第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
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例5-4 已知 OA = 1.5m，AB = 0.8m。机构从 = 0开始匀速转动，运动中AB杆始终铅垂，B端速度 vB = 0.05m/s;求 转动方程 = f ( t)和点B的轨迹。
解 AB杆平动，0.05m/s，rad/s，rad B点的坐标为
图5-4
消去，得其轨迹方程为 （圆）
例5-5 已知 = b sin t，O1A = O2B = l，AB = O1O2，轮2 的半径 为r2；求 时，轮2的角速度2和角加速度2。
即，，
联立解出，。
题5-19图
5-20 如图所示，曲柄CB以匀角速度0绕C轴转动，其转动方程为 ＝0t，通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OC＝h，CB＝r，求摇杆的转 动方程。
解：以C为原点，x、y轴分别如图示，则对于B： 在图示中，
又 ＝0t 摇杆的转动方程为，
。 5-21 一木板放 在两个半径r＝0.25 m 的传输鼓轮上面。在
（2）速度和加速度的大小 速度，，加速度，；。
t0＝0时， 速度，v0＝2 m/s，加速度，m/s2；m/s2，a0＝8.54 m/s2 t1＝1 s时， 速度，v1＝－1m/s，加速度，m/s2；m/s2，a1＝20.2m/s2 （3）物体改变转向时，，由此得到t＝0.667 s。 5-16 搅拌机如题5－16图所示，已知O1A＝O2B＝R，O1O2＝AB， 杆O1A以不变转速n r/min。试分析 BAM构件上M点的轨迹、速度和加速
的速度u是常量，求轮缘上一点M的轨
迹、速度、加速度和轨迹的曲率半径。
解：取坐标系如图示。令时，M点位
于坐标原点O，轮心A位于Oy轴的A0点。
设在t瞬时，轮心和M点位于图示位置。
由于轮只滚不滑
图5-3
︵
(a)
︵
又 (b)
点的x、y坐标都是角的函数
(c)
(d) 将式（a）、式（b）代入式（c）、（d）
(e)
5.2 基本要求
1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动 轨迹，能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。
2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。能正确判断作平动的刚体和定 轴转动的刚体
3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各 点的速度和加速度有关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速 度和加速度的矢量表示法。
3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s为弧坐标。
点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。 点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。 1．矢径法 2．直角坐标法
， ， ， 3．弧坐标法
切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度 方向随时间的变化。
：加速运动 ：减速运动 几种特殊运动 （1）直线运动 （2）圆周运动 （3）匀速运动 （4）匀变速运动 5.1.2 刚体的基本运动 刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。是刚体运动的最 简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。
刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。 因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而 确定整体运动。
解 刚体ACB平动，D点是轮2上与轮B啮 合的点，其速度为
加速度为
当时，
图5-5
所以
例5-6 已知上题机构从静止开始运动，轮2的角加速度2为恒量；求 曲柄O1A的转动规律。
解 参照上题的分析，得A点的切向加速度和O1A杆的角加速度 积分得O1A的角加速度和转动方程
5.5 习题解答
本章中5-1；5-2；5-3；5-4；5-7；5-11；5-12 ；5-13；5-14题解 答略。
时间的变化。如本章讨论的各种坐标系。 点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。对于
不同的坐标系，将有不同的形式。 1．矢量式
其中是点的矢径。此式主要用于理论推导。 2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形 建立直角坐标系，动点M的位置由其在坐标系中的x，y，z坐标确
定。
上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。如果消去时间参数t，即可 得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。
(f)
这就是M点的运动方程。消去时间参量t，得M点的轨迹方程 这就是旋轮线或摆线方程。
式（e）、式（f）对时间求一阶导数得速度的投影 (g) (h)
M点的速度的大小和方程余弦为 (i)
可见，速度v恒通过车轮的最高点D。 式（g）、式（h）对时间求一阶导数得加速度的投影 M点的加速度的大小和方向余弦为 (j)
题5-17图
a a an O
R
60
解出，。
