【全国百强校】河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题

高二年级数学试卷（文）1．考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或签字笔答在试卷上。

3. II 卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

卷I （选择题，共60 分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,计60分) 1．复数21i-等于（ ） A ． １+ｉ B ． １－ｉ C ．－１+ｉ D ． －１－ｉ2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 （ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④ 3. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4. 函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A.2B.3C.4D.55．曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29C ．13D ．236． 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.223π+423π+PF EDCBA俯视图侧视图222正视图222C. 232π+D. 234π+ 7. 如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是（ ）A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB PBC ⊥平面 C ．直线BC ∥平面PAED ．PD ABC ︒直线与平面所成的角为458．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．34 B ．54 C ．74 D ． 349．已知a>0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．函数2824+-=x x y 在［－1，3］上的最大值为（ ）A.11B.2C.12D.1011．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）312．已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的导函数为f (x ),若a +b +c =0,f (0)f (1)>0,设21,x x 是方程f (x )=0的两个根,则12||x x -的取值范围为( )A.14[,)39B.32)3C.14(0,]()39+∞ D.32()3+∞ODC B A唐山一中2011-2012学年下学期期中考试高二年级文科数学卷II （非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,计20分)13. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于____________.14．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝____________cm. 15. 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________.16. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题，计70分,写出必要的解题过程)17.（本小题10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （2）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.姓名______________ 班级_____________ 考号______________FEDCB A18.（本小题12分）已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='， b f =)0(，（a ，b R ∈）．m] (1)若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值； (2)若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值，最大值分别为-2和1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式．19. （本小题12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD，3,FC ED ==． 求：（1）直线AB 到平面EFCD 的距离； （2）二面角F AD E --的平面角的正切值．20.（本小题12分）已知函数()ln ,()()6ln ,af x xg x f x ax x x=-=+-a R ∈。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试卷命题人：鲍芳 王海涛 审核人：邱蕊说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．）1．已知复数，则（ ）i iz 2131+-==z A. 2B. C. D. 52102．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线)0,0(12222>>=-b a b y a x ）（3,2的准线上，则双曲线的方程为（ ）x y 742=A. B. C. D.14322=-y x 13422=-y x 1282122=-y x 1212822=-y x 3．已知x 与y 之间的一组数据：若求得关于y 与x 的线性回归方程为：，则m 的值为 （ ）7.02.2ˆ+=x y A.1B.0.85C.0.7D.0.5x 0123ym35.574.若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数（ ）l 422=+y x 32l 1322=+y x A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 1个或0个5．已知直线，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，l m ,βα,βα⊂⊥l m ,//αβm l ⊥αβ⊥则；③若，则； ④若，则．//m l m l ⊥αβ⊥//m l αβ⊥其中正确的命题是 （ ）A.①④B.③④C.①②D.②③6．已知中，,，求证：.证明：ABC ∆ 30=∠A 60=∠B b a <,60,30 =∠=∠B A ，，画线部分是演绎推理的（ ）B A ∠<∠∴b a <∴A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 三段论7．如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是 1111D C B A ABCD -1BD θθ（ ）A. B. C. D. 65π43π32π53π8．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；x y 53ˆ-=③线性回归直线：必过点；a xb y ˆˆˆ+=）（y x ④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中22⨯079.132=k %99）；001.0)828.10(2=≥k P 其中错误的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 39．若函数在区间上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）x x x f ln 1621)(2-=]2,1[+-a a A. B. C. D. )3,1()3,2(]2,1(]3,2[10．若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. π23π23π3π311．如图，在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是 1AC A BD A 1H （ ）A ．点是的垂心B ．的延长线经过点H BD A 1∆AH 1C C ．垂直平面D ．直线和所成角为AH 11D CB AH 1BB45已知函数,，若对任意，存在使，13)(3--=x x x f a x g x-=2)(]2,0[1∈x ]2,0[2∈x 2)()(21≤-x g x f 则实数a 的取值范围 （ ）A. B. C. D.]5,1[]5,2[]2,2[-]9,5[卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.观察下列各式：，则的末四位数字为________．...781255,156255,31255765===2016514.椭圆在其上一点处的切线方程为.类比上述结论，双曲线)0(12222>>=+b a b y a x ),(00y x P 12020=+b y y a x x 在其上一点处的切线方程为_________．)0,0(12222>>=-b a b y a x ),(00y x P 15.直线与圆：的位置关系是_________．01:=-+-m y mx l C 5)1(22=-+y x16.如图，抛物线和圆，其中，x y C 2:21=41)21(:222=+-y x C 0>p 直线经过的焦点，依次交于四点，则的l 1C 21,C C D C B A ,,,⋅值为 ____．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分)已知坐标平面上两个定点，(0,0)O ，动点(,)M x y 满足：．)4,0(A OMMA 3=（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记(1)中的轨迹为C ，过点的直线l 被C 所截得的线段的长为，求直线l 的方程．)1,21(-N 22(本题满分10分)如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面ABCD P -PA ，ABCD ，是的三等分点，2,1===BC AB PA F E ,PD （1）求证：平面；//FB EAC （2）求证：平面⊥平面；EDC PAD （3）求多面体PB AEC -的体积．19. (本题满分10分)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20.(本题满分10分)已知圆，点是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点8)1(:22=+-y x C )0,1(-A P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．21. (本题满分10分)已知函数，曲线在点处的切线方程为．c bx ax x x f +++=23)()(x f y =))0(,0(f P 13+=x y （1）若函数在时有极值，求表达式；)(x f y =2-=x )(x f （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．)(x f y =]1,2[-a 22. (本题满分10分)已知函数．)0()(>-=a e ax x f x （1）当时，求函数的单调区间；1=a )(x f （2）当时，求证：.e a +≤≤11x x f ≤)(唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学答案一、选择题：1-4:BBDC 5-8:ABCB 9-12:CDDB ；二、选择题：13. 0625；14. ；15.相交； 16..00221x x y ya b -=三、解答题：17.（1） 由得OMMA 3=22223)4()0(y x y x +=-+-化简得：，轨迹为圆 ---------------44921(22=++y x （2）当直线l 的斜率不存在时，直线符合题意；----------------６21:-=x l 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：)21(1+=-x k y 由圆心到直线的距离等于得2134-=k 此时直线l 的方程为：----------------10)21(341+-=-x y 18.（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，因为E 为FD 的中点，G 为BD 的中点，所以,又因为EG EAC ⊂平面,PB EAC ⊄平面，EG FB //所以平面EAC-------------------------4//FB (2)平面,,.⊥PA ABCD ABCD CD 平面⊂CD PA ⊥∴，,,,是矩形ABCD CD AD ⊥PAD CD 平面⊥∴EDC CD 平面⊂.------------------------8PAD EDC 平面平面⊥∴（3）PB EAC P ABCD E ADC V V V ---=-,因为E 为PD 的三等分点，PA ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ADC 的距离是,即,PA 31ABCDP ADC ADC E V PA S V -∆-==6131.31所以--------------------129565==-=----ABCD P ADC E ABCD P EAC PB V V V V 19.（1）由公式 ，879.767.630303030)100400(6022<≈⋅⋅⋅-=K 所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．---------------------4（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，-----------------------------6从中选出3人的基本事件数有20种 ----------------------8恰有两名男生一名女生的事件数有12种---------------------10所以---------------------1253=P 20.（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ=．又2CP CQ QP =+=，∴22CQ QA CA +=>=．∴曲线E 是以坐标原点为中心，()1,0C -和()1,0A 为焦点，长轴长为22设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．∵1,2c a ==，∴2211b =-=．∴曲线E 的方程为2212x y +=．------------4（2）设()()1122,,,M x y N x y ．联立22{12y kx m x y =++=消去y ，得()222124220k x kmx m +++-=．此时有2216880k m ∆=-+>．由一元二次方程根与系数的关系，得122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -=+． -----------------6∴22222422141212km m MN k k k --⎛⎫=+-⨯ ⎪++⎝⎭()2222182112k k m k +=-++∵原点O 到直线l 的距离21m d k =+，∴1·2MON S MN d ∆==()222222112m k m k -++． -------------------8由0∆>，得22210k m -+>．又0m ≠，∴据基本不等式，得()2222122·2MONm k m S ∆+-+≤=．当且仅当22212k m +=时，不等式取等号．∴MON ∆2．-------------------------1221.解：（1）f′（x ）=3x2+2ax+b∵曲线y=f （x ）在点P （0，f （0））处的切线方程为y=3x+1．∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=0)2()0(3)0(3)0(''f x f y f 解得a=，b=3，c=1415∴------------------------413415)(23+++=x x x x f (2)上恒成立 -----------------------6在0323)(2'≥++=ax x x f []1,2-①当时，解得----------------------863≤≤-a 33≤≤-a ②当时，解得，所以无解-----------------------106>a 415≤a ③当时，解得，所以无解3-<a 3-≥a 综上 -----------------------1233≤≤-a 22.(1)当a=1时，f(x)＝x －ex.令f′(x)＝1－ex ＝0，得x ＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．------------4(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；------------6②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.----------------12。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级理科数学试卷命题人：李桂兰及淑颖审核人：朱崇伦说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1，在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2）B.D.3.（）A B C D4. （）A B C D5.（ ）B.C.D. 6. (100.04N ，10.3cm 和9.3 （ ） A ．上、下午生产情况均正常 B ．上、下午生产情况均异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 21n+-（ ）项C.D.8.（ ）BCD9.（ ）ABCD10.则下列结论中一定成立的是（）ABC 和极小值D11.区，则不同的方案有（）ABCD12.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函的界函数”.若给定函数（）ABCD卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13__________.14.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自或是__________.16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.①已知随机变量X②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ④某人在10(10,0.8)B三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分)18.(本题满分12分)（1（2.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前2020名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5.20．（本题满分12分）.（1）求阴影面积S（2.21.(本题满分12分)（1（2）（A；（B.22.(本题满分12分)（1（2,证明:唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级理科数学答案一．选择题：1-4: DDBB；5-8: CCAB；9-12: CDAB.二．填空题：13.14.15. 0.75；16. ②③④.三．解答题：17. 用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k ∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x －16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x20＋1， ∴直线l 的方程为:y ＝(3x20＋1)(x －x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （14分 （22，3，4，5．…………………………6分10分12分20.（1∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x由定积分的几何意义知：6分8分,12分21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4…2分（2）（普班、实验班）………………………………………………………6分令g（x）=x-lnx（x≥1）x=1因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，从而有x-lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．……………………………12分（2）（英才班）对m∈N，且m＞1…4分……………………………………………8分3；0（k=2，3，…，m）…………………10分即存在a=212分22. （14分（2全优试卷6分10分所以原命题成立.………………………………………………………………………12分。

