和约束函数 g (x) 构造带参数的“增广” 目标函数 ，将约束NLP 转化为一系列无约束NLP来求解： min F(x) = f (x) + Pk(x) 其中Pk(x)为由g (x)构成的“惩罚”函数。

数学建模-数学规划模型

数学建模-数学规划模型
建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

点击进入传送门
2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

传送门
3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

传送门
6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

《数学规划模型 》课件

《数学规划模型 》课件
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。

数学建模线性规划模型

数学建模线性规划模型

引 言
• 历史悠久 • 理论成熟 • 应用广泛
1939
KOHTOPOBUZ “生产组织与计 生产组织与计 数学方法” 划中的 数学方法” 解乘数法” “解乘数法”
• 1947 •
DANTZIG 人员轮训 任务分配 单纯形法” 美国科学院院士 “单纯形法”
• 1960 “最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算” 最佳资源利用的经济计算 康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)因 康托洛维奇和库伯曼斯 因 对资源最优分配理论的贡献而获1975年 对资源最优分配理论的贡献而获 年 诺贝尔经济学奖。 诺贝尔经济学奖。 • 60-70年代 计算机 50约束 100变 年代 约束 变 30000约束 3000000变量 约束 变量
④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变 量；根据θ规则 θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk • 确定相应的换出变量，并得到中心元素 a'lk。转⑤。 • ⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得 到新的单纯形表。转②
不符合标准型的几个方面
：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+L+cnxn 令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- L -cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+L+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+L+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj′ - xj″，对模型中的进行变量代换。

数学建模线性规划模型108页PPT

数学建模线性规划模型108页PPT
数学建模线性规划模型
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自

数学建模——规划模型

数学建模——规划模型
i a b d １ 1 .2 5 1 .2 5 3 ２ 8 .7 5 0 .7 5 5 ３ 0 .5 4 .7 5 4 ４ 5 .7 5 5 7 ５ 3 6 .5 6 ６ 7 .2 5 7 .7 5 11
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)

数学建模,第五章 数学规划模型

数学建模,第五章 数学规划模型

数学建模,第五章数学规划模型数学建模：第五章数学规划模型在数学的广袤领域中，数学规划模型是解决实际问题的有力工具之一。

它帮助我们在各种限制条件下，寻找最优的解决方案，从而实现资源的合理分配、效益的最大化等目标。

数学规划模型的应用场景极为广泛。

比如在生产制造领域，企业需要决定生产何种产品、生产多少数量，以在有限的资源和时间内获得最大的利润；在物流运输中，如何规划运输路线，使得运输成本最低、时间最短；在资源分配方面，如电力分配、水资源分配等，怎样做到公平且高效。

数学规划模型主要包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等类型。

线性规划是其中最为基础和常见的一种。

它的目标函数和约束条件都是线性的。

举个简单的例子，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产A 产品每件需要 2 小时的加工时间和 1 公斤的原材料，生产B 产品每件需要 3 小时的加工时间和 2 公斤的原材料。

工厂每天有 10 小时的加工时间和 8 公斤的原材料可用，A 产品每件利润 3 元，B 产品每件利润 5 元。

那么，为了获得最大利润，应该分别生产多少件 A 和 B 产品呢？我们可以设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化 3x ＋ 5y，约束条件则是 2x ＋3y ≤ 10 和 x ＋2y ≤ 8 以及x ≥ 0，y ≥ 0。

通过求解这个线性规划问题，我们就能得出最优的生产方案。

非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。

比如在一个生产过程中，成本函数可能不是简单的线性关系，而是与产量的平方或者其他非线性函数相关。

整数规划要求决策变量取整数值。

例如在人员安排问题中，只能安排整数个人，不能有半个人的情况。

动态规划则适用于多阶段决策问题。

比如在项目投资中，每年都要决定是否投资以及投资多少，需要考虑不同阶段的收益和成本。

建立数学规划模型的一般步骤包括：首先，明确问题的目标和约束条件。

这需要对实际问题进行深入的分析和理解，将其转化为数学语言。

数学规划模型的建立与求解(建模)

数学规划模型的建立与求解(建模)
x B1 yB1 z B1 850 40 x A1 y A1 x A 2 y A 2 z A 2 z A1 130 x B 2 y B 2 z B 2 z B1 15 x A 2 y A 2 u1 v1 95000 , u2 v 2 9500 400 x A1 60000 , 400 x A 2 60000 200 x B1 35000 , 200 x B 2 35000 1200 z A1 2000 , 1200 z A 2 2000 800 z B1 1500 , 800 z B 2 1500 u1 50000 , u2 50000 x A1 , x A 2 , x B1 , x B 2 , y A1 , y A 2 , y B1 , y B 2 , z A1 , z A 2 , z B1 , z B 2 , u1 , u2 , v1 , v 2 0
其中
n (1) (2) (3) x x1 , x2 , , xn R A , A , A T
为矩阵，
b(1)， b(2) , b(3)
为列向量。
数学规划模型的建立与求解
4.1.2 标准的线性规划问题
min z cT x s.t . Ax b x0
数学规划模型的建立与求解
张兴元 2009 年 3 月
数学规划模型的建立与求解
1．优化问题及其一般模型
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的 问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格， 使所获利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小 …………

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题
对于问题（2），需要重新改建六个新的料场，使得在在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，则需要确定新的料场的具体位置，这是非线性问题。
三、模型假设
1、假设料场和建筑工地之间都可以由直线到达；
2、运输费用由“吨千米数”来衡量；
3、两料场的日存储量够向各建筑工地供应；
f1=0;
fori=1:6
s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
fori=7:12
s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
f2=s(i)*x(i)+f2;
end
一、问题提出
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系(a，b)表示，距离单位：km）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。
（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使运输费用（总的吨千米数）最小，并求出吨千米数。
d=[3 5 4 7 6 11];
x=[5 2];
y=[1 7];
e=[20 20];
fori=1:6
forj=1:2
aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
end
end
CC=[aa(:,1); aa(:,2)]'
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
(注：先画图，在坐标上标出各工地位置（用蓝色*标示）和料场位置（用红色o标示）)

数学建模实验答案__数学规划模型二.

