(完整word版)重庆南开中学高2017级高一(上)期末考试数学试题及其答案(word文档良心出品)

y= log 1 2sin(2 x
2
) 1 的单调递增区间为 3
(k π＋ ， kπ＋ ) ，选 C
6 3
7、解：∵ f （ x ） =Acos（ω x+φ ）为奇函数，∴ f（ 0） =Acosφ =0 ． ∵ 0＜φ ＜π ，∴ φ＝ ，
2
∴ f （ x） =Acos（ ω x+ ） =-Asin ωｘ ，
3b
2
b a
4c
的范围．
3
19、 （ 12 分）已知函数 f （ x） =sin
x 2
cos + 3 cos
2
x
2
x 2
． ] ，求函数 y=f（ x）的值域．
（ 1）求方程 f （ x） =0 的解集；（ 2）当 x∈ [0 ，
2
20、 （ 12 分）已知函数 f （ x）＝ sin（ 间的距离是
1 3 , ） 2 4
B、 3
C、 1
6
4、函数 f（ x）＝ e +4x-3 的零点所在的区间是（ A、 （
1 4 ,0 ）
B、 （ 0,
1 4
）
C、 （
1 1 , ） 4 2
5、在△ ABC 中， a、 b、 c 分别是三个内角 A 、 B、 C 的对边， “ sinA>sinB是“ ” A>B ” 的什么条 件（ ） B 、 必要 不 充分 ) 1 的单调区间 ( C 、 充要 )
2014-2015 重庆南开高 2017 级高一（上）期末考试 数学试卷
（ 2015.1） ，满分 150 分，考试时间 120 分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
一、选择题 （本大题 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题只有一个选项符合要求） 1、计算 cos28 cos32 A、

2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．310．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．14．计算：= ．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑．【分析】“”⇒“”，反之不成立，例如α=．即可判断出结论．【解答】解：“”⇒“”，反之不成立，例如α=．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，∴，解得l=5，r=，∴扇形的面积S=lr=故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式，涉及角的弧度数的定义，属基础题．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的零点存在定理判断即可．【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+＜0，f（3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点定理的应用，注意判断函数的单调性，以及零点定理的应用．5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；规律型；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：D．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行推导即可．【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin x，然后向右平移个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，根据三角函数的周期变换和平移变换法则是解决本题的关键．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，则f=f（0），f=f（1）=1，f=f（2），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x=﹣2时，f（﹣2+4）=f（﹣2），即f（2）=﹣f（2），则f（2）=0，即f+f+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质结合条件关系进行转化是解决本题的关键．10．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======，故选：D．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力，属于基础题．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=﹣2x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 1 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，得出m2﹣3m+3=1，求出m的值，再验证幂函数是否为（0，+∞）上的减函数即可．【解答】解：幂函数在（0，+∞）单调递减，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意；当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去；∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．14．计算：= 3 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：=log66+2=3．故答案为：3．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得tan，再由二倍角的正切公式可得．【解答】解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），又∵，∴sin==，∴tan==2，∴tanθ==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为[，1+] ．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，令log2（1﹣x）+1=0，x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，即可得出结论．【解答】解：由题意，令log2（1﹣x）+1=0，∴x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，∴实数a的取值范围是[，1+]．故答案为：[，1+]．【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=﹣，代入tanα=tan[（α+β）﹣β]=，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=，代值计算可得．【解答】解：（1）∵，∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]===﹣；（2）化简可得===【点评】本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=a x+=f（x），则函数为偶函数，当x≥0时，设0≤x1＜x2，即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•，∵a＞1，0≤x1＜x2∴1≤＜，则﹣＜0，•﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增，同理当x≤0时，函数单调递减；（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|），即|x﹣1|＞|2x+1|，平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期；（2）由图象过点可得λ=﹣1，由结合三角函数的值域可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ由函数图象关于直线对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）∵y=f（x）的图象过点，∴2sin（2•﹣）+λ=0，解得λ=﹣1，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，故函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出f（cosθ），问题转化为sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，∴，解得：，∴f（x）=x2+x﹣2；（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，∴由不等式对θ∈R恒成立，得：cos2θ+cosθ﹣2≤sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=+1﹣，∵﹣1≤sinθ≤1，∴①﹣1≤≤1即﹣3≤m≤1时：g