唐山一中2016—2017学年度第二学期期中考试高二年级 数学文科试卷卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1.i 为虚数单位，复数ii-12在复平面内对应的点到原点的距离为（ ） A.21 B. 22 C. 2 D.1 2.已知复数)2)(1(607ii Z ++=的实部是m ，虚部是n ，则=mn （ ）A.3B.-3C.3iD.-3i 3.平面内到x 轴与到y 轴的距离之和为1的点的轨迹为（ ）A.点B.线段C.正方形D.圆 4.如图是甲、乙汽车4S 店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x 是4与6的等差中项，y 是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a ，乙店销售汽车中位数为b ，则b a +的值为（ ）A.168B.169C.170D.171 5.利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是（ ）A. B. C. D.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.108B.100C.92D.847.直线023sin =++y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，6560Y D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，3230Y 8.已知两定点)0,1(-A 和)0,1(B ，动点),(y x P 在直线3:+=x y l 上移动，椭圆C 以B A ,为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A.55 B. 510 C. 552 D. 5102 9.以下四个命题中是真命题的是（ ）A.对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C.若数据n x x x x ,,,,321Λ的方差为1，则n x x x x 2,,2,2,2321Λ的方差为2D.在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好． 10.在极坐标系中，点)0,1(M 关于极点的对称点为（ ） A. )0,1( B. ),1(π- C. ),1(π D. )2,1(π11.P 为双曲线19422=-y x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且021=⋅PF PF ，直线2PF 交y 轴于点A ，则P AF 1∆的内切圆半径为（ ）A.2B.3C.23 D. 21312.已知函数R b a bx x a x f ∈-=,,ln )(2．若不等式x x f ≥)(对所有的(]0,∞-∈b ，(]2,e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）A. [)+∞,eB. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22eC. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡22,2e e D. [)+∞,2e 卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m ； ②若αβα⊂m ,//，则β//m ；③若αβα⊥⊥⊥m n n ,,，则β⊥m ； ④若βα//,//m m ，则βα//． 其中正确命题的序号是______ ．14.平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是______ ．15.已知函数41)(3++=ax x x f ，若x 轴为曲线)(x f y =的切线，则a 的值为______ 16.已知函数2)(-++=x a x x f ，若3)(-≤x x f 的解集包含[]1,0 ，则实数a 的取值范围是_______________三．计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在极坐标系中，已知圆C 经过点)4,2(πP ，圆心为直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）求直线)(3R ∈=ρπθ被圆C 所截得的弦长．18.（1）若+∈R n m b a 、、、，求证：ba n mb n a m ++≥+222)(； （2）利用（1）的结论，求下列问题：已知)21,0(∈x ，求xx 2192-+的最小值，并求出此时x 的值． 19.为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．非手机迷 手机迷 合计男 x xm女 y1055合计 ______ ______ ______ （1）求列表中数据的值；（2）能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？注：))()()(()(22d b c a d c b a bd ac n k ++++-=)(02x k P ≥ 0.050.10 0k3.8416.635与CDEF 是边长均为a 的正方形，CF⊥平面ABCD ，BG⊥平面ABCD ，H 是BC 上一点，且AB=2BG=4BH （1）求证：平面AGH⊥平面EFG（2）若4=a ，求三棱锥G-ADE 的体积． 21.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ． （1）求该抛物线的标准方程．（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．22.已知函数)(ln )(R k xkx x x f ∈-=的最大值为)(k h ． （1）若1≠k ，试比较)(k h 与k e21的大小；（2）是否存在非零实数a ，使得aekk h >)(对R k ∈恒成立，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．唐山一中2016—2017学年度第二学期期中考试高二年级 数学文科试卷答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.A6.C7.C8.A9.D 10.C 11.A 12.B 二、填空题13. ②③ 14. 2x -y +5=0或2x -y -5=0 15. - 16. -1≤a ≤0．三、解答题17. 解：（1）把极坐标形式化为直角坐标系形式， ∵点P （，），∴x ==1，y ==1，∴点P （1，1）．∵直线ρsin （θ-）=-，∴==-，∴y -=-，令y =0，则x =1，∴直线与x 轴的交点为C （1，0）． ∴圆C 的半径r =|PC|==1．∴圆C 的方程为：（x -1）2+y 2=1，展开为：x 2-2x +1+y 2=1，化为极坐标方程：ρ2-2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． ∴圆C 的极坐标方程为：ρ=2cos θ． （2）∵直线θ=（ρ∈R），∴直线的普通方程为y =，∵圆心C （1，0）到直线y =的距离d =，∴直线θ=（ρ∈R）被圆C 所截得的弦长：|AB|=2=2=1．∴直线θ=（ρ∈R）被圆C 所截得的弦长为1．18.（1）证明：∵a 、b 、m 、n ∈R +，∴（a +b ）=m 2+n 2+≥m 2+n 2+2mn =（m +n ）2，当且仅当bm =an 时取等号，∴．（2），=+≥=25，当且仅当2（1-2x ）=3•2x ，即当时取得最小值，最小值为25． 19.（1）75；25；100 （2）841.333100<=k ，没有95%的把握认为“手机控”与性别有关. 20. 证明：（1）连接FH ，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…（2分）由题意，得BH=，CH=，BG=，∴GH2=BG2+BH2=，FG2=（CF-BG）2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，则FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…（4分）又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…（5分）∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…（6分）解：（2）∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G-ADE=V E-ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G-ADE的体积V G-ADE=V E-ADE=．21.解：（1）∵•=0，则x1x2+y1y2=0，又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，故得+y1y2=0，∴y1y2=-4p2，∴，又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．所以抛物线的方程为y2=2x；（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a联立方程组，消去x得y2-2my-2a=0∴①设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方程为x=ny+b，并设R（x3，y3），联立方程组，消去x得y2-2ny-2b=0∴②由①、②可得由题意，Q为线段RT的中点，∴y3=2y2，∴b=2a．又由（Ⅰ）知，y1y2=-4，代入①，可得-2a=-4，∴a=2．故b=4．∴y1y3=-8∴=．当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值．22.解：（1）．令f'（x）＞0，得0＜x＜e k+1，令f'（x）＜0，得x＞e k+1，故函数f（x）在（0，e k+1）上单调递增，在（e k+1，+∞）上单调递减，故．当k＞1时，2k＞k+1，∴，∴；当k＜1时，2k＜k+1，∴，∴．（2）由（1）知，∴．设，∴，令g'（k）=0，解得k=-1．当a＞0时，令g'（k）＞0，得k＞-1；令g'（x）＜0，得k＜-1，∴，∴．故当a＞0时，不满足对k∈R恒成立；当a＜0时，同理可得，解得．故存在非零实数a，且a的取值范围为．。

2017-2018学年河北省唐山一中高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的实部为，虚部为，故选2．已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，∵抛物线的准线方程为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，∴双曲线的方程为故选B．若求得关于y 与x 的线性回归方程为：，则m 的值为（ ）A. 1B. 0.85C. 0.7D. 0.5 【答案】D【解析】分析：求出，代入回归方程解出，进而解出m 的值．详解：==1.5，∴=2.2×1.5+0.7=4．∴=4，解得m=0.5．故选：D ．点睛：本题考查了线性回归方程的性质，回归直线必过样本中心点，属于基础题．4．若直线l 被圆224x y +=所截得的弦长为l 与曲线2213x y +=的公共点个数为( )A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 1个或0个 【答案】C【解析】 直线l 被圆224x y +=所截得的弦长为∴圆心到直线l 的距离为1 ∴直线l 是圆221x y +=的切线，圆221x y +=内切于2213x y +=∴直线l 与曲线2213x y +=相切或相交故答案选C5．已知直线m l ，，平面αβ，，且m l αβ⊥⊂，，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③ 【答案】A【解析】若α∥β，且m ⊥α⇒m ⊥β，又l ⊂β⇒m ⊥l ，所以①正确。

若α⊥β,且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确。

若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交。

所以③不正确。

若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确。

河北省唐山一中2017学年高二数学下学期期中试题理专业文档河北省唐山一中2016-2017学年高二数学下学期期中试题理说明:1.本试卷分卷?和卷?两部分，卷?为选择题，卷?为非选择题，考试时间为120 分钟，满分为150分。