5-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正 比地增大。经过 5 min后，转子的角速度＝600 rad/s。试求转子在这段 时间内转过多少转？
解： 由条件得到，，其中k为比例常数。 由，得， 对上式积分得到， 代入条件解出转子在这段时间内转过N＝30 000转。 5-19 OA杆长L＝1m。在题5-19图所示瞬时杆端A 点的全加速度a与杆成 角。＝60，a＝20m/s2。求该瞬 时OA杆的角速度和角加速度。 解： 由于有，，
第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
5.1 主要内容
5.1.1 点的运动的表示法 研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。 物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体
在空间的位置。这一特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。 在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随
5.3 重点讨论
三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法 中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的 投影，就得出自然法中的速度与加速度。
直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是 固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点 一起运动的直角轴系(切向轴 、法向轴n及副法向轴b)，因此，不能用 自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立 点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。
刚体绕定轴转动用角坐标确定定轴转动刚体的位置。 运动方程
角速度 角加速度
转动刚体上各点的速度分布
转动刚体上各点加速度分布
为点到转轴的距离。 矢量表示法
为在轴上的投影； 为在轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度及加速度的计算：
， 切向加速度； ， 法向加速度。
其中r为由转动轴上任一点引向该点的矢径。
解 石块的运动方程为 消去t得轨迹方程
将B、C两点坐标代入，分别得
图5-2
(1)
(2) 由式（1）、（2）消去（1+tan2）得
(3)
由式（1）－式（2），得 将式（3）代入上式，令，得l2 + 40l－800 = 0 解得 l = 14.64m时最小
例5-3 半径为r的车轮在直线轨道上
滚动而不滑动，如图5-3示。已知轮心A
5-5 动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为
其中x、y以cm计，t以s计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相 遇的时刻；（3）相遇时A、B点的速度、加速度。
解：（1）由消去t，即得动点的轨迹： ； （2）令两方程组中，得到两点相遇的时刻为t＝1 s； （3）求速，，，vB＝8.25 cm/s。 （4）求加速度。 A点的加速度，，，aA＝4 cm/s2； B点的加速度，，，aB＝24.1 cm/s2。 5-6 已知动点的运动方程为x＝t2–t，y＝2t，求其轨迹及t＝1 s时的速 度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。x及y的单位为 m，t的单位为s。 解：（1）由消去t，即得动点的轨迹： （2）求速度与加速度。
题5-20图
题5－21图所示瞬
时，木板具有不变的 加速度a＝0.5 m/s2，
可见，加速度a恒通过车轮中心。 式（i）对时间求一阶导数，得M点的切向加速度 (k)
式（j）、式（k）代入式（5-21），得M点的法向加速度
由式（5-20）得轨迹在M点处的曲率半径
由此可见，当 (对应轨迹的最高点)，曲率半径最大， ；当或 时(M点在 轨道上)，曲率半径最小， 。轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点 ——不连续的尖端点。
，
，，
，， 切向加速度， 法向加速度， 5-8 如题5－8图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动，试建立 摇杆OC上点C的运动方程，并求此点在 的速度大小。假定初始瞬时＝ 0，摇杆长OC＝a，距离OD＝l。 解：如图示坐标系，点C的坐标为， 点A的坐标为，
， 动点C的运动方程为， 用弧坐标表示点C的运动方程，则有 当，
vD= vD和vD的方向如图所示。
5-15 物体作定轴转动的运动方程为＝4t－3t2（以rad计，t以s 计）。试求此物体内，转动半径r＝0.5 m的一点，在t0＝0与t1＝1 s的速 度和加速度的大小，并问物体在哪一瞬时改变转向？
解：（1） 由定轴转动的运动方程＝4t－3t2， 得到定轴转动物体的角速度与角加速度，，。
D y x
x y
（a）
（b）
题5-10图
解：（1）如题5-10图（b）建立直接坐标系xoy，则D点的运动方程 为，
得到滑块D的速度， 用自然坐标法，点D的轨迹是圆弧，运动方程和速度为
（2）以O为原点，OA为坐标轴建立动坐标系Ox， 点D在Ox轴的坐标和速度为
x＝lcoskt 所以相对于OA的速度，
5.4 例题分析