min（θ）=1﹣≥0，解得：﹣3≤m≤1，符合题意；②＜﹣1即m＜﹣3时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＞﹣3，无解；③＞1即m＞1时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＜1，无解；综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（θ）=sos2θ+（1+m）sinθ+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（﹣x）==0，由此能求出a．（2）当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=0，得x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）==0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）===0，∴=1，∴1﹣a2x2=1﹣x2，解得a=±1．（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx），由﹣log2（mx）=0，解得mx=1，x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=，由=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】综合题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可．【解答】解：（1）若a=，b=，c=，则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．（3）λ的最大值是．①当λ＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．②当λ=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，即 a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得 sina+sinb＞+=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得 cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当λ=时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为，【点评】本题主要考查新定义的应用，要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。

一、单选题1．化成弧度为（ ） 750 A ．B ．C ．D ．25π614π3112π17π3【答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可 【详解】根据角度制转化弧度制公式得. π25750π1806︒⨯=︒故选：A.2．已知集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5A ={}22150B x x x =--<A B = A ． B ． C ． D ．{}1{}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，而，()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<{}1,2,3,4,5A =所以， A B = {}1,2故选：B3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）p x {}*:3,q x x x k k ∈=∈N p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之q x 不成立，即可得到答案.【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，q x 而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者， 而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者， 故是的充分不必要条件. p q 故选：A.4．已知，，，则（ ） 0.2log 3a =0.20.3b =ln πc =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<b a c <<b<c<a 【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得， 0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =所以， a b c <<故选：A.5．命题，使得函数在上不单调，则命题的否定是（ ） :p α∃∈R y x α=()0,∞+p A ．，函数在上不单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+B ．，函数在上单调 :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+C ．，函数在上单调 :p α⌝∃∈R y x α=()0,∞+D ．，函数在上单调 :p α⌝∃∉R y x α=()0,∞+【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定是“，函数在上单调”. p :p α⌝∀∈R y x α=()0,∞+故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A ． B ．21xy x =-35y x -=C ．D ． 12,0,11,0.2x x x y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩1e ln 1exxy -=+【答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数； 对C 项，可判断为奇函数且为减函数； 对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数. 【详解】对A ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数； 0x =0y =2x =23y =对B ：当时，，而当时，，在定义域内一定不是减函数；0x <0y <0x >0y >对C ：，12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，， 0x <()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，当时， ， 0x >()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，当时，也成立，0x =()()0f x f x -=-=故对，都有，故为奇函数，R x ∀∈()()f x f x -=-12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩当时，为减函数，当时，为减函数，0x ≤()120x f x =->0x >()210xf x -=-<所以为上减函数，故C 正确；12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩R 对D ：定义域为，故不可能为奇函数.1e ln 1e xx y -=+(,0)-∞故选：C7．