2(将卷?答案用2B铅涂在答题卡上，卷?用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷?(选择题共60分)一(选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分(1(设为虚数单位，复数，，则复数在复平面上对应的点在( ).A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ).A. B. C. D.3(将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )种.A( B( C( D(4.直线的倾斜角的取值范围是( ).A. B. C. D. 5(下列结论错误的是( ).A(命题“若，则”的逆否命题为“若，则”. B(“”是“”的充分条件.C(命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题.D(命题“若，则且”的否命题是“若，则或”.6.在极坐标系中，点关于极点的对称点为( ).A. B. C. D.7.函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是( ).珍贵文档专业文档A( B( C( D( 8(如图所示，设是图中边长分别为和的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域(阴影部分)，从内随机取一点，则点取自内的概率为( ).A.B. C. D.9.以双曲线的中心(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于点(第一象限)，，分别为双曲线的左、右焦点，过点作轴垂线，垂足恰为的中点，则双曲线的离心率为( ).A. B. C. D.2 10.已知函数，正数满足，且，若实数是方程的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( ).A( B( C( D( 11(参数方程表示 ( ).A. 双曲线的一支，这支过点B. 抛物线的一部分，这部分过C. 双曲线的一支，这支过点D. 抛物线的一部分，这部分过12.设函数是函数的导函数，，且，则的解集是( ).珍贵文档专业文档A( B. C( D(卷?(非选择题共90分)二(填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分(13.已知，且,则中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________(14.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题:?若，则;?若，则;?若，则;?若，则(其中正确命题的序号是 ______ (15.若存在实数使成立,则实数的取值范围是 . 16.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .三(解答题:本大题共6小题，共70分.17.(1)若的展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，求的值. 18(在各项为正的数列中，数列的前项和满足.(1)求,,;珍贵文档专业文档(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想( 19.(1)若、、、，求证:;(2)利用(1)的结论，求下列问题:已知，求的最小值，并求出此时的值(20(如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，是的中点，是平面与直线的交点((1)证明:?;?平面.(2)求与平面所成的角的正弦值(21.已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程;(2)已知直线交轨迹于两点，且中点的纵坐标为2，、则的最大值为多少,22.已知函数,.(1)若曲线在点()处的切线与直线垂直，求函数的极值;(2)设函数(当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围((为自然对数底数)唐山一中2016—2017学年第二学期期中考试高二数学理科试卷(答案)一、选择题珍贵文档专业文档1-5:ABBCC 6-10:CBCCA 11-12BC 二、填空题13.x，y均不大于1(或者x?1且y?1)14.??15.16.2三、解答题17.解 :(1)， ?. ? 或.当时，展开式中二项式系数最大的项是和.?的系数为，的系数为.当时，展开式中二项式系数最大的项是.?的系数为.(2)设，令，则， ?令，则. ??-?得，，? ，? .18.解:(1) ，得， ?，?.，得，?.，得，?.(2)猜想(证明如下:? 当时，命题成立; 珍贵文档专业文档?假设时，成立，则时，，即.?. ?.即时，命题成立.由??知，对任意都成立.19.解:(1)证明:?、、、，?2，当且仅当时取等号，?.(2),，当且仅当，即当时取得最小值，最小值为25(20.解:(1)证明:?由，可得， 1又平面，平面，?平面，又平面平面，?，又，?.?在和中，，??，珍贵文档专业文档 ?， 1?，?，?，由可得，又，?平面，又平面，可得，又，且，?平面.(2)设，连接，由(1)可知与平面所成的角为，在中，，即，解得，?，?与平面所成的角的正弦值为.21.解:如图所示,(1)由题设点到点的距离等于它到的距离，?点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，?所求轨迹的方程为.(2)由题意易知直线的斜率存在，又抛物线方程为，当直线斜率为0时，.当直线AB斜率不为0时，设中点坐标为，，，珍贵文档专业文档则有，，两式作差得，即得，则直线方程为,与联立得.由根与系数的关系得，,即的最大值为6.22.解:(1)，?曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直，?，即，解得 ?，?当时，，在上单调递减;当时，，在上单调递增;时，取得极小值， ?当?极小值为((2)令，上存在，使得，欲使在区间上只需在区间上的最小值小于零(令得，或(当，即时，在上单调递减，则的最小值为，珍贵文档专业文档?，解得，?，?;当，即时，在上单调递增，则的最小值为，?，解得，?;当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，?，?，?，此时不成立(综上所述，实数的取值范围为. 珍贵文档。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学试卷命题人：李桂兰 及淑颖 审核人：朱崇伦 说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．若1m iz i +=-（m R ∈，i 为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则,a b 全为0”时，假设正确的是（ ）A. ,a b 中只有一个为0B. ,a b 至少一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 至少有一个不为03.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ） A ．233198C C B ．233231973197C C +C C C ．5142003197C -C CD ．55200197C -C4. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(1)f '-= （ ） A ．0 B ．6- C ．3- D ．2-5. 设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)2iP X i i a ===，则(3)P X <= （ ）A. 25B. 35C. 310D. 7106. 某厂生产的零件外直径()100.04N ξ，，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.3cm 和9.3cm ，则可认为 （ ）A ．上、下午生产情况均正常B ．上、下午生产情况均异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 利用数学归纳法证明不等式：*1111(2,)2321n n n n N ++++<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了 （ ）A. 2k项 B. 12k -项 C. k 项 D. 1项8. 过函数x xx f -=1)(图象上一点()2,2-及邻近一点()2,2x y +∆-+∆作割线，则当0.25x ∆=时割线的斜率为 （ ）A.15 B ．45 C ．1 D ．95-9. 从1,2,,9⋅⋅⋅这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ）A ．60种B ．65种C ．66种D ．68种10. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ）A ．1320种B ．2160种C ．2400种D ．4320种12.设函数()y f x =在()0,+∞上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数(),()(),()p f x f x pf x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数ln 1()x x f x e +=，恒有()()p f x f x =，则下列结论正确的是 （ ）A ．p 的最大值为1eB ．p 的最小值为1e C ．p 的最大值为2 D ．p 的最小值为2卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．4221x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为19，则实数a 的值为__________. 14.已知函数 11(), 1x x f x e x -≤≤=-⎪⎩＞，则21()f x dx -⎰=__________.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为__________.16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.①已知随机变量X 服从二项分布),(p n B ，若20)(,30)(==X D X E ,则32=p ；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =)1(＞ξ，则p P -=≤-21)01(ξ＜；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B ，则当8X =时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分)设整数1,p p N *>∈，用数学归纳法证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+.18.(本题满分12分)已知函数3()16f x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望. 20．（本题满分12分） 已知二次函数()2+8f x x x=-，直线22:8l y t t=-+（其中02,t t≤≤为常数），1:2l x =.若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及2,l y轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积S 关于t 的函数()S t ；（2）已知函数()()ln g x S x a x=+在其定义域上单调递减，求a 的范围.21.(本题满分12分)设函数).,1,()11()(**∈>∈+=N x n N n n x f x （1）当6x =时，求xn )11(+的展开式中二项式系数最大的项； （2）（A 普班、实验班做）x R ∀∈，证明)(2)2()2(x f f x f '>+（)()(x f x f 是'的导函数）；（B 英才班做）是否存在*∈N a ,使得n a k an knk )1()11(1+<+<∑=恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a 的值；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分) 已知函数f (x)lnx ax =-； （1）讨论f (x)的单调性；（2）当函数f (x)有两个不相等的零点12x ,x 时,证明: 212x x e ⋅>.唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学答案一．选择题：1-4: DDBB ；5-8: CCAB ；9-12: CDAB.二．填空题：13. 1±；14. 22e eπ-+；15. 0.75；16. ②③④. 三．解答题：17. 用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x －16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x20＋1， ∴直线l 的方程为:y ＝(3x20＋1)(x －x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则13441222()=()()()()3333P A C +112243= ∴131()=243P A ……………………4分 （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分 211(2)()39P ξ===121214(3)()()()33327P C ξ===，1243121228(4)()()()()333381P C ξ==+=,1341232(5)()()3381P C ξ===．……………………………………………………10分故ξ的分布列为：32681E ξ=（）．……………………………………………………………………12分20.（1）由得∵0≤t≤2，∴直线l1与f （x ）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：………………………………………………………………6分(2)32440()()ln 1016ln 33g x S x a x x x x a x=+=-+-++，定义域为]20，（ 32242016()42016a x x x ag x x x x x -+-+'=-+-+=………………………………8分因为)(x g y =单减,则016-20423≤++-a x x x 恒成立，即min 2316204x x x a +-≤ 设x x x x h 16204)(23+-=，)(x h y =在)3135,0(-是增函数，在]2,3135(-是减函数，所以16-≤a …………………………………………………………………12分21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是…2分（2）（普班、实验班）证法一：因=证法二：因= ………………………………………………………6分而故只需对和进行比较．令g （x ）=x-lnx （x≥1），有 由，得x=1 因为当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当1＜x ＜+∞时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以在x=1处g （x ）有极小值1 故当x ＞1时，g （x ）＞g （1）=1， 从而有x-lnx ＞1，亦即x ＞lnx+1＞lnx 故有恒成立． 所以f （2x ）+f （2）≥2f′（x ），原不等式成立．……………………………12分 （2）（英才班）对m ∈N ，且m ＞1 有 …4分= =＜……………………………………………8分=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m ），故…………………10分∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．…………………………………12分22. （1）当0a ≤时，f (x)在()0,+∞单调递增；当0a >时，f (x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；f (x)在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；………………4分 （2）不妨设120x x >>，由题意得1122ln x ax ln x ax =⎧⎨=⎩相减得：1212ln x ln x a x x -=-，要证212x x e >，只需证122ln x ln x +>…………………6分 12ln x ln x +=12a(x x )+=1212ln x ln x x x --12(x x )+2>，只需证1212122(x x )ln x ln x x x -->+只需证112122211x ()x x lnx x x ->+，设12x t x =1(t )>，只需证2101(t )lnt t -->+……………10分设211(t )g(t)lnt t -=-+，则22101'(t )g (t)t(t )-=>+，10g(t)g()>=，所以原命题成立.………………………………………………………………………12分。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学试卷命题人：李桂兰 及淑颖 审核人：朱崇伦 说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．若1m iz i +=-（m R ∈，i 为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则,a b 全为0”时，假设正确的是（ ）A. ,a b 中只有一个为0B. ,a b 至少一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 至少有一个不为03.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ） A ．233198C C B ．233231973197C C +C C C ．5142003197C -C CD ．55200197C -C4. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(1)f '-= （ ） A ．0 B ．6- C ．3- D ．2-5. 设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)2iP X i i a ===，则(3)P X <= （ ）A. 25B. 35C. 310D. 7106. 某厂生产的零件外直径()100.04N ξ，，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.3cm 和9.3cm ，则可认为 （ ）A ．上、下午生产情况均正常B ．上、下午生产情况均异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 利用数学归纳法证明不等式：*1111(2,)2321n n n n N ++++<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了 （ ）A. 2k项 B. 12k -项 C. k 项 D. 1项8. 过函数x xx f -=1)(图象上一点()2,2-及邻近一点()2,2x y +∆-+∆作割线，则当0.25x ∆=时割线的斜率为 （ ）A.15 B ．45 C ．1 D ．95-9. 从1,2,,9⋅⋅⋅这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ）A ．60种B ．65种C ．66种D ．68种10. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ）A ．1320种B ．2160种C ．2400种D ．4320种12.设函数()y f x =在()0,+∞上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数(),()(),()p f x f x pf x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数ln 1()x x f x e +=，恒有()()p f x f x =，则下列结论正确的是 （ ）A ．p 的最大值为1eB ．p 的最小值为1e C ．p 的最大值为2 D ．p 的最小值为2卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．4221x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为19，则实数a 的值为__________.14.已知函数 11(), 1x x f x e x -≤≤=-⎪⎩＞，则21()f x dx -⎰=__________.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为__________.16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.①已知随机变量X 服从二项分布),(p n B ，若20)(,30)(==X D X E ,则32=p ；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =)1(＞ξ，则p P -=≤-21)01(ξ＜；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B ，则当8X =时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分)设整数1,p p N *>∈，用数学归纳法证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+.18.(本题满分12分)已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望. 20．（本题满分12分） 已知二次函数()2+8f x x x=-，直线22:8l y t t=-+（其中02,t t≤≤为常数），1:2l x =.若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及2,l y轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积S 关于t 的函数()S t ；（2）已知函数()()ln g x S x a x=+在其定义域上单调递减，求a 的范围.21.(本题满分12分)设函数).,1,()11()(**∈>∈+=N x n N n n x f x （1）当6x =时，求xn )11(+的展开式中二项式系数最大的项； （2）（A 普班、实验班做）x R ∀∈，证明)(2)2()2(x f f x f '>+（)()(x f x f 是'的导函数）；（B 英才班做）是否存在*∈N a ,使得n a k an knk )1()11(1+<+<∑=恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a 的值；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分) 已知函数f (x)lnx ax =-； （1）讨论f (x)的单调性；（2）当函数f (x)有两个不相等的零点12x ,x 时,证明: 212x x e ⋅>.唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学答案一．选择题：1-4: DDBB ；5-8: CCAB ；9-12: CDAB.二．填空题：13. 1±；14. 22e eπ-+；15. 0.75；16. ②③④. 三．解答题：17. 用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x －16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x20＋1， ∴直线l 的方程为:y ＝(3x20＋1)(x －x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则13441222()=()()()()3333P A C +112243= ∴131()=243P A ……………………4分 （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分 211(2)()39P ξ===121214(3)()()()33327P C ξ===，1243121228(4)()()()()333381P C ξ==+=,1341232(5)()()3381P C ξ===．……………………………………………………10分故ξ的分布列为：32681E ξ=（）．……………………………………………………………………12分20.（1）由得∵0≤t≤2，∴直线l1与f （x ）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：………………………………………………………………6分(2)32440()()ln 1016ln 33g x S x a x x x x a x=+=-+-++，定义域为]20，（ 32242016()42016a x x x ag x x x x x -+-+'=-+-+=………………………………8分因为)(x g y =单减,则016-20423≤++-a x x x 恒成立，即min 2316204x x x a +-≤ 设x x x x h 16204)(23+-=，)(x h y =在)3135,0(-是增函数，在]2,3135(-是减函数，所以16-≤a …………………………………………………………………12分21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是…2分（2）（普班、实验班）证法一：因=证法二：因= ………………………………………………………6分而故只需对和进行比较．令g （x ）=x-lnx （x≥1），有 由，得x=1 因为当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当1＜x ＜+∞时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以在x=1处g （x ）有极小值1 故当x ＞1时，g （x ）＞g （1）=1， 从而有x-lnx ＞1，亦即x ＞lnx+1＞lnx 故有恒成立． 所以f （2x ）+f （2）≥2f′（x ），原不等式成立．……………………………12分 （2）（英才班）对m ∈N ，且m ＞1 有 …4分= =＜……………………………………………8分=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m ），故 …………………10分∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．…………………………………12分22. （1）当0a ≤时，f (x)在()0,+∞单调递增；当0a >时，f (x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；f (x)在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；………………4分 （2）不妨设120x x >>，由题意得1122ln x ax ln x ax =⎧⎨=⎩相减得：1212ln x ln x a x x -=-，要证212x x e >，只需证122ln x ln x +>…………………6分12ln x ln x +=12a(x x )+=1212ln x ln x x x --12(x x )+2>，只需证1212122(x x )ln x ln x x x -->+只需证112122211x ()x x lnx x x ->+，设12x t x =1(t )>，只需证2101(t )lnt t -->+……………10分设211(t )g(t)lnt t -=-+，则22101'(t )g (t)t(t )-=>+，10g(t)g()>=，所以原命题成立.………………………………………………………………………12分。