例5-1 已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。。在AB段，加速度为a = g，在段，切向加速度；求 小环在C、D两处的速度和加速度。
解 在AB段，由
作积分
得
在段，由
作积分
得
图5-1
在C点处，， 在D点处， = 3.487g。
解 AB杆平动，0.05m/s，rad/s，rad B点的坐标为
图5-4
消去，得其轨迹方程为 （圆）
例5-5 已知 = b sin t，O1A = O2B = l，AB = O1O2，轮2 的半径 为r2；求 时，轮2的角速度2和角加速度2。
即，，
联立解出，。
题5-19图
5-20 如图所示，曲柄CB以匀角速度0绕C轴转动，其转动方程为 ＝0t，通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OC＝h，CB＝r，求摇杆的转 动方程。
解：以C为原点，x、y轴分别如图示，则对于B： 在图示中，
又 ＝0t 摇杆的转动方程为，
。 5-21 一木板放 在两个半径r＝0.25 m 的传输鼓轮上面。在
（2）速度和加速度的大小 速度，，加速度，；。
t0＝0时， 速度，v0＝2 m/s，加速度，m/s2；m/s2，a0＝8.54 m/s2 t1＝1 s时， 速度，v1＝－1m/s，加速度，m/s2；m/s2，a1＝20.2m/s2 （3）物体改变转向时，，由此得到t＝0.667 s。 5-16 搅拌机如题5－16图所示，已知O1A＝O2B＝R，O1O2＝AB， 杆O1A以不变转速n r/min。试分析 BAM构件上M点的轨迹、速度和加速
的速度u是常量，求轮缘上一点M的轨
迹、速度、加速度和轨迹的曲率半径。
解：取坐标系如图示。令时，M点位
于坐标原点O，轮心A位于Oy轴的A0点。
设在t瞬时，轮心和M点位于图示位置。
由于轮只滚不滑
图5-3
︵
(a)
︵
又 (b)
点的x、y坐标都是角的函数
(c)
(d) 将式（a）、式（b）代入式（c）、（d）
(e)
5.2 基本要求
1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动 轨迹，能熟练地求解与点的速度和加速度有关的问题。
2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。能正确判断作平动的刚体和定 轴转动的刚体
3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各 点的速度和加速度有关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速 度和加速度的矢量表示法。
3．弧坐标形式（自然法）—用于轨迹已知的情形 在轨迹上建立弧坐标系，以s为弧坐标。
点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。 点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。 1．矢径法 2．直角坐标法
， ， ， 3．弧坐标法
切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度 方向随时间的变化。
：加速运动 ：减速运动 几种特殊运动 （1）直线运动 （2）圆周运动 （3）匀速运动 （4）匀变速运动 5.1.2 刚体的基本运动 刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。是刚体运动的最 简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。
刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。 因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而 确定整体运动。
解 刚体ACB平动，D点是轮2上与轮B啮 合的点，其速度为
加速度为
当时，
图5-5
所以
例5-6 已知上题机构从静止开始运动，轮2的角加速度2为恒量；求 曲柄O1A的转动规律。
解 参照上题的分析，得A点的切向加速度和O1A杆的角加速度 积分得O1A的角加速度和转动方程
5.5 习题解答
本章中5-1；5-2；5-3；5-4；5-7；5-11；5-12 ；5-13；5-14题解 答略。
时间的变化。如本章讨论的各种坐标系。 点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。对于
不同的坐标系，将有不同的形式。 1．矢量式
其中是点的矢径。此式主要用于理论推导。 2．直角坐标形式—用于轨迹未知的情形 建立直角坐标系，动点M的位置由其在坐标系中的x，y，z坐标确
定。
上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。如果消去时间参数t，即可 得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。
(f)
这就是M点的运动方程。消去时间参量t，得M点的轨迹方程 这就是旋轮线或摆线方程。
式（e）、式（f）对时间求一阶导数得速度的投影 (g) (h)
M点的速度的大小和方程余弦为 (i)
可见，速度v恒通过车轮的最高点D。 式（g）、式（h）对时间求一阶导数得加速度的投影 M点的加速度的大小和方向余弦为 (j)
题5-17图
a a an O
R
60
解出，。
5-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正 比地增大。经过 5 min后，转子的角速度＝600 rad/s。试求转子在这段 时间内转过多少转？