已知函数，，，则的取值范围是（ ） ()lg f x x =()()f a f b =a b <2023a b +A ．B ．C ．D ．)∞⎡+⎣()2023,+∞()2024,+∞()0,∞+【答案】C【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设()lg 0ab =1b a=a 20232023a b a a +=+，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 2023y a a=+01a <<【详解】由题知，显然， 0,lg lg a b a b <<=lg lg a b ≠则，即， lg lg a b -=()lg 0ab =则，则，，即，解得， 1ab =1b a =a b < 1a a<01a <<，设，，20232023a b a a+=+2023y a a =+01a <<令，解得， 2023a a=a =根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 2023y a a=+()0,1故其值域为. ()2024,+∞故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） ()244x f x x+=()()132f a f a +<-a A ． B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭233,,4322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()4,+∞()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的()2414f x x x =+限制.【详解】为偶函数，且在上递减. ()2414f x x x =+()0,∞+∵，()()132f a f a +<-∴，()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭∵，，∴且，∴.10a +≠320a -≠1a ≠-32a ≠233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（ ） A ．任何集合都至少有两个子集B ．设为全集，，，是的子集，若，则 U A BC U ()U A B C ⊆⋃ðA B C =∅ C ．命题“，”的否定为“，”x ∀∈R e e x x ≥x ∃∈R e e x x ≤D ．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件 p q r q r p 【答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项A B ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.C D 【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误； A 因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故A B C U ()U A B C ⊆⋃ðA ,B C A B C =∅ 选项正确；B 因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；x ∀∈R e e x x ≥R,e e x x x ∃∈<C 因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所p q q p r q r q 以能推出，则是的充分条件，故选项成立， r p r p D 故选：.BD 10．已知幂函数，则（ ）()()2ln 22m m f x x --=A ．，函数的图像与坐标轴没有交点 m ∀∈R ()f xB ．，使得是奇函数m ∃∈R ()f x C ．当时，函数在上单调递增 4m ≥()f x ()0,∞+D ．当时，函数的值域为 1m =-()f x {}1【答案】BCD【分析】对A ，B 项：当时可说明A 错误B 正确；()2ln 221m m --=对C 项： 分析的取值范围，根据幂函数的单调性判断；()2ln 22m m --对D 项： 当时求定义域与值域即可.1m =-()0f x x =【详解】设可知可取遍全体正数，()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--()213m --所以可取遍全体实数，()g m ∴当时，，，A 错误，B 正确；()213e m --=()2ln 221m m --=()f x x =当时，， 4m ≥()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦由幂函数性质，在上单调递增，C 正确；()f x ()0,∞+时，，定义域为，值域为，D 正确.1m =-()0f x x ={}R 0x x ∈≠{}1故选：BCD11．已知，则（ ） 1a b >>A B ．C ．D ．>1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 5log 3a b >tan tan a b >【答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D. 【详解】解：对于A 选项，由得，故，故正确； 1a b >>1101a b<<<111b a a a a b >>对于B 选项，由于，故，故正确；1a b >>111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C 选项，若，，则，故错误； 5a =3b =log 5log 31a b ==对于D 选项，若，，故错误. 2πa =πb =故选：AB12．已知函数和函数，关于的方程有个()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩()()21g x x k x =++x ()()0g f x k +=n 实根，则下列说法中正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， 2n =2k <-4n =2k <-C ．， D ．，k ∀∈R 1n ≥k ∃∈R 5n ≥【答案】BC【分析】由解得或，结合图象分析根的个数与()()0g f x k +=()1f x =-()f x k =-()f x ()f x k =-的取值关系.k 【详解】令，若，则，解得或，()t f x =()g t k =-()21t k t k ++=-1t =-k -∴或，对于，该方程有一解，故C 正确；()1f x =-()f x k =-()1f x =-图象如图，若，可知且，所以且，故A 错误；()f x 2n =2k -<1k -≠-2k >-1k≠若，需要有三个根,由图可知，，故B 正确； 4n =()f x k =-2k ->2k <-由图可知至多三个解，所以，故D 错误. ()f x k =-4n ≤故选:BC三、填空题 13．函数的定义域是______.()2ln 2y x =-【答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0. 【详解】函数有意义应满足，解得，()2ln 2y x =-()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩()(),11,2x ∈-∞故答案为：()(),11,2-∞ 14．______. cos16cos104sin16cos14-= 【答案】##12-0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+，()sin 161431sin 20=-+=-=- 故答案为：12-15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为3π2π3______. 【答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而r a C r CO a =+a 求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为，∴ r 21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,a C 2πsin 6a CO a==，故， 33r CO DC a ==+=1a =所以最大的圆周长为. 