2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为03．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣25．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．3．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C【解答】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选：B．4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣2【解答】解：根据题意，f（x）=x2+2xf'（1），则f′（x）=2x+2f'（1），令x=1可得：f′（1）=2+2f'（1），解可得f′（1）=﹣2；故选：D．5．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵设随机变量X的分布列为，∴=1，解得a=5，P（X＜3）=P（X=1）+P（X=2）==．故选：C．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常【解答】解：∵零件外直径X～N（10，0.04），∴根据3σ原则，在10+3×0.2=10.6（cm）与10﹣3×0.2=9.4（cm）之外时为异常．∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.5cm和9.3cm，9.3＜9.4，∴下午生产的产品异常，故选：A．7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y==﹣，则△y=﹣﹣（﹣2）=，此时割线的斜率K==；故选：B．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选：D．10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选：D．11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先将6个小组分成4个大组，若分成1、1、1、3的4个大组，有C63=20种情况，其中1组和2组在同一大组的情况有C43=4种，则此时有20﹣4=16种分组的方法；若分成1、1、2、2的4个大组，有=45种情况，其中1组和2组在同一大组的情况6种，则此时有45﹣6=39种分组的方法；则一共有16+39=55种分组方法；②，将分好的4个大组全排列，对应4个地区，有A44=24种情况，则若1组和2组不去同一地区的不同方案有55×24=1320种；故选：A．12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2【解答】解：由题意可得出p≥f（x），最大值由于函数的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，解出x=1，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=1时，f（x）取到最大值f（1）=．故当p≥时，恒有f p（x）=f（x）．因此p的最小值是．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为±1．【解答】解：的表示4个因式（x2++a）的乘积，故4个因式都取a，可得常数项；或者其中有2个因式取x2，另外的2个因式取，可以得到常数项；或者有2个因式取a，剩下的2个因式一个取x2，另一个取，可以得到常数项，故展开式中常数项为a4+•+••a2=19，∴a4+12a2﹣13=0，即（a2+13）•（a2﹣1）=0，∴a=±1，故答案为：±1．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=×π×12=，﹣e x dx=﹣e x|=﹣e2+e，∴f（x）dx=﹣e2+e，故答案为：﹣e2+e．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．【解答】解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为②③④．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．【解答】解：①，随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，np（1﹣p）=20，则，p=，故错，②，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a，b为常数），故正确．③，随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故正确．④，∵在10次射击中，击中目标的次数为X满足，X～B（10，0.8），∴对应的概率P（x=k）=×0.8k×0.210﹣k，当k≥1时，k∈N*时，==，由=≥1得44﹣4k≥k，即1≤k≤，∵k∈N*时，∴1≤k≤8且k∈N*，即k=8时，概率P（x=8）最大，故④正确，故答案为：②③④．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解答】证明：①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立；当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞﹣1且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程为y﹣（﹣6）=13（x﹣2），即为13x﹣y﹣32=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=3x2+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1==，即为2m3+16=0，解得m=﹣2，n=﹣8﹣2﹣16=﹣26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为（﹣2，﹣26）．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【解答】解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为，则=∴该学生进入省队的概率P（A）=1﹣P（）=．……………………（4分）（2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………（6分），，，．……………………………………………………（10分）故ξ的分布列为：E（ξ）==．……………………………………………………………………（12分）20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．【解答】解：（1）由得x2﹣8x﹣（t2﹣8t）=0，即有x1=t，x2=8﹣t，∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，8t﹣t2），由定积分的几何意义知：S（t）=[（8t﹣t2）﹣（8x﹣x2）]dx+[（8x﹣x2）﹣（8t﹣t2）]dx=[（﹣t2+8t）x﹣（4x2﹣x3）]|+[﹣（﹣t2+8t）x+（4x2﹣x3）]|=﹣t3+10t2﹣16t+；（2）g（x）=S（x）+alnx=﹣x3+10x2﹣16x++alnx，定义域为[0，2]，g′（x）=﹣4x2+20x﹣16+=，因为y=g（x）单调递减，则﹣4x3+20x2﹣16x+a≤0恒成立，即a≤4x3﹣20x2+16x的最小值，设h（x）=4x3﹣20x2+16x，h′（x）=12x2﹣40x+16，由h′（x）=0，解得x=（舍去），y=h（x）在（0，）是增函数，在（，2]是减函数，可得h（x）的最小值为h（2）=﹣16，所以a≤﹣16．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因=证法二：因=而故只需对和进行比较．令g（x）=x﹣lnx（x≥1），有由，得x=1因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx故有恒成立．所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．（Ⅲ）对m∈N，且m＞1有==＜=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m），故∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，x＞0，∴f′（x）=﹣a=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0，解得0＜x＜，f′（x）＜0，解得x＞，故f（x）在（0，+∞）单调递减，在（0，）单调递增；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个零点x1、x2，不妨设x1＞x2＞0∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），∴a=，欲证明x1•x2＞e2，即证lnx1+lnx2＞2，lnx1+lnx2=a（x1+x2）=（x1+x2）＞2只需证lnx1﹣lnx2＞，只需证ln＞，设=t，则t＞1，只需证lnt﹣＞0，设g（t）=lnt﹣，则g′（t）=＞0，∴∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，又∵g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，所以原命题成立．。