解： 由条件得到，，其中k为比例常数。 由，得， 对上式积分得到， 代入条件解出转子在这段时间内转过N＝30 000转。 5-19 OA杆长L＝1m。在题5-19图所示瞬时杆端A 点的全加速度a与杆成 角。＝60，a＝20m/s2。求该瞬 时OA杆的角速度和角加速度。 解： 由于有，，
第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
5.1 主要内容
5.1.1 点的运动的表示法 研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。 物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体
在空间的位置。这一特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。 在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随
5.3 重点讨论
三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法 中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量v、a在自然轴上的 投影，就得出自然法中的速度与加速度。
直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是 固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点 一起运动的直角轴系(切向轴 、法向轴n及副法向轴b)，因此，不能用 自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立 点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。
刚体绕定轴转动用角坐标确定定轴转动刚体的位置。 运动方程
角速度 角加速度
转动刚体上各点的速度分布
转动刚体上各点加速度分布
为点到转轴的距离。 矢量表示法
为在轴上的投影； 为在轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度及加速度的计算：
， 切向加速度； ， 法向加速度。
其中r为由转动轴上任一点引向该点的矢径。
解 石块的运动方程为 消去t得轨迹方程
将B、C两点坐标代入，分别得
图5-2
(1)
(2) 由式（1）、（2）消去（1+tan2）得
(3)
由式（1）－式（2），得 将式（3）代入上式，令，得l2 + 40l－800 = 0 解得 l = 14.64m时最小
例5-3 半径为r的车轮在直线轨道上
滚动而不滑动，如图5-3示。已知轮心A
5-5 动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为
其中x、y以cm计，t以s计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相 遇的时刻；（3）相遇时A、B点的速度、加速度。
解：（1）由消去t，即得动点的轨迹： ； （2）令两方程组中，得到两点相遇的时刻为t＝1 s； （3）求速，，，vB＝8.25 cm/s。 （4）求加速度。 A点的加速度，，，aA＝4 cm/s2； B点的加速度，，，aB＝24.1 cm/s2。 5-6 已知动点的运动方程为x＝t2–t，y＝2t，求其轨迹及t＝1 s时的速 度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。x及y的单位为 m，t的单位为s。 解：（1）由消去t，即得动点的轨迹： （2）求速度与加速度。
题5-20图
题5－21图所示瞬
时，木板具有不变的 加速度a＝0.5 m/s2，
可见，加速度a恒通过车轮中心。 式（i）对时间求一阶导数，得M点的切向加速度 (k)
式（j）、式（k）代入式（5-21），得M点的法向加速度
由式（5-20）得轨迹在M点处的曲率半径
由此可见，当 (对应轨迹的最高点)，曲率半径最大， ；当或 时(M点在 轨道上)，曲率半径最小， 。轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点 ——不连续的尖端点。
，
，，
，， 切向加速度， 法向加速度， 5-8 如题5－8图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动，试建立 摇杆OC上点C的运动方程，并求此点在 的速度大小。假定初始瞬时＝ 0，摇杆长OC＝a，距离OD＝l。 解：如图示坐标系，点C的坐标为， 点A的坐标为，
， 动点C的运动方程为， 用弧坐标表示点C的运动方程，则有 当，
vD= vD和vD的方向如图所示。
5-15 物体作定轴转动的运动方程为＝4t－3t2（以rad计，t以s 计）。试求此物体内，转动半径r＝0.5 m的一点，在t0＝0与t1＝1 s的速 度和加速度的大小，并问物体在哪一瞬时改变转向？
解：（1） 由定轴转动的运动方程＝4t－3t2， 得到定轴转动物体的角速度与角加速度，，。
D y x
x y
（a）
（b）
题5-10图
解：（1）如题5-10图（b）建立直接坐标系xoy，则D点的运动方程 为，
得到滑块D的速度， 用自然坐标法，点D的轨迹是圆弧，运动方程和速度为
（2）以O为原点，OA为坐标轴建立动坐标系Ox， 点D在Ox轴的坐标和速度为
x＝lcoskt 所以相对于OA的速度，
5.4 例题分析
例5-1 已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。。在AB段，加速度为a = g，在段，切向加速度；求 小环在C、D两处的速度和加速度。
解 在AB段，由
作积分
得
在段，由
作积分
得
图5-1
在C点处，， 在D点处， = 3.487g。