2π故答案为：2π四、双空题16．已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩1a =()f x ()f x零点，则实数的取值范围是______. a 【答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单1a =1x ≤()21x f x =-1x >()22()211f x x x x =-+=-调性求值域;当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤生,列出满足的条件;当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1x ≤【详解】时，，当时, ，当时，1a =()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩1x ≤()21(1,1]x f x =-∈-1x >，故值域为；()22()2110f x x x x =-+=->()1,-+∞若，由上知此时只有一个零点；1a =()f x 当且时，当时有两个零点，，0a >1a ≠1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭a 1a 其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，1aa ()f x 而时，此时需要有一个零点，只需，1x ≤(]2,2xy a a a =-∈--20a -≥∴，()(]0,11,2a ∈⋃当时，当时，对称轴为，在上为增函数， 0<a 1x >211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭102a a x +=<()1,+∞∴，21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，知在上无零点，120a a-->()f x ()1,+∞而时，在上单调，∴不可能有两个零点. 1x ≤2x y a =-(],1-∞综上实数的取值范围是. a ()(]0,11,2 故答案为: ;()1,-+∞()(]0,11,2五、解答题17．已知，集合，.a ∈R {}0A x x a =-≥{}13B x x =-≤≤(1)当时，求，； 2a =A B ⋂A B ⋃(2)若，求的取值范围. ()R A B ⊆ða 【答案】(1)， []2,3[)1,-+∞(2) 3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出，根据列出应满足的条件.B R ð()R A B ⊆ða 【详解】（1）当时，，，； 2a =[)2,A =+∞[]2,3A B = [)1,A B =-+∞ （2），，， ()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð[),A a =+∞R A B ⊆ð∴.3a >18．（1）求的值；()14625lg0.025lg4+（2）已知，求的值. ()1sin π3α+=()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解. 【详解】（1）原式； ()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=（2）∵，∴，()1sin π3α+=1sin 3α=-原式. ()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭19．已知，.,0x y >132x y+=(1)求的取值范围； 21x y+(2)求的最小值.12y x+【答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52【分析】(1)根据已知条件得到，将式子中的换成，结合二次函数的图象和203x <<21x y +1y 23-x 性质即可求解；(2)结合将式子变形，利用基本不等式即可求解. 132x y +=12y x+【详解】（1）因为，则，又因为，所以，132x y +=1230x y =->,0x y >203x <<则，因为，22213132()24x x x x y +=-+=--203x <<由二次函数的图象和性质可得：. 214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴且，解得1522y x +≥16xy xy =132x y +=x =y =∴的最小值为12y x+5220．已知，集合，.a ∈R (){}222220A x x a x a a =-+--≤()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)求集合；B (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)13,24⎛⎫⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式的解集，即可得解；()12log 211x ->（2）由可得，分和两种情况讨论，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤23a ≥-23a <-求出集合，根据得到不等式组，解得即可.A B A ⊆【详解】（1）解：由，即，所以，解得()12log 211x ->()11221log 21log 2x ->10212x <-<1324x <<，所以； ()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭（2）解：由，即，()222220x a x a a -+--≤()()220x a x a +--≤当即时，，22a a -≤+23a ≥-{}22A x a x a =-≤≤+当即时，， 22a a ->+23a <-{}22A x a x a =+≤≤-若，当时，，解得， B A ⊆23a ≥-132224a a -≤<≤+12a ≥-当时，，解得， 23a <-132224a a +≤<≤-34a ≤-综上可得. 31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为（且）元，该电影院一天x 4x >*x ∈N 出售爆米花所获利润为元.（总收入=总成本+利润）y (1)求关于的函数表达式；y x (2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1) *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N (2)当或25时，利润最多为8400元24x =【分析】(1)分段讨论售价确定每天的销售量,用分段函数表示利润;x (2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当时，销售量为500桶，当时，销售量为420x <≤2045x <≤，()500202090020x x --=-由得,900200x -≥*2045,x x <≤∈N 故利润， **500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N 即； *2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N（2）由（1）知当时，为增函数,故时，，420x <≤500(4)y x =-20x =max 8000y =当时，,开口向下且对称轴为,2045x <≤2209803600y x x =-+-24.5x =当时为增函数, 当时为减函数,(20,24.5]x ∈[24.5,45]x ∈又,所以当或25时，，*x ∈N 24x =max 8400y =故当或25时，利润最多为8400元.24x =22．已知函数的定义域为，且.