2017-2018学年河北省唐山一中高一（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．小于B．大于0 C．大于D．小于02．集合A={x|﹣x2+2x+3＞0}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A．{x|﹣x＜x＜3}B．{x|x＜0或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜0或2≤x≤3}3．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC 为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5．若实数x，y满足，则S=2x+y﹣1的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．26．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1287．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±648．一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．839．执行如图的程序框图，则输出的n=（）A．6 B．5 C．8 D．7=22n（n≥3），则当n≥1时，10．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=（）log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）211．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2015•a2018＜0，a2015+a2018＞0，使前n项和S n＞0成立最大自然数n是（）A．4 029 B．4 030 C．4 031 D．4 03212．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分．）13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为______．14．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2018=______．15．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前n项和T n为______．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是______．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题，每题12分，计70分）17．如图，B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于B点正北方向、A点北偏东45°方向的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西60°、A点北偏西15°的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时．问该救援船到达C点需要多少时间？18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3．已知向量=（cos2，sinB），=（，2），且∥．（1）若A=，求边c的值；（2）求AC边上高h的最大值．19．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1（1）若f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，求实数a、b的值．（2）若实数a、b满足b=a+1，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．20．已知=ad﹣bc，设f（x）=（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围．（2）若任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6﹣m恒成立，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=4x，点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，S n是数列{b n}的前n项之积，且S n=2n（n+1）（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式．（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和．22．等差数列{a n}满足a5=5，S7=28，数列{b n}的前n项和为T n，其中b1=1，b n+1﹣T n=1，（1）求数列{a n}及数列{b n}的通项公式（2）若不等式（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2017-2018学年河北省唐山一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是（ ）A ．小于B ．大于0 C ．大于D ．小于0【考点】不等式的基本性质．【分析】先根据c ＜a 且ac ＜0，得出a ，c 的符号，再结合a ，b ，c 的关系利用不等式的基本性质对选择项一一验证即得． 【解答】解：∵c ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0．c ＜0．∵c ＜b ，∴小于，故A 对；∵b ＜a ．∴大于0，故B 对；∵c ＜a ，∴a ﹣c ＞0．∴小于0，故D 对；取a=3．b=﹣4，c=﹣5，验证知C 不成立，从而只有C 不一定成立． 故选C ．2．集合A={x |﹣x 2+2x +3＞0}，B={x |≥0}，则A ∩B=（ ）A ．{x |﹣x ＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ≥2}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |﹣1＜x ＜0或2≤x ≤3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，求出两集合的交集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：（x ﹣3）（x +1）＜0， 解得：﹣1＜x ＜3，即A={x |﹣1＜x ＜3}， 由B 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0，x ≠0， 解得：x ＜0或x ≥2，即B={x |x ＜0或x ≥2}， 则A ∩B={x |﹣1＜x ＜0或2≤x ≤3}， 故选：D ．3．在△ABC 中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB 的值，结合大边对大角可得B 为锐角，从而得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，∠A=，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵a＞b，B为锐角，∴B=，即B=30°．故选：A．4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC 为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和二倍角的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和正弦函数的性质得到A、B的关系，即可判断出△ABC的形状．【解答】解：∵a2cosAsinB=b2sinAcosB，∴由正弦定理得，sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB，又sinB≠0且sinA≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，则sin2A=sin2B，即2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选：D．5．若实数x，y满足，则S=2x+y﹣1的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由S=2x+y﹣1得y=﹣2x+S+1，平移直线y=﹣2x+S+1，由图象可知当直线y=﹣2x+S+1经过点A时，直线y=﹣2x+S+1的截距最大，此时z最大．由，即A（2，2），代入目标函数S=2x+y﹣1得z=2×2+2﹣1=5．即目标函数S=2x+y﹣1的最大值为5．故选：A．6．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差中项求出a6，然后利用等差数列求和求解即可．【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．7．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{a n}，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．8．一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．9．执行如图的程序框图，则输出的n=（）A ．6B ．5C ．8D ．7【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=°+1+2+…+6的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=°+1+2+…+6的值∵S=°+1+2+…+6的值所以n=6． 故 选 D ．10．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n=1，2，…，且a 5•a 2n ﹣5=22n （n ≥3），则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=（ ）A ．n （2n ﹣1）B ．（n +1）2C ．n 2D ．（n ﹣1）2 【考点】等比数列的性质．【分析】先根据a 5•a 2n ﹣5=22n ，求得数列{a n }的通项公式，再利用对数的性质求得答案． 【解答】解：∵a 5•a 2n ﹣5=22n =a n 2，a n ＞0， ∴a n =2n ，∴log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=log 2（a 1a 3…a 2n ﹣1）=log 221+3+…+（2n ﹣1）=log 2=n 2．故选：C ．11．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2015•a 2018＜0，a 2015+a 2018＞0，使前n 项和S n ＞0成立最大自然数n 是（ ） A ．4 029 B ．4 030 C ．4 031 D ．4 032 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由已知推导出数列{a n }中前2015项都为正，从第2018项起为负，由等差数列前n 项和的对称性性知：S 4030=0，由此能求出使前n 项和S n ＞0成立最大自然数n ．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2015•a 2018＜0，a 2015+a 2018＞0，∴a2015＞0，a2018＜0，∴数列{a n}中前2015项都为正，从第2018项起为负，由等差数列前n项和的对称性性知：S4030=0，∴S4029＞0，∴使前n项和S n＞0成立最大自然数n是4029．故选：A．12．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【考点】基本不等式；函数恒成立问题．【分析】x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：﹣4＜m＜2．故选D．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分．）13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为（，）．【考点】正弦定理的应用．【分析】由条件可得＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cosA＜，由正弦定理可得b=2cosA，从而得到b 的取值范围．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得，∴b=2cosA，∴＜b＜，故答案为：（，）．14．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2018=3．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===﹣，a3===，a4===3，a5===﹣2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2018=504×4，∴a2018=a4=3，故答案为：3．15．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前n项和T n为．【考点】数列的求和．=2n﹣1﹣1，两式相减可知a n=2n﹣1，【分析】由S n=2n﹣1，当n=1时，a1=1，当n≥2时，S n﹣1根据等差数列的性质，利用等比数列前n项和公式，即可求得数列{a n2}的前n项和T n．【解答】解：由S n=2n﹣1，当n=1时，a1=1，=2n﹣1﹣1，当n≥2时，S n﹣1两式相减得：a n=2n﹣1，当n=1时成立，∴数列{a n}通项公式：a n=2n﹣1，∴数列{a n}为首项为1，2为公比的等比数列，∴数列{a n2}为首项为1，4为公比的等比数列，数列{a n2}的前n项和T n==，故答案为：．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．【考点】基本不等式；简单线性规划的应用．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是4故答案为：4．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题，每题12分，计70分）17．如图，B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于B点正北方向、A点北偏东45°方向的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西60°、A点北偏西15°的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时．问该救援船到达C点需要多少时间？【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据内角和求得求得∠BAC，在△ABC中利用正弦定理求得AC的长，在△ABD 中利用正弦定理求得AD的长，在△ACD中利用余弦定理求得DC的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：在△ABC中，∴…在△ABD中，∠DAB=15°+90°=105°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ADB=45°由正弦定理，得∴…在△ACD中，由余弦定理得DC2=AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠DAC=602+302﹣2×60×30×cos60°=2700∴…则需要的时间（小时）…答：该救援船到达点C需要1.5小时…14分）18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3．已知向量=（cos2，sinB），=（，2），且∥．（1）若A=，求边c的值；（2）求AC边上高h的最大值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）若A=，根据向量平行的坐标公式，建立方程关系即可求边c的值；（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理，结合基本不等式的性质即可，求AC边上高h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由∥，得2cos2=sinB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即1+cosB=sinB，得sin（B﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0＜B＜π，所以﹣＜B﹣＜，故B﹣=，即B=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣结合A=，得C=，由正弦定理得，c=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设AC边上的高为h，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即h=，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14（等号成立当且仅当a=c）所以ac≤9，因此h=≤，所以AC边上的高h的最大值为h=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1（1）若f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，求实数a、b的值．（2）若实数a、b满足b=a+1，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，可得a＜0，与1是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的两个实数根，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）由b=a+1，关于x的不等式f（x）＜0化为：ax2﹣（a+1）x+1＜0，因式分解为：（ax﹣1）（x﹣1）＜0，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，∴a＜0，与1是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的两个实数根，∴，解得a=﹣2，b=﹣1．（2）∵b=a +1，关于x 的不等式f （x ）＜0化为：ax 2﹣（a +1）x +1＜0，因式分解为：（ax ﹣1）（x ﹣1）＜0，当a=1时，化为（x ﹣1）2＜0，则x ∈∅；当a ＞1时，＜1，解得，不等式的解集为{x |＜x ＜1}；0＜a ＜1时，＞1，解得＞x ＞1，∴不等式的解集为{x |＞x ＞1}；a ＜0时，＜1，不等式（ax ﹣1）（x ﹣1）＜0化为：（x ﹣）（x ﹣1）＞0，解得x ＞1或x ，不等式的解集为{x |x ＜，或x ＞1}．20．已知=ad ﹣bc ，设f （x ）= （1）若不等式f （x ）＜1的解集为R ，求m 的取值范围．（2）若任意的x ∈[1，3]，不等式f （x ）＜6﹣m 恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（1）由新定义可得f （x ），由题意可得mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立，对m 讨论，分m=0，m ＜0，判别式小于0，解不等式即可得到所求m 的范围；（2）由题意可得mx 2﹣mx ＜6﹣m 在[1，3]恒成立，即为m ＜的最小值．由g （x ）=x 2﹣x +1在[1，3]的单调性可得最大值，即可得到m 的范围．【解答】解：（1）f （x ）==mx （x +1）﹣2mx=mx 2﹣mx ， 由题意可得mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立．当m=0时，﹣1＜0，恒成立；当m ＜0时，△＜0即m 2+4m ＜0，即为﹣4＜m ＜0；当m ＞0时，不等式不恒成立．综上可得，m 的范围是（﹣4，0]；（2）任意的x ∈[1，3]，不等式f （x ）＜6﹣m 恒成立．即有mx 2﹣mx ＜6﹣m 在[1，3]恒成立，即为m ＜的最小值．由g （x ）=x 2﹣x +1在[1，3]递增，即有g （x ）的值域为[1，7]．则的最小值为．即有m的取值范围为（﹣∞，）．21．已知函数f（x）=4x，点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，S n是数列{b n}的前n项之积，且S n=2n（n+1）（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式．（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由b1=S1；n＞1时，b n=，可得数列{b n}的通项公式；再由点在函数图象上，可得数列{a n}的通项公式；（2）求得c n===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，可得b n=4an，由S n是数列{b n}的前n项之积，可得S n=b1b2…b n=2n（n+1），即有b1=S1=4；n＞1时，b n===22n=4n．上式对n=1也成立，故数列{b n}的通项公式为b n=4n；即有b n=4n=4an，可得a n=n；（2）c n====﹣，则数列{c n}的前n项和为1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．22．等差数列{a n}满足a5=5，S7=28，数列{b n}的前n项和为T n，其中b1=1，b n+1﹣T n=1，（1）求数列{a n}及数列{b n}的通项公式（2）若不等式（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质和定义，以及数列的递推公式即可求出数列{a n}及数列{b n}的通项公式；（2）M n=++…+=1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，根据错位相减法求出其和，则可转化为++…++=4﹣（）n﹣1，根据数列的单调性，可以求出数列的最小值，即可求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设公差为d，首项为a1，∵a5=5，S7=28，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=1+1×（n﹣1）=n，∵b n+1﹣T n=1，即T n=b n+1﹣1，∴T n﹣1=b n﹣1，∴b n=T n﹣T n﹣1=b n+1﹣1﹣b n+1，∴2b n=b n+1，∴=2，∴数列{b n}为公比为2的等比数列，∵b1=1，∴b n=2n﹣1；（2）∵=n•（）n﹣1，设M n=++…+=1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，∴M n=1•（）1+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，∴M n=1+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n=1+=2﹣（）n﹣1﹣n•（）n=2﹣（n+2）•（）n，∴M n=4﹣（n+2）（）n﹣1，∴++…++=4﹣（n+2）（）n﹣1+n•（）n﹣1=4﹣（）n﹣1，设c n=4﹣（）n﹣1，则数列{c n}为递增数列，∴{c n}的最小值为c1=4﹣1=3，∵（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，∴λ＜3，故λ的取值范围为（﹣∞，3）2018年9月22日。