数学建模实验答案__数学规划模型二.

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。

数学模型总结

数学模型总结

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

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s.t. a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
非负性 xi 0,i 1, 2, , n.
注 线性规划的目标函数还可以用min来表示, 表示
追求目标函数的最小值. 而s.t.表示约束条件:
从分析中可以看出, 此问题的关键是确定每种方案下 的余料数.
设 xi i 1, 2, ,5 表示第i 种方案中使用的原料钢
筋数, 则余料数为
z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5.
而相应的限制条件为
故原问题的数学关系式为
min z 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5.
假设在切割过程中, 我们不考虑钢筋的损耗, 并考虑各 种切割方案:
方案
2.9
2.1
1.5
余料
1
1
0

3
0
2
2
0
1
0.1
3
0
2
2
0.2
4
1
2
0
0.3
5
0
1
3
0.8
s.t.
2x1x3 2
x2 x4 100, 2x4 x5 100,
3x1 x2 2x3 3x5 100.
非负性 xi 0,i 1, 2, ,5.
s.t. x1 2x2 x4 100,
2x3 2x4 x5 100, 3x1 x2 2x3 3x5 100.
非负性 xi 0,i 1, 2, ,5.
在Lingo下得到该问题的解为
min 0.1* x2 0.2* x3 0.3* x4 0.8* x5; x1 2* x2 x4 100; 2* x3 2* x4 x5 100; 3* x1 x2 2* x3 3* x5 100;
输成本为cij ,则问题的目标函数为
z 21x11 25x12 7x13 15x14 51x21 51x22 37x23 15x24 ,
由于从第一个产地调出的物质的总和为第一个产地的产
量, 即有
x11 x12 x13 x14 2000,
同理, 有
x21 x22 x23 x24 1100.
End
保存完之后执行Lingo菜单下的Solve命令,得到相应的解.
Variable X1 X2 X3
Value 85.71429 71.42857 121.4286
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus 1 1592.857 2 0.000000 3 57.14286 4 0.000000 5 0.000000
x21
x22
x23
x24
1100.
x11 x12
x21 x22
1700, 1100,
分析
该问题的关键所在是确定每种产品的产量, 为此以 x1, x2 , x3 表示三种产品的产量, 则目标为
Max z 4.5x1 5x2 7x3.
在一个生产周期中, 每种设备所提供的工时为有限的, 故对四种设备而言还应该满足下列条件:
Max z 4.5x1 5x2 7x3.
s.t. 2x1 2x2 4x3 800,
End
运行后得到该问题的解为
X2 25.00000 X3 0.000000 X4 25.00000 X5 0.000000 X1 25.00000
0.000000 0.3666667 0.000000 1.283333 0.000000
线性规划的模型一般可表示为
max z c1x1 c2 x2 cn xn.
（Subject to）.
问题3 要从甲地调出物质2000吨, 从乙地调出物质
1100吨, 分别供给 A地1700吨, B 地11吨, C 地200吨和 D
100吨, 已知每吨运费如表所示, 试建立一个使运费达到 最小的调拨计划.
销地
产地
A
B
C
D
甲
21
25
7
15
乙
51
51
37
15
单位路程运费表
分析 设从第 i个产地到第 j个销地的运输量为 xij , 运
Dual Price 1.000000 1.357143 0.000000 0.2142857 0.4642857
问题2 某车间要制造100套钢筋架, 每套需要长为2.9
2.1 m, 1.5m 的钢筋各一根. 已知原料钢筋长度为7.4m.
问如何切割钢筋, 使得钢筋的利用率为最高?
分析 该问题的要点是如何切割钢筋, 使得每次切割之 后, 剩下的余料为最少?
4x1x122x2x233x3x368550,0, 2x1 4x2 2x3 700. 非负性 xi 0,i 1, 2,3.
用Lingo软件可以得到相应问题的解. 启动Lingo, 在窗 口下中输入下列程序:
max 4.5* x1 5* x2 7 * x3; 2 * x1 2 * x2 4x3 800; 1* x1 2 * x2 3x3 650; 4 * x1 2 * x2 4x3 850; 2 * x1 4 * x2 2x3 700;
对称地, 对销地而言, 有关系
x11 x21 1700, x12 x22 1100, x13 x23 200, x14 x41 100.
由此得到该问题的数学模型
min z 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24 ,
s.t. x11 x12 x13 x14 2000,
第四章 数学规划模型
一、数学规划模型
1.模型的建立
问题1 某厂利用甲,乙,丙,丁四种设备生产A,B,C三种 产品, 相关数据如表所示. 已知这三种产品的单件利润 分别是4.5, 5, 7（百元）,试问该厂应如何安排生产可获 得最大利润?
A
B
C 总工时
甲
2
2
4
800
乙
1
2
3
650
丙
4
2
3
850
丁
2
4
2
700
甲 2x1 2x2 4x3 800. 乙 x1 2x2 3x3 650. 丙 4x1 2x2 3x3 850. 丁 2x1 4x2 2x3 700. 注意到变量 x1, x2 , x3 代表的是产品的产量, 故有xi 0.
抽去所给问题的具体意义, 我们得到原问题的数学关系 为