()f x ()0,∞+()ln ln f x x x =⋅(1)求，判断并证明其单调性；()f x (2)求方程的根； ()()e e 1f x f x -=-(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ()42e x x f a +⋅>1x >a 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析()()e 0x f x x x =>()f x ()0,∞+(2)1x =(3) 32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合（1）的结论，可得，进而求解；e e x x =（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元421x x a +⋅>1x >法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令，，，，.ln t x =e =t x ()e t f t t =()e x f x x =0x >任取，则，∴，120x x >>12e e 0x x >>122112e e e x x x x x x >>∴，()()121212e e 0x x f x f x x x -=->()()12f x f x >∴在上单调递增；()f x ()0,∞+（2）∵，则 ()()e e 1f x f x -=-()()()2e 1e 0f x f x ---=所以或（舍），，显然是解，()e f x =()1f x =-e e x x =1x =又在上单调递增，∴是唯一解；()f x ()0,∞+1x =（3）由题对任意恒成立 ()()421x x f a f +⋅>1x >∴对任意恒成立，421x x a +⋅>1x >令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 22x u =>21u au +>2u >1a u u >-2u >又在为单调递减函数，∴. 1y u u =-()2,+∞13222a ≥-=-。

重庆市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（共12题，每题5分，共计60分）1．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁U（M∪N）=（）A．{1，2，3}B．{2}C．{1，2，3}D．{4}2．已知向量，则2等于（）A．（4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（0，﹣1）D．（0，1）3．已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=3﹣x（﹣2≤x≤1）的值域是（）A．[3，9]B．[，9]C．[，3]D．[，]5．下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=lnx D．y=x3+16．已知α角与120°角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（）A．m＞1 B．m＜1 C．m=1 D．不能确定8．在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④9．下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2C．D．10．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A．B．C．D．11．已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）12．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共计20分）13．sin75°的值为．14．已知=﹣1，则tanα=．15．函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是．16．下列命题中，正确的是（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．三、解答题（第17题10分，第18题至第22题每题12分，共计70分）17．已知．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．18．已知||=4，||=8，与的夹角是120°．（1）计算：|+|（2）当k为何值时，（ +2）⊥（k﹣）？19．已知函数f（x）=（1）在给定直角坐标系内直接画出f（x）的草图（不用列表描点），并由图象写出函数f（x）的单调减区间；（2）当m为何值时f（x）+m=0有三个不同的零点．20．已知，x∈R，（1）求的值；（2）当x∈时，求f（x）的最值．21．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；（2）若，求sin2α的值．22．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈[﹣，0]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一．单项选择题1．D．2．B3．A．4．B．5．A．6．C7．A．8．C9．D10．B．11．C．12．B．二、填空题13．答案为：14．答案为：；15．答案为：{x|，k∈Z}16．答案为：（2）（4）．三、解答题17．解：（1）==﹣cosα．（2）由α是第三象限角，且，可得﹣sinα=，即sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，故f（α）=﹣cosα=．18．解：由已知得，=||•||cos120°=4×8×（﹣）=﹣16．（1）①∵|+|2=||2+||2+2•=16+2×（﹣16）+64=48，∴|+|=4．（2）∵（+2）⊥（k﹣），∴（+2）•（k﹣）=0，∴k||2﹣2||2+（2k﹣1）•=0，即16k﹣16（2k﹣1）﹣2×64=0．∴k=﹣7．即k=﹣7时，（ +2）⊥（k﹣）．19．解：（1）作出f（x）的图象．如右图所示…．由图象可知该函数的单调减区间为（﹣1，1），（2，+∞）…（2）作出直线y=﹣m，f（x）+m=0有三个不同的零点等价于函数y=﹣m和函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点…由y=f（x）的图象可知，﹣m∈（﹣1，0）…∴m∈（0，1）…20．解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴=2sin（2•﹣）=0；（2）∵x∈时，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，∴．21．解：（1）∵，，∴（2+c osα）2+sin2α=7，∴．又B（0，2），C（cosα，sinα），设与的夹角为θ，则：，∴与的夹角为或．（2）解：∵，，由，∴，可得，①∴，∴，22．解：（1）依题意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f （x ）=2sin （x +），T=6π；（2）将f （x ）=2sin （x +）图象上各点的横坐标变为原来的，得到y=2sin（2x +）的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h （x ）=2sin [2（x ﹣）+]=2sin （2x ﹣），∵函数g （x ）对任意x ∈R ，有g （x +）=g （x ），∴g （x ）是以为周期的函数，又当x ∈[0，]时，g （x ）=﹣h （x ）=﹣2sin （2x ﹣），∴当x ∈[﹣，0]时，x +∈[0，]，g （x ）=g （x +）=﹣2sin [2（x +）﹣]=﹣2sin （2x +）；当x ∈∈[﹣π，﹣]时，x +π∈[0，]，g （x ）=g （x +π）=﹣2sin [2（x +π）﹣]=﹣2sin （2x ﹣），∴g （x ）=；（3）令h （x ）=2x ，则h （x ）=2x 为增函数， ∴当x ∈[﹣，0]时，h （x ）max =h （0）=1，∴不等式g 2（x ）+4g （x ）﹣a ≥2x 对任意x ∈[﹣，0]恒成立⇔g 2（x ）+4g （x ）﹣a ≥h （x ）max =h （0）=1恒成立， ∴a ≤g 2（x ）+4g （x ）﹣1． ∵当x ∈[﹣，0]时，g （x ）=﹣2sin （2x +），由2x +∈[，]知，≤2sin （2x +）≤2，﹣≤﹣2sin （2x +）≤﹣，即x ∈[﹣，0]时，g （x ）=﹣2sin （2x +）∈[﹣，﹣]，令t=g （x ）=﹣2sin （2x +），则t ∈[﹣，﹣]，∴a ≤g 2（x ）+4g （x ）﹣1转化为：a ≤t 2+4t ﹣1=（t +2）2﹣5（t ∈[﹣，﹣]）恒成立；令k （t ）=（t +2）2﹣5（t ∈[﹣，﹣]），则k （t ）=（t +2）2﹣5在区间[﹣，﹣]上单调递增，∴k （t ）min =k （﹣）=﹣．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣]．。