唐山一中2017-2018学年度第二学期期末考试高二年级 数学（文）试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确）1．集合{}{}0,2,022>==>-=x y y B x x x A x，R 是实数集，则A B C R )(等于（ ）A ．RB ．),1()0,(+∞-∞C ．(]10，D ．(]()∞+∞-，21, 2.已知复数)(11为虚数单位i iiz +-=，则z 的共轭复数是（ ） A.i B.i +1 C.i - D. i -13.=-40cos 40sin 5sin 5cos 22 （ ） A.1 B.21C.2D.1-4.已知向量)3,1(=，),3(m =，若向量,的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 5. 曲线)(2152为参数t ty tx ⎩⎨⎧-=+-=与坐标轴的交点是( )A ．），）、（，（021520 B ．），）、（，（021510C ．(0，－4)、(8,0)D ．(0，4)、(8,0) 6．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ ）A x x f 2sin )(=B ．xxe x f =)( C. x x x f -=3)( D ．x x x f ln )(+-=7.以模型kxce y =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设y z ln =，其变换后得到线性回归方程43.0+=x z ，则=c ( )A.0.3B.3.0eC.4D.4e8．把函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(+-=的图像沿x 轴向左平移)0(>m m 个单位，所得函数)(x g 的图像关于直线8π=x 对称，则m 的最小值为 （ ）Ａ．4π Ｂ．3π Ｃ．2π Ｄ．43π9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)1(log )1(3)(31x xx x f x ，则函数)1(x f y -=的大致图象是( )10．已知四边形ABCD ，0120BAD ∠=，060BCD ∠=，AB ＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ） A ．４33 B ．４ C ．８33D ．８11. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A ．4321S S S S V +++ B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V +++ D ．43214S S S S V+++12．若)(x f 满足23'22)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x -==-.则0>x 时，)(x f ( )Ａ．有极大值，无极小值 Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，第小题5分，计20分）13.已知向量),1(x =，)2,1(-=x ，若//，则=x __________________.BDC14. 某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为∧∧+=a x y 54，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________．15. 将正方形ABCD 分割成),2(2N n n n ∈≥个全等的小正方形（图1，图2分别给出了3,2=n 的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C,D 处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为)(n f ，则=)4(f _______________.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是_________________.三．计算题（共6小题，计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题共10分）已知函数1)(-=x x f （1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ; （2）若)()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.18. （本小题共12分）设向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈==2,0),sin ,(cos ),sin ,sin 3(πx x x b x x a (1)若a b →→=，求x 的值； (2)设函数()f x a b →→=⋅,求()f x 的最大值.19．（本小题共12分）如图所示，在四边形ABCD 中， DA AB ⊥，7=CE ，32π=∠ADC ,E 为AD 边上一点，321π=∠==BEC EA DE ，，. （1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长．20. （本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.21. （本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？D AC BE附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22. （本小题共12分）已知函数x e x f =)(错误！未找到引用源。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试卷命题人：鲍芳 王海涛 审核人：邱蕊 说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．）1．已知复数i iz 2131+-=，则=z （ ） A. 2 B.2 C.10 D. 52．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线过点）（3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为 （ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C. 1282122=-y x D. 1212822=-y x3．已知x 与y 之间的一组数据：若求得关于y 与x 的线性回归方程为：7.02.2ˆ+=x y ，则m 的值为 （ ） A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.54.若直线l 被圆422=+y x 所截得的弦长为32，则l 与曲线1322=+y x 的公共点个数（ ）A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 1个或0个5．已知直线l m ,，平面βα,，且βα⊂⊥l m ,，给出下列命题：①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥．其中正确的命题是 （ ） A.①④ B.③④ C.①② D.②③6．已知ABC ∆中， 30=∠A , 60=∠B ，求证：b a <.证明：,60,30 =∠=∠B A B A ∠<∠∴，b a <∴，画线部分是演绎推理的 （ ）A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 三段论7．如图，正方体1111D C B A ABCD -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 （ ）A.65πB. 43πC.32πD. 53π8．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：x y 53ˆ-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归直线：a x b y ˆˆˆ+=必过点）（y x ,；④在一个22⨯列联表中，由计算得079.132=k ，则有%99的把握确认这两个变量间有关系（其中001.0)828.10(2=≥k P ）；其中错误的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39．若函数x x x f ln 1621)(2-=在区间]2,1[+-a a 上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）A. )3,1(B. )3,2(C. ]2,1(D. ]3,2[10．若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长 为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A.π23B.π23C. π3D. π311．如图，在正方体1AC 中，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ）A ．点H 是BD A 1∆的垂心B ．AH 的延长线经过点1C C ．AH 垂直平面11D CB D ．直线AH 和1BB 所成角为45已知函数13)(3--=x x x f ,a x g x-=2)(，若对任意]2,0[1∈x ，存在]2,0[2∈x 使2)()(21≤-x g x f ，则实数a 的取值范围 （ ） A. ]5,1[ B. ]5,2[ C. ]2,2[- D.]9,5[卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.观察下列各式：...781255,156255,31255765===，则20165的末四位数字为________． 14.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 在其上一点),(00y x P 处的切线方程为12020=+b y y a x x .类比上述结论，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 在其上一点),(00y x P 处的切线方程为_________．15.直线01:=-+-m y mx l 与圆C ：5)1(22=-+y x 的位置关系是_________．16.如图，抛物线x y C 2:21=和圆41)21(:222=+-y x C ，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交21,C C 于D C B A ,,,四点，则⋅的值为 ____．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分)OMMA 3=．已知坐标平面上两个定点)4,0(A ，(0,0)O ，动点(,)M x y 满足：（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记(1)中的轨迹为C ，过点)1,21(-N 的直线l 被C 所截得的线段的长为22，求直线l 的方程．(本题满分10分)如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面A B CD ，2,1===BC AB PA ，F E ,是PD 的三等分点，（1）求证：//FB 平面EAC ； （2）求证：平面EDC ⊥平面PAD ；（3）求多面体PB AEC -的体积． 19. (本题满分10分)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：（1 （2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． （参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20.(本题满分10分)已知圆8)1(:22=+-y x C ，点)0,1(-A 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．21. (本题满分10分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为13+=x y ． （1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 表达式；（2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求实数a 的取值范围．22. (本题满分10分)已知函数)0()(>-=a e ax x f x． （1）当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当e a +≤≤11时，求证：x x f ≤)(. 唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试 高二年级 文科数学答案一、选择题：1-4:BBDC 5-8:ABCB 9-12:CDDB ；二、选择题：13. 0625；14. 00221x x y ya b -= ；15.相交； 16..三、解答题：17.（1） 由OMMA 3=得22223)4()0(y x y x +=-+-化简得：49)21(22=++y x ，轨迹为圆 ---------------4 （2）当直线l 的斜率不存在时，直线21:-=x l 符合题意； ----------------６当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：)21(1+=-x k y 由圆心到直线的距离等于21得34-=k 此时直线l 的方程为：)21(341+-=-x y ----------------10 18.（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，因为E 为FD 的中点，G 为BD 的中点， 所以EG FB //,又因为EG EAC ⊂平面,PB EAC ⊄平面，所以//FB 平面EAC -------------------------4 (2)⊥PA 平面ABCD ,ABCD CD 平面⊂,CD PA ⊥∴.是矩形ABCD ，CD AD ⊥,PAD CD 平面⊥∴,EDC CD 平面⊂,PAD EDC 平面平面⊥∴. ------------------------8（3）PB EAC P ABCD E ADCV V V ---=-,因为E 为PD 的三等分点，PA ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ADC 的距离是PA 31,即ABCDP ADC ADC E V PA S V -∆-==6131.31,所以9565==-=----ABCD P ADC E ABCD P EAC PB V V V V --------------------12 19.（1）由公式 879.767.630303030)100400(6022<≈⋅⋅⋅-=K ，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ---------------------4（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生， -----------------------------6从中选出3人的基本事件数有20种 ----------------------8 恰有两名男生一名女生的事件数有12种 ---------------------10所以53=P ---------------------1220.（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ=．又CP CQ QP =+=2CQ QA CA +=>=．∴曲线E 是以坐标原点为中心，()1,0C -和()1,0A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．∵1,c a ==，∴2211b =-=．∴曲线E 的方程为2212x y +=． ------------4（2）设()()1122,,,M x y N x y ．联立22{12y kx m x y =++=消去y ，得()222124220k x kmx m +++-=．此时有2216880k m ∆=-+>．由一元二次方程根与系数的关系，得122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -=+． -----------------6∴MN ==∵原点O 到直线l的距离d =， ∴1·2MON S MN d ∆==． -------------------8由0∆>，得22210k m -+>．又0m ≠，∴据基本不等式，得MON S ∆≤=．当且仅当22212k m +=时，不等式取等号． ∴MON∆面积的最大值为2． -------------------------1221.解：（1）f′（x ）=3x2+2ax+b ∵曲线y=f （x ）在点P （0，f （0））处的切线方程为y=3x+1．∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=0)2()0(3)0(3)0(''f x f y f解得a=415，b=3，c=1∴13415)(23+++=x x x x f ------------------------4(2)在0323)(2'≥++=ax x x f []1,2-上恒成立 -----------------------6 ①当63≤≤-a 时，解得33≤≤-a ----------------------8②当6>a 时，解得415≤a ，所以无解 -----------------------10 ③当3-<a 时，解得3-≥a ，所以无解综上33≤≤-a -----------------------1222.(1)当a=1时，f(x)＝x －ex. 令f′(x)＝1－ex ＝0，得x ＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．------------4 (2)证明：令F(x)＝x －f(x)＝ex －(a －1)x.①当a ＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x 成立； ------------6 ②当1<a≤1＋e 时，F′(x)＝ex －(a －1)＝ex －eln(a －1)， 当x<ln(a －1)时，F′(x)<0；当x>ln(a －1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增， ∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a －1)－(a －1)ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]， ∵1<a≤1＋e ，∴a－1>0，1－ln(a －1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0， ∴F(x)≥0，即f(x)≤x 成立．综上，当1≤a≤1＋e 时，有f(x)≤x. ----------------12。

