第六章：点的运动学
第六章
点的运动学
⼀、要求1、能⽤⽮量法建⽴点的运动⽅程，求速度和加速度。
2、能熟练地应⽤直⾓坐标法建⽴点的运动⽅程，求轨迹、速度和加速度。
3、能熟练地应⽤⾃然法求点在平⾯上作曲线运动时的运动⽅程、速度和加速度，并正确
理解切向加速度和法向加速度的物理意义。
⼆、重点、难点
点的曲线运动的直⾓坐标法，点的运动⽅程，点的速度和加速度在直⾓坐标轴上的投影。点的曲线运动的⾃然法（以在平⾯内运动为主），点沿已知轨迹的运动⽅程，点的切向加速度与法向加速度。
三、学习指导
点的运动学是整个运动学的基础。三种⽅法描述同⼀点的运动，其结果是⼀样的。如果将⽮量法中的⽮量r 、v 、a ⽤解析式表⽰，就是坐标法；⽮量v 、a 在⾃然轴投影，就得出⾃然法中的速度与加速度。
直⾓坐标系与⾃然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直⾓坐标系是固定在参考系上，可⽤来确定每⼀瞬时动点的位置。点沿空间曲线运动有三个运动⽅程，点沿平⾯曲线运动有两个运动⽅程，点沿直线运动有⼀个运动⽅程。⾃然轴系是随动点⼀起运动的直⾓轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能⽤⾃然轴系确定动点的位置。⾃然法以已知轨迹为前提，⽤弧坐标来建⽴点的运动⽅程，以确定动点每⼀瞬时在轨迹上的位置。
⽤直⾓坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取⼀次和⼆次导数，得到速
度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的⼤⼩和⽅向。⽤⾃然法求速度，则将坐标对时间取⼀次导数，就得到速度的⼤⼩和⽅向。⾃然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度⼤⼩和速度⽅向改变的快慢程度。需注意的是不能将dtdv
误认为是动点的全加速度。只有当0=n a 时，才有dtdv
a =
。学员可⾃⾏分析，这时点作什么运动。 下⾯对⽮量法、直⾓坐标法与⾃然法作⼀总结和⽐较：
解题指导
点的运动学问题类型⼤致有四类：1、⽤坐标法（直⾓坐标法、⾃然法等）建⽴点的运动⽅程。
对于点的运动轨迹未知，⼀般选⽤直⾓坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选⽤⾃然法，当然亦可以直⾓坐标法。具体步骤如下：
刚性知识点总结
一、刚体的基本概念
1. 刚体的定义
刚体是指在外力作用下不产生形变的物体。在力学中，理想的刚体是不允许发生形变的，但实际上在受力的作用下，任何物体都会产生微小的形变。所以，严格地说，真正意义上的刚体是不存在的。但在研究刚体的运动规律时，可以假设物体是刚体。
2. 刚体的性质
a. 刚体的质点性：刚体可以看作由无限多个质点组成的系统，因此刚体也具有质点的性质。
b. 刚体的自由度：刚体的自由度是指刚体固定在空间中的位置所需要的独立坐标的数量。对于平动刚体（即只进行平移运动的刚体），其自由度为3；对于转动刚体（即只进行转动运动的刚体），其自由度为3；而对于一般的刚体来说，其自由度为6。
3. 刚体的平移运动与旋转运动
刚体的运动可以分为平移运动和旋转运动两种。平移运动是指刚体的中心沿直线运动，而旋转运动是指刚体围绕某一固定轴进行转动。刚体的平移运动和旋转运动可以同时发生，即平移运动和旋转运动可以叠加在一起。
二、刚体的运动
1. 刚体的平动运动
刚体的平移运动是指刚体的中心围绕其质心作直线运动。在平移运动中，刚体上的任何一点都以相同的速度移动。根据牛顿第二定律，刚体的平移运动与质心处的合外力成正比，与刚体的总质量成反比。
2. 刚体的旋转运动
刚体的旋转运动是指刚体的不同部分围绕刚体固定的轴（称为旋转轴）作圆周运动。在旋转运动中，刚体上的各点围绕旋转轴作圆周运动，速度和加速度不同。刚体的旋转运动可分为定轴运动和自由转动两种情况。
3. 刚体的复合运动
刚体的运动通常是复合的，即同时包括平移运动和旋转运动。在复合运动中，刚体的平移运动和旋转运动是相互耦合的，即平移运动会影响旋转运动，而旋转运动也会影响平移运动。
三、刚体的力学平衡 1. 刚体的平衡条件
刚体的力学平衡是指刚体在外力作用下静止或保持匀速直线运动的状态。在静力学中，刚体的平衡条件包括平衡力的条件和力矩的条件两种。平衡力的条件是指刚体所受的合外力为零，力的合力矩的条件是指刚体所受的合外力矩为零。
刚体的运动和转动
刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动
刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动
刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。 刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程
刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：
∑F = ma
其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：
∑τ = Iα
其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法
1引言
理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。包括静力学、运动学和动力学三大部分。运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。其中点的合成运动是运动学的重点内容。此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述
在日常生活中，会经常遇到这样的情况。当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。而以公共汽车为参考物，则人静止的。可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。再引申一个例子，如图2。沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。 于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动
研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系
研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
