河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题-附答案
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唐山一中2017-2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．若1m iz i +=-（m R ∈，i 为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则,a b 全为0”时，假设正确的是（ ）A. ,a b 中只有一个为0B.,a b 至少一个为0C. ,a b 全不为0D.,a b 至少有一个不为03.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ）A ．233198C CB ．233231973197C C +C C C ．5142003197C -C CD ．55200197C -C4. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(1)f '-= （ ） A ．0 B ．6- C ．3- D ．2-5. 设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)2iP X i i a ===，则(3)P X <= （ ）A. 25B. 35C. 310D. 7106. 某厂生产的零件外直径()100.04N ξ，，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.3cm 和9.3cm ，则可认为 （ ） A ．上、下午生产情况均正常B ．上、下午生产情况均异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 利用数学归纳法证明不等式：*1111(2,)2321nn n n N ++++<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了 （ ）A. 2k 项B. 12k -项C. k 项 D. 1项8. 过函数x xx f -=1)(图象上一点()2,2-及邻近一点()2,2x y +∆-+∆作割线，则当0.25x ∆=时割线的斜率为 （ ）A.15 B ．45 C ．1D ．95-9.从1,2,,9⋅⋅⋅这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ） A ．60种 B ．65种C ．66种D ．68种10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ） A ．1320种B ．2160种C ．2400种D ．4320种12.设函数()y f x =在()0,+∞上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数(),()(),()p f x f x pf x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数ln 1()x x f x e +=，恒有()()p f x f x =，则下列结论正确的是 （ ）A ．p 的最大值为1eB ．p 的最小值为1e C ．p 的最大值为2D ．p 的最小值为2卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．4221x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为19，则实数a 的值为__________.14.已知函数 11(), 1x x f x e x -≤≤=-⎪⎩＞，则21()f x dx -⎰=__________.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为__________.16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.①已知随机变量X 服从二项分布),(p n B ，若20)(,30)(==X D X E ,则32=p ；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =)1(＞ξ，则p P -=≤-21)01(ξ＜；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)XB ，则当8X =时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分)设整数1,p p N *>∈，用数学归纳法证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1px px +>+.18.(本题满分12分)已知函数3()16f x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.20．（本题满分12分） 已知二次函数()2+8f x x x=-，直线22:8l y t t =-+（其中02,t t≤≤为常数），1:2l x =.若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及2,l y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积S 关于t 的函数()S t ；（2）已知函数()()ln g x S x a x=+在其定义域上单调递减，求a 的范围.21.(本题满分12分)设函数).,1,()11()(**∈>∈+=N x n N n n x f x（1）当6x =时，求xn )11(+的展开式中二项式系数最大的项； （2）（A 普班、实验班做）x R ∀∈，证明)(2)2()2(x f f x f '>+（)()(x f x f 是'的导函数）；（B 英才班做）是否存在*∈N a ,使得n a k an knk )1()11(1+<+<∑=恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a 的值；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分) 已知函数f (x)lnx ax =-；（1）讨论f (x)的单调性；（2）当函数f (x)有两个不相等的零点12x ,x 时,证明: 212x x e ⋅>.唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学答案一．选择题：1-4:DDBB ；5-8: CCAB ；9-12: CDAB.二．填空题：13.1±；14.22e eπ-+；15. 0.75；16. ②③④.三．解答题：17. 用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k ∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x －16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x20＋1， ∴直线l 的方程为:y ＝(3x20＋1)(x －x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19.（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则13441222()=()()()()3333P A C +112243= ∴131()=243P A ……………………4分 （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分211(2)()39P ξ===121214(3)()()()33327P C ξ===，1243121228(4)()()()()333381P C ξ==+=,1341232(5)()()3381P C ξ===．……………………………………………………10分故ξ的分布列为：32681E ξ=（）．……………………………………………………………………12分20.（1）由得∵0≤t≤2，∴直线l1与f （x ）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：………………………………………………………………6分(2)32440()()ln 1016ln 33g x S x a x x x x a x=+=-+-++，定义域为]20，（ 32242016()42016a x x x ag x x x x x -+-+'=-+-+=………………………………8分因为)(x g y =单减,则016-20423≤++-a x x x 恒成立，即min 2316204x x x a +-≤ 设x x x x h 16204)(23+-=，)(x h y =在)3135,0(-是增函数，在]2,3135(-是减函数，所以16-≤a …………………………………………………………………12分21.（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 …2分（2）（普班、实验班）证法一：因=证法二：因= ………………………………………………………6分而 故只需对和进行比较．令g （x ）=x-lnx （x≥1），有由，得x=1因为当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当1＜x ＜+∞时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以在x=1处g （x ）有极小值1 故当x ＞1时，g （x ）＞g （1）=1， 从而有x-lnx ＞1，亦即x ＞lnx+1＞lnx 故有恒成立．所以f （2x ）+f （2）≥2f′（x ），原不等式成立．……………………………12分 （2）（英才班）对m ∈N ，且m ＞1 有 …4分= =＜……………………………………………8分=＜3； 又因＞0（k=2，3，…，m ），故…………………10分∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．…………………………………12分22.（1）当0a ≤时，f (x)在()0,+∞单调递增； 当0a >时，f (x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；f (x)在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；………………4分 （2）不妨设120x x >>，由题意得1122ln x ax ln x ax =⎧⎨=⎩相减得：1212ln x ln x a x x -=-，要证212x x e >，只需证122ln x ln x +>…………………6分12ln x ln x +=12a(x x )+=1212ln x ln x x x --12(x x )+2>，只需证1212122(x x )ln x ln x x x -->+只需证112122211x ()x x lnx x x ->+，设12x tx =1(t )>，只需证2101(t )lnt t -->+……………10分设211(t)g(t)lntt-=-+，则2211'(t)g(t)t(t)-=>+，10g(t)g()>=，所以原命题成立.………………………………………………………………………12分。