2017-2018学年河北省唐山市开滦一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．将点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）3．演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x 是增函数”，所得结论错误的原因是（）A．推理形式错误 B．小前提错误C．大前提错误D．小前提、大前提都错误4．用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度5．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k=7.097，则这两个变量间有关系的可能性为（）A．99% B．99.5% C．99.9% D．无关系6．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）7．f（x）=，则f′（π）的值为（）A．B．C．D．08．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，m．．．．9．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（）A．B．C．D．10．极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离最大值为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=lnx+在区间[2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[2，+∞）D．[﹣2，2]12．P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣3的最小距离为（）A．1 B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．已知i为虚数单位，复数z=，则复数z的虚部是________．14．已知方程=0.85x﹣82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体的残差是________．15．若直线y=x+b与曲线y=﹣x+lnx相切，则b的值为________．16．观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为________．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．已知复数z=（m2+m）+（m+1）i（I）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（Ⅱ）若m=﹣2，求的共轭复数的模．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟订的价格进行试销得（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元每件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？19．设函数f（x）=x2e x（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．20．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人、男性50人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别是否有关？K2=，n=a+b+c+d．21．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．22．已知函数f（x）=x﹣1+，（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2015-2016学年河北省唐山市开滦一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．将点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】本题直接利用直角坐标与极坐标的关系，求出点的极坐标．【解答】解：∵，M的直角坐标（，﹣1），∴，，∵点M在四象限，∴．∴点M的极坐标为（2，）．故选B．3．演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而y=2x是指数函数，所以y=2x 是增函数”，所得结论错误的原因是（）A．推理形式错误 B．小前提错误C．大前提错误D．小前提、大前提都错误【考点】演绎推理的意义．【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的．【解答】解：∵当a＞1时，函数y=log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A4．用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【考点】反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B5．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k=7.097，则这两个变量间有关系的可能性为（）A．99% B．99.5% C．99.9% D．无关系【考点】独立性检验的基本思想．【分析】根据所给的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，看出所求的结果比哪一个临界值大，得到可信度．【解答】解：∵由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k=7.097，则7.097＞6.635，∴有99%的把握说这两个变量有关系，故选A．6．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．7．f（x）=，则f′（π）的值为（）A．B．C．D．0【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．【解答】解：f′（x）=，∴f′（π）===﹣，故选：A．8．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．9．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．【解答】解：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．故选D．10．极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出要求的最大值．【解答】解：圆ρ=1上的点到直线ρcosθ+ρsinθ=2分别化为直角坐标方程：x2+y2=1，x+y﹣2=0．圆心（0，0）到直线的距离d==，因此圆ρ=1上的点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离最大值为+1．故选：C．11．函数f（x）=lnx+在区间[2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[2，+∞）D．[﹣2，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得，当x≥2时，f′（x）=﹣≥0，即a≤x，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+在区间[2，+∞）上单调递增，∴当x≥2时，f′（x）=﹣≥0，即a≤x，∴a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A．12．P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣3的最小距离为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣3=0平行时，点P到直线x﹣y﹣3=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣3=0的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线x﹣y﹣3=0平行时，点P到直线x﹣y﹣3=0的距离最小．直线x﹣y﹣3=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或x=﹣（舍去），故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣3=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线x﹣y﹣3=0的距离等于=，故点P到直线x﹣y﹣3=0的最小距离为=，故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．已知i为虚数单位，复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===，则复数z的虚部是．故答案为：．14．已知方程=0.85x﹣82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体的残差是﹣0.29．【考点】线性回归方程．【分析】根据残差的定义计算出随机值和真实值的差即可．【解答】解：因为回归方程为=0.85x﹣82.71，所以当x=160时，y=0.85×160﹣82.71=53.29，所以针对某个体的残差是53﹣53.29=﹣0.29．故答案为：﹣0.29．15．若直线y=x+b与曲线y=﹣x+lnx相切，则b的值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），代入曲线方程和切线的方程，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得m=1，即可得到b=﹣1．【解答】解：设切点为（m，n），n=m+b=﹣m+lnm，y=﹣x+lnx的导数为y′=﹣+，可得切线的斜率为﹣+=，解得m=1，n=+b，即有﹣+ln1=+b，可得b=﹣1．故答案为：﹣1．16．观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为+…+=+…+．【考点】归纳推理；数列的概念及简单表示法．【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为： +…+=+…+．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．已知复数z=（m2+m）+（m+1）i（I）实数m为何值时，复数z为纯虚数；（Ⅱ）若m=﹣2，求的共轭复数的模．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】（1）复数z为纯虚数需满足，解出即可得出．（2）当m=﹣2时，复数z=，利用复数的运算法则、共轭复数的定义可得，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（1）复数z为纯虚数需满足，得m=0．（2）当m=﹣2时，复数z===，∴=，∴==．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟订的价格进行试销得（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元每件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？【考点】线性回归方程．【分析】（I）计算平均数，利用=250，求出b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I）由于=（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5…=（90+84+83+80+75+68）=80，…代入方程可得：80=8.5b+250，可得b=﹣20所以从而回归直线方程为y=﹣20x+250…（Ⅱ）设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）…=﹣20x2+330x﹣1000=﹣20（x﹣8.25）2+361.25，当且仅当x=8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润…19．设函数f（x）=x2e x（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出其单调区间即可；（Ⅱ）先求出f（x）在[﹣1，2]上的单调性，从而求出函数的最大值，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），递减区间为[﹣2，0]．…因此x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值是4e2，∵x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞4e2…20．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人、男性50人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别是否有关？K2=，n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件建立一个2×2的列联表，求得K2的观测值k，再根据k的范围，得出结论．22经计算K2的观测值k==≈3.429，而2.706＜3.429＜3.841，所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关．21．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（﹣1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（﹣1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y0），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即解得a=1，b=0．∴f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．所以，f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值．（Ⅱ）解：曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．因f'（x0）=3（x02﹣1），故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0）化简得x03=﹣8，解得x0=﹣2．所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．22．已知函数f（x）=x﹣1+，（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）先求导，f′（x）=1﹣=，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（﹣∞，lna）与（﹣∞，lna）两种情况写出f（x）的单调递减区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣1+，∴f′（x）=1﹣=，由f′（x）=0得x=lna∴当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，∴（﹣∞，lna）是f（x）的单调递减区间；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，∴k max=12016年9月7日。

唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学试卷卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．若1m iz i +=-（m R ∈，i 为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则,a b 全为0”时，假设正确的是（ ）A. ,a b 中只有一个为0B. ,a b 至少一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 至少有一个不为03.在含有3件次品的200件产品中，任意抽取5件，则至少2件是次品的取法种数 （ ） A ．233198C C B ．233231973197C C +C C C ．5142003197C -C CD ．55200197C -C4. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(1)f '-= （ ） A ．0 B ．6- C ．3- D ．2-5. 设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)2iP X i i a ===，则(3)P X <= （ ）A. 25B. 35C. 310D. 7106. 某厂生产的零件外直径()100.04N ξ:，，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.3cm 和9.3cm ，则可认为 （ ）A ．上、下午生产情况均正常B ．上、下午生产情况均异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 利用数学归纳法证明不等式：*1111(2,)2321n n n n N ++++<≥∈-L 的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了 （ ）A. 2k项 B. 12k -项 C. k 项 D. 1项8. 过函数x xx f -=1)(图象上一点()2,2-及邻近一点()2,2x y +∆-+∆作割线，则当0.25x ∆=时割线的斜率为 （ ）A.15 B ．45 C ．1 D ．95-9. 从1,2,,9⋅⋅⋅这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ）A ．60种B ．65种C ．66种D ．68种10. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f11.某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有 （ ） A ．1320种 B ．2160种 C ．2400种 D ．4320种12.设函数()y f x =在()0,+∞上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数(),()(),()p f x f x pf x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数ln 1()x x f x e +=，恒有()()p f x f x =，则下列结论正确的是 （ ）A ．p 的最大值为1eB ．p 的最小值为1e C ．p 的最大值为2 D ．p 的最小值为2卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．4221x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为19，则实数a 的值为__________. 14. 已知函数21, 11(), 1x x x f x e x ⎧--≤≤⎪=⎨-⎪⎩＞，则21()f x dx -⎰=__________.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为__________.16. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.①已知随机变量X 服从二项分布),(p n B ，若20)(,30)(==X D X E ,则32=p ；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =)1(＞ξ，则p P -=≤-21)01(ξ＜；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B :，则当8X =时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分)设整数1,p p N *>∈，用数学归纳法证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1px px +>+.18.(本题满分12分)已知函数3()16f x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望. 20．（本题满分12分） 已知二次函数()2+8f x x x=-，直线22:8l y t t=-+（其中02,t t ≤≤为常数），1:2l x =.若直线12,l l与函数()f x 的图象以及2,l y轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （1）求阴影面积S 关于t 的函数()S t ；（2）已知函数()()ln g x S x a x=+在其定义域上单调递减，求a 的范围.21.(本题满分12分)设函数).,1,()11()(**∈>∈+=N x n N n n x f x （1）当6x =时，求xn )11(+的展开式中二项式系数最大的项； （2）（A 普班、实验班做）x R ∀∈，证明)(2)2()2(x f f x f '>+（)()(x f x f 是'的导函数）；（B 英才班做）是否存在*∈N a ,使得n a k an knk )1()11(1+<+<∑=恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a 的值；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分) 已知函数f (x)lnx ax =-； （1）讨论f (x)的单调性；（2）当函数f (x)有两个不相等的零点12x ,x 时,证明: 212x x e ⋅>.唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 理科数学答案一．选择题：1-4: DDBB ；5-8: CCAB ；9-12: CDAB.二．填空题：13. 1±；14. 22e eπ-+；15. 0.75；16. ②③④. 三．解答题：17. 用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2分 ②假设p=k(k≥2,k ∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4分 当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以p=k+1时,原不等式也成立. …………………………………………………9分 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10分 18. 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x －16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. ………………………4分 (2)设切点为(x0，y0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x20＋1， ∴直线l 的方程为:y ＝(3x20＋1)(x －x0)＋x30＋x0－16， 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，…………………10分 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．…………………………12分 19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则13441222()=()()()()3333P AC +112243= ∴131()=243P A ……………………4分 （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………6分 211(2)()39P ξ===121214(3)()()()33327P C ξ===，1243121228(4)()()()()333381P C ξ==+=,1341232(5)()()3381P C ξ===．……………………………………………………10分故ξ的分布列为：ξ2 3 4 5P19 427 2881 328132681E ξ=（）．……………………………………………………………………12分20.（1）由得∵0≤t≤2，∴直线l1与f （x ）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：………………………………………………………………6分(2)32440()()ln 1016ln 33g x S x a x x x x a x=+=-+-++，定义域为]20，（ 32242016()42016a x x x ag x x x x x -+-+'=-+-+=………………………………8分因为)(x g y =单减,则016-20423≤++-a x x x 恒成立，即min 2316204x x x a +-≤设x x x x h 16204)(23+-=，)(x h y =在)3135,0(-是增函数，在]2,3135(-是减函数，所以16-≤a …………………………………………………………………12分21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是…2分（2）（普班、实验班） 证法一：因=证法二：因= ………………………………………………………6分而故只需对和进行比较．令g （x ）=x-lnx （x≥1），有 由，得x=1 因为当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当1＜x ＜+∞时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以在x=1处g （x ）有极小值1 故当x ＞1时，g （x ）＞g （1）=1， 从而有x-lnx ＞1，亦即x ＞lnx+1＞lnx 故有恒成立． 所以f （2x ）+f （2）≥2f′（x ），原不等式成立．……………………………12分 （2）（英才班）对m ∈N ，且m ＞1 有 …4分= =＜……………………………………………8分=＜3； 又因＞0（k=2，3，…，m ），故…………………10分 ∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．…………………………………12分22. （1）当0a ≤时，f (x)在()0,+∞单调递增； 当0a >时，f (x)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；f (x)在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减；………………4分（2）不妨设120x x >>，由题意得1122ln x ax ln x ax =⎧⎨=⎩相减得：1212ln x ln x a x x -=-，要证212x x e >，只需证122ln x ln x +>…………………6分12ln x ln x +=12a(x x )+=1212ln x ln x x x --12(x x )+2>，只需证1212122(x x )ln x ln x x x -->+只需证112122211x ()x x lnx x x ->+，设12x t x =1(t )>，只需证2101(t )lnt t -->+……………10分设211(t )g(t)lnt t -=-+，则22101'(t )g (t)t(t )-=>+，10g(t)g()>=，所以原命题成立.………………………………………………………………………12分。

唐山一中2017～2018学年度第二学期高一年级期中考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分，共60分。

请把答案涂在答题卡上）1. 如果，那么下列不等式成立的是( )A.B．C．D．2.在等比数列中，，则( )A．18 B．24 C．32 D．343．若的三个内角满足，则的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定4.在数列中，，则的值为( )A．B．5 C．D．以上都不对5.数列为等差数列，满足，则数列的前项的和等于( )A．B．21 C．42 D．846.已知数列为递增等比数列，其前项和为．若，，则( )A．B．C．D．7.若满足不等式，则的最大值为( )A．11 B．-11 C．13 D．-138.在等比数列中，若，则( )A．B．C．D．9.若实数满足约束条件，则的最大值为( )A．B．1 C．D．10.在△ABC中,两直角边和斜边满足条件,试确定实数的取值范围( ) A．B．C．D．11.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两w.w.w.k.s.5.u.c.o.m部分，则k的值是( )A. B. C. D.12.数列满足则的前60项和为( )A.3690B.3660C.1845D.1830试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13.不等式的解集为________.14.若数列的前项和为则数列的通项公式是_______.15. 在中，角的对边分别为且则_______.16.在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，则对角线AC 的最大值为________.三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。